1a Esercitazione: soluzioni

1a Esercitazione: soluzioni
A cura di Monica Bonacina
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2012-2013
La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi
d’esame.
1
De…nizioni.
Si de…niscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora necessario, di formule e gra…ci.
Def. 1. Costo opportunità di un bene.
Soluzioni. Il costo opportunità di un bene, ad esempio del bene X, è il valore del
più prezioso tra tutti i beni alternativi ad X ai quali si rinuncia per avere il bene X.
As esempio se il costo opportunità di X in termioni di bene Y fosse pari a 2 vorrebbe
dir che il consumatore sarebbe disposto a cedere due unità di bene Y pur di consumare
un’unità aggiuntiva di bene X.
Def. 2. Curva di indi¤erenza.
Soluzioni. La curva di indi¤ erenza è l’insieme di tutti i panieri tra i quali il
consumatore è indi¤ erente (ovvero che lo lasciano ugualmente soddisfatto).
Def. 3. Saggio marginale di sostituzione.
Soluzioni. In qualunque punto di una curva di indi¤ erenza il saggio marginale di
sostituzione è de…nito come il valore assoluto della pendenza della curva in quel punto
ed indica la quantità aggiuntiva del bene misurato in ordinata (bene Y) necessaria a
compensare il consumatore della rinuncia ad una unità del bene in ascissa (bene X).
Def. 4. Beni perfetti sostituti.
Soluzioni. Due beni sono perfetti sostituti se il consumatore è disposto a scambiare l’uno per l’altro in un rapporto …sso.
2
Vero/Falso.
Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione
(anche gra…ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta.
Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è [email protected]!
1
Vero/Falso 5. Per Bruno i beni X e Y sono perfetti sostituti. In corrispondenza
degli attuali prezzi dei due beni il consumatore decide di acquistare solo bene Y.
Una riduzione del prezzo del bene Y indurrà Bruno a destinare parte del suo reddito
nell’acquisto di bene X.
Soluzioni. FALSO. Dal momento che i beni sono perfetti sostituti e che già in
corrispondenza dei prezzi iniziali il consumatore preferiva destinare tutto il proprio
reddito all’acquisto di bene Y, se Y diventa meno caro il consumatore (divenuto ora
relativamente più ricco) deciderà semplicemente di acquistarne di più.
Vero/Falso 6. Dati due beni X (in ascissa) e Y (in ordinata), se le curve di indi¤erenza del consumatore tipo sono orizzontali, allora è possibile aumentare la sua
soddisfazione aumentando il consumo di bene X.
Soluzioni. FALSO. Una curva di indi¤ erenza è orizzontale (ossia parallela
all’asse delle ascisse) indica che il consumatore è sazio di bene X e che solo un
aumento nel consumo di bene Y può portarlo a livelli di soddisfazione più elevati.
Vero/Falso 7. Per Gilda i beni X e Y sono perfetti complementi. Dato che Gilda
consuma sempre X e Y in un rapporto …sso, possiamo dire che lungo le curve di
indi¤erenza il saggio marginale di sostituzione è costante.
Soluzioni. FALSO. Dato che la pendenza della curva di indi¤ erenza con beni
perfetti complementi non è costante e visto che il saggio marginale di sostituzione è
pari al valore assoluto della pendenza della curva di indi¤ erenza in ogni punto, esso
non può essere costante. In particolare si avrà
8
< 1 lungo il tratto verticale
Y
= non de…nito nel punto angolso
M RS =
:
X
0 lungo il tratto orizzontale
Vero/Falso 8. Un consumatore ha la seguente funzione di utilità per Mozzarelle
(M) e Pomodori (P), i cui prezzi sono entrambi positivi: U (M; P ) = min(M ; P ). Le
dotazioni iniziali del consumatore sono la combinazione (M = 10; P = 20). Allora
gli conviene cedere un po’di Mozzarelle e acquistare un po’di Pomodori.
Soluzioni. FALSO. Dato che M e P sono perfetti complementi ed il consumatore
desidera consumare 1 bene M con 1 bene P, gli converrà cedere un po’ di bene P in
cambio di un maggior quantitativo di bene M, infatti così facendo potrà aumentare
la sua utilità.
