Elementi
di
Geometria
Lezione 02
Angoli complementari e supplementari
Due angoli si dicono “complementari” quando la loro somma è un angolo retto.
In Figura 15 i due angoli a e b sono complementari perché, sommati come descritto sopra,
formano un angolo g la cui ampiezza è 90°, cioè è un angolo retto.
Due angoli si dicono “supplementari” quando la loro somma è un angolo piatto.
In Figura 16 i due angoli a e b sono supplementari perché, sommati col procedimento descritto
sopra, formano un angolo g la cui ampiezza è 180°, cioè è un angolo piatto.
Ricordando la definizione di angoli adiacenti si può ora affermare che due angoli adiacenti sono
supplementari.
Angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono “opposti al vertice” quando ciascuno di essi è formato dal prolungamento delle
semirette che formano l’altro.
La Figura 17 mostra i due angoli a e b in cui l’angolo b è formato dal prolungamento delle
semirette a,b, che formano l’angolo a6.
Due angoli opposti al vertice sono uguali. Infatti, come appare evidente dalla figura, i due angoli a
e b sono supplementari dello stesso angolo g (o d), cioè la somma di ciascuno di essi con l’angolo
g è uguale a 180°, e pertanto devono essere uguali fra loro.
Bisettrice di un angolo
Dato un angolo a formato dalle semirette a,b con vertice O, si chiama bisettrice dell’angolo a una
semiretta r che esce dal vertice O, giace nell’angolo a e lo divide in due parti uguali (Figura 18).
Rette perpendicolari
Due rette incidenti sono “perpendicolari” quando formano un angolo retto, cioè un angolo di 90°. È
6
È ovvio che anche l’angolo a è formato dal prolungamento delle semirette che formano b e che anche gli altri due
angoli g e d ad essi adiacenti sono opposti al vertice.
b
b1
b
a
a
O
a1
O1
b1
b
g
a1
g=a+b=90°
g
a+b 90
a
O
O1
Figura 15 – Angoli complementari b
O
a
b1
a
b
a1
O1
b
g
a1
g=a+b=180°
g
b
b1
a
O
O1
Figura 16 – Angoli supplementari b+g=180°
a+g=180°
b
g
a
O
a
b
d
a=b
g=d
Figura 17 – Angoli opposti al vertice b
r
½a
a
O
½a
Figura 18 – Bisettrice di un angolo a
ovvio tuttavia che se due rette incidenti formano un angolo retto, tutti gli altri angoli che esse
formano sono retti.
La Figura 19 mostra due rette incidenti a,b che formano fra loro un angolo retto a. Le due rette
sono fra loro perpendicolari, cioè “a” è perpendicolare a “b” e “b” è perpendicolare ad “a”.
È evidente che anche l’angolo b deve essere un angolo retto perché a e b sono fra loro
supplementari, cioè la loro somma è 180°. Pertanto b misura 180-90 = 90°.
Lo stesso ragionamento vale anche per gli altri due angoli, per cui si può anche dire che due rette
perpendicolari formano fra loro quattro angoli retti.
Rette parallele tagliate da una trasversale
Come abbiamo già visto, due rette sono parallele quando non hanno nessun punto in comune.
Vediamo ora alcune proprietà relative agli angoli che si formano quando due rette parallele sono
tagliate da un’altra retta trasversale ad esse e quindi che le interseca entrambe (Figura 20).
Siano a,b due rette parallele e sia r una retta trasversale che le interseca rispettivamente nei punti A
e B. Intorno a questi punti si formano 8 angoli che indicheremo con a1, a2, a3, e a4, quelli che
hanno il vertice in A e con b1, b2, b3, e b4, quelli che hanno il vertice in B.
Questi 8 angoli formano due quaterne di angoli uguali e, più precisamente:
a1 = a4 = b1 = b4
e
a2 = a3 = b2 = b3
È evidente che a1 è uguale ad a4 e che b1 è uguale a b4 perché sono angoli opposti al vertice.
