Miscellanea di esercizi a.a. 2005/06

Esercizi di Geometria IV
a.a. 2005-2006
1. Sia X un insieme finito, Y = P(X) la famiglia di tutti i sottoinsiemi
di X e definiamo d : Y × Y → R nel modo seguente:
d(A, B) = |A| + |B| − 2|A ∩ B|.
Dimostrare che d è una distanza.
2. Si consideri lo spazio vettoriale V = F n2 , dove F2 è il campo con due
elementi. Sia d : V × V → R la funzione definita nel modo seguente:
d(x, y) = |{i : xi 6= yi }|,
x, y ∈ V.
Dimostrare che (V, d) è uno spazio metrico.
3. Sia (X, d) uno spazio metrico. Sia d 0 la funzione cosı̀ definita:
d0 (x, y) = 1 se d(x, y) > 1 e d0 (x, y) = d(x, y) se d(x, y) ≤ 1.
Dimostrare che d0 è una distanza che definisce su X una topologia
equivalente a quella indotta dalla metrica d.
4. Uno spazio topologico si dice irriducibile se soddisfa la seguente proprietà: qualora X sia unione di due chiusi F e G, allora X = F oppure
X = G. Dimostrare che se X è irriducibile e U è un aperto di X, allora
U è irriducibile.
5. Uno spazio topologico si dice di Zariski se ogni catena discendente di
chiusi è stazionaria. Si mostri che ogni spazio di Zariski è unione di
un numero finito di chiusi irriducibili.
6. Dimostrare che in uno spazio metrico compatto ogni successione ammette una sottosuccessione convergente.
7. Sia X l’insieme dei punti del piano con almeno una coordinata irrazionale. Dire se X con la topologia indotta da quella metrica è
connesso oppure no.
8. Uno spazio è localmente connesso se, e soltanto se, per ogni punto x e
ogni intorno Ux la componente di Ux a cui appartiene x è un intorno
di x. Dimostrare che uno spazio topologico X è localmente connesso
se, e soltanto se, la famiglia degli aperti connessi è una base per la
topologia su X.
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9. Uno spazio topologico è numerabilmente compatto se, e soltanto se, da
ogni ricoprimento aperto numerabile si può estrarre un sottoricoprimento finito. Dimostrare che uno spazio è numerabilmente compatto
se, e soltanto se, ogni successione ha un punto di accumulazione.
10. Uno spazio topologico X è paracompatto se ogni ricoprimento U aperto
ammette un sottoricoprimento V con le seguenti proprietà: i) ogni
aperto di V è un sottoinsieme di un aperto di U e ii) per ogni punto x ∈
X esiste un intorno che interseca soltanto un numero finito di aperti di
U. Dimostrare che un chiuso di uno spazio topologico paracompatto è
paracompatto.
11. Sia O3,1 (R) lo spazio delle matrici reali che fissano una forma bilineare
simmetrica di segnatura (3, 1). Dire se O 3,1 (R) è connesso, compatto,
di Hausdorff.
12. Sia X lo spazio ottenuto attaccando ad ogni punto a coordinate intere
una sfera S 2 . Si consideri l’azione di traslazione del gruppo degli interi
Z su R. Studiare come si può sollevare tale azione ad un’azione su X
e studiare lo spazio quoziente X/Z.
13. Sia S 2n+1 la sfera unitaria in Cn+1 . Si denoti con Zq il gruppo degli
interi modulo q. Si consideri l’azione
Zq × S 2n+1 → S 2n+1
([k], (z0 , . . . , zn )) 7→ e2πik/q z0 , . . . , e2πik/q zn .
Si indichi con L(n, q) lo spazio quoziente. Calcolare la caratteristica
di Eulero di L(n, q) per ogni valore di n e q.
14. Siano A e B sottospazi di Rn+1 omeomorfi a D n+1 . Sia h un omeomorfismo di ∂A in ∂B. Dimostrare che h si estende ad un omeomorfismo
di A in B.