Vero/Falso 9. Una consumatrice ha una funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas
relativamente a pere (in ascissa) e mele (in ordinata), i cui prezzi sono, rispettivamente, 3 e 2. In corrispondenza delle sue dotazioni iniziali di pere e mele l’utilità
marginale delle pere è 6 e quella delle mele è 3. Allora le conviene cedere un po’di
mele ed acquistare un po’di pere.
Soluzioni. Vero. Dal momento che il saggio marginale di sostituzione in corrispondenza delle dotazioni iniziali ( M RS = M Up =M Um = 6=3 = 2) è superiore
al rapporto tra i prezzi ( pp =pm = 3=2), la consumatrice può aumentare la propria
utilità cedendo un po’ di mele i cambio di un po’ di pere.
Vero/Falso 10. Le preferenze di Carlo sono rappresentate dalla seguente funzione
di utilità U (X; Y ) = XY . Allora il suo paniere di consumo ottimo conterrà un ugual
quantitativo di ambedue i beni (ad esempio 5 unità di bene X e 5 unità di bene Y).
Soluzioni. FALSO/Incerto. Dipende dai prezzi di mercato. Solo se il prezzo
dei due beni è lo stesso, allora il paniere di consumo ottimo conterrà un ugual quantitativo dei due beni.
2
Vero/Falso 11. Katia consuma solo due beni, X ed Y, ed è indi¤erente tra i panieri
A, B e C le cui dotazioni sono rappresentate nel gra…co sottostante. Ne consegue che
X e Y sono per la consumatrice perfetti sostituti.
Soluzioni. FALSO. Se i due beni fossero perfetti sostituti per la consumatrice
il saggio marginale di sostituzione (pendenza della curva di indi¤ erenza in valore assoluto) sarebbe costante. Nel nostro caso spostandoci dal paniere A al paniere B abbiamo che l’MRS=j(10-20)/(8-4)j=10/4=5/2. Spostandoci dal paniere B al paniere
C, l’MRS=j(8-10)/(10-8)j=2 6= 5=2. Dal momento che l’MRS non è costante ma decresce spostandomi dall’alto verso il basso lungo la curva di indi¤ erenza, i beni non
sono perfetti sostituti.
Vero/Falso 12. Un consumatore ha la seguente funzione di utilità per ca¤è (C) e
biscotti (B), i cui prezzi sono entrambi positivi: U (C; B) = min(C; 2B). Le dotazioni
iniziali del consumatore sono la combinazione (C = 20; B = 10). Allora gli conviene
cedere un po’di biscotti e acquistare un po’di ca¤è.
Soluzioni. FALSO. Il paniere delle dotazioni si trova nel vertice di una curva di
indi¤ erenza, infatti sostituendo abbiamo U(20,10)=min(20;2 10)=min(20;20)=20;
dunque il conumatore si trova già in corrispondenza di un allocazione ottima delle
risorse.
Vero/Falso 13. Le preferenze di Anita sono rappresentate dalla seguente funzione
di utilità U (X; Y ) = 2X + Y . Se px > py il paniere ottimo di Anita conterrà solo
bene Y in quanto meno caro del bene X.
Soluzioni. FALSO/Incerto. Stante la forma della funzione di utilità della
consumatrice, possiamo dedurre che X e Y siano per lei beni perfetti sostituti con
MRS=MU x /MU y =2/1=2. Se l’MRS è minore del rapporto prezzi (MRS<px =py e
quindi se 2<px =py ossia 2 py <px ) allora l’a¤ ermazione vera in quanto il paniere ottimo del consumatore conterrà solo bene Y. Ma se l’MRS è maggiore del rapporto
prezzi (MRS>px =py e quindi se 2>px =py ossia 2 py <px ) allora l’a¤ ermazione risulterà falsa in quanto il paniere ottimo del consumatore conterrà solo bene X. Ricordate
poi che se l’MRS fosse esattamente pari al rapporto tra i prezzi tutti i panieri lungo
il vincolo di bilancio sarebbero possibili panieri ottimi per il consumatore (e anche in
questo caso l’a¤ ermazione sarebbe falsa).
