probabilita - I blog di Unica

Elementi di calcolo combinatorio e
teoria delle probabilità
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Esempio
Se si lanciano tre dadi, le somme 9 e 10 possono essere
entrambe ottenute con 6 diverse combinazioni.
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Esempio
Se si lanciano tre dadi, le somme 9 e 10 possono essere
entrambe ottenute con 6 diverse combinazioni.
2 / 43
Esempio
Se si lanciano tre dadi, le somme 9 e 10 possono essere
entrambe ottenute con 6 diverse combinazioni.
2 / 43
Esempio
9 :
10 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
[1, 3, 6] , [1, 4, 5] , [2, 2, 6] , [2, 3, 5] , [2, 4, 4] , [3, 3, 4]
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Esempio
9 :
10 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
[1, 3, 6] , [1, 4, 5] , [2, 2, 6] , [2, 3, 5] , [2, 4, 4] , [3, 3, 4]
Tuttavia, la probabilità di ottenere 10 è maggiore di quella
di ottenere 9
Galileo Galilei: Sulla scoperta dei dadi – 1656.
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Esempio
Si hanno tre carte:
• una blu su entrambi i lati
• una bianca su entrambi i lati
• una ha un lato bianco e uno blu
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Esempio
Si hanno tre carte:
• una blu su entrambi i lati
• una bianca su entrambi i lati
• una ha un lato bianco e uno blu
Poniamo una carta scelta a caso sul tavolo
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Esempio
Si hanno tre carte:
• una blu su entrambi i lati
• una bianca su entrambi i lati
• una ha un lato bianco e uno blu
Poniamo una carta scelta a caso sul tavolo
Qual è la probabilità che anche il lato non visibile sia blu?
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Buon compleanno
Qual’è la probabilità che due persone in questa classe
siano nate lo stesso giorno?
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Permutazioni di un insieme finito
Una permutazione di un insieme A è una sequenza ordinata, in cui ogni elemento di A compare una ed una sola
volta.
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Permutazioni di un insieme finito
Una permutazione di un insieme A è una sequenza ordinata, in cui ogni elemento di A compare una ed una sola
volta.
Ad esempio, se A = {a, b, c}, le permutazioni di A sono:
abc ,
acb ,
bac ,
bca ,
cab ,
cba
6 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
7 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
7 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n
7 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n (n − 1)
7 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2)
7 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · 1
7 / 43
Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · 1
:= n!
si legge n fattoriale
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Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · 1
:= n!
si legge n fattoriale
Indichiamo con Pn = n! il numero delle permutazioni di n
elementi.
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Permutazioni di un insieme finito
Esercizio: Determinare quante sono le permutazioni di un
insieme
A = {a1 , a2 , . . . , an }
costituito da n elementi (n ≥ 1)
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · 1
:= n!
si legge n fattoriale
Indichiamo con Pn = n! il numero delle permutazioni di n
elementi.
Ad esempio, per n = 3, P3 = 3! = 6
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Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Sia
A = {a1 , a2 , . . . , an }
Una disposizione semplice, di classe k, è una sequenza
ordinata, senza ripetizioni, formata da k elementi di A
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Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Sia
A = {a1 , a2 , . . . , an }
Una disposizione semplice, di classe k, è una sequenza
ordinata, senza ripetizioni, formata da k elementi di A
Ad esempio, se A = {a, b, c} e k = 2, le disposizioni semplici
sono:
ab , ac , ba , bc , ca , cb
8 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Sia
A = {a1 , a2 , . . . , an }
Una disposizione semplice, di classe k, è una sequenza
ordinata, senza ripetizioni, formata da k elementi di A
Ad esempio, se A = {a, b, c} e k = 2, le disposizioni semplici
sono:
ab , ac , ba , bc , ca , cb
Il numero di queste disposizioni semplici è denotato Dn,k
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Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
9 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
9 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n
9 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n (n − 1)
9 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2)
9 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1)
9 / 43
Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1)
In formule:
Dn,k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1)
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Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1)
In formule:
Dn,k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
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Disposizioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Dn,k
Soluzione:
n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1)
In formule:
Dn,k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Si può notare che Dn,n = Pn
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Disposizioni con ripetizioni
A differenza delle disposizioni semplici, ammettiamo che
nella sequenza ordinata di k elementi possano esserci ripetizioni dello stesso elemento.
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Disposizioni con ripetizioni
A differenza delle disposizioni semplici, ammettiamo che
nella sequenza ordinata di k elementi possano esserci ripetizioni dello stesso elemento.
Esempio: A = {a, b, c} e k = 2, le disposizioni con ripetizioni sono:
aa ,
bb ,
cc ,
ab ,
ac ,
ba ,
bc ,
ca ,
cb
Indichiamo con Drn,k il numero di queste disposizioni con
ripetizione.
