RIFLESSIONI SUL DILEMMA FINiTOIINFINITO
Francesco Speranza
l. L'ANTIeHITA'
In questo seminario non tcnterò di esporre sistematicamente il
problema: mI limiterò ad alcune osservazioni che possono risultare
stimolanti,
potuto
specialmemte
seguuc
strade
quando
fanno
diverse
nel
intravvederc
dare
che
avremmo
al
dilemma
risposte
finito/infinito.
Quasi sicuramente furono
modo
tn
il
razionale
i
greci
filosofi
dilemma.
La
prtmi a conceplle
1
parola
"infinito'"
aveva,
di
fatto, significati diversi:
al infinitamente numeroso,
bl infinitamente esteso,
cl illimitato, nel senso di "privo di confine''',
d] infinitamente divisibile.
Fra questi significati vi sono alcune ovvie implicazioni (per
esempIo, se è vera bl, è vera anche aJ). Si osservi che il primo è
invariante
quindi
per
biiezioni.
il
per
secondo
UDa struttura metrica),
il
per
terzo
(e
isometrie
logiche (e richiede UDa struttura topologica).
richiede
trasformazioni
Questo
topo-
spiega come
mal• gli antichi abbiano avuto qualche CUriosa incertezza fra l'uno
e
l"altro
significato:
il
pensare
per
strutture
una
è
caratteri-
stica della matematica di oggi.
Si può attribuire a confusioni di
questo tipo lo stupore suscitato
nei principianti, ancora oggi -
da constatazioni come queIJa dcll"cquipotenza di IN e di
Questi
più.
significati
filosofici
che
sfumano,
matematici,
conoscibile con completezza'"
termine
'" a1C&lpolT',
del
In
alcuni
pensatori,
per esempio
per
è
verso
altri
"'indeterminato"'"
"'non
15): essi sono espreSSi dal
([12]. p.
quale
«).
•
DOI
difficile
valutare
la
porrata.
Nei
tempi
"'l'infinito
più.
esiste'",
antichi
erano
"'l'infinito
presenti
non
entrambe le
esiste"'.
A
concezioni:
favore
della
•
seconda sembra
·se
mancasse
Aristotele
fisici
dice
Cl
hanno
l'argomento
Secondo
d'altra
gli
e
quclli
l'infinito
Platone.
che
hanno
principio
canto
discusso
delle
cose
una sostanza
l'infinito
continua
é
perché
D'altro
che
l'infinito è
considerano
non
qualcosa
mancherebbe·.
"tutti
considerato
parte
ma
tutto
che
Pitagorici
1
sostanza.
limite
il
limitato,
l'Essere è
stato Parmenide:
Sia
come
I
•••
una
•••
contatto.
per
•••
Questa
l'opinione di Anassagora e di Democrito" [lJ.
I
pitagorici,
finito/infinito.
ricorda
Cl
ponevano
ancora
Aristotele.
quest'ultimo
fra
nella
dicotomia
entità
le
con
connotazione negativa. iniziando così una lunga tradizione.
"Fra
paradossi
1
sull'infinito:
la
devi fare la
di
Zenone.
"dicotomia"
alcuni
(se
sono
percorri
tipicamente
un
tratto,
metà, poi la metà della metà,
centrati
prima
ne
... all'infinito); la
"freccia" (una freccia in ogni istante occupa una certa posizione,
quindi
quell'istante
10
}'"Achille"; la
infinitamente
ferma:
è
dunque
"pluralità" (se la realtà è
piccola.
perché
sempre
è
ferma);
molteplice. deve essere
composta
da
indivisibili
senza
grandezza; ma anche infinitamente grande. perché fra due parti ce
ne deve essere una terza. e cosi via all'infinito).
Aristotele
affronta
il
problema
dell'infinito
con
il
suo
stile
che ricorda un rullo compressore. Dopo avere rammentato cinque
argomenti
a
esempio.
una
aumentati),
favore
della
grandezza
SI
tesi
o
propone
un
di
dell'esistenza
dell'infinito
numero
possono
sempre
demolirla.
con
argomenti
(per
essere
che
assomigliano molto a quelli di Don Ferrante nei "Promessi Sposi"
(ovviamente questi conosceva bene i testi di
è
l'argomentazione
finale
contro
l'esistenza
Aristotele).
d'una
•
composta di
infiniti corpi di grandezza finita:
10
Curiosa
realtà
infinita
tal caso. dice
Aristotele, avremmo infiniti luoghi senza un alto né un basso né
alcun'altra
eiementi,
prova"
direzione.
che
[1].
nonché
sarebbero
Insomma.
un
infinito
iDconoscibili.
sarebbe
violato
"del
il
numero
che
non
principio
di
differenti
c'è
base
alcuna
della
cosmologia aristotelica. un "cosmo" bene ordinato con un centro. e
quindi con significato intrinseco per le parole lOaltolO e "basso H.
