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Esercizi di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
6 giugno 2006
Statistica
Esercizio 1 Sia {Xn }n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2 . Verificare che
Pn
• X = n1 i=1 Xi
Pn
2
• σ 2 = i=1 (Xi − µ)
2
Pn
1
• S 2 = n−1
sono stimatori non distorti rispettivamente di
i=1 Xi − X
media, varianza con media nota, e varianza.
Esercizio 2 Sia {Xn }n una famiglia di v.a. di media µ. Dire se i seguenti
n
, T = X1 − 2X5 +
stimatori della media sono distorti. a) T = X1 , T = X1 +X
2
3Xn . Nel caso in cui siano distorti trovare la costante di normalizzazione della
distorsione.
Esercizio 3 Sia X1 , X2 un campione di numerosità 2 estratto da una popolazione con distribuzione fX (x) = 2x
θ 2 , con 0 < x < θ.
a) Calcolare media e varianza della popolazione. b) Calcolare media e varianza dei due stimatori di θ:
T1 =
2
1
X1 + X2 ,
3
3
T2 =
1
1
X1 + X2
2
2
c) Quale dei due stimatori di θ è preferibile?
Esercizio 4 Sia X1 , . . . , Xn un campione casuale semplice estratto da una v.a.
N (µ, σ 2 ), con µ e σ 2 noti. Determinare la distribuzione della statistica
3
T =
n
X
1X
1
Xi +
Xi
6 i=1
2(n − 3) i=4
[T ∼ N (µ, nσ 2 /(12(n − 3)))]
Esercizio 5 La durata delle telefonate urbane segue una distribuzione normale
di media µ = 10 minuti e scarto quadratico medio σ = 3 minuti. Selezionato
un c.c.s. di 20 telefonate, trovare la distribuzione della media campionaria e
la probabilità che la durata media delle telefonate sia compresa fra 9.5 e 10.3
minuti.
[N(10,0.45), 0.447]
1
Esercizio 6 La resistenza al carico dei sacchetti di plastica utilizzati per contenere generi alimentari segue una distribuzione normale di media 3.2 kg e scarto
quadratico medio 5 Kg. Quale proporzione di sacchetti ha una resistenza al carico tra i 2.8 e i 3.4 Kg? Se si selezionano molti c.c.s di numerosità 30, quale
proporzione di medie campionarie ci si aspetta tra i 2.8 e i 3.4 Kg?
[0.048, 0.257]
Esercizio 7 La durata in ore delle pile prodotte da una ditta segue una distribuzione normale di media µ = 100 ore e varianza σ 2 ignota. Osservata una
varianza campionaria pari a 400 su un campione di n = 10 pile, quale valore
verrà superato con una probabilità del 95% dalla media campionaria?
[88.406]
Esercizio 8 Si è estratto un campione di 100 abbonati al telefono e di questi 30
avevano la segreteria telefonica. Si vuole stimare qual è, fra tutta la popolazione,
la percentuale di segreterie telefoniche installate con un livello di confidenza di
0.95.
[(0.21018,0.38982)]
Esercizio 9 Avendo osservato il campione (1.2, 3.4, 0.6, 5.6) da una distribuzione normale con σ = 3 si trovi un intervallo di confidenza di livello 0.95 per
la media µ della popolazione. Come cambia l’intervallo se non si conoscesse la
varianza della popolazione?
[(-0.24,5.64), (-0.923, 6.323)]
Esercizio 10 Una ditta che produce detersivi sostiene che le sue confezioni di
detersivo hanno un peso di 4.4 Kg con una deviazione standard di 0.7 Kg. Un
dettagliante estrae un campione casuale di 50 scatole di detersivo e rileva che il
peso medio è di 4.2 Kg. Verificare se l’affermazione della ditta è da rifiutare ai
livelli di significativitá del 5% e dell’1% supponendo che il peso sia una variabile
normalemente distribuita.
[rifiuto con 0.05, accettazione con 0.01]
Esercizio 11 Si sceglie un campione di 10 allievi di una classe; si calcola l’altezza media, che risulta di 170 cm, con uno scarto quadratico medio di 12 cm.
Si vuole verificare, a livello di significatività di 0.01, se l’altezza media degli allievi di tutta la popolazione scolastica con la stessa età è di 165 cm, supponendo
la variabile normalmente distribuita.
[accettazione]
Esercizio 12 Si lancia per 100 volte un dado e risulta che la faccia 6 si è
presentata 30 volte. Si chiede di decidere se il dado è truccato o regolare, ad un
livello di significatività di 0.05.
Esercizio 13 Siano X 1 , X 2 le medie di due c.c.s. di numerosità n estratti da
una v.a. N (µ, σ 2 ). Determinare per quale valore di n si ha una probabilità del
10% che le due medie differiscano fra loro di più di σ.
[n=6]
2