Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso

Esercizio 1a
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili
nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
A
Esercizio 2a
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici sono
 un
rettangolo
PQRS,
i
cui
vertici
hanno
coordinate
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due
figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?
Esercizio 1b
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili
nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
B
Esercizio 2b
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici sono
 un
rettangolo
PQRS,
i
cui
vertici
hanno
coordinate
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due
figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?
Esercizio 1c
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili
nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
C
Esercizio 2c
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate
 un
parallelogramma
PQRS,
i
cui
vertici
sono
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due
figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?
Esercizio 1d
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili
nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
D
Esercizio 2d
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate
 un
parallelogramma
PQRS,
i
cui
vertici
sono
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due
figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?
A
Esercizio 1a
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili
nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue
caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue.
Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un deltoide.
Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo
dimostrare che ABCD è un deltoide.
E posso dimostrarlo in diversi modi.
1° modo)
Trovo il valore della lunghezza dei suoi lati.
Q
P
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
orizzontali
e
verticali,
ovvero
paralleli
agli
assi
cartesiani, posso contare le unità.
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il
righello
per
misurare,
devo
trovare
dei
triangoli
rettangoli “comodi” (cioè di cui posso sapere il valore dei
cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato
incognito, generalmente, è l’ipotenusa.
I triangoli rettangoli evidenziati in giallo fanno al caso
nostro.
I due triangoli PBC e QDC sono congruenti, dal momento
che sono rettangoli (
) ed i cateti sono
congruenti, in particolare:
Così risulta:
Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due coppie di
lati consecutivi congruenti, posso affermare con certezza
che il poligono è un deltoide.
2° modo)
Faccio
valutazioni
sulle
calcolare la loro lunghezza).
O
B
diagonali
(non
importa
Le due diagonali AC e BD sono, ovviamente, di lunghezza
diversa e si incontrano nel punto O; il punto O coincide
con il punto medio della diagonale minore BD:
Inoltre, le due diagonali AC e BD sono perpendicolari, in
quanto coincidenti, rispettivamente, con i due tipi di
diagonale dell’unità quadrata.
Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due diagonali
perpendicolari, e che una si biseca, ma non l’altra, posso
affermare con certezza che il poligono è un deltoide.
Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi
deltoide.
 ha due coppie di lati consecutivi congruenti
 ha una coppia di angoli opposti congruenti
 ha le diagonali perpendicolari
 una delle due diagonali (quella che unisce i vertici
degli angoli congruenti) si biseca
 una delle due diagonali (quella che unisce i vertici
degli angoli non congruenti) è bisettrice degli angoli
 ha un asse di simmetria, che coincide con la diagonale
bisettrice
Passo,
ora,
a
calcolare
il
perimetro
e
l’area
del
quadrilatero, come richiesto.
Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, sfrutto i calcoli
precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.
Per quanto riguarda l’area di ABCD, devo calcolare la
lunghezza delle diagonali per applicare la formula
dell’area oppure ragionare in altro modo.
Come in precedenza, per calcolare la lunghezza delle
diagonali devo trovare dei triangoli rettangoli “comodi”
per poter applicare il teorema di Pitagora.
Lo sono il triangolo evidenziato in verde, per calcolare la
diagonale
minore,
ed
il
triangolo
evidenziato
azzurro, per calcolare la diagonale maggiore.
Notando che il triangolo ABD è metà quadrato, potevo
in
anche utilizzare la formuletta
.
P
Notando che il triangolo APC è metà quadrato, potevo
utilizzare anche in questo caso la formuletta
.
Oppure potevo calcolare il valore dell’area facendo altre
considerazioni.
Riprendiamo in esame un disegno già visto.
Q
P
Il quadrilatero APCQ è un quadrato formato dal deltoide
e due triangoli rettangoli congruenti.
Posso, dunque, calcolare l’area del quadrato, l’area di un
triangolo e per differenza calcolare l’area del deltoide.
Esercizio 2a
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici sono
 un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.
Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed,
in particolare, è un trapezio, perché ha una coppia di lati
opposti paralleli (dal momento che sono parte di una
coppia di lati opposti del rettangolo, le basi).
B
Esercizio 1b
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili
nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue.
Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un trapezio
isoscele.
Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo
dimostrare che ABCD è un trapezio isoscele.
Ecco come posso dimostrarlo.
Faccio valutazioni sui lati.
I due lati opposti AB e CD, ovviamente di lunghezza
diversa, sono paralleli, in quanto coincidenti con le
diagonali dell’unità quadrata, aventi la stessa direzione.
I due lati opposti AD e BC hanno direzioni diverse.
Questo è sufficiente a dire che il quadrilatero è un
trapezio: i lati AB e CD costituiscono le sue basi (in
quanto si definiscono basi i lati paralleli del poligono),
così i lati AD e BC (cioè la coppia di lati non paralleli)
costituiscono i lati obliqui.
