Capitolo 2. Scelte intertemporali e mercati finanziari in condizioni di certezza
In questo capitolo vedremo come il mercato finanziario svolge le prime due funzioni individuate nel
precedente capitolo: la funzione di riallocazione delle risorse nel tempo e quella della loro
allocazione in ogni momento tra usi alternativi, e in particolare tra progetti di investimento
alternativi. Vedremo che i mercati finanziari consentono all’economia di funzionare meglio che in
“autarchia”, cioè in una situazione in cui tali mercati non esistono. Anzi, essi consentono di
raggiungere una situazione di ottimo paretiano, qualora l’economia funzioni in regime di
concorrenza perfetta, con mercati completi e senza costi di transazione.
Intutivamente, i mercati finanziari consentono di raggiungere questa maggior efficienza perché essi
separano le scelte di consumo delle famiglie da quelle di investimento delle imprese, e consentono
alle famiglie di scegliere i propri consumi e alle imprese di scegliere i propri investimenti facendo
riferimento solo ai prezzi di mercato. Questi ultimi, a loro volta, si comportano da indicatori
sintetici sia della scarsità o desiderabilità dei beni per i consumatori, sia della produttività di tali
beni come fattori di produzione per le imprese, e quindi forniscono segnali capaci di indirizzare le
scelte dei consumatori e delle imprese verso un’allocazione efficiente. Per esempio, i segnali di
prezzo orientano l’allocazione degli investimenti delle imprese in modo che i progetti di
investimento più redditizi ottengano più risorse finanziarie degli altri progetti.
Tutta l’analisi di questo capitolo sarà condotta sotto l’ipotesi di certezza, cioè supponendo che ogni
operatore economico (famiglia o impresa) conosca perfettamente tutte le conseguenze delle proprie
scelte, e in particolare le conseguenze delle proprie scelte di risparmio e di investimento. Inoltre
supporremo che vi sia un solo bene (“grano”), che può essere consumato (“mangiato”) oppure
investito (“seminato”). Infine, per semplicità analizzeremo un’economia biperiodale, cioè con due
soli periodi: “oggi” (periodo 0) e “domani” (periodo 1). Nel prossimo capitolo vedremo come
l’analisi possa essere estesa al caso di un’economia multiperiodale.
In questo capitolo, studieremo innanzitutto un’economia “autarchica”, cioè senza mercati finanziari,
in cui l’unico modo per riallocare la ricchezza nel tempo è investirla in capitale reale. Questo caso
ci darà un termine di confronto per capire cosa cambia quando esiste un mercato finanziario. Quindi
vedremo che l’introduzione di un mercato finanziario consente alle famiglie di riallocare il consumo
nel tempo perfino in un’economia in cui non si può investire in capitale reale. Infine, analizzeremo
il caso di un’economia con investimento, in cui il mercato finanziario soddisfa sia le esigenze delle
famiglie che quelle delle imprese.
1 Consumo e investimento senza mercati finanziari
In assenza di mercati finanziari, le famiglie non solo scelgono il proprio livello di consumo (e
quindi di risparmio), ma anche il livello di investimento. Le due scelte infatti coincidono: ogni
scelta di consumo (e quindi di risparmio) è anche una scelta di investimento, perché il solo modo
per risparmiare è investire in capitale reale.
15
Il modo più semplice per cogliere quest’idea è considerare un’economia con un solo individuo
(“Robinson Crusoe”),1 che vive per due periodi e può consumare o investire un singolo bene
(“grano”). Egli può risparmiare solo in un modo: seminando il grano che decide di non mangiare
oggi, e così ottenendo una certa quantità di grano domani. La quantità di grano seminata oggi è sia
il risparmio di Robinson Crusoe che il suo investimento; il raccolto che otterrà domani è il
rendimento lordo del suo investimento.2
Come si è detto, in questa semplice economia non vi è incertezza: Robinson Crusoe conosce le
proprie preferenze, le dotazioni presenti e future di grano, le possibilità tecniche di produzione, e
dunque sa perfettamente quanto grano otterrà domani per ogni data quantità seminata oggi. In altri
termini, la produzione non ha nessuna componente aleatoria: Robinson Crusoe è un metereologo
eccezionale, che non sbaglia mai una previsione!
Le preferenze di Robinson sono descritte da una funzione di utilità U (c0 , c1) , dove c0 è il suo
consumo corrente e c1 il suo consumo futuro. Tale funzione è crescente nei due argomenti: sia il
consumo corrente che quello futuro generano un’utilità marginale positiva:
∂U / ∂c0 > 0 , ∂U / ∂c1 > 0 .
Inoltre la funzione è strettamente concava, il che richiede che l’utilità marginale del consumo
corrente e di quello futuro siano decrescenti3:
∂2U / ∂c02 < 0 , ∂2U / ∂c12 < 0 .
Una classe particolare di funzione di utilità con queste caratteristiche che utilizzeremo spesso più
avanti è quella delle funzioni additive intertemporalmente:
U (c0 , c1) = u (c0 ) + β u (c1) = u (c0 ) +
1
u (c1) ,
1+ δ
dove ciascun addendo è una “funzione di utilità istantanea” u (c) crescente e strettamente concava
nel consumo del periodo corrispondente, cioè tale che u '(c) > 0 e u ''(c) < 0 , e il parametro β è il
fattore di sconto, ovvero il peso che l’individuo assegna al futuro rispetto al presente. Quindi β è
una misura della “pazienza” dell’individuo. Come si vede dall’equazione, il parametro β può
essere riscritto come una frazione 1/(1 + δ ) , dove δ è detto “saggio di preferenza temporale” o
“tasso di sconto soggettivo”, e ha l’interpretazione di un tasso di interesse implicito che l’individuo
applica nelle proprie scelte. Al contrario del fattore di sconto β , il saggio di preferenza temporale
1
L’ipotesi che vi sia un solo individuo non è da prendere alla lettera: ce ne possono essere molti, ma l’importante è che
non interagiscano tra loro attraverso il mercato, cioè che operino in regime di “autarchia”.
2
Il rendimento è “lordo” nel senso che include anche l’ammortamento del capitale investito: i chicchi di grano seminati
scompaiono nel corso del ciclo produttivo (per cui il capitale è interamente ammortizzato nel corso di un solo ciclo di
produzione). La spiga che nasce dal chicco è quindi il rendimento del chicco, al lordo del chicco stesso!
3
Si assume altresì che le derivate parziali seconde miste (uguali per funzioni due volte differenziabili e a derivate
continue) siano tali per cui la condizione di stretta concavità sia soddisfatta (si veda l’Appendice).
16
δ è una misura dell’“impazienza” dell’individuo, cioè della sua preferenza per consumare oggi
piuttosto che domani: se δ è molto grande. l’individuo non assegna alcun peso al futuro!
Supponiamo che Robinson abbia una dotazione di grano ω0 nel periodo 0 e ω1 nel periodo 1,
laddove ω1 è grano che cresce spontaneamente e sarà disponibile domani senza che qualcuno lo
semini oggi. Se Robinson desidera avere in futuro un livello di consumo c1 superiore a questa
dotazione ω1 , egli dovrà seminare una quantità positiva di grano k . La sua tecnologia agricola è
descritta dalla funzione di produzione (o di trasformazione intertemporale) y1 = f (k ) , dove y1 è la
quantità di grano che sarà raccolta domani per una data quantità k seminata oggi. Tale funzione è
crescente e concava in k, cioè la produttività marginale dell’investimento è positiva e decrescente:
∂f (k ) / ∂k ≡ f '(k ) > 0 ,
∂f 2 (k ) / ∂k 2 ≡ f ''(k ) < 0 .
Quindi il problema di scelta intertemporale di Robinson Crusoe è
max U (c0 , c1) ,
c0 ,c1
sotto i vincoli
c0 = ω0 − k ,
c1 = ω1 + y1,
y1 = f (k ),
c0 ≥ 0, c1 ≥ 0.
Il primo vincolo indica che il consumo corrente è pari alla dotazione iniziale meno il risparmio k, il
secondo che il consumo futuro è pari alla dotazione futura più la produzione futura, il terzo descrive
la tecnologia, e gli ultimi due impongono che il consumo corrente e futuro non possano essere
negativi. Sostituendo i primi tre vincoli nella funzione obiettivo, possiamo riscrivere il problema in
modo più compatto come la scelta del livello di risparmio e investimento k:
max U (ω0 − k , ω1 + f (k )) ,
k
(1)
sotto il vincolo w0 ≥ k che assicura la non-negatività dei consumi.4
Data la natura del problema di massimizzazione, la condizione di primo ordine rispetto a k
identifica la sua soluzione, che è unica e interna:5
4
Non imporremo tale vincolo esplicitamente nella soluzione del problema, supponendo che esso sia garantito dalle
caratteristiche della funzione di utilità (basta supporre che essa soddisfi la cosiddetta condizione di Inada, cioè che
l’utilità marginale di c0 tende all’infinito quando c0 tende a zero).