La conclusione è
un compromesso (fra le tesi dell'esistenza e
della non esistenza) che possiamo dire geniale, e che deve aver
soddisfatto Aristotele in quanto si inquadrava in una
generale.
L'infinito
non
esiste
/fin
atto/f,
ma
/fin
sua teoria
potenza/f,
nel
senso che. per esempio, dato un numero ve n'è sempre uno che lo
supera (·una cosa viene da un'altra senza fine, e ciascuna di esse
finita,
è
ma ve ne sono sempre di nuove").
Per le grandezze.
invece, ce n'è (per ogni specie) una massima (il cosmo è (mito),
ma abbiamo un infinito per divisione (dato un segmento e una sua
suddivisione, se ne può trovare una più fine).
fisica
La
di
Aristotele
ha
dunque
influenza
sulla
sua
matematica.
Ma
al
organico
tempo
e
di
Aristotele
autonomo
indirette,
ma
l'infinità
dello
la
sappiamo
spazio
si
era
matematica:
che
il
dicendo:
già
ne
sviluppata
abbiamo
matematico
Harrivato
solo
Archita
al
limite
modo
1D
notizie
sosteneva
della
sfera
delle stelle fisse, posso spingere oltre una mano? E' assurdo che
non lo possa fare, e se lo posso. al di fuori ci deve essere un
corpo o lo spazio ..... [6]. Ma per Aristotele fuori del cosmo non
c'è alcunché. neppure lo spazio vuoto. perché (come non c'è materia
senza estensione) non c'è estensione senza materia. L'obiezione di
Archita suonava un po', a parer mIO, come il trucco degli scrittori
di
fantascienza
cbe,
per
superare
distanze
interstellari,
fanno
uscire le astronavi neU'iperspazio.
In
Euclide
SI
può
notare
un
democriteo-platonica
e
sempre
vale a· dire
II'terminata·.
quella
aristotelica.
prolungabile (postulato 2). Anzi,
dire
/findefinitamente
prolungata
compromesso
H
è
VI
un
Una
fra
la
.rettall'
segmento,
ma è
sono OCCaSl0nl in cui
(come
nella
parallele, e più esplicitamente nel postulato 5).
maI della totalità dei punti d'una retta,
definizione
posizione
è
quasi
sempre
81
deve
di
rette
Euclide non parla
e tanto meno dice cbe
essa ha infiniti punti: si potrebbe dire cbe i punti appanengono a
UDa
retta
"potenzialmente"
punti), ma non II'in atto·.
(su
una retta
si possono prendere dei
Si osservi che il SO libro degli Elemcmi di Euclide contiene
la
teoria,
attribuita
Di fatto essa è
punto
di
(come
a
Eudosso,
proporZIonI
fra
grandezze.
equivalente alta teoria dei numeri reali:
vista
sintattico essa
sono
delle
le
classi
evita
di
di
parlare di
Dedekind),
anche
ma dal
classi
se
infinite
si
fanno
quantificazioni su IN.
L'impostazione
matematica
della
dalla
SCIenza
fisica:
la
la
seconda
astrazioni
che
per
l'armonia
pitagorico-platonica
greca
pnma
poteva
SI
non
fra
tendeva
avevano
mondo
a
separare
permettere
senso.
ideale
e
Si
la
delle
spezzava
mondo
fisico:
Aristotele arrivava ad affermare che "Ia matematica non è lo stile
delle scienze delta natura". 11 problema si presenta anche Oggi, e
la filosofia della scienza ha. dovuto escogitare nuove spiegazioni.
2. RINASCIMENTO ED ETA' MODERNA
Durante il Medioevo prevalse la concezione di un cosmo "finito,
chiuso
e
gerarchicamente
espresso
dalle
ordinato"
il
(12),
qualitative
caratteristiche
significato
CUI
dci
luoghi
che
è
lo
compongono.
rivoluzione
Una
fu
compiuta
Nicolas
da
Krebs,
detto
Nicola
Cusano, vescovo di Bressanone. L'universo non ha limiti (e quindi
resterà
inconoscibile
sempre
è
principale).