Trovo il valore della lunghezza dei lati obliqui del
trapezio.
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
orizzontali
e
verticali,
ovvero
paralleli
agli
assi
cartesiani, posso contare le unità.
Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha una coppia di
lati opposti paralleli e che gli altri lati (non paralleli)
sono congruenti, posso affermare con certezza che il
poligono è un trapezio isoscele.
Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi
trapezio isoscele.
 ha
una
coppia
di
lati
opposti
paralleli
(che
costituiscono le basi del trapezio)
 i
lati
opposti
non
paralleli
(i
lati
obliqui)
sono
congruenti
 ha
gli
angoli
adiacenti
a
ciascuna
delle
basi
congruenti (due angoli congruenti sono acuti e due
angoli congruenti ottusi)
 gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui sono
supplementari
 ha le diagonali congruenti
 ha un asse di simmetria, che passa per i punti medi delle
basi
Passo,
ora,
a
calcolare
il
perimetro
e
l’area
del
quadrilatero, come richiesto.
Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, devo calcolare
la lunghezza delle basi, mentre conosco già la lunghezza
dei lati obliqui, riportata qui di seguito:
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il
righello
per
misurare,
devo
trovare
dei
triangoli
rettangoli “comodi” (cioè di cui posso sapere il valore dei
cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato
incognito, generalmente, è l’ipotenusa.
Per calcolare la lunghezza della base minore individuo il
triangolo evidenziato in verde, mentre per calcolare la
lunghezza della base maggiore individuo il triangolo
evidenziato in azzurro.
Q
P
Il triangolo DCQ è rettangolo (
) e ha i cateti
congruenti, in particolare:
Così risulta:
Notando che il triangolo DCQ è metà quadrato, potevo
anche utilizzare la formuletta
.
Il triangolo PAB è rettangolo (
) e ha i cateti
congruenti, in particolare:
Così risulta:
Notando che il triangolo PAB è metà quadrato, potevo
utilizzare, anche in questo caso, la formuletta
.
Per quanto riguarda l’area di ABCD, devo calcolare la
lunghezza dell’altezza per applicare la formula dell’area
oppure ragionare in altro modo.
H
K
Come in precedenza, per calcolare la lunghezza della
altezza devo trovare dei triangoli rettangoli “comodi” per
poter applicare il teorema di Pitagora. Lo è il triangolo
evidenziato in rosso (ma anche quello evidenziato in
giallo).
H
R
K
Il triangolo
(
evidenziato in
rosso ADR e’
rettangolo
) e ha i cateti congruenti, in particolare:
Così risulta:
Altrimenti, notando che il triangolo CBK evidenziato in
giallo è metà quadrato, potevo utilizzare la formuletta
.
Oppure potevo calcolare il valore dell’area facendo altre
considerazioni.
R
L
Come evidenziato in figura, il trapezio ABCD è composto
dal triangolo rettangolo ADR e dal parallelogramma
DRBC (di cui RL è l’altezza).
Posso, dunque, calcolare l’area del triangolo e l’area del
parallelogramma e sommarle per calcolare l’area del
trapezio:
Esercizio 2b
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici sono
 un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.
Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed,
in particolare, è un trapezio rettangolo: trapezio perché ha
una coppia di lati opposti paralleli (che sono parte di una
coppia di lati opposti del rettangolo, le altezze), rettangolo
perché un lato è perpendicolare ai lati paralleli.
C
Esercizio 1c
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue.
Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un rombo o un
parallelogramma.
Ma
non
posso
fare
affermazioni
senza
prove,
devo
dimostrare che ABCD è un rombo o un parallelogramma.
E posso dimostrarlo in diversi modi.
1° modo)
Trovo il valore della lunghezza dei suoi lati.
R
S
Q
P
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
orizzontali
e
verticali,
ovvero
paralleli
agli
assi
cartesiani, posso contare le unità.
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il
righello
per
misurare,
devo
trovare
dei
triangoli
rettangoli “comodi” (cioè di cui posso sapere il valore dei
cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato
incognito, generalmente, è l’ipotenusa.
I triangoli rettangoli evidenziati in giallo fanno al caso
nostro.
I quattro triangoli ASB, BPC, CQD e ARD sono congruenti,
dal momento che sono rettangoli (
) ed i
cateti sono congruenti, in particolare:
Così risulta:
Se un quadrilatero ha tutti i lati congruenti o è un
quadrato o è un rombo.
Allora esamino gli angoli.
Si
vede
chiaramente
che
gli
angoli
non
sono
tutti
congruenti: due angoli opposti sono ottusi e due angoli
opposti sono acuti.
Ora,
sapendo
che
il
quadrilatero
ABCD
ha
i
lati
congruenti e che gli angoli non sono congruenti, posso
affermare con certezza che il poligono è un rombo.