5
Di per sé, la condizione di primo ordine è solo necessaria ma non sufficiente per la massimizzazione. Data la
concavità della funzione obiettivo (la funzione di utilità) e la convessità del vincolo (la frontiera delle possibilità
tecniche di produzione), è soddisfatta anche la condizione di secondo ordine per un massimo, per cui la (2) identifica
effettivamente un punto di massimo. Inoltre la concavità stretta della funzione di utilità garantisce che la soluzione sia
unica e che sia interna, cioè tale che entrambi i livelli di consumo siano strettamente positivi.
17
−
∂U
∂co*
+
∂U
∂c1*
f '(k * ) = 0 .
(2)
Intuitivamente, questa condizione di ottimalità richiede che la riduzione di utilità che il consumatore
sopporta oggi per un’unità aggiuntiva di risparmio (e di investimento) sia compensata esattamente
dall’aumento di utilità futura derivante dall’aumento di produzione (e di consumo) ottenibile
domani grazie a tale risparmio. Infatti, se la riduzione di utilità oggi fosse inferiore all’aumento
corrispondente di utilità domani (cioè se l’espressione (2) fosse positiva invece che nulla), il
consumatore troverebbe conveniente accrescere il risparmio k, e quindi non sarebbe ancora in una
situazione ottimale. Tuttavia, così facendo egli accrescerebbe l’utilità marginale del consumo
corrente e ridurrebbe quella del consumo futuro, fin quando l’espressione (2) diventerebbe pari a
zero. Viceversa, se la riduzione di utilità oggi fosse superiore all’aumento corrispondente di utilità
domani (cioè se l’espressione (2) fosse negativa), converrebbe ridurre il risparmio k, fin quando
l’espessione (2) non diventi pari a zero.
Possiamo riscrivere la condizione (2) come l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione nel
consumo (SMS) e saggio marginale di trasformazione intertemporale (SMT):
SMS ≡
∂U / ∂c0*
∂U / ∂c1*
= f '(k * ) ≡ SMT .
(2′)
La scrittura (2′) indica che l’ottimalità richiede che la quantità aggiuntiva di consumo futuro che il
consumatore richiede per ogni unità del consumo corrente a cui rinuncia (SMS) sia pari alla quantità
aggiuntiva di consumo futuro che la tecnologia può produrre grazie a quella unità di consumo
corrente risparmiata (SMT).
La Figura 1 illustra questa condizione di ottimalità. Il consumo corrente e quello futuro sono
rappresentati rispettivamente sull’asse orizzontale e verticale. Le preferenze di Robinson Crusoe
sono rapprentate da un campo di curve di indifferenza decrescenti e convesse, il che riflette l’ipotesi
che la funzione di utilità sia crescente e concava.6 La frontiera delle possibilità tecniche di
produzione è rappresentata dalla curva decrescente e concava nella figura,7 poiché quantità
maggiori di k corrispondono a quantità minori del consumo corrente c0 : si ricordi infatti che
k = ω0 − c0 . Questa frontiera è specularmente simmetrica a una normale funzione di produzione:
essa aumenta al ridursi del consumo corrente, che è la variabile misurata sull’asse orizzontale.
Inoltre essa parte dal punto di dotazione (ω0 , ω1) e non dall’origine del sistema di assi cartesiani:
ciò indica che Robinson Crusoe potrebbe comunque consumare la sua dotazione futura w1 , anche
se scegliesse di consumare tutta la sua dotazione iniziale ( c0 = ω0 ) e quindi non investisse alcunché
(k = 0). Questa frontiera c1 = w1 + f (ω0 − c0 ) ha pendenza − f '(g) < 0 , cioè in valore assoluto pari
6
La loro forma decrescente deriva dall’ipotesi che l’utilità marginale è positiva, e indica la sostituibilità tra consumo
corrente e futuro. La convessità delle curve deriva dall’ipotesi che l’utilità marginale è decrescente, e indica che la
sostituibilità del consumo corrente con quello futuro decresce all’aumentare del consumo corrente.
7
Si tratta di una “frontiera” perché rappresenta la massima quantità di prodotto futuro che Robinson Crusoe può
ottenere per ogni data quantità di investimento corrente k. Se egli volesse, però, potrebbe ottenere anche una quantità
minore di prodotto, usando in modo inefficiente l’investimento. Quindi anche tutti i punti al di sotto di questa frontiera
sono tecnicamente raggiungibili: essi formano l’insieme delle possibilità tecniche di produzione.
18
alla produttività marginale del capitale. Essa è concava, poiché la sua derivata seconda è f ''(g) < 0 .
Tale sua forma riflette quindi la produttività marginale positiva ma decrescente del capitale.
Il punto di ottimo è rappresentato dal punto di tangenza tra la frontiera tecnica di produzione e la
curva di indifferenza di livello più elevato. In tale punto, infatti, la pendenza della curva di
indifferenza (il SMS) è pari alla pendenza della funzione di produzione intertemporale (il SMT),
che è la traduzione geometrica dell’equazione (2′). In corrispondenza di tale punto, leggiamo sugli
assi il livello ottimale di consumo corrente c0* e futuro c1* . La distanza orizzontale tra la dotazione
iniziale ω0 e il consumo ottimale c0* misura quindi al contempo il risparmio ω0 − c0* e
l’investimento k * scelti in equilibrio in condizioni di autarchia.
Figura 1. Scelta ottima di consumo e investimento in autarchia
c1
c1* = w1 + f (k * )
pendenza =
SMS = SMT
w1
w0 -­‐ c0* = k *
c0*
kb*
w0
c0
Il livello di investimento k * scelto in equilibrio dipende dalle preferenze di Robinson Crusoe (cioè
dalla forma e posizione delle sue curve di indifferenza), dalle sue dotazioni di grano oggi e domani
(cioè dalla posizione del punto nel piano) e dalla tecnologia a sua disposizione (cioè dalla forma e
posizione della frontiera tecnica di produzione).
Per illustrare ciò, immaginiamo che sull’isola di Robinson Crusoe viva anche un altro individuo,
anch’egli in condizioni di autarchia (cioè senza alcun interscambio commerciale con Robinson), e
che i due abbiano preferenze diverse, ma le stesse dotazioni e la stessa tecnologia. Specificamente
Robinson Crusoe, che d’ora in poi indicheremo per brevità con la lettera a, è più paziente del suo
compagno d’isola, che identificheremo con la lettera b. Per esempio, se i due hanno preferenze
19
temporalmente additive con la stessa funzione di utilità istantanea u (c) , l’individuo a ha un fattore
di sconto β maggiore di quello di b, ovvero un saggio di preferenza temporale δ minore.
Intuitivamente, se poniamo i due individui nella stessa situazione e chiediamo ad entrambi quanto
consumo futuro c1 vorrebbero per rinunciare a un’unità di consumo corrente c0 , l’individuo a ci
chiederà meno di b: il suo saggio marginale di sostituzione è minore.
Graficamente, ciò si traduce in curve di indifferenza più piatte per a che per b, come mostrato nella
Figura 2. Ne segue che il punto di ottimo di a è a sinistra e più in alto del punto di ottimo di b: la
persona più paziente è disposta a risparmiare di più, e quindi investirà più dell’altra. Così facendo, a
spingerà l’investimento fino a un punto in cui la sua produttività marginale è inferiore a quella
dell’investimento di b: nel punto ottimo, la pendenza della frontiera tecnica è minore per a che per
b. Si noti che nella figura i due individui differiscono solo nelle preferenze, perché hanno la stessa
dotazione (che infatti non è indicizzata secondo l’individuo) e la stessa funzione di produzione.
Figura 2. Preferenze diverse e investimento ottimo in autarchia
c1
Individuo a
(più paziente)
c1* = w1 + f (k * )
Individuo b
(più impaziente)
w1
ka*
kb*
*
c0a
* w
c0b
0
c0
L’investimento ottimo sarà diverso anche se i due individui differiscono solo nelle dotazioni
iniziali. Per esempio, supponiamo che a abbia la stessa dotazione finora ipotizzata ma b abbia la sua
ricchezza concentrata unicamente nel periodo corrente, come descritto nella Figura 3. Per il resto,
essi sono uguali: hanno la stessa mappa di curve di indifferenza e la stessa funzione di produzione.
