APPUNTI FUNZIONI ECONOMICHE –CLASSE 4BTU Anno

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L’ECONOMIA E LE FUNZIONI
DI UNA VARIABILE
APPUNTI FUNZIONI ECONOMICHE –CLASSE 4BTU Anno Scolastico 2015-2016
Variabili continue : la variabile d’azione può assumere qualunque valore reale compreso in un
certo intervallo,dovuto ai vincoli tecnici e di segno
Variabili discrete: la variabile d’azione deve assumere valori nell’insieme dei numeri naturali
Funzioni economiche dipendenti da una variabile : FUNZIONI DI COSTO E RICAVO
COSTI DI PRODUZIONE
Nella produzione di un bene un’impresa sostiene vari tipi di costi; più precisamente si considerano
costi fissi e costi variabili.
I costi fissi C f sono costi che non variano al variare della quantità prodotta x.
Sono esempi di costi fissi il costo di un macchinario, l’affitto dei locali di produzione,…
Poiché i costi fissi sono indipendenti dalla quantità di bene prodotta, C f è funzione costante di x
(dove x rappresenta la quantità di merce prodotta e viene considerata variabile indipendente) ;il suo
grafico è una semiretta parallela all’asse x che si trova nel primo quadrante (essendo x  0 e i costi
fissi non negativi).
C
Cf
x
I costi variabili C v  C v (x) sono costi che variano al variare della quantità prodotta x con x  0 .
Sono esempi di costi variabili i costi sostenuti per le materie prime, per i consumi di energia,…
I costi variabili aumentano all’aumentare della quantità di bene prodotta; quindi Cv è una funzione crescente
di x.
Essendo Cv (0)  0 (ciò corrisponde al fatto che se non si produce i costi variabili sono nulli).
il costo totale CT relativo alla produzione di una certa quantità di un bene è la somma dei costi
variabili e fissi che un’impresa sostiene per produrre una determinata quantità x di un bene
CT ( x)  C f  C v ( x) con x  0
Il costo totale CT è una funzione crescente della quantità x di bene prodotto, in quanto i costi variabili
aumentano all’aumentare della produzione.
Poiché ponendo x  0 si ottengono i costi fissi , cioè CT (0)  C f ,
FUNZIONI DI COSTO TOTALE
Consideriamo i seguenti tipi di funzioni costo totale:
Retta
C T ( x)  ax  b con a  0, b  0 definita per x  0
In tal caso i costi variabili sono direttamente proporzionali alla quantità prodotta.
Il suo grafico corrisponde ad una semiretta
CT
C
Cv
Cf
Ad esempio:
C = 50x +
1000
x
CT ( x)  ax2  bx  c con a  0, b  0, c  0
Parabola
In tal caso costi variabili sono direttamente proporzionali in parte al quadrato della quantità prodotta ed in
parte alla quantità prodotta.
Il suo grafico corrisponde ad una parabola di cui si considera solo il ramo crescente.
In particolare se è
CT ( x)  ax2  bx  c con a  0, b  0, c  0 ,

la funzione è definita per x  0 ,
il suo grafico è un arco di parabola crescente con concavità rivolta verso l’alto
CT
C
Cv
Cf
x
Ad esempio:
C = 0,05x2 + 3x + 45
Oppure, se è

CT ( x)  ax2  bx  c con a  0, b  0, c  0 ,
b
,
2a
il suo grafico è un arco di parabola crescente con concavità rivolta verso il basso.
la funzione è definita per 0  x  
CT
C
Cv
Cf

