IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE NEL CASO DI PACCHETTI

IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
NEL CASO DI
PACCHETTI D’ONDA GAUSSIANI
October 28, 2004
Massimiliano Carfagna
Abstract
In questo testo mostreremo come sia possibile giungere alla formulazione quantistica del Principio di Indeterminazione di W. Heisemberg,
partendo dall’ipotesi che i fotoni seguano distribuzione gaussiana della
posizione e dell’impulso.
1
Introduzione
Il Princpio di Indeterminazione, formulato da W. Heisenberg, afferma che non
è possibile determinare con la massima accuratezza posizione ed impulso di una
particella in quanto si riscontra che il minimo valore ottenibile dal prodotto delle
varianza associate alle due osservabili è:
h̄
(1)
4
Dimostreremo che nel caso in cui le distribuzioni di propbabilità della posizione e dell’impulso della particella siano gaussiane, allora il porodotto delle
varianze associate alle osservabili sarà esattamente h̄/4.
Osservazione: il fatto che per distribuzioni di tipo gaussiano della posizione
e dell’impulso, il valore del prodotto delle varianze sia minimo, garantisce che
un sistema che si comporta in maniera gaussiana è il miglior sistema possibile
in natura.
h∆x2 i · h∆p2 i ≥
1
2
Ipotesi sulle distribuzioni
Come abbiamo appena accennato, dire che posizione ed impulso di una particella
si ridistribuiscano seguendo una tipica campana, non rappresenta un caso particolarmente restrittivo, essendo la gaussiana la distribuzione di probabilità più
comune nell’ambito di fenomeni fisici regolari (privi di perturbazioni caotiche).
partendo da questo presupposto possiamo affermare che le due funzioni d’onda1
relative, rispettivamente, alla posizione ed all’impulso della particella, sono
(1/4)
x2
1
·
exp
ıkx
−
(2)
πd2
2d2
2 (1/4)
2d
p2 d 2
ψ(p) = hψ|pi =
· exp ıkx − 2
(3)
πh̄2
h̄
Le due funzioni d’onda appena scritte rappresentano delle gaussiane centrate
nell’origine, per questo i rispettivi valori medi sono nulli:
ψ(x) = hψ|xi =
hxi = hpi = 0
(4)
Quanto detto sarà utile nel seguito, in quanto dovremo calcolare la media
degli scarti quadratici, ossia le varianze delle due osservabili, ed esse sono date
dalle seguenti relazioni:
h∆x2 i = hx2 i − hxi2
(5)
h∆p2 i = hp2 i − hpi2
(6)
Appare chiaro, quindi, che, per quanto conoscere le varianze e farne il prodotto,
le uniche quantità da calcolare sono hx2 i e hp2 i.
3
Calcolo delle varianze
Partendo da un discorso piuttosto generale, possiamo dire che per calcolare il
valor medio di una generica osservabile ŷ che porta un sistema dallo stato |ψi
allo stato |φi si scrive che:
Z
Z
hφ|ŷ|ψi = hφ|yiŷhy|ψi dy =
φ(y)∗ · y · ψ(y) dy
(7)
Cosa c’entra tutto questo con il valor medio? È molto semplice: nel caso in
cui i due stati del sistema coincidano, ossia si ha che hψi = hφi si ha la seguente
semplificazione:
Z
Z
hψ|ŷ|ψi =
ψ(y)∗ · y · ψ(y) dy =
y · |ψ(y)|2 dy
(8)
1 Utilizzeremo i termini funzione d’onda e distribuzione di probabilità come sinonimi, in
quanto sappiamo che in Meccanica Quantistica le due entità coincidono.
2
che corrisponde esattamente al valor medio della osservabile y con distribuzione
di probabilità ψ(y) e probabilità |ψ(y)|2 .
Nel nostro caso le osservabili di cui vogliamo calcolare il valor medio sono x2 e
p2 , per cui i due integrali da clacolare forniscono i seguenti risultati:
2
Z +∞
x
d2
1
x2 · exp − 2 dy =
hx2 i = √
(9)
d
2
πd2 −∞
r
Z
2d2 2
h̄2
2d2 +∞ 2
2
p
·
exp
−
·
p
dy
=
(10)
hp i =
2d2
πh̄2 −∞
h̄2
Appare evidente, quindi, che, facedno il prodotto dei risultati ottenuti giungiamo al principio di Indeterminazione:
h∆x2 i · h∆p2 i = hx2 i · hp2 i =
c.v.d.
3
d2 h̄2
h̄2
· 2 =
2 2d
4
(11)