Vero/Falso 14. Per Giada i beni X e Y sono perfetti sostituti; quindi il tasso a
cui la consumatrice è disposta a scambiare un bene con l’altro sarà costante.
Soluzioni. VERO. Il tasso a cui un consumatore è disposto a cedere un bene
per l’altro è pari al saggio marginale di sostituzione. Dato che in caso di beni perfetti
3
sostituti il saggio marginale di sostituzione è costante, l’a¤ ermazione è vera.
3
Esercizi.
Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Maya ha a disposizione un certo reddito monetario, che indichiamo
con M, da destinare all’acquisto dei due soli beni presenti all’interno dell’economia:
ananas (A, in ascissa) e cavoli (C, in ordinata). Indicate con pA e pC il prezzo (e/kg)
di ananas e cavoli, rispettivamente. (1) Fornite de…nizione, espressione analitica e
rappresentazione gra…ca (con i dati a disposizione) del vincolo di bilancio di Maya.
Supponendo che le preferenze della consumatrice per ananas e cavoli siano regolari
(ovvero che rispettino le proprietà di non sazietà, completezza, transitività e convessità), fornite una rappresentazione gra…ca del paniere ottimo della consumatrice.
(2) Supponete che a causa dell’in‡azione il prezzo dei beni di consumo aumenti del
10%. Discutete, attraverso un opportuno gra…co, le conseguenze di tale aumento sui
panieri accessibili a Maya. (3) Ritenete che l’e¤etto dell’in‡azione sulle possibilità di
spesa di Maya sarebbe stato diverso se il reddito monetario della consumatrice fosse
stato indicizzato all’in‡azione? Argomentate.
Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio è l’insieme di tutti i panieri per acquistare i
quali il consumatore, nel nostro caso Maya, spende il suo intero reddito. Formalmente
M = pA A + p C C
da cui
C=
pA
pC A
+
M
pC
Vincolo di bilancio
C
C
M/pC
M/pC
Rappresentazione della scelta
ottima di Maya
Paniere ottimo
C*
pA/pC
pA/pC
M/pA
A
A*
M/pA
A
(2) Se pA e pC erano i prezzi iniziali dei due beni, i nuovi prezzi (post-in‡azione)
saranno
p0A = pA + 10%pA = (1 + 10%)pA = 1; 1pA
p0C = pC + 10%pC = (1 + 10%)pC = 1; 1pC
Il nuovo vincolo di bilancio è
M = p0A A + p0C C
da cui, sostituendo i valori nella (1) e nella (2), si ottiene
M = 1; 1pA A + 1; 1pC C
4
(1)
(2)
e quindi
C=
pA
pC A
+
M
1;1pC
Il nuovo vincolo di bilancio si caratterizza per la medesima pendenza di quello vecchio
ma ha intercette (verticale ed orizzontale) più vicine all’origine. Essendo aumentato
il prezzo dei beni i panieri accessibili a Maya si riducono
Vecchio (tratteggiato) e nuovo
vincolo di bilancio
C
M/pC
M/(1,1pC)
pA/pC
M/(1,1pA)
M/pA
A
(3) Se il reddito della consumatrice fosse stato indicizzato all’in‡azione, sarebbe
cresciuto seguendo la dinamica dei prezzi; dunque Maya avrebbe avuto a disposizione
un reddito
M 0 = M + 10%M = (1 + 10%)M = 1; 1M
(3)
Il vincolo di bilancio post-in‡azione sarebbe quindi stato pari a
M 0 = p0A A + p0C C
da cui, sostituendo i valori di M’, p A ’ e p C ’ che abbiamo calcolato, rispettivamente
nella (1), nella (2) e nella (3),
1; 1M = 1; 1pA A + 1; 1pC C ! M = pA A + pC C
Non ci sarebbero quindi state contrazioni nei panieri accessibili alla consumatrice che
quindi avrebbe continuato a consumare il paniere A*, C* individuato al punto (1).