Qualunque punto può
non
la
vi
sono
distinguere moto
che
l"universo
luoghi
e quiete
è
più
titolo
della
per
sua
VIa
opera
esserne considerato il centro, e
o
meno
assoluti.
sostanzialmente
interezza
sua
ignoranza",
razionale:
quindi
"dotta
nella
nobili,
Giordano
omogeneo,
né
Bruno
popolato
si possono
sostenne poi
da
infiniti
astri, probabilmente centri di sistemi planetari.
A differenza di Cusano e di Bruno, i petrol scienziati novatori
non lo furono sul tcma delI'infinità dello spazio. Copernico fu un
rivoluzionariO' molto
prudentc:
non
abbandonò
il
principio
che i
movimcnti degli astri fossero composizioni di movimcnti circ"olari.
Pcr lui l'universo ha la forma d'una sfera, anchc se al di fuori
di essa c'è
pur sempre spazio.
Per quanto
astronomiche,
sappiamo che Aristarco
conccrne lc misure
aveva escogitato dci mctodi
(concettualmente
considerazione
2000
in
validi)
per
piuttosto
raggi
valutarne
e
era
arrivati
SI
approssimativa
terrestri
alcune,
l'ordine
di
con
grandezza
qualche
a
stimare
dell'universo.
Copernico si trovò di fronte a un'obiezione.
Nell'ambito
copernicana
sistema
del
sono
modelli
le
solare,
teorie
cinematica mente
e
tolemaica
equivalenti,
nel
senso
che sono traducibili l'uno nell'altro. Ci si può tuttavia chiedere
. . . ..
.
\
••
•
.
,
•
•• •
...
f
..........................................................
_c.:
TZ
Che cosa vedrebbe un osservatore posto su una stella (così
telescopio
Galileo
vide
Oio-..,).
Secondo' i1'" ;sistema
vedere
al
Terra,
dalla
dell'orbita
(1a differenza è
poteva
fosse
pensasse,
m
di
••
SI
•
che
portato così
di
volte
modo
che
più
non
m
punti
opposti
sulla
volta
celeste
trova
diverse
POSIZ10Dl
l'obiezione
egli fu
migliaia
questa
la cosiddetta parallasse).
muovere
osservata:
l/pianeti medicei>l ruotare intorno a
••
•
una stella SI dovrebbe
ellocentnco,
l
quando
terrestre,
come
Ebbene, a Copernico si
nessuna
parallasse
era
stata
a dover ammettere che il cosmo
grande
SI
di
quanto
osservavano
effetti, la prima fu riscontrata solo nel
normalmente
SI
parallassi
(in
le
1838, ed era inferiore a
l").
Galileo,
e
sull'infinità
metodologicamente
dell'universo,
corretta:
provato che il mondo è
altro
in
passo, dopo
favore
dell'una
finito
ha
l'Né
...
VOi
una
né
posIzione
alcun
dell'altra
ha
o infinito ... l' (12), e
aver riconosciuto che vi sono
e
altro
prudente
tesi,
dichiara
di
10
mal
un
"argute ragioni"
propendere
per
l'infinitezza proprio a ragione della sua incomprensibilità.
Ma veniamo ad alcune di queste "ragionil' . Vediamo quelle di
Keplero. Egli osserva che (11)
30
al
maggiori
Le
grandezze
apparenti
delle
stelle
.sono
dell'ordine di l' (noi vediamo secondo ampiezze angolari!)
bl VI .sono coppie di tali stelle che distano apparentemente
di circa 83'.
Un
osservatore
posto
nelle
VICinanze
d'una
di
esse
vedrebbe
l'altra circa 80 volte più grandi di quanto le vediamo noi, cioè
con
un
visto
diametro
dalle
apparente
altre
stelle,
triplo
di
quello
del
Sole.
apparirebbe
quindi
popolato
Il
cielo,
da
stelle
molto più grandi di quelle che vediamo noi.
Il
sistema solare si
trova
quindi,
per
cosi
dire,
entro
una
cavità vuota di stelle. e c'è un buon motivo per ritenere cbe si
trovi proprio al centro. Quella che i Greci dicevano ·via Lattea·
e i medioevali ·via di San Giacomo· (collegandola ai pellegrinaggi
a San Giacomo de Compostela) appare più o meno la stessa in tutte
le direzioni.