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Disposizioni con ripetizioni
Esercizio: Calcolare Drn,k
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Disposizioni con ripetizioni
Esercizio: Calcolare Drn,k
Soluzione:
n
11 / 43
Disposizioni con ripetizioni
Esercizio: Calcolare Drn,k
Soluzione:
nn
11 / 43
Disposizioni con ripetizioni
Esercizio: Calcolare Drn,k
Soluzione:
n n···n
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Disposizioni con ripetizioni
Esercizio: Calcolare Drn,k
Soluzione:
n n · · · n = nk
11 / 43
Disposizioni con ripetizioni
Esercizio: Calcolare Drn,k
Soluzione:
n n · · · n = nk
In formule
Drn,k = nk
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Esercizio
Esercizio: Dobbiamo disporre a sedere intorno a un tavolo
rotondo sette persone, con la seguente restrizione: Antonella è molto arrabbiata con Pierluigi e quindi non vuole
sedersi accanto a lui. Quante possibilità abbiamo?
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Esercizio
Esercizio: Dobbiamo disporre a sedere intorno a un tavolo
rotondo sette persone, con la seguente restrizione: Antonella è molto arrabbiata con Pierluigi e quindi non vuole
sedersi accanto a lui. Quante possibilità abbiamo?
Soluzione: Fissiamo a caso il posto di uno dei sette individui. Se non ci fossero restrizioni, avremmo P6 = 6! =
720 possibilità di far sedere gli altri. Da queste dobbiamo
sottrarre le
2 · (5!) = 240
situazioni in cui Pierluigi e Antonella sono vicini. In conclusione, la risposta al quesito è
720 − 240 = 480 .
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Esercizio
Esercizio: Quante sono le colonne che bisogna giocare
per essere sicuri di realizzare tredici al totocalcio?
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Esercizio
Esercizio: Quante sono le colonne che bisogna giocare
per essere sicuri di realizzare tredici al totocalcio?
Soluzione: Sono le disposizioni con ripetizione, di classe
k = 13, di tre elementi (ovvero 1, X, 2). Pertanto sono:
Dr3,13 = 313
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Esercizio
Esercizio: Quante sono le colonne che bisogna giocare
per essere sicuri di realizzare tredici al totocalcio?
Soluzione: Sono le disposizioni con ripetizione, di classe
k = 13, di tre elementi (ovvero 1, X, 2). Pertanto sono:
Dr3,13 = 313 = 1.594.323
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Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Rispetto alle disposizioni semplici, in questo caso non si
tiene conto dell’ordine con cui la sequenza dei k elementi
è presentata.
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Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Rispetto alle disposizioni semplici, in questo caso non si
tiene conto dell’ordine con cui la sequenza dei k elementi
è presentata.
Esempio: Se A = {a, b, c} e k = 2, le combinazioni semplici
sono:
ab , ac , bc
14 / 43
Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Rispetto alle disposizioni semplici, in questo caso non si
tiene conto dell’ordine con cui la sequenza dei k elementi
è presentata.
Esempio: Se A = {a, b, c} e k = 2, le combinazioni semplici
sono:
ab , ac , bc
Indichiamo con Cn,k il numero delle combinazioni semplici
senza ripetizioni.
14 / 43
Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Cn,k .
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Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Cn,k .
Soluzione: Data una disposizione semplice di k elementi
a1 a2 · · · ak
tutte le permutazioni di questa formano una nuova disposizione semplice, ma rappresentano la stessa combinazione
semplice.
15 / 43
Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Cn,k .
Soluzione: Data una disposizione semplice di k elementi
a1 a2 · · · ak
tutte le permutazioni di questa formano una nuova disposizione semplice, ma rappresentano la stessa combinazione
semplice.
Segue che
Cn,k =
Dn,k
Pk
15 / 43
Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Cn,k .
Soluzione: Data una disposizione semplice di k elementi
a1 a2 · · · ak
tutte le permutazioni di questa formano una nuova disposizione semplice, ma rappresentano la stessa combinazione
semplice.
Segue che
n!
Dn,k
(n − k)!
=
Cn,k =
k!
Pk
15 / 43
Combinazioni semplici (senza ripetizioni)
Esercizio: Calcolare Cn,k .
Soluzione: Data una disposizione semplice di k elementi
a1 a2 · · · ak
tutte le permutazioni di questa formano una nuova disposizione semplice, ma rappresentano la stessa combinazione
semplice.
Segue che
n!
Dn,k
n!
(n − k)!
=
=
Cn,k =
k!
(n − k)! k!
Pk
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Coefficiente binomiale
Il numero
n
n!
=
(n − k)! k!
k
( = Cn,k )
viene chiamato coefficiente binomiale.
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Coefficiente binomiale
Il numero
n
n!
=
(n − k)! k!
k
( = Cn,k )
viene chiamato coefficiente binomiale.