Esercizio 2. A Fruitvillage vengono vendute esclusivamente pere (P, in ascissa)
e mele (M, in ordinata). Eva adora le mele ma è del tutto indi¤erente rispetto al
consumo di pere. (1) Fornite una rappresentazione gra…ca delle curve di indi¤erenza
della consumatrice. (2) Eva dispone di 100e. Il prezzo di un chilo di mele è pM =
10e/kg e quello di un chilo di pere è pP = 10e/kg. Fornite una rappresentazione
gra…ca ed analitica del paniere ottimo della consumatrice. (3) Un raccolto particolarmente abbondante di pere fa dimezzare il loro prezzo al chilo. Discutete le
conseguenze di tale cambiamento sul vincolo di bilancio e sul paniere ottimo scelto
dalla cnsumatrice.
Soluzione. (1) La funzione di utilità di Eva è del tipo U(P,Y)=bY (con b
parametro positivo) in quanto la sua soddisfazione dipende solo ed esclusivamente dal
5
quantitativo di mele che può consumare. Gra…camente
Y
U3
Curve di
indifferenza
U2
U1
P
(2) Il vincolo di bilancio di Eva è
M = pp P + py Y
da cui
Y =
pp
py P
+
M
py
!Y =
10
10 P
+
100
10
!Y =
P + 10
Dato che il consumo di pere non aumenta la soddisfazione della consumatrice, Eva
destinerà tutto il suo reddito all’acquisto di bene Y (gra…co sottostante). Il paniere
ottimo è
P = 0 Y = pMy = 10 ;
Y
10
Paniere ottimo
Curva di
indifferenza in
corrispondenza
dell’
ottimo
Vincolo di
bilancio
10
P
(3) La contrazione nel prezzo delle pere comporta una rotazione verso l’esterno del
vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell’intercetta verticale). Aumentano
i panieri accessibili, a parità di reddito destinato all’acquisto di mele, la consumatrice
può permettersi ora l’acquisto di un maggior quantitativo di pere.
Vecchio (tratteggiato)
e nuovo vincolo di
bilancio
Y
10
10
6
20 P
Ma il paniere ottimo scelto da Eva non cambia in quanto a sua utilità dipende esclusivamente dal consumo di bene Y.
Y
10
Paniere ottimo
10
20 P
Esercizio 3. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di un reddito M da destinare all’acquisto degli unici due beni
disponibili nell’economia considerata: X1 (in ascissa) ed X2 (in ordinata). I prezzi
dei due beni sono rispettivamente p1 e p2 con p1 > p2 . Il nostro individuo è sempre
disposto a scambiare un’unità di bene X1 con un’unità di bene X2 . (1) Fornite una
rappresentazione gra…ca delle curve di indi¤erenza dell’individuo (3 curve) e discutete
della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Rappresentate il vincolo di
bilancio dell’individuo (esplicitandone inclinazione ed intercette) ed individuate la
sua scelta ottima. (3) Supponete che il prezzo del bene X1 si riduca passando da p1 a
p01 < p2 . Discutete le conseguenze di tale riduzione sulla scelta ottima dell’individuo.
Soluzione. (1) Dato che il consumatore è sempre disposto a scambiare un bene
per l’altro, X 1 ed X 2 sono per lui perfetti sostituti. Il rapporto di sostituzione (1 a
1) ci dice che MRS=1/1=1; quindi le curve di indi¤ erenza sono rette (beni perfetti
sostituti) con pendenza -1
Mappa di curve
indifferenza
X2
U3
U2
U1
X1
(2) Il vincolo di bilancio del nostro consumatore è
M = p 1 X 1 + p2 X 2
da cui
X2 =
p1
p2 X1
+
M
p2
Nota bene!!Dato che il testo ci dice che p 1 > p 2 sappiamo che p1 =p2 > 1 ovvero la
pendenza del vincolo di bilancio è maggiore della pendenza della curva di indi¤ erenza.
Questo implica che il tasso al quale il mercato è disposto a cedere una unità di bene
7
X 1 per una maggior quantità di bene X 2 è superiore del tasso al quale il nostro
consumatore è disposto a cedere una unità di bene X 1 per una maggior quantità di
X 2 . Dato che il bene X 1 è per il mercato più prezioso di quanto non lo sia per il
consumatore, il consumatore "ci guadagna" se rinuncia a consumare X 1 e spende
tutto il suo reddito nell’acquisto di bene X 2 .
