Corso di laurea in Ingegneria Elettronica Prima prova di esonero di Analisi Matematica I A.A. 2004/2005 31/10/2005 Traccia A Data la funzione log x − 1 f (x) = log2 2 log 1 x − 1 2 1. determinare l’insieme di definizione X di f ; 2. enunciare il Teorema di Bolzano – Weierstrass e dire se X verifica le ipotesi; 3. determinare l’insieme dei punti di accumulazione per X; 4. provare che f è invertibile in X e, detta f −1 la sua inversa, dire se f −1 è continua; 5. dire se f è strettamente monotona. Cosa si può dire circa la monotonia di f −1 ? 6. dire se esistono delle relazioni tra l’invertibilità e la stretta monotonia di una funzione; 7. determinare l’immagine di f ; 8. dire se f è limitata; 9. dopo aver scritto l’espressione analitica di f −1 , dire se f −1 è limitata; 10. dire se f è prolungabile con continuità; 11. dire se f e f −1 sono uniformemente continue. Soluzione 1. Per determinare l’insieme di definizione si risolve il sistema log2 x − 1 log 1 x − 1 2 x > 0. >0 L’insieme di definizione è X =]1/2, 2[. 2. Essendo X un insieme infinito e limitato, X verifica le ipotesi del Teorema 3.2. 3. L’insieme dei punti di accumulazione per X è [1/2, 2]. 4. Per provare l’invertibilità della funzione basta provare che per ogni x1 , x2 ∈ X: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . Risulta log2 log2 x1 − 1 log x2 − 1 = log2 2 log 1 x1 − 1 log 1 x2 − 1 2 2 quindi (log2 x1 − 1)(log 1 x2 − 1) = (log2 x2 − 1)(log 1 x1 − 1) 2 2 e usando la formula di cambiamento di base per i logaritmi si ha facilmente x1 = x2 . Essendo f composizione di funzioni continue, f è continua. Quindi f è invertibile e continua sull’intervallo X e la sua inversa risulta continua in f (X) (Teorema 4.6). 5. La funzione f è strettamente descrescente, infatti: • la funzione x ∈ X → log2 x − 1 ∈ R è strettamente crescente e negativa; • la funzione x ∈ X → log 1 x − 1 ∈ R è strettamente decrescente e negativa; 2 • la funzione x ∈ X → 1 log 1 x−1 ∈ R è strettamente crescente e negativa. 2 Quindi la funzione x∈X→ log2 x − 1 ∈R log 1 x − 1 2 è strettamente decrescente ed essendo log2 (·) strettamente crescente, f risulta strettamente descescente. La funzione inversa è anche strettamente decrescente (Osservazione 3) pag. 69). 6. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili (Teorema 2.1); inoltre essendo f continua su un intervallo, l’invertibilità di f implica la sua stretta monotonia (Teorema 4.7). 7. Per determinare l’immagine di f basta osservare che essendo f continua su un intervallo, f (X) è un intervallo e risulta f (X) =] inf X f, supX f [ (Corollario 4.2). Essendo f strettamente decrescente, per il Teorema 3.10: lim f (x) = sup f = +∞ x→( 21 )+ X e lim f (x) = inf f = −∞. x→2− X Quindi f (X) = R. 8. Per il punto precedente, evidentemente f non è limitata. 9. La funzione inversa è f −1 : R → X tale che per ogni y ∈ R: f −1 (y) = x se e solo se f (x) = y, quindi si trova 1−2y x = 2 1+2y e 1−2y f −1 (y) = 2 1+2y . Banalmente f −1 è limitata. 10. Per quanto visto nel punto 7. la funzione non è prolungabile con continuità. 11. La funzione f non è uniformemente continua (Teorema 4.10); la funzione f −1 è uniformemente continua per il Teorema dell’asintoto: f −1 è continua su R e lim f −1 (x) = x→+∞ 1 2 e lim f −1 (x) = 2. x→−∞ Corso di laurea in Ingegneria Elettronica Prima prova di esonero di Analisi Matematica I A.A. 2005/2006 31/10/2005 Traccia B Data la funzione 1 − log 1 x f (x) = log 1 3 ! 