In questo caso, l’individuo a investirà meno di b, perché a sa di poter soddisfare almeno una parte
dei suoi consumi futuri con la propria dotazione futura, mentre b sa che la sua sola possibilità di
consumare in futuro dipende dalle sue scelte di risparmio e investimento.
20
Figura 3. Dotazioni diverse e investimento ottimo in autarchia
c1
Individuo a
(dotazione corrente
e futura)
c1* = w1 + f (k * )
Individuo b
(solo dotazione
corrente)
ka*
w1a
kb*
w1b = 0
*
c0a
*
c0b
w0a
w0b c0
Figura 4. Tecnologie produttive diverse e investimento ottimo in autarchia
c1
Individuo a
(tecnologia più
produttiva)
c1* = w1 + f (k * )
w1
Individuo b
(tecnologia meno
produttiva)
ka*
kb*
*
c0a
*
c0b
w0
c0
Infine, l’investimento ottimo sarà diverso anche se i due individui differiscono solo per la
tecnologia produttiva, ma hanno le stesse preferenze e le stesse dotazioni, come nella Figura 4.
21
L’individuo a, che dispone di una tecnologia più produttiva, risparmia e investe più di b, perché sa
che il compenso che può ottenere per ogni unità risparmiata è maggiore.
Concludendo, in condizioni di autarchia i dati tipici del problema della famiglia – le preferenze e le
dotazioni – influiscono anche sulle decisioni di investimento dell’impresa (Figure 2 e 3). E
viceversa i dati tipici del problema dell’impresa – la tecnologia – influiscono sulle decisioni di
risparmio del consumatore (Figura 4). Ciò per la semplice ragione che in autarchia la famiglia e
l’impresa coincidono. Vedremo più avanti che ciò non è più vero in presenza di mercati finanziari.
2 Consumo e risparmio in un’economia concorrenziale senza investimento
Prima di introdurre i mercati finanziari in un’economia con famiglie e imprese, vediamo quale
effetto essi abbiano nel caso più semplice di un’economia in cui vi sono solo famiglie, nessuna delle
quali può trasformare il consumo corrente in consumo futuro con una tecnologia di investimento
come quella descritta nel paragrafo precedente. Tuttavia esse possono prestare o indebitarsi al tasso
di interesse r, attraverso una banca oppure direttamente con rapporti di credito diretti. Tale tipo di
economia, in cui non vi sono nè investimento nè produzione, viene talvolta chiamata “economia di
puro scambio”. In questo contesto, possiamo pensare al mercato finanziario come un mercato del
credito al consumo.
Se le famiglie hanno una diversa distribuzione delle loro dotazioni nei due periodi, in generale
alcune di loro vorranno prestare e altre indebitarsi, usando il mercato finanziario per riallocare
temporalmente le proprie dotazioni. Specificamente, una famiglia le cui risorse sono concentrate nel
presente vorrà prestarne una parte, e viceversa una famiglia le cui risorse sono concentrate nel
futuro vorrà indebitarsi. Ciò deriva dal fatto che consumatori con una funzione di utilità concava
preferiscono un sentiero di consumo meno variabile rispetto ad uno più variabile.
Tuttavia, le famiglie possono volersi servire del mercato del credito perfino se hanno dotazioni
identiche, sia per ammontare che per distribuzione temporale. Infatti anche in questo caso esse
potrebbero avere preferenze diverse: se alcune di esse sono più pazienti di altre, le prime saranno
disposte a prestare risorse alle seconde.
Supponiamo che il mercato del credito sia perfettamente concorrenziale: tutti gli operatori che
partecipano al mercato considerano il tasso di interesse come un dato che non è influenzato dalle
proprie scelte. Inoltre, il mercato del credito è perfetto, nel senso che non c’è alcun costo di
transazione: il tasso sui prestiti ( rp ) richiesto dalle banche ai debitori è pari al tasso sui depositi
( rd ) da esse offerto ai risparmiatori ( rp = rd = r ). Quindi le banche non guadagnano alcun margine
di intermediazione ( rp − rd = 0 ). Ciò richiede non solo che le banche operino in concorrenza
perfetta, per cui i loro profitti sono nulli, ma anche che esse non sopportino alcun costo reale di
intermediazione (che altrimenti dovrebbero coprire con un margine di intermediazione positivo).
22
Supponiamo che vi siano N famiglie e che le dotazioni, le preferenze e i consumi di ciascuna di esse
siano identificate dall’indice i, per i = 1, 2, …, N. Quindi la famiglia i massimizza una funzione di
utilità U i (c0i , c1i ) strettamente concava, possibilmente diversa da quella delle altre, tenendo conto
della propria dotazione corrente ω0i e futura ω1i :
max
{c
0i
sotto i vincoli
, c1i }
U i (c0i , c1i ) ,
c0i = ω0i − s0i ,
c1i = ω1i + (1 + r ) s0i ,
c0i ≥ 0, c1i ≥ 0.
Il primo è il vincolo di bilancio corrente: il consumo corrente è pari alla dotazione iniziale meno il
risparmio s0i . Il secondo è il vincolo di bilancio futuro: il consumo futuro è pari alla dotazione
futura più il risparmio capitalizzato al tasso di interesse r. Come prima, gli ultimi due vincoli
impongono che il consumo corrente e futuro non possano essere negativi. Sostituendo i primi due
vincoli nella funzione obiettivo, possiamo riscrivere il problema in modo più compatto come la
scelta del livello di risparmio s0i :
max U (ω0i − s0i , ω1 + (1 + r)s0i ) ,
s0 i
(3)
sotto il solo vincolo ω0i ≥ s0i che assicura la non-negatività dei consumi.8
Come nel paragrafo precedente, la condizione di primo ordine, qui calcolata rispetto al risparmio
s0i , identifica la soluzione unica ed interna al problema di ottimizzazione della famiglia i:
−
∂U i
∂c0*i
+
∂U i
∂c1*i
(1 + r ) = 0 .
(4)
L’interpretazione intuitiva è anch’essa analoga: la riduzione di utilità che il consumatore sopporta
oggi per un’unità aggiuntiva di risparmio è compensata esattamente dall’aumento di utilità futura
derivante dall’aumento di consumo che otterrà domani grazie al valore capitalizzato di quell’unità
di risparmio. Infatti, se l’espressione (4) fosse positiva invece che nulla, alla famiglia converrebbe
risparmiare di più, mentre se fosse negativa, converrebbe risparmiare meno. Quindi in entrambi i
casi non avrebbe ancora raggiunto una scelta ottimale.
Possiamo riscrivere la condizione (4) come l’uguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione nel
consumo di ciascuna famiglia i ( SMS i ) e il saggio marginale di trasformazione intertemporale
offerto dal mercato, che è semplicemente 1 + r (la quantità di consumo futuro che si può ottenere
sul mercato finanziario in cambio di ogni unità di consumo corrente a cui si rinuncia):
8
Come prima, non imponiamo tale vincolo esplicitamente nella soluzione del problema, per le ragioni già indicate.
23
SMS i ≡
∂U i / ∂c0*i
∂U i / ∂c1*i
= 1 + r , per i = 1, 2,..., N . .
(4′)
Si noti che la condizione di ottimalità (4′) richiede che i saggi marginali di sostituzione di tutte le
famiglie devono essere uguali tra loro, poiché devono tutti essere pari allo stesso valore 1 + r , come
illustrato dalla Figura 5: i punti di ottimo delle due famiglie si trovano sui rispettivi vincoli di
bilancio, che hanno entrambi pendenza −(1 + r ) . Come si vede, ciò accade anche se le famiglie
hanno diverse dotazioni e diverse preferenze, in contrasto con la situazione di autarchia.
Figura 5. Dotazioni diverse, risparmio e indebitamento
con un mercato concorrenziale del credito al consumo
c1
Individuo a
(presta)
*
c1a
w1a
w1b
Individuo b
(si indebita)
*
c1b
Pendenza = −(1 + r* )
*
−s0b
w0b
*
s0a
*
*
c0a
c0b
w0a
w0b +
w1b
1+ r
*
w0a +
w1a
1 + r*
c0
La Figura 5 illustra anche che i programmi ottimali di risparmio e di indebitamento delle famiglie
devono essere mutuamente compatibili, nel senso che il risparmio di tutte le famiglie in surplus
deve essere pari all’indebitamento di tutte le famiglie in deficit. Nella figura, l’individuo a risparmia
perché la sua dotazione corrente supera il suo consumo desiderato, mentre vale il contrario per
l’individuo b. La situazione descritta nella figura è di equilibrio, perché il risparmio desiderato di a
* ) è pari all’indebitamento desiderato di b ( * ), come indicato dai due segmenti lungo l’asse
( s0a
−s0b
orizzontale. (Poiché s0*b < 0 , l’indebitamento −s0*b > 0 .) Ne segue che la somma del risparmio
positivo di a e di quello negativo di b è pari a zero:
ω0a − c0*a = c0*b − ω0b ⇔ s0*a = − s0*b ⇔ s0*a + s0*b = 0 .