Vincolo di
bilancio
X2
M/p2
p1/p2
M/p1
X1
La scelta ottima è quindi X1 = 0; X2 = M=p2
X2
Paniere ottimo
M/p2
p1/p2
M/p1
X1
(3) La contrazione nel prezzo del bene X 1 si traduce in una rotazione verso
l’esterno del vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell’intercetta verticale). Il nuovo vincolo è
M = p01 X1 + p2 X2
da cui
X2 =
p01
p2 X1
+
M
p2
I panieri accessibili al nostro consumatore aumentano. Si noti che la nuova pendenza
del vincolo di bilancio, p01 =p2 è minore dell’MRS (dato che p01 < p2 ); ne consegue
che il consumatore in corrispondenza del nuovo prezzo per il bene X 1 modi…cherà la
sua scelta ottima e deciderà di acquistare solo bene X 1 . Il nuovo paniere ottimo è
8
X1 = M=p01 ; X2 = 0.
Vecchio (tratteggiato)
e nuovo vincolo di
bilancio
X2
M/p2
p1/p2
M/p1
Nuovo paniere
ottimo
X2
M/p2
p1/p2
p’
1/p2
M/p’
1
M/p1
X1
p’
1/p2
M/p’
1
X1
Esercizio 4. Kristian ha a disposizione un reddito, M = 10e, da destinare all’acquisto
di attrezzature sportive: palloni da rugby (R, in ascissa) e biciclette (B, in ordinata). Siano pR e pB il prezzo dei palloni da calcio e delle biciclette, rispettivamente.
Le preferenze del consumatore possono essere sintetizzate dalla funzione di utilità
minfaR; bBg dove a e b sono parametri positivi (a > 0 e b > 0). (1) Fornite
l’espressione analitica e la rappresentazione gra…ca (con i dati a disposizione) del
paniere ottimo di Kristian. (2) Per incentivare l’interesse dei giovani nel gioco del
Rugby, il Governo di Dynamic decide di introdurre un sussidio di ammontare s = 1e
su ogni pallone acquistato. Mostrate attraverso un opportuno gra…co l’e¤etto di tale
politica sulla scelta ottima di Kristian. (3) I partiti all’opposizione suggeriscono, in
alternativa all’introduzione del sussidio su ogni pallone acquistato, una sovvenzione
di 10e indipendente dalle scelte di consumo. Discutete attraverso un opportuno
gra…co l’e¤etto di questa seconda politica sul vincolo di bilancio di Kristian.
Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio di Kristian è
M = pR R + pB B
da cui
B=
pR
pB R
+
M
pB
Stante la forma della funzione di utilità possiamo dire che i palloni da rugby e le
biciclette sono per Kristian dei beni complementari (li vuole consumare sempre congiuntamente). Le curve di indi¤ erenza hanno la tipica forma a "L" ed i vertici della
L si trovano lungo la retta
aR = bB ! B = ab R
Il paniere ottimo si trova all’intersezione tra retta dei vertici e curva di indi¤ erenza
Retta dei vertici
RB
R*
B*
Paniere ottimo
Vincolo di bilancio
a/b
B*
R*
BR
9
Analiticamente
B = ab R
B+
R = ppB
R
condizione di appartenenza alla retta dei vertici
!
condiz. di appartenenza al vincolo di bilancio
da cui
(
B =
R =
M
pR
aM
bpR +apB
bM
bpR +apB
(2) Dato che i consumatori ricevono un euro di rimborso per ogni pallone da
rugby che acquistano, il sussidio riduce il prezzo al consumo dei palloni da rugby
( pR #)
p0R = pR s = pR 1 < pR
Il vincolo di bilancio quindi ruota verso l’esterno facendo perno in corrispondenza
dell’intercetta verticale. Il vincolo post-sussidio è
M = p0R R + pB B
da cui
B=
p0R
pB R
+
M
pB
!B =
pR 1
pB R
+
M
pB
Aumentano i panieri accessibili a Kristian. Data la forma delle preferenze, il consumatore deciderà di destinare parte del maggior reddito reale all’acquisto di ulteriori
palloni da rugby e parte all’acquisto di ulteriori di biciclette.