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Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
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Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
17 / 43
Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
C5,1
17 / 43
Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
C5,1 + C5,2
17 / 43
Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
C5,1 + C5,2 + C5,3
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Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4
17 / 43
Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5
17 / 43
Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 =
17 / 43
Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
5
5
5
5
5
+
+
+
+
C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 =
1
2
3
4
5
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Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
5
5
5
5
5
+
+
+
+
C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 =
1
2
3
4
5
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
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Esercizio
Esercizio: Un ragazzo ha cinque monete di valore pari a
1, 10, 20, 50 centesimi ed 1 euro rispettivamente. Quante
diverse somme (non nulle) di denaro può formare?
Soluzione: Il ragazzo, per formare una somma, può usare
k monete, con 1 ≤ k ≤ 5 .
5
5
5
5
5
+
+
+
+
C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 =
1
2
3
4
5
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
(per completare l’esercizio basta verificare per via diretta che tutte le somme così ottenute danno luogo a valori
diversi).
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Esercizio
Esercizio: Si vuole formare una commissione di concorso con due matematici e tre fisici. La scelta può essere
effettuata tra sei matematici e cinque fisici. In quanti modi
diversi può essere formata la commissione?
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Esercizio
Esercizio: Si vuole formare una commissione di concorso con due matematici e tre fisici. La scelta può essere
effettuata tra sei matematici e cinque fisici. In quanti modi
diversi può essere formata la commissione?
Soluzione: Due matematici possono essere scelti tra sei
in
6
6!
=
= 15
2
4! 2!
modi.
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Esercizio
Esercizio: Si vuole formare una commissione di concorso con due matematici e tre fisici. La scelta può essere
effettuata tra sei matematici e cinque fisici. In quanti modi
diversi può essere formata la commissione?
Soluzione: Due matematici possono essere scelti tra sei
in
6
6!
=
= 15
2
4! 2!
modi. Per i tre fisici, vi sono
5
5!
= 10
=
2! 3!
3
possibilità.
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Esercizio
Esercizio: Si vuole formare una commissione di concorso con due matematici e tre fisici. La scelta può essere
effettuata tra sei matematici e cinque fisici. In quanti modi
diversi può essere formata la commissione?
Soluzione: Due matematici possono essere scelti tra sei
in
6
6!
=
= 15
2
4! 2!
modi. Per i tre fisici, vi sono
5
5!
= 10
=
2! 3!
3
possibilità. Quindi la risposta è
15 · 10 = 150 .
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Permutazioni con ripetizione
Immaginiamo una situazione anomala in cui un insieme A
contenga elementi che si ripetono. In questo caso alcune
permutazioni di A saranno uguali tra loro.
Esempio:
A = {a, b, b}, le permutazioni di A sono:
abb ,
abb ,
bab ,
bba ,
bab ,
bba ,
dove solo tre sono distinte.
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Permutazioni con ripetizione
Immaginiamo una situazione anomala in cui un insieme A
contenga elementi che si ripetono. In questo caso alcune
permutazioni di A saranno uguali tra loro.
Esempio:
A = {a, b, b}, le permutazioni di A sono:
abb ,
abb ,
bab ,
bba ,
bab ,
bba ,
dove solo tre sono distinte.
Fissata la posizione di a le permutazioni delle due posizioni
contenenti b non producono permutazioni distinte di A =
{a, b, b}
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Permutazioni con ripetizione
Immaginiamo una situazione anomala in cui un insieme A
contenga elementi che si ripetono. In questo caso alcune
permutazioni di A saranno uguali tra loro.
Esempio:
A = {a, b, b}, le permutazioni di A sono:
abb ,
abb ,
bab ,
bba ,
bab ,
bba ,
dove solo tre sono distinte.
Fissata la posizione di a le permutazioni delle due posizioni
contenenti b non producono permutazioni distinte di A =
{a, b, b}
Questo ragionamento porta alla conclusione che le permutazioni distinte di A = {a, b, b} sono
3!/2! = 3
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Permutazioni con ripetizione
In generale, indicando con k1 , k2 , . . . , kr il numero di volte
che si ripetono rispettivamente gli elementi
a1 , a2 , . . . , ar
di A, le permutazioni distinte divengono:
Pkn1 ,k2 ,...,kr =
n!
k1 ! k2 ! · · · kr !
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Esercizio
Esercizio: Quante diverse parole (non necessariamente
di senso compiuto) di dieci lettere si possono ottenere usando una e una sola volta ognuna delle lettere che compongono la parola statistica?
21 / 43
Esercizio
Esercizio: Quante diverse parole (non necessariamente
di senso compiuto) di dieci lettere si possono ottenere usando una e una sola volta ognuna delle lettere che compongono la parola statistica?
Soluzione: La parola statistica è composta da dieci lettere, e le permutazioni di dieci elementi sono 10!
21 / 43
Esercizio
Esercizio: Quante diverse parole (non necessariamente
di senso compiuto) di dieci lettere si possono ottenere usando una e una sola volta ognuna delle lettere che compongono la parola statistica?
Soluzione: La parola statistica è composta da dieci lettere, e le permutazioni di dieci elementi sono 10!
Però, la t compare 3 volte, la s, la a e la i compaiono 2
volte.
