SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE

Introduzione agli spazi di Hilbert
Proprietà dei chiusi convessi
Duale di uno spazio di Hilbert
SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE
Spazi di Hilbert
Marco Costanzi
9 Aprile 2010, ore 10.00
Marco Costanzi
SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE
Introduzione agli spazi di Hilbert
Proprietà dei chiusi convessi
Duale di uno spazio di Hilbert
Indice
1
Introduzione agli spazi di Hilbert
2
Proprietà dei chiusi convessi
3
Duale di uno spazio di Hilbert
Marco Costanzi
SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE
Introduzione agli spazi di Hilbert
Proprietà dei chiusi convessi
Duale di uno spazio di Hilbert
Prodotto scalare
DEF: Sia X uno spazio vettoriale reale. Un prodotto scalare su X è
un’applicazione:
< ·, · >: X × X → R
(x, y ) 7→< x, y >
che sia bilineare, simmetrica e definita positiva.
Un prodotto scalare su X può essere usato per definire una norma
nel modo seguente:
√
kxk = < x, x >
Marco Costanzi
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Introduzione agli spazi di Hilbert
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Norma
DEF: Sia X uno spazio vettoriale reale. Una norma su X è
un’applicazione kxk : X → R tale che:
kxk ≥ 0
∀x ∈ X , kxk = 0 ⇔ x = 0
kλxk = |λ| · kxk
kx + y k ≤ kxk + ky k
∀x ∈ X , λ ∈ R (omogeneità)
∀x, y ∈ X (disuguaglianza triangolare)
Uno spazio vettoriale su cui è definita una norma si chiama spazio
normato, esso è uno spazio metrico con la distanza definita da
d(x, y ) := kx − y k.
Marco Costanzi
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Duale di uno spazio di Hilbert
Prodotto scalare, norma e proprietà
PROPOSIZIONE: Sia < ·, · > un prodotto scalare su X spazio vettoriale
reale, k · k la norma da esso indotta. Allora valgono i seguenti fatti:
1
per ogni x, y ∈ X vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
< x, y >≤ kxk · ky k
2
la norma indotta dal prodotto scalare è una norma:
√
kxk = < x, x > è una norma su X
3
vale l’identità del parallelogramma
kx + y k2 + kx − y k2 = 2(kxk2 + ky k2 )
4
∀x, y ∈ X
vale l’identità di polarizzazione
< x, y >=
1
(kx + y k2 − kx − y k2 )
4
Marco Costanzi
∀x, y ∈ X
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Duale di uno spazio di Hilbert
Applicazione che fornisce il prodotto scalare
PROPOSIZIONE: Sia (X , k · k) uno spazio normato. Allora
l’applicazione
a(x, y ) =
1
(kx + y k2 − kx − y k2 )
4
∀x, y ∈ R
è un prodotto scalare che induce la norma se e solo se la norma verifica
l’identità del parallelogramma.
Marco Costanzi
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Spazio di Hilbert
DEF: Uno spazio vettoriale X dotato di un prodotto scalare < ·, · > si
dice di Hilbert se è di Banach rispetto alla norma indotta dal prodotto
scalare.
Esempi di spazi di Hilbert con rispettive norme:
Rn
l 2 . Il prodotto scalare che induce la norma è
< {an }, {bn } >=
+∞
X
an · bn
n=1
L2 (µ). Il prodotto scalare che induce la norma è
Z
< f , g >=
f (x)g (x)dµ(x)
X
1
H . Il prodotto scalare che induce la norma è
< u, v >H 1 :=< u, v >L2 + < u 0 , v 0 >L2
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Duale di uno spazio di Hilbert
Teorema di proiezione su un convesso chiuso
TEOREMA: Sia X uno spazio di Hilbert, C un sottoinsieme chiuso,
convesso e non vuoto di X , x0 ∈ X . Allora esiste un unico punto y ∈ C
tale che kx0 − y k = dist(x0 , C ).
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Caratterizzazione della proiezione tramite prodotto scalare
PROPOSIZIONE: Sia X uno spazio di Hilbert, C un sottoinsieme
chiuso, convesso e non vuoto di X . Allora valgono i seguenti fatti:
dato x ∈ X vale la seguente caratterizzazione:
{pC (x)} = {y ∈ C :< x − y , z − y >C ≤ 0 per ogni z ∈ C }
la mappa x 7→ pC (x) è Lipschitziana di costante 1
Marco Costanzi
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Duale di uno spazio di Hilbert
Caratterizzazione della proiezione su un sottospazio
COROLLARIO: Sia Y un sottospazio chiuso dello spazio di Hilbert X ,
x0 ∈ X . Allora esiste un unico punto y ∈ Y di minima distanza da x0 .
Esso è caratterizzato dalla relazione di ortogonalità
< x0 − y , y >= 0
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∀y ∈ Y
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Proprietà della proiezione e scomposizione dello spazio con
somma diretta
PROPOSIZIONE: Sia Y ⊂ X un sottospazio chiuso e non vuoto dello
spazio di Hilbert X . p : X → Y l’applicazione che ad ogni punto x ∈ X
associa il punto del sottospazio Y più vicino ad x. Allora:
1
2
p è lineare e continua. La sua restrizione a Y è l’identità, inoltre
x − p(x) è ortogonale a Y , per cui possiamo scrivere X = Y ⊕ Y ⊥
con proiezioni continue
kxk2 = kp(x)k2 + kx − p(x)k2 per ogni x ∈ X
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Espressione esplicita della proiezione
OSSERVAZIONE: Se Y è sottospazio di dimensione finita di X e
{e1 , e2 , ..., en } è una sua base ortonormale, allora possiamo scrivere
esplicitamente:
n
X
p(x) =
< x, ei > ei
i=1
Inoltre:
kp(x)k2 =
n
X
(< x, ei >)2
i=1
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Teorema di rappresentazione di Riesz
TEOREMA: Sia X uno spazio di Hilbert. Di definisce l’applicazione:
Φ : X → X0
y 7→ Ty
dove per definizione Ty (x) :=< y , x > per ogni x ∈ X . Allora Φ è un
isomorfismo isometrico tra X e X 0 .
Conseguenze:
il duale di l 2 è l 2
il duale di L2 è L2
lo spazio di Hilbert è riflessivo
Marco Costanzi
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