Corso di laurea in Ingegneria Elettronica Prima prova di esonero di

Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
Prima prova di esonero di Analisi Matematica I
A.A. 2004/2005
31/10/2005
Traccia A
Data la funzione


log x − 1 
f (x) = log2  2
log 1 x − 1
2
1. determinare l’insieme di definizione X di f ;
2. enunciare il Teorema di Bolzano – Weierstrass e dire se X verifica le ipotesi;
3. determinare l’insieme dei punti di accumulazione per X;
4. provare che f è invertibile in X e, detta f −1 la sua inversa, dire se f −1 è continua;
5. dire se f è strettamente monotona. Cosa si può dire circa la monotonia di f −1 ?
6. dire se esistono delle relazioni tra l’invertibilità e la stretta monotonia di una funzione;
7. determinare l’immagine di f ;
8. dire se f è limitata;
9. dopo aver scritto l’espressione analitica di f −1 , dire se f −1 è limitata;
10. dire se f è prolungabile con continuità;
11. dire se f e f −1 sono uniformemente continue.
Soluzione
1. Per determinare l’insieme di definizione si risolve il sistema

 log2 x − 1

log 1 x − 1
2
x > 0.
>0
L’insieme di definizione è X =]1/2, 2[.
2. Essendo X un insieme infinito e limitato, X verifica le ipotesi del Teorema 3.2.
3. L’insieme dei punti di accumulazione per X è [1/2, 2].
4. Per provare l’invertibilità della funzione basta provare che per ogni x1 , x2 ∈ X:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Risulta

log2 



log2 x1 − 1 
log x2 − 1 
= log2  2
log 1 x1 − 1
log 1 x2 − 1
2
2
quindi
(log2 x1 − 1)(log 1 x2 − 1) = (log2 x2 − 1)(log 1 x1 − 1)
2
2
e usando la formula di cambiamento di base per i logaritmi si ha facilmente x1 = x2 . Essendo f
composizione di funzioni continue, f è continua. Quindi f è invertibile e continua sull’intervallo X
e la sua inversa risulta continua in f (X) (Teorema 4.6).
5. La funzione f è strettamente descrescente, infatti:
• la funzione x ∈ X → log2 x − 1 ∈ R è strettamente crescente e negativa;
• la funzione x ∈ X → log 1 x − 1 ∈ R è strettamente decrescente e negativa;
2
• la funzione x ∈ X →
1
log 1 x−1
∈ R è strettamente crescente e negativa.
2
Quindi la funzione
x∈X→
log2 x − 1
∈R
log 1 x − 1
2
è strettamente decrescente ed essendo log2 (·) strettamente crescente, f risulta strettamente descescente. La funzione inversa è anche strettamente decrescente (Osservazione 3) pag. 69).
6. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili (Teorema 2.1); inoltre essendo f continua su un
intervallo, l’invertibilità di f implica la sua stretta monotonia (Teorema 4.7).
7. Per determinare l’immagine di f basta osservare che essendo f continua su un intervallo, f (X) è un
intervallo e risulta f (X) =] inf X f, supX f [ (Corollario 4.2). Essendo f strettamente decrescente,
per il Teorema 3.10:
lim f (x) = sup f = +∞
x→( 21 )+
X
e
lim f (x) = inf f = −∞.
x→2−
X
Quindi f (X) = R.
8. Per il punto precedente, evidentemente f non è limitata.
9. La funzione inversa è f −1 : R → X tale che per ogni y ∈ R: f −1 (y) = x se e solo se f (x) = y,
quindi si trova
1−2y
x = 2 1+2y
e
1−2y
f −1 (y) = 2 1+2y .
Banalmente f −1 è limitata.
10. Per quanto visto nel punto 7. la funzione non è prolungabile con continuità.
11. La funzione f non è uniformemente continua (Teorema 4.10); la funzione f −1 è uniformemente
continua per il Teorema dell’asintoto: f −1 è continua su R e
lim f −1 (x) =
x→+∞
1
2
e
lim f −1 (x) = 2.
x→−∞
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
Prima prova di esonero di Analisi Matematica I
A.A. 2005/2006
31/10/2005
Traccia B
Data la funzione
1 − log 1 x
f (x) = log 1
3
!
3
1 − log3 x
1. determinare l’insieme di definizione X di f ;
2. enunciare il Teorema di Bolzano –Weierstrass e dire se X verifica le ipotesi;
3. determinare l’insieme dei punti di accumulazione per X;
4. provare che f è invertibile in X e, detta f −1 la sua inversa, dire se f −1 è continua;
5. dire se f è strettamente monotona. Cosa si può dire circa la monotonia di f −1 ?
6. dire se esistono delle relazioni tra l’invertibilità e la stretta monotonia di una funzione;
7. determinare l’immagine di f ;
8. dire se f è limitata;
9. dopo aver scritto l’espressione analitica di f −1 , dire se f −1 è limitata;
10. dire se f è prolungabile con continuità;
11. dire se f e f −1 sono uniformemente continue.
Soluzione
1. Per determinare l’insieme di definizione si risolve il sistema