L’eguaglianza fra a1 e b1 (così come fra a4 e b4) si dimostra osservando che se si trasla la retta b
parallelamente a se stessa fino a sovrapporla alla retta “a” l’angolo b1 si sovrappone esattamente
all’angolo a1 (così come a4 si sovrappone a b4) e la stessa dimostrazione può essere usata per
l’altra quaterna di angoli.
g=180°
a=90°
b
a
b=g-a=90
b
Figura 19 – Rette perpendicolari r
a1
a2
A
a3
a
a4
b1
b2
B
b3
b
b4
Figura 20 – Due rette tagliate da una trasversale Oltre alle eguaglianze appena descritte si creano anche, fra gli 8 angoli, quattro coppie di angoli non
adiacenti che sono supplementari, cioè che sommati danno un angolo piatto. Ciò avviene per le
seguenti coppie di angoli non adiacenti:
a1 e b3
a3 e b1
a2 e b4
a4 e b2
La dimostrazione di questa relazione per la prima coppia (ma ovviamente la dimostrazione è
analoga anche per le altre) è che a1 è supplementare di a3 perché è adiacente ad esso e, poiché a3
è uguale a b3, a1 risulta supplementare anche di b3.
Nella Figura 21 sono riassunte le relazioni appena menzionate ed inoltre sono riportate le
denominazioni che sono generalmente attribuite a questi angoli, che sono:
•
angoli alterni interni uguali (a3 b2) e (a4 b1)
•
angoli alterni esterni uguali (a1 b4) e (a2 b3)
•
angoli corrispondenti uguali (a1 b1), (a2 b2), (a3 b3) e (a4 b4)
•
angoli coniugati interni supplementari (a3 b1) e (a4 b2)
•
angoli coniugati esterni supplementari (a1 b3) e (a2 b4)
Oltre al teorema diretto esiste anche il teorema inverso che dice che se gli angoli formati da due
rette tagliate da una trasversale soddisfano una delle proprietà riportate sopra7, le due rette sono
parallele.
Come conseguenza del teorema inverso si ha che due rette perpendicolari alla stessa retta sono
parallele fra loro. Infatti (Figura 22), se due rette s, t, sono perpendicolari ad una stessa retta r,
formano con essa otto angoli retti, come a e b in figura, che hanno tutti i requisiti sopra riportati.
7
In tal caso soddisfa anche tutte le altre.
Alterni esterni
a 1b 4
a2b3
Alterni interni
a 3b 2
a4b1
a 1b 1
a 3b 3
a 2b 2
a 4b 4
Coniugati esterni
a 1b 3
a 2b 4
Coniugati interni
a 3b 1
a4b2
Uguali
Corrispondenti
Supplementari
a1
a3
b1
b3
a2
a4
b2
b4
Figura 21 – Relazioni fra gli angoli s
r
t
a=90°
b=90°
Figura 22 – Perpendicolari alla stessa retta Capitolo 2 - I poligoni
Spezzate e poligoni
Si è visto che un segmento è una parte di retta compresa fra due punti che si chiamano gli estremi
del segmento. Si è anche visto che, essendo entità delimitate, i segmenti sono anche misurabili e
confrontabili.
Di due o più segmenti è anche possibile fare la somma e la differenza.
Per sommare due segmenti AB e CD (Figura 23) si fa coincidere l’estremo C del secondo con
l’estremo B del primo e si fa cadere l’altro estremo D sul prolungamento di AB dalla parte opposta
di A. Il segmento AD è la somma dei due segmenti.
Per sottrarre due segmenti, AB e CD, supposto che AB sia maggiore di CD, si fa coincidere
l’estremo C con l’estremo A e si fa cadere il segmento CD sul segmento AB. Il punto D cadrà
ovviamente8 all’interno di AB, e la differenza sarà il segmento DB.
Quando due segmenti sono posizionati nel piano in modo da avere un estremo in comune (Figura 24)
si chiamano “consecutivi”.
Se poi due segmenti, oltre ad avere un estremo in comune, sono anche posti l’uno sul
prolungamento dell’altro si chiamano “adiacenti”.
Più segmenti consecutivi formano una “spezzata” che può essere
•
una “spezzata aperta” se ci sono due segmenti della spezzata che hanno ciascuno un estremo
non in comune con un altro segmento
•
una “spezzata chiusa” se ogni segmento della spezzata ha entrambi gli estremi in comune
con i due segmenti ad esso consecutivi
8
Perché si è supposto AB > CD
A
B
A
B
C
Confrontabili
D
A
B
C
A
B
C
Misurabili
D
Somma AB+CD=AD
Differenza AB‐CD=DB
D
Figura 23 ‐ Segmenti
lato
S
Segmenti consecutivi
i
i i
Spezzata chiusa
Figura 24 ‐ Spezzate
vertice
S
Spezzata aperta
Poligono
Una spezzata a sua volta può essere “intrecciata” se due segmenti non consecutivi si intersecano,
“non intrecciata” se nessun segmento interseca un altro.