24
Il tasso di interesse è la variabile che fa sì che il risparmio desiderato di a sia esattamente uguale
all’indebitamento desiderato di b, influenzando il risparmio (o indebitamento) delle famiglie. Il
risparmio di ogni famiglia i è infatti funzione del tasso di interesse: s0*i = s0i (r* ) . Supponiamo per
esempio di partire da una situazione di squilibrio del mercato, in cui il risparmio di a non basta a
finanziare la domanda di credito di b. Allora un aumento del tasso di interesse potrà riequilibrare il
mercato, sotto ipotesi ragionevoli. Se il tasso di interesse aumenta, i due vincoli di bilancio nella
figura diventano più ripidi, facendo perno intorno ai rispettivi punti di dotazione. L’aumento del
tasso di interesse fa aumentare il risparmio desiderato di a, se l’effetto di sostituzione e l’effetto
ricchezza dominano l’effetto di reddito. Inoltre esso certamente fa ridurre l’indebitamento
desiderato di b, poiché per un debitore netto l’effetto di reddito è sempre dominato da quello
ricchezza. (Si veda l’appendice di questo capitolo per una discussione e la rappresentazione grafica
dei tre effetti nei due casi.) Ne segue che esisterà un livello del tasso di interesse tale che le due
grandezze saranno uguali. Quello sarà appunto il tasso di interesse di equilibrio r * .
Più in generale, se vi sono N individui, in equilibrio il tasso di interesse deve esser tale che il
risparmio aggregato sia pari a zero:
N
N
i =1
i =1
*
*
∑ (ω0i − c0i ) = 0 ⇔ ∑ s0i = 0 .
(5)
Questa condizione può sembrare strana, ma in realtà è naturale in un’economia di puro scambio: in
assenza di produzione intertemporale, non c’è alcun modo con cui le famiglie nel loro insieme
possano trasferire risorse dal presente al futuro, e quindi risparmiare. Alcune di esse possono
risparmiare, ma solo nella misura in cui ci sono altre famiglie che sono disposte a prendere a
prestito da loro, così rinunciando a parte della propria dotazione futura a vantaggio delle prime.9
3 Consumo, investimento e risparmio in un’economia concorrenziale con produzione
Ora introduciamo nuovamente nell’economia la possibilità di trasferire risorse nel tempo con la
produzione, così come abbiamo fatto nel Paragrafo 1 a proposito del regime di autarchia.
Supponiamo cioè che nell’economia vi siano non solo famiglie ma anche imprese con identica
funzione di produzione concava y1 = f (k ) .10 Sia le famiglie che le imprese possono prendere a
prestito risorse al tasso di interesse r, determinato su un mercato del credito concorrenziale e
perfetto, come già ipotizzato nel Paragrafo 2.
9
Si noti che in questa economia vi sono due mercati: il mercato del consumo corrente – ovvero il mercato dei capitali –
e quello del consumo futuro. Ma se in base alla (5) il mercato dei capitali è in equilibrio, anche il mercato del consumo
futuro lo sarà: la condizione di equilibrio di quel mercato – che il consumo aggregato futuro sia pari alla dotazione
aggregata futura – può essere ottenuta usando la (5) insieme ai vincoli di bilancio delle famiglie. Questa è
un’applicazione della legge di Walras: se N-1 mercati sono in equilibrio, anche l’N-esimo mercato lo sarà.
10
L’ipotesi che le imprese siano tutte uguali è fatta solo per semplicità, e può essere eliminata senza alterare i risultati.
25
Le imprese sono di proprietà delle famiglie, nel senso che distribuiscono a queste i loro profitti. Il
profitto π di ogni impresa è pari al suo ricavo y1 (in unità di consumo futuro) meno il costo
(1 + r )k , cioè il capitale k preso a prestito più i rispettivi interessi, essendo il capitale l’unico fattore
di produzione. Per semplicità di notazione, supponiamo che ogni famiglia sia proprietaria di
un’impresa (ma si tratta si un’ipotesi che può essere eliminata facilmente).
Ora abbiamo quindi due distinti problemi di scelta, quello delle famiglie e quello delle imprese. La
famiglia i risolve il seguente problema, che è molto simile a quello visto nel paragrafo precedente:
max
{c
0i
sotto i vincoli
, c1i }
U i (c0i , c1i ) ,
c0i = ω0i − s0i ,
c1i = ω1i + (1 + r ) s0i + π (k ),
c0i ≥ 0, c1i ≥ 0.
L’impresa-tipo a sua volta massimizza i suoi profitti sotto il vincolo della tecnologia:
max π (k ) = y1 − (1 + r )k ,
k
sotto il vincolo
y1 = f (k ) ,
dove k è il capitale preso a prestito dall’impresa e investito nel processo produttivo. Sostituendo il
vincolo nella definizione del profitto, vediamo che anche in questo caso si tratta di massimizzare
una funzione concava:
max π (k ) = f (k ) − (1 + r )k .
k
La condizione di primo ordine per la massimizzazione dell’utilità delle famiglie è data anche in
questo caso dall’equazione (4′), come è facile verificare. Per comodità del lettore, la riportiamo
nuovamente qui di seguito:
SMS i ≡
∂U i / ∂c0*i
∂U i / ∂c1*i
= 1 + r , per i = 1, 2,..., N .
(4′)
La condizione di primo ordine per la massimizzazione dei profitti delle imprese è invece:
π '(k * ) = f '(k * ) − (1 + r ) = 0 ,
che può essere riscritta come:
SMT ≡ f '(k * ) = 1 + r
(6)
e graficamente corrisponde al punto di tangenza tra la funzione di produzione e la retta di isoprofitto
di livello più elevato possibile, come mostrato nella Figura 6. Si noti che le rette di isoprofitto, la
cui equazione è y1 = π + (1 + r )k , hanno pendenza 1 + r . La retta di isoprofitto tangente alla
funzione di produzione interseca l’asse verticale nel punto che indica il profitto massimo
26
π * = f (k * ) − (1 + r )k * , mentre la distanza della sua intercetta orizzontale dall’origine misura il
valore scontato del profitto massimo, π * /(1 + r ) .
Figura 6. Scelta dell’investimento ottimo con un mercato concorrenziale del credito
y1
Rette di isoprofitto
y1 = π + (1 + r )k
Funzione di produzione
y1 = f (k )
f (k * )
(1 + r )k *
p*
p*
1+ r
k*
p*
1+ r
k
In equilibrio, i programmi di risparmio delle famiglie e di investimento definiti dalle due condizioni
di ottimalità (4′) e (6) devono essere mutuamente compatibili. Il tasso di interesse deve essere cioè
al livello r * tale che l’offerta totale di risparmio delle famiglie (al netto della domanda di credito di
alcune di esse) sia pari alla domanda totale di investimenti delle imprese:
N
*
∑ (ω0i − c0i ) = Nk
i =1
*
N
⇔ ∑ s0*i = Nk * .
i =1
(7)
L’investimento aggregato di equilibrio è il prodotto Nk * (invece che una sommatoria) a causa
dell’ipotesi semplificatrice che le N imprese abbiano la stessa tecnologia, cosicché scelgono tutte lo
stesso livello di investimento. Il tasso di interesse è la variabile che equilibra risparmio e
investimento nella (7). Infatti, come già spiegato nel Paragrafo 2, l’offerta di risparmio delle
famiglie è funzione del tasso di interesse, si*0 = si 0 (r ) : sotto ipotesi ragionevoli, aumenta al
crescere di r. Similmente, la domanda di investimento dell’impresa è funzione decrescente del
tasso di interesse, perché un aumento di r accresce il costo del capitale: k * = k (r ) , con k '(r ) < 0 .