21 / 43
Esercizio
Esercizio: Quante diverse parole (non necessariamente
di senso compiuto) di dieci lettere si possono ottenere usando una e una sola volta ognuna delle lettere che compongono la parola statistica?
Soluzione: La parola statistica è composta da dieci lettere, e le permutazioni di dieci elementi sono 10!
Però, la t compare 3 volte, la s, la a e la i compaiono 2
volte.
Quindi le parole sono
P3,2,2,2
10
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Esercizio
Esercizio: Quante diverse parole (non necessariamente
di senso compiuto) di dieci lettere si possono ottenere usando una e una sola volta ognuna delle lettere che compongono la parola statistica?
Soluzione: La parola statistica è composta da dieci lettere, e le permutazioni di dieci elementi sono 10!
Però, la t compare 3 volte, la s, la a e la i compaiono 2
volte.
Quindi le parole sono
=
P3,2,2,2
10
10!
= 75600
3! 2! 2! 2!
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Teoria delle probabilità: premesse generali
Un esperimento si dice casuale quando, condotto più volte
nelle medesime condizioni, genera un risultato che non è
possibile prevedere a priori.
22 / 43
Teoria delle probabilità: premesse generali
Un esperimento si dice casuale quando, condotto più volte
nelle medesime condizioni, genera un risultato che non è
possibile prevedere a priori.
• Se, ad esempio, lanciamo un dado a sei facce il risultato dell’esperimento può essere {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
22 / 43
Teoria delle probabilità: premesse generali
Un esperimento si dice casuale quando, condotto più volte
nelle medesime condizioni, genera un risultato che non è
possibile prevedere a priori.
• Se, ad esempio, lanciamo un dado a sei facce il risultato dell’esperimento può essere {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Se lanciamo invece una moneta si hanno due risultati
possibili: testa o croce.
22 / 43
Teoria delle probabilità: premesse generali
Un esperimento si dice casuale quando, condotto più volte
nelle medesime condizioni, genera un risultato che non è
possibile prevedere a priori.
• Se, ad esempio, lanciamo un dado a sei facce il risultato dell’esperimento può essere {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Se lanciamo invece una moneta si hanno due risultati
possibili: testa o croce.
La teoria della probabilità studia come esprimere quantitativamente il grado di fiducia sul verificarsi di un certo
risultato.
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Teoria delle probabilità
Per dare una definizione rigorosa di probabilità abbiamo
bisogno di introdurre alcune notazioni.
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Teoria delle probabilità
Per dare una definizione rigorosa di probabilità abbiamo
bisogno di introdurre alcune notazioni.
Indichiamo con:
Ω lo spazio campionario, cioè l’insieme di tutti i risultati
possibili di un certo esperimento
n = #(Ω) la sua cardinalità, ovvero il numero di elementi di
Ω.
23 / 43
Teoria delle probabilità
Per dare una definizione rigorosa di probabilità abbiamo
bisogno di introdurre alcune notazioni.
Indichiamo con:
Ω lo spazio campionario, cioè l’insieme di tutti i risultati
possibili di un certo esperimento
n = #(Ω) la sua cardinalità, ovvero il numero di elementi di
Ω.
Esempio: Il lancio di un dado a sei facce non truccato
corrisponde alla situazione in cui
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
23 / 43
Teoria delle probabilità
Per dare una definizione rigorosa di probabilità abbiamo
bisogno di introdurre alcune notazioni.
Indichiamo con:
Ω lo spazio campionario, cioè l’insieme di tutti i risultati
possibili di un certo esperimento
n = #(Ω) la sua cardinalità, ovvero il numero di elementi di
Ω.
Esempio: Il lancio di un dado a sei facce non truccato
corrisponde alla situazione in cui
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n = #(Ω) = 6
23 / 43
Un evento A è un sottoinsieme di Ω e la sua cardinalità
nA = #(A)
rappresenta il numero dei casi favorevoli al verificarsi di A
24 / 43
Un evento A è un sottoinsieme di Ω e la sua cardinalità
nA = #(A)
rappresenta il numero dei casi favorevoli al verificarsi di A
Esempio: Sempre nell’esempio del lancio di un dado, l’evento di realizzare un numero pari è
A = {2, 4, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
24 / 43
Un evento A è un sottoinsieme di Ω e la sua cardinalità
nA = #(A)
rappresenta il numero dei casi favorevoli al verificarsi di A
Esempio: Sempre nell’esempio del lancio di un dado, l’evento di realizzare un numero pari è
A = {2, 4, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
Ogni evento che risulta verificato da un unico risultato (un
unico elemento di Ω) viene detto evento elementare.
24 / 43
Teoria delle probabilità
Dati due eventi A e B
25 / 43
Teoria delle probabilità
Dati due eventi A e B
• A∪B rappresenta l’evento costituito dal verificarsi dell’evento A oppure dell’evento B.
25 / 43
Teoria delle probabilità
Dati due eventi A e B
• A∪B rappresenta l’evento costituito dal verificarsi dell’evento A oppure dell’evento B.
