IL CONFRONTO TRA LE VARIANZE DI DUE POPOLAZIONI
Perchè confrontare le varianze stimate in due campioni?
Torniamo all'esempio dei frinosomi
Per poter applicare il test t avevamo detto che le varianze, e quindi le deviazioni standard, nelle
due popolazioni (frinosomi vivi e frinosomi uccisi) devono essere uguali. Adesso vediamo
come testare questa ipotesi
Le ipotesi nulla e alternativa possono essere formalizzate come segue
Come abbiamo sempre fatto in tutti i test statistici, dobbiamo trovare una statistica test la cui
distribuzione teorica è nota quando è vera l'ipotesi nulla
o Per esempio, per testare l'ipotesi nulla di uguaglianza tra due medie usavamo le
statistiche test z o t, le cui distribuzioni nulle sono note in certe condizioni
o Oppure, per testare se una proporzione si discosta da un valore previsto, e non si poteva
usare il chi-quadrato o z, avevamo usato come statistica test il numero di individui con la
caratteristica di interesse, la cui distribuzione nulla è la distribuzione binomiale
Nel caso di due varianze, la statistica test è il rapporto tra le varianze nel campione
Fcalc
s12
2
s2
Se è vera l'ipotesi nulla che le due varianze nelle popolazioni sono uguali, e se la variabile
segue una distribuzione normale in entrambe le popolazioni, il rapporto tra due varianze
campionarie segue la distribuzione nulla di Fisher, detta anche distribuzione F (o F di Fisher)
La distribuzione teorica F:
o E' continua
o Varia tra zero e infinito
o Dipende dai gradi di libertà del numeratore (gdl1 = n1-1) e quelli del denominatore (gdl2 =
n2-1)
o E' circa centrata sul valore 1
o Ci permette di definire le regioni di accettazione/rifiuto o il P-value per il nostro test sulle
varianze
Tabella della distribuzione F a una coda con α = 0.01
Le colonne identificano i gdl al numeratore. Le righe i gdl al denominatore.
I numeri interni alla tabella identificano i valori della statistica F che separano,
alla loro destra, l’1% dell’area distributiva.
Attenzione! La struttura di questa tabella è diversa da tutte quelle viste finora (ci sono due gradi di
libertà da conoscere in ogni analisi, e c'e' una tabella per ogni valore di P)
Praticamente, visto che la distribuzione F è asimmetrica, e le tabelle dei valori critici riportati in
tabella si riferiscono al lato destro della distribuzione, conviene sempre mettere a numeratore nel
calcolo di F dai dati (Fcalc) la varianza maggiore
Il valore F critico con 9 e 8 gradi di libertà (9 al numeratore e 8 al denominatore), con = 0.05 e
quindi /2 = 0.025, è pari a 4.36
o Non ci sono evidenze per rifiutare l'ipotesi nulla
o Le varianze calcolate dai campioni sono compatibili con l'ipotesi nulla che i campioni
provengano da popolazioni con varianze uguali
o Se dovessi confrontare le medie dei due campioni, il test t sarebbe appropriato
Il calcolo del P-value richiede un computer
o Oppure, almeno per approssimarlo e definire un intervallo in cui cade, tante tabelle
ognuna per diversi valori di probabilità
Esempio con i frinosomi: le varianze erano significativamente diverse?
L'ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)
L'ANOVA è un metodo molto potente e flessibile
per valutare le medie di più di due popolazioni con una singola analisi
E' quindi un metodo per studiare variabili quantitative
Attenzione! L'ipotesi nulla riguarda medie, ma viene testata confrontando varianze
Un esempio con dati sperimentali: la variabile altezza viene misurata in individui suddivisi in 4
gruppi; i gruppi sono sottoposti a diversi trattamenti per il fattore ph
Un esempio con dati osservazionali: la variabile peso viene misurata in individui che provengono da
4 gruppi; i 4 gruppi differiscono per il fattore origine geografica
Ipotesi nulla e alternativa nell'ANOVA
Ovviamente l'ANOVA si applica nello stesso modo a 2,3,4,5,...k gruppi
o Per k = 2, equivale a svolgere un test t
Un esempio di dati nel caso di H0 vera
Un esempio di dati nel caso di H1 vera
Attenzione! Sull'asse delle X ci sono 4 "posizioni" che indicano i 4 gruppi;
sull'asse delle Y c'e' la variabile studiata
Prima di vedere come si procede nell'ANOVA, vediamo perchè svolgere un'ANOVA
Per esempio, con 3 popolazioni da confrontare (per esempio, tre livelli di pH) non potrei
semplicemente fare 3 test t? O con 4 popolazioni 6 test t?
o Come si calcola il numero di test a coppie?
No, perchè
1. Sembra logico prima di tutto testare l'ipotesi nulla che prevede che tutti i gruppi siano uguali
2. Non posso semplicemente fare tanti test t perchè aumenterebbe molto l'errore complessivo
di primo tipo
Il problema dei test multipli e l'errore complessivo di primo tipo
Se scegliamo in un singolo test un livello di significatività , sappiamo che esiste una probabilità
di rifiutare un'ipotesi nulla vera (errore di primo tipo)
Questo significa anche che se facciamo 100 test nei quali l'ipotesi nulla è sempre vera, 5 volte
(mediamente) la rifiutiamo erroneamente
Qual'è la probabilità che facendo c test di ipotesi nulle vere almeno uno risulti significativo per
puro effetto del caso?
o Se l'ipotesi nulla è vera, la probabilità che un test singolo non porti al suo rifiuto è pari a (1è il livello di protezione in un singolo test
o Se l'ipotesi nulla è vera, la probabilità che non venga mai rifiutata in c test è pari a (1-)c
Sono eventi indipendenti e vale la regola del prodotto delle probabilità
o Quindi, 1-(1-)c è la probabilità che cerchiamo: la probabilità che uno o più dei c test (cioè,
almeno uno) sia significativo anche se l'ipotesi nulla è sempre vera
Gli esempi citati sono casi ANOVA unifattoriale e univariata
o C'era un fattore (per esempio, pH) e una variabile (per esempio, altezza)
L'ANOVA può anche essere multifattoriale (più fattori) e/o multivariata (più variabili)
o Vedremo alcuni cenni di analisi bifattoriale univariata alla fine del corso