27
Considerando insieme le due condizioni di ottimalità (4′) e (6), vediamo che, anche in questo caso,
in equilibrio il saggio marginale di sostituzione dei consumatori è uguale al saggio marginale di
trasformazione delle imprese (SMS = SMT):
SMS i ≡
∂U i / ∂c0*i
i
∂U / ∂c1*i
= 1 + r* = f '(k * ) ≡ SMT
(8)
per i = 1, 2,..., N . Questa uguaglianza potrebbe apparire uguale alla condizione (2′) relativa al
regime di autarchia. Invece c’è una differenza importante: in presenza di un mercato finanziario
concorrenziale e perfetto, l’uguaglianza tra SMS e SMT è raggiunta perché entrambi sono uguali a
1 + r* , che è il saggio di trasformazione offerto dal mercato (o prezzo del consumo futuro in termini
di consumo corrente). Infatti, il mercato interpone tra le famiglie e le imprese una frontiera di
trasformazione lineare con pendenza pari a −(1 + r ) . Per le famiglie, tale frontiera è il vincolo
intertemporale di bilancio; per le imprese, essa è data dalla retta del profitto.
Figura 7. Risparmio e investimento in equilibrio concorrenziale
c1
*
c1a
f (k * )
Individuo a (paziente) in
equilibrio di mercato
Individuo a
in autarchia
Individuo b
in autarchia
*
c1b
k*
w1 = 0
*
c0a
*
s0a
Individuo b (impaziente)
in equilibrio di mercato
*
−s0b
w0
*
c0b
w0 +
p
1+ r
c0
La condizione (8) è rappresentata nella Figura 7, dove sono rappresentati due individui con diverse
preferenze: a è come al solito più paziente di b, e quindi ha curve di indifferenza più piatte. Per
semplicità, nella figura i due individui hanno una dotazione uguale nel periodo corrente e nulla nel
periodo futuro, cioè corrispondente al punto ω0 sull’asse orizzontale. Entrambi hanno un’impresa
la cui tecnologia è rappresentata dalla stessa frontiera tecnica di produzione. Il loro vincolo di
bilancio passa per il punto ω0 + π / (1 + r ) sull’asse orizzontale, che infatti rappresenta il valore di
mercato della loro ricchezza (la loro dotazione corrente più il valore scontato del profitto generato
dalla loro impresa). Il loro vincolo di bilancio è al tempo stesso la retta dei profitti dell’impresa, e
28
ha pendenza −(1 + r ) . Il punto di massima utilità dei due individui è dato dalla tangenza tra le
rispettive curve di indifferenza e il vincolo di bilancio, come nel Paragrafo 2: la famiglia a
* . Il punto di
* , mentre la famiglia b prende a prestito l’ammontare
risparmia l’ammontare s0a
−s0b
massimo profitto dell’impresa è invece dato dalla tangenza tra la frontiera tecnica di produzione e la
retta del profitto, che corrisponde alla tangenza identificata nella Figura 6 tra la funzione di
produzione e la retta del ricavo: l’impresa investe l’ammontare k * . In equilibrio, il risparmio della
famiglia a finanzia sia l’indebitamento della famiglia b che l’investimento delle due imprese, cioè
s0*a = −s0*b + 2k* , come risulta dalla lunghezza dei rispettivi segmenti lungo l’asse orizzontale.
La figura mostra che queste scelte sono diverse da quelle che le famiglie e le imprese farebbero nel
regime di autarchia, in cui il mercato non separa le une dalle altre. In quella situazione, la famiglia a
risparmierebbe meno che in presenza del mercato, ma investirebbe nella sua impresa più di quanto
l’impresa stessa investe in presenza del mercato finanziario. Simmetricamente, in autarchia la
famiglia b farebbe a meno di indebitarsi, e anzi risparmierebbe, ma la sua impresa investirebbe
meno che in presenza del mercato finanziario. La pazienza della famiglia a si rifletterebbe in
un’investimento maggiore che con il mercato, mentre l’impazienza della famiglia b comprimerebbe
l’investimento della sua impresa rispetto al mercato. Corrispondentemente, il SMS (SMT) della
famiglia (impresa) a sarebbe minore di quello della famiglia (impresa) b.
Quindi nell’equilibrio concorrenziale il mercato separa le scelte ottime delle famiglie da quelle
delle imprese. Le famiglie massimizzano l’utilità tenendo conto solo delle proprie preferenze e del
vincolo di bilancio, senza essere influenzate dalla tecnologia produttiva a cui hanno accesso, perché
indipendentemente da questa possono impiegare i loro risparmi al tasso di interesse offerto dal
mercato. Simmetricamente, le imprese massimizzano i profitti tenendo conto solo del vincolo posto
dalla tecnologia, senza essere influenzate dalle preferenze o dotazioni delle famiglie loro
proprietarie, perché indipendentemente da queste esse possono finanziare i propri investimenti
indebitandosi al tasso di interesse richiesto dal mercato.
Concludendo, se il mercato del credito è concorrenziale e perfetto (cioè privo di costi di
transazione) come stiamo supponendo, vale il cosiddetto principio della separazione di Fisher:11
* scelto dalla famiglia i non è influenzato dalla tecnologia produttiva a cui essa ha
1) Il risparmio s0i
accesso, ma solo dalle sue preferenze e dotazioni e dal tasso di interesse di equilibrio r * .
2) L’investimento k * scelto dall’impresa non è influenzato dalle preferenze e dotazioni della
famiglia che ne è proprietaria, ma solo dalla sua tecnologia e dal tasso di interesse di equilibrio r * .
Un’altra conclusione importante che emerge dalla Figura 7 riguarda l’efficienza allocativa del
mercato rispetto al regime di autarchia. Il mercato del credito consente sia alla famiglia a che alla
famiglia b di raggiungere curve di indifferenza più elevate che in autarchia, e quindi un livello
11
Dal nome del celebre economista Irving Fisher, che propose questa analisi delle scelte intertemporali nel suo libro
The Theory of Interest, Macmillan, New York, 1930.
29
maggiore di utilità. Quindi introdurre un mercato concorrenziale del credito in un’economia
altrimenti autarchica conduce a un miglioramento secondo il criterio di Pareto: nel nostro esempio,
ciascuno accresce il proprio benessere. In realtà è possibile dimostrare un’affermazione più forte di
questa, e cioè che un mercato concorrenziale del credito consente di raggiungere un’allocazione
efficiente secondo il criterio di Pareto, ovvero tale da non poter migliorare ulteriormente il
benessere di nessuno senza ridurre quello di qualcun altro. Questa non è altro che un’applicazione
del primo teorema fondamentale dell’economia del benessere:12
In presenza di mercati concorrenziali, perfetti e completi, l’allocazione di equilibrio è Paretoefficiente.
È importante sottolineare l’importanza dell’ipotesi di mercati perfetti nelle conclusioni raggiunte
fino a questo punto. In presenza di costi di transazione, infatti, il mercato non consente a tutte le
famiglie e imprese di ottenere dal mercato lo stesso saggio intertemporale di trasformazione, perché
famiglie e imprese diverse si trovano a fronteggiare prezzi diversi.
Per esempio, se c’è un differenziale tra tasso sui prestiti ( rp ) e tasso sui depositi ( rd ), i debitori si
trovano a pagare un tasso di interesse maggiore di quello che ricevono i depositanti: quindi in
equilibrio i debitori hanno un SMS maggiore di quello dei creditori. Questa situazione è illustrata
dalla Figura 8, dove il tasso di interesse r con mercati perfetti è intermedio rispetto a rp e rd con
mercati imperfetti. Le due famiglie hanno vincoli di bilancio con pendenza diversa: la famiglia a
risparmia e quindi il suo SMS è −(1 + rd ) , mentre la famiglia b si indebita e quindi il suo SMS è
−(1 + rp ) , che è maggiore in valore assoluto. Poiché il costo opportunità del capitale percepito dalle
due famiglie è diverso, esse vorranno anche che le loro due imprese investano in modo diverso: a
vorrà che la sua impresa investa più che in una situazione con mercati perfetti, mentre b vorrà che
investa di meno. Quindi, anche i SMT delle due imprese saranno diversi, e saranno influenzati dalle
scelte di consumo delle rispettive famiglie. Il principio di separazione di Fisher non vale più.
Per la stessa ragione, la presenza di costi di transazione riduce anche l’aumento di benessere che il
mercato è in grado di generare rispetto alla situazione di autarchia. Nella Figura 8, le due famiglie si
collocano su curve di indifferenza di livello inferiore rispetto al caso di mercati perfetti, che
corrisponde al vincolo di bilancio tratteggiato con pendenza intermedia. Se il differenziale tra il
tasso sui prestiti e sui depositi fosse molto elevato, l’economia potrebbe tornare perfino alla
situazione di autarchia: famiglie e imprese troverebbero troppo costoso il ricorso al credito.