• A ∩ B indica l’evento costituito dal verificarsi sia dell’evento A che dell’evento B.
25 / 43
Teoria delle probabilità
Dati due eventi A e B
• A∪B rappresenta l’evento costituito dal verificarsi dell’evento A oppure dell’evento B.
• A ∩ B indica l’evento costituito dal verificarsi sia dell’evento A che dell’evento B.
Se A∩B = 0/ i due eventi A e B vengono detti incompatibili
(non possono verificarsi simultaneamente).
25 / 43
Teoria delle probabilità
Dati due eventi A e B
• A∪B rappresenta l’evento costituito dal verificarsi dell’evento A oppure dell’evento B.
• A ∩ B indica l’evento costituito dal verificarsi sia dell’evento A che dell’evento B.
Se A∩B = 0/ i due eventi A e B vengono detti incompatibili
(non possono verificarsi simultaneamente).
Il complemento CΩ (A) di un evento A rispetto a Ω è detto
negazione di A e indica il suo non verificarsi
25 / 43
Teoria delle probabilità
La definizione classica di probabilità (probabilità matematica o probabilità a priori), dovuta a Bernoulli e Laplace, è:
26 / 43
Teoria delle probabilità
La definizione classica di probabilità (probabilità matematica o probabilità a priori), dovuta a Bernoulli e Laplace, è:
Definizione: La probabilità P(A) di un evento A ⊂ Ω è il
rapporto
numero dei casi favorevoli all’evento
il numero dei casi possibili
26 / 43
Teoria delle probabilità
La definizione classica di probabilità (probabilità matematica o probabilità a priori), dovuta a Bernoulli e Laplace, è:
Definizione: La probabilità P(A) di un evento A ⊂ Ω è il
rapporto
numero dei casi favorevoli all’evento
il numero dei casi possibili
Ovvero:
P(A) =
nA
n
26 / 43
Teoria delle probabilità
Nella definizione precedente si presuppone che
• tutti gli eventi elementari abbiano la stessa probabilità
di verificarsi
27 / 43
Teoria delle probabilità
Nella definizione precedente si presuppone che
• tutti gli eventi elementari abbiano la stessa probabilità
di verificarsi
•
lo spazio campionario sia finito.
27 / 43
Proprietà
(i) per ogni evento A ⊂ Ω, P(A) ∈ [0, 1]
28 / 43
Proprietà
(i) per ogni evento A ⊂ Ω, P(A) ∈ [0, 1]
(ii) per l’evento certo Ω si ha P(Ω) = 1
28 / 43
Proprietà
(i) per ogni evento A ⊂ Ω, P(A) ∈ [0, 1]
(ii) per l’evento certo Ω si ha P(Ω) = 1
(iii) se due eventi A, B ⊂ Ω sono incompatibili (A ∩ B = 0),
/
allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
28 / 43
Proprietà
(i) per ogni evento A ⊂ Ω, P(A) ∈ [0, 1]
(ii) per l’evento certo Ω si ha P(Ω) = 1
(iii) se due eventi A, B ⊂ Ω sono incompatibili (A ∩ B = 0),
/
allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(iv) P(0)
/ =0
28 / 43
Proprietà
(i) per ogni evento A ⊂ Ω, P(A) ∈ [0, 1]
(ii) per l’evento certo Ω si ha P(Ω) = 1
(iii) se due eventi A, B ⊂ Ω sono incompatibili (A ∩ B = 0),
/
allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(iv) P(0)
/ =0
(v) P(CΩ (A)) = 1 − P(A)
28 / 43
Proprietà
(i) per ogni evento A ⊂ Ω, P(A) ∈ [0, 1]
(ii) per l’evento certo Ω si ha P(Ω) = 1
(iii) se due eventi A, B ⊂ Ω sono incompatibili (A ∩ B = 0),
/
allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(iv) P(0)
/ =0
(v) P(CΩ (A)) = 1 − P(A)
(vi) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
28 / 43
Esercizio
Esercizio: Lanciando un dado non truccato, qual è la probabilità di realizzare un numero pari?
29 / 43
Esercizio
Esercizio: Lanciando un dado non truccato, qual è la probabilità di realizzare un numero pari?
Soluzione: Abbiamo Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mentre A = {2, 4, 6}.
29 / 43
Esercizio
Esercizio: Lanciando un dado non truccato, qual è la probabilità di realizzare un numero pari?
Soluzione: Abbiamo Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mentre A = {2, 4, 6}.
Quindi, in questa situazione,
P(pari) = P(A) =
3 1
=
6 2
( 50% )
29 / 43
Esercizio: Calcolare la probabilità di ottenere somma rispettivamente 9 e 10, lanciando tre dadi non truccati.
30 / 43
Esercizio: Calcolare la probabilità di ottenere somma rispettivamente 9 e 10, lanciando tre dadi non truccati.
