Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Spazi di Hilbert Marco Costanzi 9 Aprile 2010, ore 10.00 Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Indice 1 Introduzione agli spazi di Hilbert 2 Proprietà dei chiusi convessi 3 Duale di uno spazio di Hilbert Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Prodotto scalare DEF: Sia X uno spazio vettoriale reale. Un prodotto scalare su X è un’applicazione: < ·, · >: X × X → R (x, y ) 7→< x, y > che sia bilineare, simmetrica e definita positiva. Un prodotto scalare su X può essere usato per definire una norma nel modo seguente: √ kxk = < x, x > Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Norma DEF: Sia X uno spazio vettoriale reale. Una norma su X è un’applicazione kxk : X → R tale che: kxk ≥ 0 ∀x ∈ X , kxk = 0 ⇔ x = 0 kλxk = |λ| · kxk kx + y k ≤ kxk + ky k ∀x ∈ X , λ ∈ R (omogeneità) ∀x, y ∈ X (disuguaglianza triangolare) Uno spazio vettoriale su cui è definita una norma si chiama spazio normato, esso è uno spazio metrico con la distanza definita da d(x, y ) := kx − y k. Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Prodotto scalare, norma e proprietà PROPOSIZIONE: Sia < ·, · > un prodotto scalare su X spazio vettoriale reale, k · k la norma da esso indotta. Allora valgono i seguenti fatti: 1 per ogni x, y ∈ X vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: < x, y >≤ kxk · ky k 2 la norma indotta dal prodotto scalare è una norma: √ kxk = < x, x > è una norma su X 3 vale l’identità del parallelogramma kx + y k2 + kx − y k2 = 2(kxk2 + ky k2 ) 4 ∀x, y ∈ X vale l’identità di polarizzazione < x, y >= 1 (kx + y k2 − kx − y k2 ) 4 Marco Costanzi ∀x, y ∈ X SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Applicazione che fornisce il prodotto scalare PROPOSIZIONE: Sia (X , k · k) uno spazio normato. Allora l’applicazione a(x, y ) = 1 (kx + y k2 − kx − y k2 ) 4 ∀x, y ∈ R è un prodotto scalare che induce la norma se e solo se la norma verifica l’identità del parallelogramma. Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Spazio di Hilbert DEF: Uno spazio vettoriale X dotato di un prodotto scalare < ·, · > si dice di Hilbert se è di Banach rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare. Esempi di spazi di Hilbert con rispettive norme: Rn l 2 . Il prodotto scalare che induce la norma è < {an }, {bn } >= +∞ X an · bn n=1 L2 (µ). Il prodotto scalare che induce la norma è Z < f , g >= f (x)g (x)dµ(x) X 1 H . Il prodotto scalare che induce la norma è < u, v >H 1 :=< u, v >L2 + < u 0 , v 0 >L2 Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Teorema di proiezione su un convesso chiuso TEOREMA: Sia X uno spazio di Hilbert, C un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X , x0 ∈ X . Allora esiste un unico punto y ∈ C tale che kx0 − y k = dist(x0 , C ). Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Caratterizzazione della proiezione tramite prodotto scalare PROPOSIZIONE: Sia X uno spazio di Hilbert, C un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X . Allora valgono i seguenti fatti: dato x ∈ X vale la seguente caratterizzazione: {pC (x)} = {y ∈ C :< x − y , z − y >C ≤ 0 per ogni z ∈ C } la mappa x 7→ pC (x) è Lipschitziana di costante 1 Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Caratterizzazione della proiezione su un sottospazio COROLLARIO: Sia Y un sottospazio chiuso dello spazio di Hilbert X , x0 ∈ X . Allora esiste un unico punto y ∈ Y di minima distanza da x0 . Esso è caratterizzato dalla relazione di ortogonalità < x0 − y , y >= 0 Marco Costanzi ∀y ∈ Y SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Proprietà della proiezione e scomposizione dello spazio con somma diretta PROPOSIZIONE: Sia Y ⊂ X un sottospazio chiuso e non vuoto dello spazio di Hilbert X . p : X → Y l’applicazione che ad ogni punto x ∈ X associa il punto del sottospazio Y più vicino ad x. Allora: 1 2 p è lineare e continua. La sua restrizione a Y è l’identità, inoltre x − p(x) è ortogonale a Y , per cui possiamo scrivere X = Y ⊕ Y ⊥ con proiezioni continue kxk2 = kp(x)k2 + kx − p(x)k2 per ogni x ∈ X Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Espressione esplicita della proiezione OSSERVAZIONE: Se Y è sottospazio di dimensione finita di X e {e1 , e2 , ..., en } è una sua base ortonormale, allora possiamo scrivere esplicitamente: n X p(x) = < x, ei > ei i=1 Inoltre: kp(x)k2 = n X (< x, ei >)2 i=1 Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE Introduzione agli spazi di Hilbert Proprietà dei chiusi convessi Duale di uno spazio di Hilbert Teorema di rappresentazione di Riesz TEOREMA: Sia X uno spazio di Hilbert. Di definisce l’applicazione: Φ : X → X0 y 7→ Ty dove per definizione Ty (x) :=< y , x > per ogni x ∈ X . Allora Φ è un isomorfismo isometrico tra X e X 0 . Conseguenze: il duale di l 2 è l 2 il duale di L2 è L2 lo spazio di Hilbert è riflessivo Marco Costanzi SEMINARIO DI ANALISI FUNZIONALE