Retta dei vertici
RB
B**
R*
B*
Nuovo
Panierepaniere
ottimoottimo
Nuovo
Vincolo di bilancio
a/b
B* R**
R*
RB
(3) La sovvenzione non modi…ca i prezzi relativi dei due beni ma fornisce un
extra-reddito che il consumatore può destinare all’acquisto di beni. La sovvenzione
sposta il vincolo di bilancio verso l’esterno parallamente al vincolo di bilancio iniziale.
Il vincolo di bilancio in presenza della sovvenzione è
M + S = pR R + pB B
da cui
B=
pR
pB R
+
S+M
pB
!B =
10
pR
pB R
+
10+M
pB
Retta dei vertici
RB
B***
R*
B*
Nuovo (con S) paniere
ottimo ottimo
Paniere
Nuovo (con S)
Vincolo di bilancio
a/b
B* R***
R*
RB
N.B. Volendo potevate anche sostituire M=10 euro nel calcolo dei risultati.
Esercizio 5. Gli abitanti di Golosandia spendono tutto il loro reddito nell’acquisto
di meringhe (M, misurate in ordinata) e di caramelle alla frutta (C, misurate in
ascissa). La funzione di utilità del consumatore tipo a Golosandia è U (C; M ) =
C + M . (1) Supponendo che il reddito del consumatore tipo sia di 12e, che il prezzo
delle meringhe sia pM = 0.4e ed il prezzo delle caramelle sia pC = 0.1e, calcolate
e fornite una rappresentazione gra…ca della sua scelta ottima. Discutete il risultato
ottenuto speci…cando il tipo di relazione che sussiste tra i due beni considerati. (2)
Un incidente negli stabilimenti aumenta il prezzo delle meringhe del 25%. Analizzate
attraverso un opportuno gra…co le conseguenze di tale aumento sulla scelta ottima del
consumatore tipo. (3) Insoddisfatti del livello delle vendite i produttori di meringhe
decidono di promuovere il loro prodotto introducendo uno sconto su ciascuna unità
venduta. Il prezzo di riferimento per le meringhe è quello individuato al punto 2.
Calcolate lo sconto minimo necessario per indurre il consumatore tipo ad acquistare
meringhe.
Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio del consumatore tipo è
M = p y Y + pc C
da cui si ottiene
Y =
pc
py C
+
M
py
1
4C
!Y =
+ 30
Le preferenze del consumatore tipo sono additive, cioè i due beni sono perfetti sostituti. Il saggio marginale di sostituzione è costante ed è pari a
M RS =
M Uc
M Uy
=
1
1
Dal momento che M RS = 1 > pC =py = 1=4, il consumatore deciderà di destinare
integralmente il suo reddito all’acquisto di bene C ed il suo paniere ottimo coinciderà
dunque con l’intercetta orizzontale del vincolo di bilancio: Y =0; C =120. Gra…ca-
11
mente
Y
Curva di indifferenza
Vincolo di bilancio
Scelta ottima
30
−1/4
−1
C
120
(2) L’aumento del prezzo delle meringhe incide sul vincolo di bilancio. Non si
modi…ca l’intercetta orizzontale ma cambiano pendenza ed intercetta verticale. Il
vincolo di bilancio ruota vers l’interno facendo perno in corrispondenza dell’intercetta
orizzontale. La zona dei panieri ammissibili si contrae. Il nuovo vincolo di bilancio
del consumatore tipo è
M = p0y Y + pc C
da cui si ottiene
Y =
pc
p0y C
+
M
p0y
!Y =
1
5C
+ 24
con pendenza è -1/5 cioè il vincolo di bilancio diventa più piatto. Dal momento
che meringhe e caramelle alla frutta sono perfetti sostituti, che l’aumento non altera l’intercetta orizzontale (il paniere ottimo individuato al punto 1 resta comunque
ammissibile) e che già in corrispondenza del vecchio prezzo delle meringhe il consumatore tipo preferiva acquistare solo bene C, l’aumento non modi…cherà la sua
scelta ottima: Y =0, C =120.