Soluzione: Il numero totale di risultati che si possono ottenere dal lancio dei 3 dadi è
n = Dr6,3 = 63 = 216
30 / 43
Esercizio: Calcolare la probabilità di ottenere somma rispettivamente 9 e 10, lanciando tre dadi non truccati.
Soluzione: Il numero totale di risultati che si possono ottenere dal lancio dei 3 dadi è
n = Dr6,3 = 63 = 216
Ora osserviamo che
30 / 43
Esercizio: Calcolare la probabilità di ottenere somma rispettivamente 9 e 10, lanciando tre dadi non truccati.
Soluzione: Il numero totale di risultati che si possono ottenere dal lancio dei 3 dadi è
n = Dr6,3 = 63 = 216
Ora osserviamo che
• un risultato con tre numeri uguali può presentarsi in un
unico modo
30 / 43
Esercizio: Calcolare la probabilità di ottenere somma rispettivamente 9 e 10, lanciando tre dadi non truccati.
Soluzione: Il numero totale di risultati che si possono ottenere dal lancio dei 3 dadi è
n = Dr6,3 = 63 = 216
Ora osserviamo che
• un risultato con tre numeri uguali può presentarsi in un
unico modo
• un risultato con due numeri uguali può comparire in tre
modi diversi
30 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
31 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
Indichiamo con A e B, rispettivamente, l’evento che la somma sia pari a 9 e a 10.
31 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
Indichiamo con A e B, rispettivamente, l’evento che la somma sia pari a 9 e a 10.
9 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
31 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
Indichiamo con A e B, rispettivamente, l’evento che la somma sia pari a 9 e a 10.
9 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
nA = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25
31 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
Indichiamo con A e B, rispettivamente, l’evento che la somma sia pari a 9 e a 10.
9 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
nA = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25
10 :
[1, 3, 6] , [1, 4, 5] , [2, 2, 6] , [2, 3, 5] , [2, 4, 4] , [3, 3, 4]
31 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
Indichiamo con A e B, rispettivamente, l’evento che la somma sia pari a 9 e a 10.
9 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
nA = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25
10 :
[1, 3, 6] , [1, 4, 5] , [2, 2, 6] , [2, 3, 5] , [2, 4, 4] , [3, 3, 4]
nB = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27
31 / 43
Esercizio
• se i tre numeri sono diversi, questo risultato può comparire in 3! = 6 modi diversi
Indichiamo con A e B, rispettivamente, l’evento che la somma sia pari a 9 e a 10.
9 :
[1, 2, 6] , [1, 3, 5] , [1, 4, 4] , [2, 2, 5] , [2, 3, 4] , [3, 3, 3]
nA = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25
10 :
[1, 3, 6] , [1, 4, 5] , [2, 2, 6] , [2, 3, 5] , [2, 4, 4] , [3, 3, 4]
nB = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27
P(nove) = P(A) =
nA
25
=
n
216
P(dieci) = P(B) =
nB
27
=
n
216
31 / 43
Esempio
Si hanno tre carte:
• una blu su entrambi i lati
• una bianca su entrambi i lati
• una ha un lato bianco e uno blu
32 / 43
Esempio
Si hanno tre carte:
• una blu su entrambi i lati
• una bianca su entrambi i lati
• una ha un lato bianco e uno blu
Poniamo una carta scelta a caso sul tavolo
32 / 43
Esempio
Si hanno tre carte:
• una blu su entrambi i lati
• una bianca su entrambi i lati
• una ha un lato bianco e uno blu
Poniamo una carta scelta a caso sul tavolo
Qual è la probabilità che anche il lato non visibile sia blu?
32 / 43
Esercizio
Soluzione: In tutto vi sono sei facce, di cui tre blu e tre
bianche.
33 / 43
Esercizio
Soluzione: In tutto vi sono sei facce, di cui tre blu e tre
bianche.
• Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla
carta blu, e 3 la faccia blu della carta con i due lati diversi
fra loro.
33 / 43
Esercizio
Soluzione: In tutto vi sono sei facce, di cui tre blu e tre
bianche.
• Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla
carta blu, e 3 la faccia blu della carta con i due lati diversi
fra loro.
• La faccia visibile all’inizio del gioco puo essere 1, 2, o
3, quindi
Ω = {1, 2, 3}
33 / 43
Esercizio
Soluzione: In tutto vi sono sei facce, di cui tre blu e tre
bianche.
• Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla
carta blu, e 3 la faccia blu della carta con i due lati diversi
fra loro.
• La faccia visibile all’inizio del gioco puo essere 1, 2, o
3, quindi
Ω = {1, 2, 3}
• l’evento che l’altro lato della carta sia blu è A = {1, 2},
perché solo 3 presenta l’altro lato bianco.
33 / 43
Esercizio
Soluzione: In tutto vi sono sei facce, di cui tre blu e tre
bianche.
• Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla
carta blu, e 3 la faccia blu della carta con i due lati diversi
fra loro.