Una spezzata chiusa non intrecciata racchiude una parte di piano che prende il nome di “poligono”.
Si badi bene: il poligono non è la spezzata ma la parte di piano racchiusa nella spezzata. Infatti la
parola “poligono” significa letteralmente “molti angoli” e la parte di piano racchiusa dalla spezzata
è proprio la parte comune di tutti gli angoli formati dai segmenti consecutivi.
I segmenti della spezzata si chiamano “lati” del poligono ed il loro insieme, cioè la spezzata stessa
si chiama “perimetro” del poligono.
Un poligono deve avere un minimo di 3 lati (altrimenti la spezzata non può essere chiusa) e ha tanti
angoli quanti sono i lati.
A seconda del numero degli angoli (o dei lati) il poligono si chiama triangolo, quadrangolo (o
quadrilatero), pentagono, esagono ecc.
Un poligono si chiama “convesso” se tutti i suoi angoli sono convessi, si chiama invece “concavo”
se uno o più dei suoi angoli è concavo (Figura 25).
In un poligono si chiama “diagonale” un segmento che unisce due vertici non appartenenti allo
stesso lato (Figura 26).
Ovviamente in un triangolo non può esserci alcuna diagonale perché non ci sono due vertici non
appartenenti allo stesso lato, mentre in poligono con nl lati il numero nd di diagonali si può calcolare
con una semplice formula9:
nd = ½(nl - 3)nl
Un poligono che ha tutti i lati uguali si chiama “equilatero” o anche “regolare” ed in un poligono
equilatero sono uguali fra loro anche tutti gli angoli cioè il poligono è anche “equiangolo”10.
In un poligono regolare (Figura 27) esiste un punto interno al poligono che è equidistante da tutti i
9
La formula si ricava facilmente considerando che in un poligono di n lati i vertici sono n e quelli non consecutivi sono
(n-3). Quindi le diagonali che si possono tracciare sono date dal prodotto n(n-3). Ma in tal modo le diagonali vengono
tracciate due volte, una in un verso e l’altra nel verso opposto, per cui il prodotto deve essere diviso per 2.
10
Non è sempre vero invece che un poligono equiangolo è anche equilatero. Il rettangolo infatti ha tutti gli angoli
uguali, ma i lati non sono tutti uguali.
Poligono convesso
Poligono concavo
Figura 25 – Poligoni concavi e convessi nd = numero di diagonali
nl = numero di lati
numero di lati
1
9
2
3
4
8
5
6
7
Figura 26 ‐ Diagonali
nd =
n l (n l − 3) 6(6 − 3) 6 ⋅ 3
=
=
=9
2
2
2
vertici e da tutti i lati che prende il nome “di centro del poligono”. La sua distanza da un lato si
chiama “apotema”.
Perimetro e area
Abbiamo dunque visto che le due caratteristiche principali di un poligono sono la spezzata chiusa
che lo delimita e la parte di piano che viene racchiusa all’interno della spezzata.
Abbiamo già detto che i segmenti che formano la spezzata si chiamano lati del poligono e che
l’intera spezzata si chiama perimetro.
Aggiungiamo ora che la parte di piano racchiusa nella spezzata e che costituisce il poligono stesso
si chiama anche “area” o “superficie” del poligono.
Ricordiamo che lo scopo fondamentale della geometria, contenuto peraltro nel nome stesso, è di
misurare le grandezze e abbiamo già visto, per esempio, come si misurano gli angoli. È dunque
opportuno a questo punto definire come misurare le due nuove grandezze che abbiamo incontrato:
una grandezza lineare (segmento o lato o perimetro) e una grandezza estensiva cioè la superficie.
Quando si deve misurare qualcosa occorre prima di tutto definire l’unità di misura.
La scelta dell’unità di misura è un fatto del tutto arbitrario e infatti nella storia si sono alternati i
sistemi di misura più svariati sui quali però non ci dilunghiamo. L’aspetto importante è che una
volta stabilito il sistema da adottare questo venga accettato da tutti.
Per le grandezze che ci interessano in questa sede, il sistema più usato al mondo oggi è il sistema
metrico decimale.
Con questo sistema le grandezze lineari vengono misurate in metri e le aree in metri quadrati.
Il metro è una misura di lunghezza convenzionale e si dice che un segmento è lungo un metro
quando la sua dimensione è uguale a quella di una verga di platino-iridio custodita nell’Ufficio
Internazionale di Pesi e Misure di Sevres11. Naturalmente di questo campione esistono copie più
accessibili che permettono di eseguire le misure con sufficiente approssimazione e riproducibilità. Il
metro viene indicato con la lettera m.