Alle
argomentazioni
delJe
stelle
di
"'grandi'"
KepJero
SI
potrebbe
poteva
essere
obiettare
molto
che
più
una
distante
dell'altra che vista da noi Je sembra vlcma.
Ma allora dovrebbe
essere molto più
ci sarebbero quindi
grande anche nella realtà:
stelle sempre più grandi via via che
allontaniamo. e il luogo
CI
del sistema solare sarebbe sempre Hspeciale·.
Purtroppo
telescopi
aumentare
(e
la
per
Keplero,
la
premessa
poi
anche
quelli
più
grandezza
apparente
al
è
sbagliata:
potenti)
delle
non
stelJe,
I prmu
hanno
perciò
fatto
qualunque
valutazione di questa è inattendibile.
Keplero si pone anche due domande:
• Non potrebbe qualcuna delle stelle visibili distare da nOI di
un intervallo infinito?·
La
risposta
stella
negativa è
dovrebbe
essere
abbastanza
infinito,
e
semplice:
questo
il
è
diametro
impossibile
della
per
ragioni di principio.
La domanda stessa è
retta
è
distanza
illimitata,
infinita!
sorprendente: quando nOi diciamo che una
non
La
intendiamo
nostra
dire
illimitatezza
che
è,
esistano
rispetto
punti
a
a
quella
sottintesa dalla domanda di KepJero, potenziale, anche se va oltre
queUa di Euclide.
31
"'E
se
vi
fossero
stelle
di
grandezza
finita
sparse
su
spau
infiniti e quindi da un certo punto in poi invisibili?'"
Delle
ragioni
che
Keplero
dà
per
sostenere
la
risposta
negativa, una è di carattere epistemologico: "se non si vedono, non
riguardano
la
l'astronomia".
tradizione
limitata
verso
Un 'altra
aristotelica:
il
"
basso,
se
verso
fa
la
(1a
sentire
come
pesasse
regione
delle
stelle
cavità
che
contiene)
ancora
fisse
il
è
nostro
mondo, perché non dovrebbe essere limitata verso l'alto?" [11]
"'L•"'alto'"
e
essenziale:
il
"basso....
aristotelici
eppure Keplero è
giocano
ancora
un
ruolo
stato il rivoluzionario che ha osato
abbandonare il principio della circolarità dei movimenti celesti.
terza ragione è
La
piuttosto singolare:
tutte assieme,
le stelle
costituirebbero un corpo infinito (anche come materia): ma ciò che
infinito manca di limite, e quindi anche di dimensioni (riceco
è
l'a1telpop!)
3. IL GRANDE MOMENTO DELLA "NUOVA SCIENZA"
Come si
in
quanto
fisica:
vede.
in
quei
"illimitato"'.
Tuttavia.
per
secoJi
e
in
Newton
l'infinito
interessava soprattutto
particolare
lo
spazIo
applicato
il
e
tempo
alla
realtà
"'veri '"
sono
quelli "'matematici'" e assoluti.
Cartesio, Newton e Leibniz sono per un Universo infinitamente
esteso. il metodo cartesiano. facendo corrispondere numeri e punti
d'una retta. tende a far pensare
insiemi.
Leibniz
particolare
con
la
quello
inoltre
per
sua teoria
dichiara
SI
divisione,
delle
analoghi~
monadi:
convinto
esiste
la
e cioè infiniti. i loro
in
realtà
che
atto
non
l'inflDito.
10
(concordemente
solo
divisibile
SUcceSSI
graZie al
all'infinito, ma è effettivamente divisa).
Intorno al 1830. mentre l'astronomia mieteva
metodi newtoniani, Wilhelm Olbers sviluppò un'argomentazione "'di
plausibiJità'" nello stile di quella di Keplero.
A
fossero
quell'epoca
distribuite
SI
riteneva
ragionevole
abbastanza
32
supporre
uniformemente
che
le
stelle
nell'universo.
Oggi
SI
sa
che
"galassie"
sono
"stelle".
a
sferiche,
di
raggruppate
raggio
Immaginiamo
R,
2R,
3R,
volume compreso fra l' n-esima e
..
33
33
3 n [ (n + l) R - n R l
In
base
galassie,
In
all'ipotesi
2
alloca
successIOne
sostituire
di
superfici
con centro nella Terra.
(n + l)-sima
l'
3 n [3n
di
una
... ,
...