• La faccia visibile all’inizio del gioco puo essere 1, 2, o
3, quindi
Ω = {1, 2, 3}
• l’evento che l’altro lato della carta sia blu è A = {1, 2},
perché solo 3 presenta l’altro lato bianco.
Quindi la probabilità richiesta vale
P(A) = 2/3
33 / 43
Esercizio
Nei test di accesso alle Facoltà scientifiche si presentano,
molto spesso, 25 domande a risposta multipla con quattro
scelte. Se uno studente risponde a caso senza guardare
le domande, con quale probabilità indovina esattamente
k ≤ n risposte?
34 / 43
Esercizio
Il numero n delle possibili risposte all’intero test (lo spazio
campionario) è pari a
n = Dr4,25 = 425
35 / 43
Esercizio
Il numero n delle possibili risposte all’intero test (lo spazio
campionario) è pari a
n = Dr4,25 = 425
Cerchiamo adesso quante di queste hanno esattamente k
risposte esatte.
35 / 43
Esercizio
Il numero n delle possibili risposte all’intero test (lo spazio
campionario) è pari a
n = Dr4,25 = 425
Cerchiamo adesso quante di queste hanno esattamente k
risposte esatte. Ci sono
25
k
possibili scelte per le k risposte esatte.
35 / 43
Esercizio
Il numero n delle possibili risposte all’intero test (lo spazio
campionario) è pari a
n = Dr4,25 = 425
Cerchiamo adesso quante di queste hanno esattamente k
risposte esatte. Ci sono
25
k
Inoltre, fissate
possibili scelte per le k risposte esatte.
le k risposte esatte, le restanti 25 − k dovranno risultare
sbagliate e questo può accadere in
325−k
modi diversi.
35 / 43
Esercizio
Il numero n delle possibili risposte all’intero test (lo spazio
campionario) è pari a
n = Dr4,25 = 425
Cerchiamo adesso quante di queste hanno esattamente k
risposte esatte. Ci sono
25
k
Inoltre, fissate
possibili scelte per le k risposte esatte.
le k risposte esatte, le restanti 25 − k dovranno risultare
sbagliate e questo può accadere in
325−k
modi diversi.
25 25−k
P(k esatte) =
3
/425
k
35 / 43
Esercizio
Valutando, per k = 0, 1, . . . , 15, la formula precedente, si
ottiene:
k
0
P(k esatte) 0.0008
k
8
P(k esatte) 0.124
1
0.006
9
0.124
2
0.025
10
0.078
3
0.064
11
0.041
4
0.118
12
0.019
5
0.165
13
0.007
6
0.183
7
0.165
14
0.0007
15
0.0002
36 / 43
Esercizio
È più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro dadi o ottenere un doppio 6 lanciando due dadi ventiquattro
volte?
37 / 43
Esercizio
È più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro dadi o ottenere un doppio 6 lanciando due dadi ventiquattro
volte?
Dato che il rapporto 4/6 tra numero di lanci e numero di risultati possibili era lo stesso in entrambi i giochi, si riteneva
che i due eventi dovessero avere uguale probabilità.
37 / 43
Esercizio
È più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro dadi o ottenere un doppio 6 lanciando due dadi ventiquattro
volte?
Dato che il rapporto 4/6 tra numero di lanci e numero di risultati possibili era lo stesso in entrambi i giochi, si riteneva
che i due eventi dovessero avere uguale probabilità.
Per risolvere questo esercizio facciamo uso della proprietà
P(CΩ (A)) = 1 − P(A)
37 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
Mentre gli elementi di C (A) sono
Dr5,4 = 54
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
Mentre gli elementi di C (A) sono
Dr5,4 = 54
Segue che
P(C (A)) =
56
66
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
Mentre gli elementi di C (A) sono
Dr5,4 = 54
Segue che
56
P(C (A)) = 6 =
6
4
5
6
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
Mentre gli elementi di C (A) sono
Dr5,4 = 54
Segue che
56
P(C (A)) = 6 =
6
4
5
6
da cui
P(A) = 1 − P(C (A))
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
Mentre gli elementi di C (A) sono
Dr5,4 = 54
Segue che
56
P(C (A)) = 6 =
6
4
5
6
da cui
4
5
P(A) = 1 − P(C (A)) = 1 −
6
38 / 43
Sia
A = {si ottiene almeno un 6 lanciando quattro dadi}
Il complementare di A è
C (A) = {non si ottiene alcun 6 lanciando quattro dadi}
Per calcolare la probabilità di C (A) osserviamo che gli elementi dello spazio campionario sono
Dr6,4 = 64
Mentre gli elementi di C (A) sono
Dr5,4 = 54
Segue che
56
P(C (A)) = 6 =
6
4
5
6
da cui
4
5
P(A) = 1 − P(C (A)) = 1 −
= 1 − 0.482 = 0.518
6
38 / 43
sia
B = {si ottiene un doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
e
C (B) = {non si ottiene alcun doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
39 / 43
sia
B = {si ottiene un doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
e
C (B) = {non si ottiene alcun doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
Per ogni lancio dei due dadi ci sono Dr6,2 = 36 risultati possibili che, nei ventiquattro lanci, diventano
Dr36,24 = 3624
39 / 43
sia
B = {si ottiene un doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
e
C (B) = {non si ottiene alcun doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
Per ogni lancio dei due dadi ci sono Dr6,2 = 36 risultati possibili che, nei ventiquattro lanci, diventano
Dr36,24 = 3624
Il numero di elementi di C (B) è
3524
39 / 43
sia
B = {si ottiene un doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
e
C (B) = {non si ottiene alcun doppio 6 lanciando due dadi 24 volte}
Per ogni lancio dei due dadi ci sono Dr6,2 = 36 risultati possibili che, nei ventiquattro lanci, diventano
Dr36,24 = 3624
Il numero di elementi di C (B) è
3524
Segue che
35
P(B) = 1 − P(C (B)) = 1 −
36
24
= 1 − 0.508 = 0.492
39 / 43
Esercizio
Calcolare la probabilità di ottenere 2 o 3 lanciando due
dadi.