12
L’ipotesi che i mercati siano completi – cioè che vi sia un mercato per ciascun bene nell’economia – è rispettata nel
nostro caso, in cui esistono due soli mercati: : il mercato del consumo corrente – o equivalentemente il mercato dei
capitali, che equilibra risparmio e investimento – e quello del consumo futuro.
30
Figura 8. Effetto del differenziale tra tasso sui prestiti e tasso sui depositi
c1
Pendenza = −(1 + rp )
*
c1a
Individuo a
*
c1b
w1 = 0
Pendenza = −(1 + rd )
Individuo b
kb*
*
c0a
ka*
*
w0 c0b
w0 +
p
1+ r
c0
Un’altra possibile forma di imperfezione dei mercati finanziari è quella del razionamento del
credito ai debitori: le banche possono rifiutarsi di prestar loro più di un certo ammontare. Ciò può
accadere a causa di vincoli regolamentari al credito (limiti imposti dall’autorità di sorveglianza, per
esempio per impedire che le banche si espongano troppo verso specifici clienti) oppure a causa di
informazione asimmetrica (il timore della banca che il cliente voglia indebitarsi molto perché sa di
non poter o voler restituire il prestito). Il vincolo di razionamento del credito (a volte detto “vincolo
di liquidità”) può essere “stringente” oppure no: è stringente solo se costringe il cliente della banca
a indebitarsi meno di quanto avrebbe fatto se il mercato del credito fosse stato perfetto.
La Figura 9 rappresenta una situazione in cui l’individuo b è sottoposto a un vincolo di
razionamento del credito stringente: il suo vincolo di bilancio è composto da una linea spezzata, che
in corrispondenza del vincolo di razionamento diventa verticale, e la sua curva di indifferenza di
livello più elevato si trova a passare precisamente laddove il vincolo diventa verticale. Quindi il suo
punto di ottimo (considerato sia il vincolo di bilancio che quello di razionamento del credito) non
corrisponde più a un punto di tangenza: la pendenza del vincolo di bilancio nel punto di ottimo non
è neanche definita! Ciò che è definita però è la pendenza della curva di indifferenza passante per
quel punto, cioè il SMS di b, che è chiaramente maggiore di quello di a e del SMT dell’impresa (che
per semplicità supponiamo non esser sottoposta allo stesso vincolo di razionamento delle famiglie).
31
Figura 9. Effetto del razionamento del credito
c1
*
c1a
Individuo a
Individuo b:
razionamento
*
c1b
w1 = 0
Individuo b:
mercato perfetto
*
c0a
*
w0 c0b
w0 +
p
1+ r
c0
Anche in questo caso l’imperfezione del mercato del credito si traduce in un minor livello di
benessere. La figura mostra che l’individuo b si va a situare su una curva di indifferenza inferiore
rispetto a quella che potrebbe raggiungere con un mercato del credito perfetto. Infatti a causa del
vincolo di razionamento egli può indebitarsi meno di quanto farebbe in un mercato perfetto del
credito. Ciò è illustrato dai due segmenti lungo l’asse orizzontale, che indicano i livelli alternativi di
indebitamento di b nei due regimi. Invece la situazione dell’individuo a non varia, poiché egli è
comunque un risparmiatore netto e quindi per lui il vincolo di razionamento del credito per
definizione non è stringente.
32
Esercizi
1.
Usa le espressioni di c0 e c1 nei vincoli di bilancio corrente e futuro per ottenere l’equazione
del vincolo di bilancio intertemporale che lega c0 e c1 in autarchia, calcola l’espressione
dell’intercetta sull’asse verticale, e spiega il significato economico di tale espressione. Ripeti
l’esercizio per una famiglia che si trovi in un’economia con un mercato concorrenziale.
2.
Maria vive in un’economia con due periodi e senza mercati finanziari, e ha una dotazione
c 1−γ
c 1−γ
positiva ω0 solo nel primo periodo. La sua funzione di utilità è U = 0
, dove
+β 1
1− γ
1− γ
0 < γ < 1, e la sua funzione di produzione è y1 = (1 + θ )k , dove β > 0 e θ > 0 .
a) Qual è il risparmio ottimale di Maria, k * , in funzione dei parametri ω0 , θ e β ?
b) Come varia k * in funzione di ciascuno di tali parametri? Perché?
3.
Considera il modello di scelta intertemporale del consumo, e un consumatore con generica
funzione di utilità u (c0 , c1 ) , con u ' > 0, u '' < 0 , e reddito w0 > 0, w1 > 0 . Il consumatore può
prendere e dare a prestito al medesimo tasso di interesse r > 0 .
a) Supponi che u(c0 , c1) = min {α c0 , β c1}, dove α > 0, β > 0 e che il consumatore, in
equilibrio, sia in realtà un risparmiatore netto. Cosa succede al consumo ottimo ( c0* , c1* ) e
quindi al risparmio ottimo s0* , se il tasso di interesse r aumenta, e perché?
b) Se u(c0 , c1) = c0 + f (c1) , dove f (⋅) è una funzione monotona crescente, sotto quali
condizioni le curve di livello associate a tale funzione di utilità sono convesse? Deriva
inoltre la scelta ottima del consumatore e mostra che la domanda ottima del consumo
futuro non dipende dal reddito corrente o futuro.
c) Se invece u(c0 , c1) = log(c0 ) + β log(c1), β ∈ (0,1) , e il consumatore (rappresentativo) ha a
sua disposizione anche un’azione che genera un dividendo π > 0 nel periodo 1. Calcola il
tasso di interesse di equilibrio r * , e indica come esso reagisce ad un aumento di π . Si
spieghi intuitivamente il risultato.
d) Calcola il prezzo di equilibrio p * di un’azione se la funzione di utilità è quella ipotizzata
al punto c. Dimostra che, se w0 > 0 , l’effetto netto di un aumento del dividendo π di tutte
le imprese nell’economia – quindi, in equilibrio generale – sul suo prezzo può essere
scomposto nei due effetti dell’aumento del flusso di cassa futuro e dell’aumento del tasso
di interesse, e che l’effetto netto è positivo se w1 > 0 , ma diventa zero se w1 = 0 .
33
4.
In un’economia senza mercati finanziari, vi sono due individui a e b con identiche dotazioni
ω0 = 1, ω1 = 0 , identica funzione di produzione y1 = (1 + θ )k (dove θ è un parametro
positivo) e diverse preferenze, descritte dalle seguenti funzioni di utilità additive:
U a = c0a + βa c1a , U b = c0b + βb c1b ,
dove β a e βb sono i fattori di sconto dell’individuo a e b. Supponi che βa < βb .
a) Rappresenta graficamente il problema di scelta e il punto di ottimo dei due individui.
b) Calcola il risparmio e l’investimento ottimale dei due individui, ka* e kb* , in funzione delle
rispettive dotazioni, e dei parametri θ , β a e βb . Quale risparmia e investe di più?
c) In generale, come variano ka* e kb* in funzione di β a e βb ? Perché?
5.
Usa la scatola di Edgeworth per analizzare gli effetti sul benessere dell’introduzione di un
mercato concorrenziale e perfetto del credito al consumo in un’economia senza produzione e con
dotazioni individuali diverse (specificamente, ipotizza che la dotazione dell’individuo a sia
maggiore nel periodo 0 e quella dell’individuo b sia maggiore nel periodo 1).
6.
Deriva il sentiero ottimo del consumo e il risparmio di un consumatore con funzione di utilità:
U = c0 +
1
c1
1+ δ
e vincolo di bilancio c1 = [ω1 + (1 + r )ω0 ] − (1 + r)c0 .
a) Come variano il risparmio ed il consumo presente al variare del tasso di interesse?
b) Scomponi la variazione della domanda di consumo presente dovuta all’effetto di sostituzione,
all’effetto di reddito ed all’effetto ricchezza. (Suggerimento: risolvi il problema di ottimizzazione
corrispondente al nuovo vincolo di bilancio che corrisponde a ciascun effetto.)
7.
Considera un’economia di puro scambio con due individui a e b. Supponi che essi abbiano
dotazioni diverse ω0a ≠ ω0b e ω1a ≠ ω1b , ma la stessa funzione di utilità:
log(c0i ) + β log(c1i )
dove β è il fattore di sconto e i = a, b .
* e * , in funzione delle rispettive
a) Calcola il risparmio ottimale delle due famiglie, s0a
s0b
dotazioni e del tasso di interesse r;
b) Calcola il tasso di interesse di equilibrio r * , considerando le dotazioni aggregate
W0 = ω0a + ω0b e W1 = ω1a + ω1b ;
c) Mostra come il tasso di equilibrio r * varia al variare del fattore di sconto β e delle
dotazioni aggregate W0 e W1, e spiega intuitivamente i risultati.