2° modo)
Faccio
valutazioni
sulle
calcolare la loro lunghezza).
diagonali
(non
importa
O
Le due diagonali AC e BD sono, ovviamente, di lunghezza
diversa e si incontrano nel punto O.
Il punto O coincide con il punto medio della diagonale
minore AC e della diagonale maggiore BD:
Inoltre, le due diagonali AC e BD sono perpendicolari, in
quanto coincidenti, rispettivamente, con i due tipi di
diagonale dell’unità quadrata.
Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due diagonali
perpendicolari,
che
si
bisecano,
posso
affermare
con
certezza che il poligono è un rombo.
Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi
rombo.
 ha due coppie di lati opposti paralleli
 ha i tutti i lati congruenti
 ha due coppie di angoli opposti congruenti (due angoli
congruenti sono acuti e due angoli congruenti ottusi)
 gli
angoli
adiacenti
a
ciascuno
dei
lati
sono
supplementari
 ha le diagonali perpendicolari
 le diagonali si bisecano
 le diagonali sono bisettrici degli angoli
 ha due assi di simmetria,
che coincidono con
le
diagonali
 ha un centro di simmetria, che coincide con il punto
d’incontro delle diagonali
Passo,
ora,
a
calcolare
il
perimetro
e
l’area
del
quadrilatero, come richiesto.
Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, sfrutto i calcoli
precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.
Per quanto riguarda l’area di ABCD, devo calcolare la
lunghezza delle diagonali per applicare la formula
dell’area oppure ragionare in altro modo.
Come in precedenza, per calcolare la lunghezza delle
diagonali devo trovare dei triangoli rettangoli “comodi”
per poter applicare il teorema di Pitagora.
Lo sono il triangolo evidenziato in verde, per calcolare la
diagonale maggiore,
ed il triangolo evidenziato in
azzurro, per calcolare la diagonale minore.
M
Notando che il triangolo ABD è metà quadrato, potevo
anche utilizzare la formuletta
.
K
Notando che il triangolo APC è metà quadrato, potevo
utilizzare anche in questo caso la formuletta
.
Oppure potevo calcolare il valore dell’area facendo altre
considerazioni.
Riprendiamo
in
esame
l’aggiunta di due oggetti.
un
disegno
già
visto,
con
N
R
S
Q
P
M
Il quadrilatero BMDN è un quadrato formato dal rombo,
da quattro triangoli rettangoli congruenti e da due
quadratini congruenti.
Posso, dunque, calcolare l’area del quadrato, l’area di un
triangolo, l’area di un quadratino e per differenza
calcolare l’area del rombo:
Esercizio 2c
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate
 un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.
Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed,
in particolare, è un trapezio rettangolo: trapezio perché ha
una coppia di lati opposti paralleli (che sono parte di una
coppia di lati opposti del parallelogramma, le basi),
rettangolo
paralleli.
perché
un
lato
è
perpendicolare
ai
lati
D
Esercizio 1d
Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell’ordine dato:
Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?
Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue.
Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un rettangolo.
Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo
dimostrare che ABCD è un rettangolo.
Ecco come posso dimostrarlo.
Faccio valutazioni sui lati.
Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti
orizzontali
e
verticali,
ovvero
paralleli
agli
assi
cartesiani, posso contare le unità.
I due lati opposti AB e CD sono paralleli, così come lo sono
i lati opposti BC e AD.
Se un quadrilatero ha i lati opposti paralleli e congruenti o
è un rettangolo o è un parallelogramma.
Allora esamino gli angoli.
Si vede chiaramente che gli angoli sono tutti congruenti.
Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha i lati opposti
paralleli e congruenti e che gli angoli sono tutti retti,
posso
affermare
rettangolo.
con
certezza
che
il
poligono
è
un
Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi
rettangolo.
 ha due coppie di lati opposti paralleli e congruenti
 ha tutti gli angoli congruenti (retti)
 ha le diagonali congruenti
 le diagonali si bisecano
 ha due assi di simmetria, che passano per i punti medi
dei lati opposti
 ha un centro di simmetria, che coincide con il punto
d’incontro delle diagonali
Passo,
ora,
a
calcolare
il
perimetro
e
l’area
del
quadrilatero, come richiesto.
Per quanto riguarda il perimetro e l’area di ABCD, sfrutto
i calcoli precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui
di seguito.
Esercizio 2d
In uno stesso piano cartesiano disegna:
 un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate
 un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono
Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure.
Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?
Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli
nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella
figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.
Il poligono ottenuto per intersezione è un triangolo ed, in
particolare, è un triangolo isoscele, perché ha una coppia
di
lati
congruenti
(entrambi
ipotenusa
di
triangoli
rettangoli congruenti; l’altezza divide a metà la base).