40 / 43
Esercizio
Calcolare la probabilità di ottenere 2 o 3 lanciando due
dadi.
Lo spazio campionario ha 36 elementi.
40 / 43
Esercizio
Calcolare la probabilità di ottenere 2 o 3 lanciando due
dadi.
Lo spazio campionario ha 36 elementi.
Gli eventi
A = {si ottiene almeno un 2}
B = {si ottiene almeno un 3}
hanno entrambi 11 elementi.
40 / 43
Esercizio
Calcolare la probabilità di ottenere 2 o 3 lanciando due
dadi.
Lo spazio campionario ha 36 elementi.
Gli eventi
A = {si ottiene almeno un 2}
B = {si ottiene almeno un 3}
hanno entrambi 11 elementi. Quindi
11
P(A) = P(B) =
36
40 / 43
Esercizio
Calcolare la probabilità di ottenere 2 o 3 lanciando due
dadi.
Lo spazio campionario ha 36 elementi.
Gli eventi
A = {si ottiene almeno un 2}
B = {si ottiene almeno un 3}
hanno entrambi 11 elementi. Quindi
11
P(A) = P(B) =
36
Inoltre l’evento
C = {si ottiene almeno un 2 o un 3} = A ∪ B
40 / 43
Esercizio
Calcolare la probabilità di ottenere 2 o 3 lanciando due
dadi.
Lo spazio campionario ha 36 elementi.
Gli eventi
A = {si ottiene almeno un 2}
B = {si ottiene almeno un 3}
hanno entrambi 11 elementi. Quindi
11
P(A) = P(B) =
36
Inoltre l’evento
C = {si ottiene almeno un 2 o un 3} = A ∪ B
P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
40 / 43
Esercizio
A ∩ B = {si ottiene 2 e 3}
ha cardinalità 2, da cui
P(A ∩ B) =
2
36
41 / 43
Esercizio
A ∩ B = {si ottiene 2 e 3}
ha cardinalità 2, da cui
P(A ∩ B) =
2
36
Si ottiene infine
P(C) = P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) =
11 11 2
20
+ − =
= 0.55
36 36 36 36
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Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
42 / 43
Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
42 / 43
Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
A = {almeno due persone hanno lo stesso compleanno} ⊂ Ω
42 / 43
Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
A = {almeno due persone hanno lo stesso compleanno} ⊂ Ω
C (A) = {tutti hanno il compleanno in giorni diversi}
42 / 43
Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
A = {almeno due persone hanno lo stesso compleanno} ⊂ Ω
C (A) = {tutti hanno il compleanno in giorni diversi}
nC (A)
42 / 43
Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
A = {almeno due persone hanno lo stesso compleanno} ⊂ Ω
C (A) = {tutti hanno il compleanno in giorni diversi}
nC (A) = D365,p =
365!
(365 − p)!
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Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
A = {almeno due persone hanno lo stesso compleanno} ⊂ Ω
C (A) = {tutti hanno il compleanno in giorni diversi}
nC (A) = D365,p =
365!
(365 − p)!
365!
(365 − p)!
P(C (A)) =
365p
42 / 43
Esercizio: Qual è la probabilità che su p persone, tutte
nate in anni non bisestili, almeno due abbiano la stessa
data del compleanno?
Ogni persona può avere il compleanno in 365 giorni diversi.
#(Ω) = (365)p
A = {almeno due persone hanno lo stesso compleanno} ⊂ Ω
C (A) = {tutti hanno il compleanno in giorni diversi}
nC (A) = D365,p =
365!
(365 − p)!
365!
(365 − p)!
P(C (A)) =
365p
365!
(365 − p)!
P(A) = 1 − P(C (A)) = 1 −
365p
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Calcolando P(A) per alcuni valori di p si trova
p
10
20
23
50
60
100
P(A) 0.116 0.411 0.507 0.970 0.994 0.999
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