34
8.
Dimostra graficamente e analiticamente che l’investimento ottimo delle imprese k * è funzione
decrescente del tasso di interesse r se la funzione di produzione f (k ) è crescente e concava.
(Suggerimento: considera la condizione di primo ordine come funzione implicita di k * e di r.)
9.
Considera un’economia biperiodale e perfettamente concorrenziale. Ciascun individuo ha in
dotazione un ammontare w0 > 0 nel periodo 0 e un ammontare nullo nel periodo l. Vi sono due tipi
di individui, con diverse preferenze. La funzione di utilità dell’individuo di tipo a è:
U a = log c0a +
1
log c1a ,
1+ δ
dove δ > 0, mentre quella dell’individuo di tipo b è:
U b = log c0b + log c1b .
Ogni impresa può trasformare consumo del periodo 0 in consumo del periodo l con la stessa
tecnologia y1i = 2θ ki , dove ki è l’investimento dell’impresa i = 1,2, θ > l, e y1i è la sua
produzione. Ogni individuo è proprietario di un’impresa con questa funzione di produzione.
a) Scrivi il problema di scelta di ciascuno dei due consumatori in autarchia, e le rispettive condizioni
di ottimo. Calcola il livello di consumo e di investimento scelto in equilibrio da ciascuno di loro.
b) Scrivi il problema di scelta di ciascuno dei due consumatori e delle rispettive imprese in
presenza di un mercato dei capitali perfetto, e le rispettive condizioni di ottimo.
c) Ricava la funzione di offerta aggregata di risparmio e la funzione di domanda aggregata di
investimento, calcola il tasso di interesse e il risparmio di equilibrio, e rappresenta
graficamente le due funzioni.
d) Come differisce l’allocazione d’equilibrio rispetto al caso di autarchia? Qual è l’interpretazione
economica di questo risultato?
10.
Considera un consumatore con dotazione ω0 nel periodo corrente e ω1 = (1 + g )ω0 in quello
futuro, per cui g è il tasso di crescita del suo reddito. Il consumatore ha una funzione di utilità
U = log c0 + log c1 e si trova in un’economia in cui il tasso di interesse sui prestiti effettuati alle
famiglie, rp , è superiore al tasso di interesse sui depositi bancari, rd . Il differenziale tra i due
tassi è pari a x, cioè rp = rd + x .
a) Calcola qual è la condizione perché il consumatore voglia prendere a prestito, e qual è il suo
indebitamento ottimale. Spiega intuitivamente i risultati da te ottenuti.
b) Calcola qual è la condizione perché il consumatore voglia risparmiare una quantità positiva, e
qual è il suo risparmio ottimale.
c) Cosa accade se nessuna delle due condizioni trovate ai punti precedenti è soddisfatta?
d) Calcola l’utilità del consumatore nel punto di ottimo nei casi descritti ai punti a) e b). Come
varia in funzione di x, e perché?
35
Appendice
Effetto di un aumento del tasso di interesse su consumo e risparmio
Se il tasso di interesse aumenta da r a r', è possibile scomporre il suo effetto sul consumo corrente scelto dal
consumatore in tre parti: 1) l’effetto di sostituzione, che è negativo; 2) l’effetto di reddito, che è positivo; 3)
l’effetto ricchezza, che è anch’esso negativo.13 Distinguiamo questi tre effetti innanzitutto nel caso di un
risparmiatore netto, la cui situazione è illustrata nella Figura A1. Quando il tasso di interesse è al livello
iniziale r, il vincolo di bilancio ha pendenza −(1 + r ) : il livello ottimale del consumo corrente è c0* , che
corrisponde al punto di tangenza A. Quando il tasso di interesse aumenta al nuovo livello r', il vincolo di
bilancio assume pendenza −(1 + r ') , ruotando intorno al punto di dotazione, e il nuovo consumo ottimale è
c0** , in corrispondenza del nuovo punto di tangenza D. Questa variazione può essere scomposta in tre parti.
1) L’effetto di sostituzione misura la variazione del consumo corrente che si avrebbe qualora il consumatore
mantenesse una dotazione appena sufficiente a mantenere il livello iniziale di consumo c0* in presenza
del nuovo tasso di interesse r ' e si ottiene graficamente facendo ruotare il vincolo di bilancio intorno al
punto di ottimo iniziale A, fino ad assumere la nuova pendenza −(1 + r ') : il punto di tangenza che si
ottiene in tal modo è il punto B, che per costruzione giace a sinistra di quello iniziale A. Quindi questo
effetto (da A a B) è negativo, nel senso che comporta una riduzione del consumo corrente.
2) L’effetto di reddito misura la variazione del consumo corrente dovuta alla variazione di reddito del
consumatore a parità di valore attuale della sua dotazione futura ω1 / (1 + r ) , cioè al netto dell’effetto
negativo dell’aumento del tasso di interesse sul valore della ricchezza futura. Graficamente si ottiene con
uno spostamento parallelo del nuovo vincolo di bilancio fino a raggiungere l’intercetta iniziale sull’asse
delle ascisse, cioè ω0 + ω1 / (1 + r ) . Il punto di tangenza corrispondente è il punto C. Tale effetto (da B a
C) è per costruzione positivo, cioè comporta un aumento del consumo corrente.
3) L’effetto ricchezza è la variazione del consumo corrente dovuta alla riduzione del valore attuale della
dotazione futura da ω1 / (1 + r ) a ω1 / (1 + r ') . Graficamente, risulta dallo spostamento parallelo del
vincolo di bilancio da quello passante per il punto C appena ottenuto al punto finale di equilibrio D, che
corrisponde al vincolo passante per il nuovo livello di ricchezza ω0 + ω1 / (1 + r ') . La riduzione di
ricchezza del consumatore è il corrispondente spostamento orizzontale del vincolo di bilancio. Tale
effetto (da C a D) è per costruzione negativo, cioè comporta una riduzione del consumo corrente.
Quindi nel caso di un risparmiatore netto abbiamo due effetti negativi sul consumo corrente (sostituzione e
ricchezza) e uno positivo (reddito). Se i primi due prevalgono sul terzo, allora l’effetto complessivo è
negativo, come nel caso illustrato nella Figura A1. In tal caso, un aumento del tasso di interesse è associato
ad un aumento del risparmio. Ma non necessariamente è così. L’effetto di reddito può prevalere sugli altri
due. In tal caso, un aumento del tasso di interesse sarà associato ad un aumento del risparmio.
13
Tali effetti nella parte analitica che segue saranno indicati con i rispettivi acronimi inglesi SE (substitution effect), IE
(income effect) e WE (wealth effect), in quanto l’acronimo italiano per gli effetti di reddito e ricchezza risulterebbe
ambiguo (ER per entrambi).
36
Si noti anche che nel caso di un risparmiatore netto la somma dell’effetto di reddito e dell’effetto di
ricchezza (cioè, il loro effetto complessivo netto) sul consumo corrente è sempre positiva: per convincersene,
si consideri che la somma dei due effetti è data dallo spostamento dal punto B al punto finale D (poiché
corrisponde allo spostamento da B a C e poi da C a D), e quindi corrisponde ad uno spostamento parallelo
verso l’esterno del vincolo di bilancio con pendenza −(1 + r ') , da quello passante per il punto B a quello
passante per il punto D. Quindi un altro modo per esprimere l’ambiguità dell’effetto complessivo di un
aumento del tasso di interesse sul consumo corrente è che l’effetto di sostituzione fa ridurre il consumo
mentre l’effetto combinato di reddito e di ricchezza lo accresce, per cui l’effetto totale è di segno incerto.
Figura A1. Il caso di un risparmiatore netto:
decomposizione in effetto di sostituzione, effetto di reddito ed effetto ricchezza
c1
Pendenza = −(1 + r ')
C
B
D
A
w1
Pendenza = −(1 + r )
c0** c0*
w0
w0 +
w1
w
w0 + 1
1+ r '
1+ r
c0
Diverso è il caso di un debitore netto, che è illustrato nella Figura A2. Anche in questo caso i tre effetti hanno
i segni sopra descritti, ma la loro grandezza relativa è diversa. Un aumento del tasso di interesse per un
soggetto indebitato ha un effetto più dannoso che per un risparmiatore netto. Mentre il risparmiatore netto
otterrà un maggior rendimento dai suoi risparmi, il debitore netto pagherà un tasso più elevato sui suoi debiti.