Il metro poi è suddiviso nei suoi sottomultipli decimali (Figura 28): decimetro dm, centimetro cm,
millimetro mm, ecc., mentre per le misure più grandi si usano i suoi multipli decimali: decametro
dam, ettometro hm, chilometro Km, ecc.
11
Oggi esistono definizioni più precise e riproducibili basate sulla velocità della luce su cui sorvoliamo.
a
b
a
a
C
b
b – lati uguali
a
a
a
b
a
b
a
a
a
a – angoli uguali
C – centro del poligono
a – apotemi uguali
b
Figura 27 – Poligoni regolari ‐ Apotema Superfici
Lunghezza
……………
……
………………….
……
Chilometro
Km
Chilometro quadro
Km2
Ettometro
hm
Ettometro quadro
Ettometro quadro
hm2
Decametro
dam
Decametro quadro
dam2
Metro
m
Metro quadro
m2
Decimetro
dm
Decimetro quadro
dm2
Centimetro
cm
Centimetro quadro
cm2
Millimetro
mm
Millimetro quadro
mm2
……………
……
……………………
……
Figura 28 – Misura di lunghezze e superfici Per le aree si usa come unità di misura il metro quadrato m2, cioè l’area racchiusa in un quadrato12 i
cui lati misurano un metro. I suoi sottomultipli sono il decimetro quadrato dm2, il centimetro
quadrato cm2, il millimetro quadrato mm2, ecc. e i suoi multipli il decametro quadrato dam2,
ettometro quadrato hm2, il chilometro quadrato Km2, ecc.
È bene sottolineare che, per le ragioni che appaiono evidenti dalla Figura 29, nelle misure delle
lunghezze, ogni multiplo è dieci volte più grande del multiplo precedente, mentre, nelle misure
delle superfici, ogni multiplo è cento volte più grande del multiplo precedente.
Ciò premesso è evidente che la misura del perimetro di un poligono, una volta nota la misura di
ciascuno dei suoi lati, si ottiene sommando le misure di tutti i lati (Figura 30).
Per quanto riguarda le aree, vedremo di volta in volta per i vari poligoni, come si procede, ma è
opportuno anticipare qui la definizione del rettangolo e ricavare la semplice regola di calcolo della
sua area.
Il rettangolo (Figura 31) è un poligono di 4 lati che ha tutti gli angoli retti e i lati opposti paralleli e
uguali a due a due. Possiamo misurare i due lati non uguali, b, h, usando un metro e supponiamo
che essi siano b = 5 metri, l’altro h = 3 metri.
Se ora vogliamo misurare l’area dobbiamo usare l’unità di misura delle superfici, il metro quadro
(m2), cioè un quadrato in cui ognuno dei quattro lati misura 1 metro, e verificare quanti di questi
quadrati unitari sono contenuti nel rettangolo. Disponiamoli quindi in fila lungo il lato maggiore del
rettangolo; evidentemente ne riusciremo a disporne 5. Poiché notiamo che non abbiamo ancora
riempito tutta la superficie del rettangolo, disponiamone altri su una seconda fila e poi ancora su
una terza fila. L’area del rettangolo sarà uguale al numero di quadrati unitari che riusciremo a
disporre ed è evidente che questo numero si ottiene o sommando tutti i quadrati unitari o
moltiplicando quelli contenuti in una fila per il numero delle file. Ma come abbiamo notato il
numero di quadrati di una fila, 5, è uguale alla misura del lato maggiore e il numero delle file, 3, è
uguale alla misura del lato minore. Per cui il numero dei quadrati unitari, cioè l’area del rettangolo
si ottiene moltiplicando fra loro le misure del lato maggiore per il lato minore.
Dopo questa premessa che, come vedremo tornerà utile in seguito, passiamo ad esaminare le
caratteristiche dei poligoni più comuni partendo da quello con il minor numero di lati, il triangolo.
12
Il quadrato è un poligono che sarà definito più avanti
1 dam2 = 100 m2
1 m
1 dam=10 m
1 m
1
m2
Figura 29 – Multipli e sottomultipli a = 4
b = 2
P = a + b + c + d + e = e = 3
= 4 + 2 + 3 + 3,5 + 3 = c = 3
d =3,5
Figura 30 – Misura del perimetro
= 15,5 1 m
h = 3 m
m
1 m
b = 5 m
A = 15 m2 = 5∙3 = b∙h
Figura 31 – Misura dell’area