b
2a
x
Ad esempio:
C =  0,05x2 + 30x + 50
COSTO MEDIO
Il Costo medio (o unitario) relativo alla produzione della quantità x di bene prodotta è il rapporto tra
costo totale CT(x) e la quantità prodotta x
C ( x)
Cm 
con x  0
x
Esso può essere visto come il costo di ogni unità di bene prodotta.
Esaminiamo i due tipi di funzioni costo medio che corrispondono ai tipi di funzione costo totale visti in
precedenza.
Se
C ( x)  ax  b ,
Cm 
si ha:
b
a
x
Il suo grafico è un ramo di iperbole equilatera che ha per asintoti l’asse y e la retta di equazione y  a ; tale
funzione è sempre decrescente e non ha minimo (l’unico limite viene dalla capacità produttiva).
Cm
a
x
Si può osservare che, al crescere della quantità prodotta, il costo medio tende a diventare uguale al costo di
un’unità, dato che i costi fissi sono ripartiti su quantità sempre più grandi e, quindi, incidono sempre meno
sul costo di produzione del bene.
Se C( x)  ax2  bx  c , si ha C m  ax 
c
b
x
Il costo medio è una funzione “somma” (“somma” di una retta e un’iperbole equilatera) il cui grafico è
un’iperbole non equilatera che ha per asintoti l’asse y e la retta di equazione y  ax  b ; tale funzione è
prima decrescente e poi crescente con un punto di
minimo per xmin 
c
.
a
Cm
x min
rispetto a
x
Matematicamente questo si spiega osservando che nell’equazione è presente il
termine ax che cresce all’aumentare di x e, da un certo punto in poi, “prevale”
rispetto agli altri termini che concorrono a determinare C m (in particolare
c
)
x
Il punto di minimo della funzione costo unitario è chiamato anche punto di fuga; infatti se il prezzo di
vendita unitario del bene considerato fosse minore del costo minimo unitario, l’azienda sarebbe in perdita e
dovrebbe uscire dal mercato.
Se vi sono vincoli   x   e xmin 
c
a
è interno all’intervallo allora è l’ascissa del punto di
minimo della funzione ,altrimenti l’ascissa si trova agli estremi dell’intervallo cioè o  oppure  .
COSTO MARGINALE . è la variazione del costo totale che risulta da una variazione infinitesima
della quantità prodotta.
Se y = C(x) è il costo totale,il costo marginale è la sua derivata rispetto alla quantità prodotta. La
curva del costo marginale risulta generalmente crescente o costante al crescere di x. Le curve del
costo medio e del costo marginale si intersecano nel punto di fuga
C( x )
C' (x)  x - C(x)
y' 
Infatti y 
il valore di minimo va ricercato nei punti stazionari e
x
x2
C(x)
quindi y'  0  C' (x) 
la derivata del costo medio si annulla nel punto di minimo ,cioè
x
accade quando costo medio =costo marginale, cioè nel punto di fuga .
Funzione ricavo y = R(x) = px
-Se il prezzo di vendita p dipende da x ,si dice che il bene è venduto in REGIME DI MONOPOLIO
poiché il singolo produttore è in grado di influenzare l’offerta e quindi il prezzo
y  R( x)  f ( x) x con p  f ( x), x  0
-Se il prezzo di vendita è costante p,si dice che il bene è venduto in regime di CONCORRENZA
PERFETTA in quanto non dipende dalla quantità x che il produttore vende
y  R( x)  px x  0 p  0
Funzione guadagno o utile o profitto U(x) = R(x)-C(x) economicamente è importante
determinare per quale quantità prodotta si ottiene il massimo utile ed entro quale intervallo si deve
mantenere la produzione per non essere in perdita
( si deve porre U(x) =R(x)-C(x)  0 R(x)  C(x))
U ( x)  mx  q q  0 con vincolo   x  
U(x)  ax 2  bx  c con vincolo   x  
xv  
b
2a
a0
ESERCIZI
Considera la seguente funzione del ricavo:
R(q) = – 18q2 + 96q.
Determina:
a) la funzione del ricavo medio;
b) la funzione del ricavo marginale;
c) il massimo della funzione del ricavo;
d) i valori del ricavo medio e del ricavo marginale in corrispondenza alla produzione di 2 unità di
merce.
[a) Rm(q) = – 18q + 96; b) Rma(q) = – 36q + 96;
c) Rmax = R(2,67) = 128; d) Rm(2) = 60; Rma(2) = 24]
Considera la funzione del costo totale:
C(q) = 0,48q2 + 38q + 174.
a) Determina la funzione del costo medio.
b) Individua la funzione del costo marginale.
c) Ricerca, qualora esista, il minimo della funzione del costo medio.
Infine verifica che i grafici della funzione del costo medio e del costo marginale si intersecano in
corrispondenza del punto in cui la funzione del costo medio assume il minimo.

174

 a) Cm(q) = 0,48q + 38 + q ; b) Cma(q) = 0,96q + 38; c) min Cm = Cm(19,039) = 56,278 


LA FUNZIONE DEL COSTO
Per produrre beni, una azienda sostiene costi fissi pari a € 35 000 e costi variabili pari a €
0,22 per ogni unità prodotta. Scrivi la funzione del costo, rappresentala graficamente e
determina il costo totale corrispondente alla produzione di 120 000 unità produttive.
[C(q) = 0,22q + 35 000; C(120 000) = 61 400]
IL COSTO MEDIO E IL COSTO MARGINALE
Considera la funzione del costo totale:
C(q) = 0,4q + 120.
Determina:
a) la funzione del costo medio;
b) il costo totale e il costo medio relativi alla produzione di 1220 unità.


0,4q  120
; b) C(1220) = 608; Cm(1220) = 0,498 
 a) Cm(q) =
q


Considera la funzione:
d ( p)  
a)
b)
c)
d)
1 2
p  300 .
4
Scrivi i prezzi positivi p per i quali essa è adatta a rappresentare una funzione della domanda.
Determina il coefficiente di elasticità 12 per passare dal prezzo p1 = 1 al prezzo p2 = 30.
Stabilisci se la domanda in p1 è rigida, elastica o anelastica.
Stabilisci se la domanda in p2 è rigida, elastica o anelastica.
[a) 0 ≤ p ≤ 34,64102; b) 12 = – 0,02585; c) rigida; d) elastica]
Considera la funzione:
d ( p)  
a)
b)
c)
d)
1 2
p  400 .
3
Scrivi i prezzi positivi p per i quali essa è adatta a rappresentare una funzione della domanda.
Determina il coefficiente di elasticità 12 per passare dal prezzo p1 = 1 al prezzo p2 = 30.
Stabilisci se la domanda in p1 è rigida, elastica o anelastica.
Stabilisci se la domanda in p2 è rigida, elastica o anelastica.
[a) 0 ≤ p ≤ 34,64102; b) 12 = – 0,02585; c) rigida; d) elastica]
IL PREZZO DI EQUILIBRIO
Assegnate le funzioni:
d ( p)  5 p  375 , h( p )  7 p  250 ,
a) dopo aver osservato che sono adatte a rappresentare una funzione della domanda e una
funzione dell’offerta, determina il prezzo di equilibrio.
b) Stabilisci l’entità della domanda e dell’offerta relative al prezzo di equilibrio.

625
 625 
 625  1375 
 a) p = 12 ; b) d  12  = h 12  = 12 






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