In questo caso, l’effetto ricchezza (negativo) è sempre maggiore dell’effetto di reddito (positivo), per cui la
somma di questi due effetti sul consumo corrente è negativa: per convincersene, si noti che nella Figura A2
lo spostamento dal punto B al punto finale D corrisponde ad uno spostamento parallelo verso l’interno del
vincolo di bilancio con pendenza −(1 + r ') . Graficamente, nel caso di un debitore netto lo spostamento
orizzontale verso destra dal punto B al punto C (l’effetto di reddito, positivo) è sempre minore dello
spostamento orizzontale vesro sinistra dal punto C al punto D (l’effetto ricchezza, negativo). Quindi nel
caso di un debitore netto, non solo l’effetto di sostituzione fa ridurre il consumo, ma anche l’effetto
37
combinato di reddito e di ricchezza lo riduce: la somma di questi due effetti va a rinforzare l’effetto di
sostituzione. Ne segue che l’effetto complessivo dell’aumento del tasso di interesse sul consumo corrente è
certamente anch’esso negativo, ovvero induce sempre i debitori a ridurre il proprio indebitamento.
Figura A2. Il caso di un debitore netto:
decomposizione in effetto di sostituzione, effetto di reddito ed effetto ricchezza
c1
Pendenza = −(1 + r ')
C
B
w1
D
A
Pendenza = −(1 + r )
w0
c0**
c0*
w0 +
w1
1+ r '
w0 +
w1
1+ r
c0
Tali effetti possono essere determinati anche analiticamente, risolvendo per ciascuno di essi un
sistema con due equazioni e due incognite. Le incognite sono il livello ottimale di consumo corrente
e futuro, mentre le due equazioni sono:
•
il vincolo di bilancio intertemporale;
•
la condizione di tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza più elevata, che
consiste nell’uguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione (la pendenza della curva di
indifferenza) e − (1 + r ) (la pendenza del vincolo di bilancio).
Quindi il sistema di equazioni è:
⎧c1 = (1 + r ) ω0 + ω1 − (1 + r ) c0
⎪
⎨ ∂U / ∂c0
⎪ ∂U / ∂c = 1 + r
⎩
1
38
dove ( ∂U / ∂c0 ) / ( ∂U / ∂c1 ) è il saggio marginale di sotituzione tra consumo presente e consumo
futuro. Ovviamente il vincolo di bilancio passa per il punto di dotazione iniziale (ω0 , ω1 ) : se nel
vincolo poniamo c0 = ω0 , si ottiene c1 = ω1 . Ciò comporta che l’intercetta verticale del vincolo, che
indica il massimo consumo futuro dell’individuo, è pari a c1 = (1 + r )ω0 + ω1 , mentre quella
orizzontale che indica il massimo consumo corrente, è pari a c0 = ω0 + ω1 / (1 + r ) . Indicando la
soluzione di questo sistema di equazioni come punto A, la scelta ottima sarà (c0* , c1* ) = (c0A , c1A ) .
Ora, supponiamo che il tasso di interesse aumenti dal livello iniziale r ad un nuovo livello r ' , e
scomponiamo la variazione del consumo corrente negli effetti di sostituzione, reddito e ricchezza.
Il nostro primo obiettivo è determinare c0B , ovvero il nuovo livello che il consumo corrente
raggiunge per l’effetto di sostituzione. Il sistema da risolvere per trovare tale valore ha una struttura
analoga a quella appena vista per ottenere il punto A, poiché anche in questo caso si tratta di
determinare una scelta ottima. Tuttavia il vincolo rilevante stavolta non passa più per il punto di
dotazione iniziale bensì per quello corrispondente al paniere ottimo iniziale A (in quanto per
l’effetto di sostituzione il vincolo ruota proprio attorno a tale punto). In altri termini, immaginiamo
di attribuire all’individuo un livello di ricchezza che gli consente di acquistare il paniere ottimo
iniziale: c0* = c0A nel primo periodo e c1* = c1A nel secondo. Inoltre la nuova pendenza del vincolo
sarà −(1 + r ') . Quindi l’intercetta verticale del vincolo, che indica il massimo consumo futuro,
diverrà pari a c1 = (1 + r ')c0A + c1A , mentre quella orizzontale che indica il massimo consumo
corrente, è pari a c0 = c0A + c1A /(1 + r ') . Quindi il nostro nuovo sistema sarà:
⎧c1 = (1 + r ')c0A + c1A − (1 + r ')c0 ,
⎪
⎨ ∂U / ∂c0
⎪ ∂U / ∂c = 1 + r '.
1
⎩
Indicando la soluzione di questo sistema come punto B, cioè (c0B , c1B ) , l’effetto di sostituzione sul
consumo corrente sarà quindi:
Δc0SE = c0B − c0A .
Il secondo obiettivo è determinare c0C , ovvero il nuovo livello che il consumo corrente raggiunge
per l’effetto di reddito. La pendenza del vincolo di bilancio sarà come prima pari a −(1 + r ') , ma
stavolta la posizione del vincolo deve essere tale che la sua intercetta orizzontale sia pari alla
ricchezza iniziale c0 = ω0 + ω1 / (1 + r ) . Per comprendere il motivo di ciò, si consideri come si
modifica il vincolo di bilancio a causa dell’effetto di reddito in un’economia di puro scambio con
due generici beni normali x e y, quando il prezzo del bene y varia da p y a p y' :
px x + p 'y y = px wx + p y wy .
!#
#"##
$
≡m
39
In tal caso, se misuriamo la quantità del bene x sull’asse orizzontale e quella del bene y sull’asse
verticale, l’intercetta orizzontale (m px ,0) resterà invariata mentre l’intercetta verticale (0, m / p y' )
si sposterà. Quindi, la rotazione del vincolo per l’effetto di reddito avverrà proprio attorno al punto
di coordinate ( m px ,0 ) , e cioè attorno all’intercetta orizzontale. Ora, si noti che nel modello di
scelta intertemporale è sempre il prezzo del “bene y” a variare e cioè il prezzo del consumo futuro,
poiché il consumo presente è posto come numerario e quindi il suo prezzo è pari ad 1. Di
conseguenza, la rotazione del vincolo avverrà attorno al punto con coordinate (ω0 + ω1 / (1 + r),0) .
In altri termini, l’intercetta orizzontale, che indica il massimo consumo corrente, ridiventa pari a
c0 = ω0 + ω1 / (1 + r ) , come nel vincolo iniziale; ma poiché la pendenza del vincolo ora è −(1 + r ') ,
l’intercetta verticale, che indica il massimo consumo futuro, ora è pari a
c1 = (1 + r ') [ω0 + ω1 / (1 + r)] , cioè al valore originario delle risorse complessive del consumatore
ω0 + ω1 / (1 + r ) capitalizzato al nuovo tasso di interesse r ' . Quindi il nostro nuovo sistema sarà:
⎧
ω1 ⎞
⎛
⎪c1 = (1 + r ') ⎜ ω0 + 1 + r ⎟ − (1 + r ')c0 ,
⎪
⎝
⎠
⎨
⎪ ∂U / ∂c0 = 1 + r '.
⎪⎩ ∂U / ∂c1
Indicando la soluzione di tale sistema come punto C, cioè (c0C , c1C ) , l’effetto di reddito sul consumo
corrente sarà:
Δc0IE = c0C − c0B .
Infine, vogliamo individuare c0** = c0D , ovvero il nuovo livello che consumo corrente raggiunge per
l’effetto ricchezza. Si noti che tale scelta corrisponde alla scelta ottima finale dell’individuo. La
pendenza del vincolo sarà sempre −(1 + r ') , ma stavolta il vincolo dovrà passare per il punto
corispondente alla dotazione iniziale (ω0 , ω1 ) , poiché per ipotesi questa non è cambiata. Ciò
comporta che l’intercetta verticale del vincolo, che indica il massimo consumo futuro
dell’individuo, è pari a c1 = (1 + r ')ω0 + ω1 , mentre quella orizzontale che indica il massimo
consumo corrente, è pari a c0 = ω0 + ω1 / (1 + r ') . Di conseguenza, il nostro nuovo sistema sarà:
⎧c1 = (1 + r ')ω0 + ω1 − (1 + r ')c0 ,
⎪
⎨ ∂U / ∂c0 = 1 + r '.
⎪ ∂U / ∂c
⎩
1
Indicando la soluzione di tale sistema come punto D, cioè (c0** , c1** ) = (c0D , c1D ) , l’effetto ricchezza
sul consumo corrente sarà quindi pari a:
D
C
ΔcWE
0 = c0 − c0 .
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