Albero semantico
Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue
possibili interpretazioni.
A differenza dell’albero sintattico (che analizza la formula da un
punto di vista puramente formale), l’albero semantico si occupa di
scandagliare tutte le possibili interpretazioni.
È un albero binario dove ogni livello viene etichettato (solo la
radice non viene etichettata e il suo livello è 0).
Per tutti gli altri livelli, ogni nodo è etichettato da una lettera
proposizionale e l’etichettatura avviene nel seguente modo:
etichettiamo ogni nodo di un livello con una lettera proposizionale
o con la sua negazione.
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Albero semantico
Ad ogni ramo θ associamo una valutazione booleana vθ .
Considerato θ come un insieme di nodi θ = {L1, . . . , Ln, . . .}
(letterali), possiamo costruire una valutazione booleana vθ che,
per ogni n, è definita:
• vθ (Pn) = t se Ln = Pn
• vθ (Pn) = f se Ln = ¬Pn
viceversa, per ogni i,
• Li = Pi se vθ (Pi) = t
• Li = ¬Pi se vθ (Pi) = f
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Insiemi di clausole saturi
Sia C un insieme di clausole. C è saturo (o chiuso) per
risoluzione se comunque applico la regola di risoluzione ottengo
una clausola ancora in C.
Teorema. Sia C un insieme di clausole, C saturo per risoluzione.
Se C è insoddisfacibile allora [ ] ∈ C.
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Alcune definizioni
Un cammino sull’albero semantico è un percorso dalla radice fino
ad un certo nodo segnato oppure sino all’infinito.
Un cammino θ contraddice c se per ogni L ∈ c si ha che L ∈ θ
θ è C-chiuso se esiste c ∈ C tale che θ contraddice c
Sia N un nodo, N è fallimentare se il cammino θN da esso
individuato è C-chiuso
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Insiemi di Robinson
Un insieme di disgiunzioni R è di Robinson se
1. per ogni D ∈ R, se D non è una clausola, esiste D′ ∈ R
ottenibile da D mediante applicazione di una regola di
espansione per risoluzione
2. R è saturo per risoluzione
3. [ ] ∈
/R
Teorema di Robinson. Ogni insieme di Robinson è
soddisfacibile.
Applicazione del teorema di Robinson: completezza del sistema di
Risoluzione con ipotesi di strettezza.
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Conseguenza logica
X è conseguenza logica proposizionale di S (con S ⊆ Prop, S
non necessariamente finito) se per ogni valutazione booleana v, se
v soddisfa S, allora v soddisfa X (scriviamo S |=p X)
Teorema
S |=p X ⇔ esiste S0 ⊆ S, S0 finito, tale che S0 |=p X
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Algoritmo per verificare se X è conseguenza logica di S
I metodo: generare tutti i possibili sottoinsiemi finiti di S e
applicare il teorema precedente a tali sottoinsiemi
Osserviamo che se X non è conseguenza logica di S la procedura
non avrà termine
II metodo: Utilizzare la regola di S-introduzione
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Regola di S-introduzione
• Regola di S-introduzione per tableaux: Sia S l’insieme delle
premesse. In qualunque momento posso introdurre nel tableau
una formula Y ∈ S.
• Regola di S-introduzione per la risoluzione: Sia S l’insieme
delle premesse. In qualunque momento posso introdurre
nell’espansione una disgiunzione Y ∈ S.
Scriviamo S ⊢pt X per indicare X è derivabile da S nel sistema
dei tableaux
Scriviamo S ⊢pr X per indicare X è derivabile da S nel sistema
della risoluzione
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Alcune definizioni
Sia R ⊆ Prop. R è S-soddisfacibile se R ∪ S è soddisfacibile
Un ramo di un tableau è S-soddisfacibile se l’insieme delle formule
che lo compongono è S-soddisfacibile
Un tableau è S-soddisfacibile se almeno uno dei suoi rami è
S-soddisfacibile
La S-soddisfacibilità è un invariante del sistema dei tableaux e
anche della risoluzione.
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Sistema di Hilbert
Un sistema di Hilbert è caratterizzato da due componenti
1. Assiomi
2. Regole di inferenza
Dimostrazione in un sistema di Hilbert
È una sequenza di formule X1, . . . , Xn, detta anche
dimostrazione di Xn, tale che tutte le Xi, i = 1, . . . , n sono:
• Assiomi
• Risultano dall’applicazione di una regola di inferenza del sistema
a formule che precedono Xi nella sequenza
In particolare X1 è un assioma
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Sistema di Hilbert
Derivazione da un insieme S
Sia S un insieme di formule di Prop. Una derivazione da S in un
sistema di Hilbert è una sequenza X1, . . . , Xn tale che ogni Xi è
un assioma, oppure è ottenuto mediante applicazione di regole di
inferenza, oppure è un elemento di S.
Diciamo allora che Xn è derivabile da S nel sistema di Hilbert
proposizionale (e scriviamo S ⊢ph Xn).
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Requisiti di un sistema di Hilbert
• Gli assiomi devono essere specificati da un numero finito di
schemi di assiomi
• Le regole di inferenza devono essere specificate da un numero
finito di schemi di regole
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Assiomi
1. X ⊃ (Y ⊃ X)
2. (X ⊃ (Y ⊃ Z)) ⊃ ((X ⊃ Y ) ⊃ (X ⊃ Z))
3. ⊥ ⊃ X
4. X ⊃ ⊤
5. ¬¬X ⊃ X
6. X ⊃ (¬X ⊃ Y )
7. α ⊃ α1
8. α ⊃ α2
9. (β1 ⊃ X) ⊃ ((β2 ⊃ X) ⊃ (β ⊃ X))
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