 1 − log 13 x
 1 − log3 x
>0
x > 0.
L’insieme di definizione è X =]1/3, 3[.
2. Essendo X un insieme infinito e limitato, X verifica le ipotesi del Teorema 3.2.
3. L’insieme dei punti di accumulazione per X è [1/3, 3].
4. Per provare l’invertibilità della funzione basta provare che per ogni x1 , x2 ∈ X:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Risulta
1 − log 1 x1
3
log 1
1 − log3 x1
3
!
= log 1
3
1 − log 1 x2
!
3
1 − log3 x2
quindi
(1 − log 1 x1 )(1 − log3 x2 ) = (1 − log3 x1 )(1 − log 1 x2 )
3
3
e usando la formula di cambiamento di base per i logaritmi si ha facilmente x1 = x2 . Essendo f
composizione di funzioni continue, f è continua. Quindi f è invertibile e continua sull’intervallo X
e la sua inversa risulta continua in f (X) (Teorema 4.6).
5. La funzione f è strettamente descrescente, infatti:
• la funzione x ∈ X → 1 − log 1 x ∈ R è strettamente crescente e positiva;
3
• la funzione x ∈ X → 1 − log3 ∈ R è strettamente decrescente e positiva;
• la funzione x ∈ X →
1
1−log3 x
∈ R è strettamente crescente e positiva.
Quindi la funzione
1 − log 1 x
x∈X→
3
1 − log3 x
∈R
è strettamente crescente ed essendo log 1 (·) strettamente decrescente, f risulta strettamente desces3
cente. La funzione inversa è anche strettamente decrescente (Osservazione 3) pag. 69).
6. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili (Teorema 2.1); inoltre essendo f continua su un
intervallo, l’invertibilità di f implica la sua stretta monotonia (Teorema 4.7).
7. Per determinare l’immagine di f basta osservare che essendo f continua su un intervallo, f (X) è un
intervallo e risulta f (X) =] inf X f, supX f [ (Corollario 4.2). Essendo f strettamente decrescente,
per il Teorema 3.10:
lim f (x) = sup f = +∞
x→( 13 )+
X
e
lim f (x) = inf f = −∞.
x→3−
X
Quindi f (X) = R.
8. Per il punto precedente, evidentemente f non è limitata.
9. La funzione inversa è f −1 : R → X tale che per ogni y ∈ R: f −1 (y) = x se e solo se f (x) = y,
quindi si trova
x=3
1 )y −1
(3
y
1+( 1
3)
e
f
Banalmente f −1 è limitata.
−1
(y) = 3
y
(1
3 ) −1
y
1+( 1
3)
.
10. Per quanto visto nel punto 7. la funzione non è prolungabile con continuità.
11. La funzione f non è uniformemente continua (Teorema 4.10); la funzione f −1 è uniformemente
continua per il Teorema dell’asintoto: f −1 è continua su R e
lim f −1 (x) =
x→+∞
1
3
e
lim f −1 (x) = 3.
x→−∞