Cioè
basta
+
superficie è
3
+l
3n
uniformità
]R .
della
+
il
distribuzione,
numero delle stelle comprese nello strato è proporzionale a 3n
3n
il
2
+
l, cioè, per o grande, approssimativamente al quadrato di n.
Possiamo ammettere che in ogni
strato
sia
e
statisticamente
la
stessa,
la luminosità delle stelle
quindi
che
anch'essa
Sia
proporzionale al quadrato della distanza. Ma la luce che arriva a
noi
viene
da
quindi
luce:
ridotta
ogm strato
gli
infinito
proporzionalmente al
strati
calore).
ci
sono
arriva
infiniti,
Per nostra
e
quadrato
della distanza,
a11'incirca
la
quindi
arriva
fortuna,
ci
quasto
e
stessa quantità di
non
infinita
accade!
luce
(Ma
(e
che
cosa avrebbe detto un novello Parmenide?)
Dobbiamo
cercare
dell'uniforme
di
distribuzione
ragloo
che
Sia
luce
ha
velocità
•
Cl
si
luce
lontani.
anche
che
CI
un
"'principio
al
motivo
Quella
perché
la
Inoltre, già al tempo di Olbers
nell'argomentazione SI ammette che
ammette
nascoste.
appoggIare
vede
si
uniforme.
la
ipotesi
potrebbe
51
non
sufficiente":
distribuzione non
sapeva
eventuali
arriVI
finita,
e
SI
poiché
••
arnvi
luce da ogni strato,
da
tempi
arbitrariamente
Basta supporre che l'universo esista da un tempo finito,
per sciogliere il paradosso.
Se
l'universo
fosse
finito,
il
volume
deI1'n-esimo
strato
non
2
sarebbe più proporzionale a n . anzi, da un certo livello in poi
il volume dello strato diminuirebbe. Però la luce circolerebbe più
volte nell'universo ...
4. QUALCHE PRECISAZIONE METODOLOGICA
Abbiamo
un 'ipotesi,
visto
una
alcune
tcoria
argomentazioni,
possono
essere
33
basate
sottoposte
su
a
certe
ipotesi.
controllo:
SI
parla di
"verifica" quando il risultato è
tuttavia
indurre
speciali,
non
corretto
in
perché,
possibile
è
parlare
errore,
di
salvo
controllarc
falsificazione,
positivo:
perché
situazioni
in
tutti
I
un
la parola può
casi.
solo
molto
E'
Invece
caso· negativo
dovrebbe confutare l'ipotesi.
Ebbene,
l'affermazione
inverificabile,
o
che
meglio
che ci sono punti
qualcosa
incontrollabile.
oltre ogni
limite,
infinitamente
è
Non
esteso
possiamo
è
constatate
o che qualcosa può
essere
divisa al di là di qualsiasi divisione già realizzata.
Corrispettivamente,
fatto
(il
livello)
che
la
sono
la
finitezza
materia
sia
infalsificabili.
(all'estensione
o
alla
dcII 'universo,
divisibile
Anche
solo
se non
suddivisibilità),
e
fino
a
un
certo
trovato
limiti
ulteriore
passo
abbiamo
con
un
l'atomismo
potremmo toccare questi limiti.
Fin
qUI
abbiamo
parlato
di
ipotesi
prese
isolatamente.
Di
solito le troveremo inserite in una teoria più complessa, per CUI
l'alternativa
finito/infinito
un'alternativa
sottoponibili
nella
fra
a
teoria
limitato
se
soglia,
e
controllo
della
la
non
dell'ipotesi,
perché
e
relatività
vIceversa.
delle
Ma
una
masse
la
. tipo
delle
due).
lo
fosse
ottenuta
un 'altra
la
esempIO,
una
certa
conseguenza
falsificazione
nell'ambito
ipotesi
e
risulterebbe
a
una
automaticamente
falsa
Per
spazio
di
in
diverso,
superIore
falsificazione
la conseguenza è
essere
di
generale,
comporta
potrebbe
rispecchiarsi
possibilità
(almeno
somma
dell'ipotesi
teoria,
due
potrà
di una
implicita
nella
teoria.