3 1 − log3 x 1. determinare l’insieme di definizione X di f ; 2. enunciare il Teorema di Bolzano –Weierstrass e dire se X verifica le ipotesi; 3. determinare l’insieme dei punti di accumulazione per X; 4. provare che f è invertibile in X e, detta f −1 la sua inversa, dire se f −1 è continua; 5. dire se f è strettamente monotona. Cosa si può dire circa la monotonia di f −1 ? 6. dire se esistono delle relazioni tra l’invertibilità e la stretta monotonia di una funzione; 7. determinare l’immagine di f ; 8. dire se f è limitata; 9. dopo aver scritto l’espressione analitica di f −1 , dire se f −1 è limitata; 10. dire se f è prolungabile con continuità; 11. dire se f e f −1 sono uniformemente continue. Soluzione 1. Per determinare l’insieme di definizione si risolve il sistema 1 − log 13 x 1 − log3 x >0 x > 0. L’insieme di definizione è X =]1/3, 3[. 2. Essendo X un insieme infinito e limitato, X verifica le ipotesi del Teorema 3.2. 3. L’insieme dei punti di accumulazione per X è [1/3, 3]. 4. Per provare l’invertibilità della funzione basta provare che per ogni x1 , x2 ∈ X: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . Risulta 1 − log 1 x1 3 log 1 1 − log3 x1 3 ! = log 1 3 1 − log 1 x2 ! 3 1 − log3 x2 quindi (1 − log 1 x1 )(1 − log3 x2 ) = (1 − log3 x1 )(1 − log 1 x2 ) 3 3 e usando la formula di cambiamento di base per i logaritmi si ha facilmente x1 = x2 . Essendo f composizione di funzioni continue, f è continua. Quindi f è invertibile e continua sull’intervallo X e la sua inversa risulta continua in f (X) (Teorema 4.6). 5. La funzione f è strettamente descrescente, infatti: • la funzione x ∈ X → 1 − log 1 x ∈ R è strettamente crescente e positiva; 3 • la funzione x ∈ X → 1 − log3 ∈ R è strettamente decrescente e positiva; • la funzione x ∈ X → 1 1−log3 x ∈ R è strettamente crescente e positiva. Quindi la funzione 1 − log 1 x x∈X→ 3 1 − log3 x ∈R è strettamente crescente ed essendo log 1 (·) strettamente decrescente, f risulta strettamente desces3 cente. La funzione inversa è anche strettamente decrescente (Osservazione 3) pag. 69). 6. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili (Teorema 2.1); inoltre essendo f continua su un intervallo, l’invertibilità di f implica la sua stretta monotonia (Teorema 4.7). 7. Per determinare l’immagine di f basta osservare che essendo f continua su un intervallo, f (X) è un intervallo e risulta f (X) =] inf X f, supX f [ (Corollario 4.2). Essendo f strettamente decrescente, per il Teorema 3.10: lim f (x) = sup f = +∞ x→( 13 )+ X e lim f (x) = inf f = −∞. x→3− X Quindi f (X) = R. 8. Per il punto precedente, evidentemente f non è limitata. 9. La funzione inversa è f −1 : R → X tale che per ogni y ∈ R: f −1 (y) = x se e solo se f (x) = y, quindi si trova x=3 1 )y −1 (3 y 1+( 1 3) e f Banalmente f −1 è limitata. −1 (y) = 3 y (1 3 ) −1 y 1+( 1 3) . 10. Per quanto visto nel punto 7. la funzione non è prolungabile con continuità. 11. La funzione f non è uniformemente continua (Teorema 4.10); la funzione f −1 è uniformemente continua per il Teorema dell’asintoto: f −1 è continua su R e lim f −1 (x) = x→+∞ 1 3 e lim f −1 (x) = 3. x→−∞