15. Siano X e Y spazi topologici. Sia X ∗ Y lo spazio topologico ottenuto
da X × Y × I identificando sia {x} × Y × {0} a un punto per ogni
x ∈ X che X × {y} × {1} a un punto per ogni y ∈ Y . Dire se W è di
Hausdorff qualora lo siano X e Y .
16. Si consideri l’applicazione ψ : S n × S m × I → S n+m+1 data da
ψ(x, y, t) = xcos(πt/2) + ysin(πt/2).
Dimostrare che ψ induce un omeomorfismo da S n ∗ S m a S n+m+1 .
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17. Sia X uno spazio topologico. La sospensione ΣX di X è definita come
il quoziente di X × I = [−1, 1] per la relazione di equivalenza generata
come segue:
(x, 1) ∼ (y, 1),
(x, −1) ∼ (y, −1), ∀x, y ∈ X.
Dimostrare che ΣX è di Hausdorff se X è di Hausdorff. Verificare che
ΣS n è omeomorfo a S n+1 .
18. Sia X lo spazio topologico ottenuto adiacente S 2 e V1 per due punti.
Dare una struttura di CW -complesso e calcolarne la caratteristica di
Eulero. Dire se X è una varietà oppure no.
19. Un grafo si dice trivalente se ogni vertice è attaccato a tre spigoli. Dimostrare che su una superficie V1 non esistono grafi connessi trivalenti
con 37 lati.
20. Determinare il numero minimo di lati che deve avere un grafo con un
vertice per poter essere immerso su una V n per n ≥ 1.
21. Sia p(z) un polinomio a coefficienti complessi nella variabile z. Si
indichi con p : C → C l’applicazione di valutazione associata a p.
Dimostrare che p è omotopa alla applicazione polinomiale definita dal
monomio di grado massimo in p(z).
22. Sia X lo spazio topologico formato da due corone circolari in R 2
congiunte da un segmento. Sia Y lo spazio topologico ottenuto da
S 1 × [0, 1] identificando {i} × [0, 1] con {−i} × [0, 1]. Dire se X e Y
sono omotopicamente equivalenti.
23. Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 \ X, dove
X := {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, ((x + 1)2 + y 2 − 1)((x − 1)2 + y 2 − 1) = 0}.
24. Dimostrare che il gruppo GL(n, C) non è semplicemente connesso.
25. Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio ottenuto togliendo n
segmenti disgiunti a R2 .
26. Siano X e Y i seguenti insiemi:
X := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} ∪ {(0, 0)};
Y := {(x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + y 2 = 1} ∪ {(0, 0)}.
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Determinare le componenti connesse di R 2 \ X e di R2 \ Y . Dire se tali
spazi sono omeomorfi e/o omotopicamente equivalenti.
27. Determinare a meno di omotopia tutti gli omeomorfismi di S 1 × D 2 in
sé.
28. Sul toro S 1 × S 1 si consideri l’omeomorfismo seguente:
h(eiθ , eiφ ) = (ei(θ+φ) , eiφ ).
Determinare l’applicazione h∗ indotta da h a livello di gruppi fondamentali.
29. Determinare i generatori di Aut π S 1 × S 1 , (1, 1) .
30. Dire se su S 1 × S 1 esistono degli omeomorfismi che mandano S 1 × {1}
in {i} × S 1 .
31. Dire se esiste un sistema di due generatori per il gruppo fondamentale
della circonferenza.
32. Per ogni sottogruppo H del gruppo fondamentale di S 1 costruire uno
spazio topologico che abbia gruppo fondamentale isomorfo a H.
33. Sia F2 il gruppo libero su due generatori. Dimostrare che il gruppo
ottenuto quozientando F2 per il sottogruppo derivato è isomorfo a Z 2 .
34. Sia S una superficie compatta connessa senza bordo e si indichi con
S 0 lo spazio ottenuto da S togliendo un sottospazio omeomorfo a un
disco aperto. Dimostrare che l’abelianizzato di S e l’abelianizzato di
S 0 sono isomorfi.
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