Non
abbiamo
accezione:
come
esperienza
mai
diretta dell'infinito,
parliamo
di
infinito?
in
Si
qualunque sua
tratta
di
una
estrapolazione, per usare un termine matematico. Ci accorgiamo che
a uno degli insiemi che usiamo comunemente possiamo aggiungere un
nuovo elemento; generalizziamo il fatto, e diciamo che un numero
ha sempre un successivo. Vediamo che un segno sulla carta si può
prolungare: idealizzando e generalizzando, diciamo che un segmento
si
può
prolungare,
anzi
addirittura
tutti questi prolungamenti, una retta.
che
esiste
la
"chiusura"
di
5. L'INFINITO MATEMATICO
Galileo
si. interessò
al
problema
dell'infinito
da
diversi punti
di vista. Uno è ben noto: associamo a ogni numero naturale il suo
quadrato, otteniamo una corrispondenza biunivoca fra l'insieme dei
naturali
e
quallo
dei
abbiamo
un
esempio
osserva
che
questa
quadrati,
di
che
"parte che
difficoltà
ne
una
è
uguale
è
proviene
al
pane
propna:
tuttalt':
Galileo
dall'applicare
aU'infinito
gli stessi attributi dcI finito.
Meno
nota
l'argomentazione
è
poligono regolare e una retta r
delle
"ruote".
Prendiamo
un
che contiene uno dei suoi lati.
immaginiamo' di farlo "rotolare" lungo la r. Prendiamo un poligono
omotetico, con lo stesso centro, più piccolo, e sia s la retta del
lato parallelo a r. Nel rotolamento, i lati del poligono minore si
vanno
tratti
a
N
sovrapporre
non tocchi N •
diventano
più
ad
alcuni
piccoli
questi
SI8
concentriche,
"che
(affermazione
impensabile
nella
greco
punto
intervallati
da
l'aveva
fatta)
che
san
quelli.
poligoni
tradizione
accade
una
Prendiamo
di
lati
euclidea,
cosa
due
infinitii'
anche
inaspettata:
se
ogni
s viene toccato dal rotolamento della circonferenza
della
mlDore.
s,
di
Aumentando il numero dei lati del poligono.
circonferenze
qualche
segmenti
Noi spieghiamo questo fatto dicendo che questa slitta su
s, vale a dire che il punto di contatto ha velocità istantanea non
nulla:
di
neghiamo di fatto che qui si possa applicare il "principio
continuità"
(quello
che
accade
per
ogm
valore
n
di
deve
accadere anche per n tendente all'infinito).
Galileo,
linea
per
passata
pareggiata
minore,
io.
ma
salvdre
dagl'infiniti
lunghezza
da. questi
principio,
il
lati
dalla
con
del
linea
fa
un 'ardita
cerchio
passata
ipotesi:
grande
dagl'infiniti
l'interposizione d'altrettanti
...
"la
esser
lati
del
vacui
tra
essi" [9].
Bonaventura Cavalieri, che si considerava discepolo di Galileo,
basò il suo metodo degli indivisibili su· "tutte le sezioni" d'una
35
figura, ottenute con un sistema di rette o (se del caso) di pIan!
paraIJeli.
I
critici
tardarono
a
trovare
possono
si
paradossi
esempIO
applicazioni
IO
ripartire
Settecento è
sull'infUlito.
dei
un
non
po'
Tutto
Come
H
due
a
a
due
(per area).
pieno di veri e propri giochi dei matematici
quali
spregiudicatezza.
"gioco".
appena
segmenti
infiniti
IO
"uguali". e allora i triangoli sarebbero "uguali
n
GuIdino,
per esempIO, due triangoli di uguale altezza e basi
generalizzate:
diverse
per
metodo,
del
esempIO
non
SI
sa
dipende,
d'un
se
ammuare
fondo,
ID
gioco
CUI
o
deplorare
dal
ha
successo
arriso
il
la
del
successo.
citiamo un'argomentazione di Eulero:
o
Sappiamo che sin
se e solo se x è un multiplo intero
2
•
x
+ --
X
l - --
relativo di n . Si ha allora che
... - O (che
31
"
•..'n.•x.) seesoosex
l
è un multiplo non nullo di n.
vae
I
x
Per analogia con un'equazione algebrica di cui si conoscono le
radici
sin X
----X
e,
x
+
= (l - . )(1
~ )(1
'
"
'
"
trasformando il prodotto infinito
•
- -- + -X
l
2
X
31
SI
- •••
= l
+
Uguagliando termine a termine,
IO
X
2
X
- 2'"
--
X
-2'"
+
)(1
)
•••
,
una sene.
(-
,
--- - ...
l
--2
)
+
.'
"
'
"
la pnma uguaglianza dà
l
9 + ...
