Numeri complessi e coordinate polari

COORDINATE POLARI
y
𝑦𝑝
2
1
= sin 𝜗 =
=
2
𝜌
2
P
P2
yP=1
O
𝜌
xP=1
𝜗
P1
𝜌=
𝜋
𝜗=
4
12 + 12 = 2
x
𝑃 ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono:
𝜌 = 𝑂𝑂 𝜗 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑂�𝑃
Nell’esempio: 𝜌, 𝜗 =
𝜋
2,
4
COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le coordinate
polari e cartesiane di un punto:
𝑥 = 𝜌 cos 𝜗
𝑦 = 𝜌 sin 𝜗
• Da cui segue che:
𝑥
cos 𝜗 =
𝜌
𝑦
sin 𝜗 =
𝜌
• si osservi che: 𝜌 =
𝑥2 + 𝑦2
2
NUMERI REALI
• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto
alle operazioni algebriche di +, -, *, :
Questo significa che la somma (la
differenza, il prodotto e il quoziente) di 2
numeri reali è un numero reale.
• Tutti i numeri reali sono somma ( differenza
/ prodotto / quoziente) di due numeri reali?
• La relazione è biunivoca?
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NUMERI COMPLESSI
• Sia 𝑥 ⋅ 𝑥 = −1
• x non può essere un numero reale perché il
quadrato di un numero reale non può essere
uguale ad un numero reale negativo.
• Si definisce unità immaginaria il numero
i il cui quadrato è uguale a – 1:
𝑖 2 = −1
𝑖 = −1
4
NUMERI COMPLESSI
• Un numero non reale (complesso) z può
essere scritto nel seguente modo:
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑏
• Si compone di una parte reale ed una
immaginaria
• L’insieme dei numeri complessi viene
indicato con C e risulta chiuso rispetto alle
operazioni algebriche di somma, differenza,
prodotto e divisione.
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GLI INSIEMI NUMERICI
• Sussiste una precisa relazione di inclusione:
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
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NUMERI COMPLESSI
•
Siano dati due numeri complessi
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑏
𝑣 = 𝑐 + 𝑑𝑑
• SOMMA:
𝑧 + 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐 + 𝑑𝑑 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
• DIFFERENZA:
𝑧 − 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑏 − 𝑐 + 𝑑𝑑 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
• PRODOTTO:
𝑧 ⋅ 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐 + 𝑑𝑑 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑎 ⋅ 𝑑𝑑 + 𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 − 𝑏 ⋅ 𝑑
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NUMERI COMPLESSI
Si definisce numero complesso coniugato
del numero complesso 𝑣̅ , il numero:
𝑣̅ = 𝑐 − 𝑑𝑑
• La somma e la differenza tra il numero
complesso v e il suo complesso coniugato
𝑣̅ sono date rispettivamente da:
𝑣 + 𝑣̅ = 𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑐 − 𝑑𝑑 = 2𝑐 + 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 = 2𝑐
𝑣 − 𝑣̅ = 𝑐 + 𝑑𝑑 − 𝑐 − 𝑑𝑑 = 𝑐 − 𝑐 + 2𝑑𝑑 = 2𝑑𝑑
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NUMERI COMPLESSI
Il prodotto tra il numero complesso v e il suo
complesso coniugato
𝑣̅ è dato da:
𝑣 ⋅ 𝑣̅ = 𝑐 + 𝑑𝑑 ⋅ 𝑐 − 𝑑𝑑 = 𝑐 2 + 𝑑 2
• La radice quadrata del prodotto di v e del suo
coniugato è detto modulo di v
𝑣 =
𝑐 2 + 𝑑 2 = 𝑣 ⋅ 𝑣̅
• Si noti che il modulo di v è un numero reale non
negativo
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NUMERI COMPLESSI
•
QUOZIENTE:
𝑎 + 𝑏𝑏 𝑐 − 𝑑𝑑
𝑧 ÷ 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑏 ÷ 𝑐 + 𝑑𝑑 =
⋅
=
𝑐 + 𝑑𝑑 𝑐 + 𝑑𝑑
𝑏⋅𝑐−𝑎⋅𝑑
𝑎⋅𝑐+𝑏⋅𝑑
=
+
⋅𝑖 =
2
2
2
2
𝑐 +𝑑
𝑐 +𝑑
𝑏⋅𝑐−𝑎⋅𝑑
𝑎⋅𝑐+𝑏⋅𝑑
=
+
⋅𝑖
2
2
𝑣
𝑣
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• Un numero complesso può essere rappresentato
geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha
come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente
reale dell’unità immaginaria.
y
P2
P
ρ
yP = b
O
ϑ
xP = a P1
x
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
z = a + b ⋅ i = ρ cosϑ + ρ sin ϑ ⋅ i = ρ (cosϑ + sin ϑ ⋅ i )
y
P2
P
ρ
yP = b
O
ϑ
xP = a P1
x
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
Dato il numero complesso z:
z = a + b ⋅ i = ρ cosϑ + ρ sin ϑ ⋅ i = ρ (cosϑ + sin ϑ ⋅ i )
e il numero complesso v :
v = c + d ⋅ i = σ cos ω + σ sin ω ⋅ i = σ (cos ω + sin ω ⋅ i )
Il prodotto tra z e v è:
z ⋅ v = ρ (cos ϑ + sin ϑ ⋅ i ) ⋅ σ (cos ω + sin ω ⋅ i ) =
= ρσ ⋅ [(cos ϑ ⋅ cos ω − sin ϑ ⋅ sin ω ) + i (sin ϑ cos ω + cos ϑ sin ω )] =
= ρσ ⋅ [cos(ϑ + ω ) + i sin(ϑ + ω )] (regole di addizione di seno e coseno)
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COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• In particolare se 𝑧 = 𝑣 si ottiene:
𝑧 2 = 𝜌2 ⋅ [cos 2𝜗 + 𝑖 ⋅ sin 2𝜗]
e in generale:
𝑧 𝑛 = 𝜌𝑛 ⋅ [cos 𝑛𝜗 + 𝑖 ⋅ sin 𝑛𝜗]
detta Formula di De Moivre.
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