2
• ••
(risultato corretto I)
Come esempio di gioco senza successo possiamo citare la "serie
di Grandi" l - 1
+ 1 - 1 + .... : se S
è la sua somma, allora si
può (l) scrivere
S -
Cl - l)
+
(l - l)
+ ...
= O ,
ma anche
+
S = l
(-l
+
l)
+
(-l
+
l)
+ ...
~
l ,
o ancora
S = l - (l - l
Oggi
Invece.
è
+
l - ...) = l - S , da cui S -
fin
troppo
facile
bisogna
rifarsi
alto
influenzata
dalla
sorridere
spirito
filosofia .platonica,
di
non
per
1
2
queste
speculazioni:
formalista
CUI
S
"deve
dell'epoca,
esistere".
in qualche modo, e allora si tratterebbe solamente di trovare un
modo per calcolarla; ma ...
Nell'Ottocento,
dell'analisi,
allora,
qualcosa che è
era
programma
il
ripresenta
SI
l'''infinito''
concepi
il
con
uno
oltre ogni
problema
solo
(come
limite?):
di
rigorizzazione
dell'infinito.
Fino
si
aumentare
potrebbe
Bernhard
ad
Bolzano per primo
l'idea di infiniti far loro diversi, senza però (almeno, a
quanto ci risulta) riuscire a indicarli.
Si
potrebbe
dire
che
fino
a
Bolzano
guardarono a1l'infinito stando nel finito,
scorribande:
Oeorg
attuale.
che
Infatti
cardinali
pose
a
lui
e
dominio
il
deve
SI
ordinali
}'equipotenza di
~
filosofi
ma fu
là del limite,
della
il
e
o facendo al più rapide
Bolzano pose le tende al di
Cantar
matematici
matematica
riconoscimento
transfiniti,
sull'infinito
dei
diversi
stabilendo
~
e di V, e la non equipotenza di
anzitutto
e di IR.
Per la maggior parte dei matematici, i numeri transfiniti sono
indiscussi
teorie).
"abitanti"
Non
del
cosi
"mondo
per
gli
3"
poppenano
intuizionisti,
che
mondo
(il
non
delle
riconoscono
la
legittimità di un
discorso che coinvolga totalità che vanno oltre
quelle numerabili.
per esempio,
In
considerazione
definire
in
solo
modo
quei
esplicito
ritengono che sia lecito prendere
numerI
(per
irrazionali
esempio,
che
E'
e).
possono
SI
noto
che
la
cardinalità dell'insieme di questi numen
non può superare quella
di
con
U'-l(cardinalità
alfabeto
finito);
resterà
sempre
deIle
frasi
quindi
"la
inesprimibile
possibili
maggIOr
con
1
un
parte"
mezzI
linguaggio
dei
usuali
numeri
ad
reali
(alcuni
hanno
sulle
gustose
fatti
propn
voluto considerare paradossale questo fatto).
Non
ci
stranezze
soffermeremo
che
SI
(poiché
hanno
sono
ben
generalizzando
note)
all'infinito
del finito, come per esempio l'''alhergo di Hilbert" [14].
6. BELLEZZA DEL FINITO
In
sul
delle
quest'ultimo paragrafo
"finito"
vane
distinguono,
nel
significato
definizioni
fra
gli
mi limiterò
a],
possibili.
insiemi
senza
ad
entrare
Osservo
finiti,
alcune consideraz.ioni
quelli
anzI
nella
che
"molto
problematica
a
volte
grandi",
SI
così
grandi che a essi in pratica può
convemre applicare metodologie
dell'infinito
cosi
che
(per
esempio,
configurazioni
si
può
considerate
finite
giustificare
daJla
fatto
il
Fisica
che
e
dalla
Chimica - per esempio, gli atomi contenuti in un oggetto fisico
-vengano
studiate
esempIo
la
con
strumenti
geometria
di
euclidea
quanto la distinzione può
Matematica
o
l'analisi
infinitaria,
per
infinitesimale).
Per
avere senso, si parlerò
qui del finito
"piccolo" .
La
Matematica
"liberazione"
~,
~,
affrontare
che in
primi
spazi
delle
esplicitamente
assiomi
a
che
geometria,
estranea
allo
precedente
studia
insiemi
geometrie
classiche, ... ),
problema
dell'infinito..
il
geometria elementare si
retta
(o
lo
universitari
ho
chiesto
"una
studenti
quella
concreti)
riferimenti
molte trattazioni di
(quando
della
dai
gli
(diciamo,
classica
spesso
spirito
mI
della
spazio)
di
indicato
hanno
geometria
ha
infmiti
pur
senza
curioso
E'
metta fra
infiniti
dirmi
e
i
punti"
un
questo):
euclidea
alla
assioma
affermazione
inutile
per. la
dimostrazione degli usuali teoremi.
La
"Matematica
caricare
subito
moderna"
le
cerca
trattazioni
pretendono di essere)
invece,
con
solitamente,
sistemi
di
lasciando quindi
completi,
di
non
assiomi
(che
la possibilità di
specie di ·strutture più ampie,
IO
quanto vincòlate da un sistema
di
SI
ottengono
assiomi
affini
più
finiti,
modulari,
ridotto.
gli
•
topologici
spazI
eccetera.
applicazioni
Cosi
alcuni casi
In
•,
concrete
le
finiti.
queste
vorrei
gli spazi proiettivi e
strutture
qui
fare
aritmetiche
hanno trovato
l'elogio
di
tutte,
anche di quelle che (per ora) non l'hanno tr:ovate.
Quando un modello di assiomi ammette un modello finito,
coerenza
è
assicurata.
coerenza
di
molte
lo
teorie
(per esempIO, le geometrie
teoria
dei
gruppi,
configurazione
finita
questo
modo
assicuriamo
della
della Matematica moderna
significative
-
ci
la
proieuiva
o
affine
-
grafiche,
la
la tapologia generale). Comunque, una.
s, può analizzare pezzo per pezzo, si
possono fare su di essa affermazioni Sicure: queste possono essere
congetture
relative
teoria stessa.
alla
possibilità
38
di
dimostrare
teoremi
nella
Prendiamo per esempio la geometria affine plana. Si ammettono
gli aSSiomI
"Dati
due
esiste
punti.
una
sola
retta
alla
quale
essI
appartengono"
" Dati una retta
e un punto P che non le appartiene, esiste
T
una sola retta cui P appartiene e disgiunta da
Si
constata
appartenenti
che
alla
altrettanto si può
dalle
rispettive
formata
configurazione
la
stessa
rl>.
retta
modello
un
è
di
questi
singoletto.
Per
evitare
•
•
aSSIOmI.
allin~ati
dite di quella formata da n punti
rette
punti
n
da
questi
modelli,
e
si
può introdurre un altro aSSIoma
"Esistono almeno tre punti non allineati".
Ecco due modelli di questi assiomi
/
"
- -- ,
"
\
\
0·
• ,
0.. ---------,.0
•
•
•
•
.'
••
'.
.'
••
,
/
/
-
,
••
'.
/
,
••
0-------.,0
......
'.
.....
.'
......... .. .. ' ..
.........
'
/
/
•
••
.:
.
,
..
,
,
_. _. '-"'. ....._.
,., .'
.'
..
'.
.'
'.
~
.'
• -
"
"
..."..........
,
.
• •
''P
. .-
-.
-.
circoletti
sono
1
"punti" •
(
I
•
_.
•
•
•
••
••
•
•• •
•
••
•
•
•
Ci
I
I
.:...... .'
una
linea
congiungente
• • • • •••
più
circoletti è una "'rettaI> alla quale quei "punti'" appartengono).
In questi "mondi possibiJi M sono vere le affermazioni:
I>due rette hanno lo stesso numero di punti"
"se una retta ha n punti. il piano ne ha n
2
"
"presi due punti, esiste una trasIazione che porta il pnmo nel
secondo" (una traslazione è
,•
una biiezione che trasforma una retta
in sé o in una paraBela, e tale che le rette congiungenti punti
corrispondenti sono paraBele).
Le prime due congetture sono dimostrabili neUa teoria, mentre
la terza non lo è ( come si prova esibendo un modello che non la
soddisfa).
Le
per
configurazioni
capIre
la
finite
distinzione tra
fra teoria e metateoria.
contatto
fra
sono
il
dunque
fase
sintattica e fase semantica,
quasi-empirismo
(secondo
In
veste
formale
di
aUe
e
il
quale
una
teoria
una teoria informale, e trovare
la sua significatività in questa (13»
originario
"utili'"
Sono anche significative per stabilire un
formale deve avere la sua base
senso
particolarmente
e il formalismo (inteso nel
Hilbert:
programma
teorie
matematiche,
che
si
per
propone
di dare
fondarle
in
modo
coerente).
BmLIOGRAFIA
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APOSTLE,
Aristotlc's
Philosophy
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Mathcmatics,
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41