(3) Per convincere i consumatori ad acquistare meringhe, è necessario che la
pendenza del vincolo di bilancio (in valore assoluto) sia pari o inferiore della pendenza
(in valore assoluto) delle curve di indi¤ erenza ovvero è necessario che
M RS
pc
p00
y
(4)
dove p 00y indica il prezzo scontato delle meringhe ed è pari a
p00y = p0y
sconto
sostituendo nella (4) otteniamo
M RS
pc
p0y sconto
!1
0;1
0;4(1+25%) sconto
! 0; 5
sconto
0; 1 ! sconto
0; 4e
Il minimo sconto su ogni meringa acquistata dev’esser pari a 0,4e.
Esercizio 6. Daniela consuma libri (X) e schede telefoniche (Y). Il prezzo unitario
dei libri è pari a 4 euro (px = 4), mentre quello delle schede telefoniche è pari
a 2 euro (py = 2). Le preferenze di Daniela per questi due beni possono essere
rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (X; Y ) = XY 2 . (1) Discutete
brevemente il problema di scelta ottima di Daniela. (2) Fornite l’espressione analitica
e la rappresentazione gra…ca del vincolo di bilancio di Daniela, sapendo che il reddito
di cui dispone è di 400 euro mensili (M = 400). (3) Stanti le preferenze ed il vincolo
12
di bilancio di cui sopra, calcolate il paniere ottimo scelto da Daniela e rappresentatelo
nel gra…co al punto 2. (4) Supponete che dopo un anno l’in‡azione porti il prezzo
unitario dei libri da 4 a 6 (p0x = 6) ed il prezzo delle schede telefoniche da 2 a 3 (p0y =
3). Di quanto deve aumentare il reddito mensile di Daniela perché la consumatrice si
possa permettere lo stesso paniere di consumo trovato al punto 3? Non sono necessari
calcoli.
Soluzione. (1) Secondo la teoria della scelta razionale (che è alla base di tutte le
decisioni individuali d’acquisto), un consumatore razionale sceglie tra tutti i panieri a
lui accessibili, quello caratterizzato dalla combinazione di beni di consumo che rende
massima la sua soddisfazione. Per individuare il paniere ottimo è quindi necessario
(1) identi…care i panieri accessibili, e (2) ordinare tali panieri in base al grado di
soddisfazione dato al consumatore. Sono accessibili tutti i panieri la cui spesa non
eccede il reddito a disposizione del consumatore:
M
|{z}
px X + py Y
{z
}
|
reddito
sp esa in b eni di consum o
dove px e py indicano i prezzi di mercato dei due beni ed M il reddito del consumatore.
Sono preferiti (in quanto garantiscono livelli di soddisfazione più elevati) i panieri che
giacciono sulle curve di indi¤ erenza più lontane dall’origine degli assi cartesiani. Dal
momento che il grado di soddisfazione è crescente nei livelli di consumo (principio
della non sazietà), il paniere ottimo apparterrà al vincolo di bilancio del consumatore
ovvero esaurirà integralmente il reddito dello stesso. Gra…camente il paniere ottimo
di un generico consumatore razionale sarà:
Y
Paniere
ottimo
Y*
Curva di
indifferenza
Vincolo di bilancio
X*
X
(2) Il vincolo di bilancio di Daniela è
p x X + py Y = M ) Y =
M
py
px
py X
) Y = 200
2X
e si caratterizza per una pendenza pari a ppxy = 2, intercetta verticale X = 0; Y =
200 ed intercetta orizzontale X = 100; Y = 0. Gra…camente
13
Y
200
Vincolo di bilancio
100
X
(3) Dal momento che Daniela si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas,
il suo paniere ottimo si trova lungo il vincolo di bilancio (VdB) ed appartiene alla
curva di indi¤ erenza (CdI) "più alta" accessibile a Daniela. Formalmente
vincolo di bilancio
condizione di tangenza tra CdI e VdB
E’quindi necessario il calcolo del saggio marginale di sostituzione di Daniela. Ricordando che
Ux
M RS = M
M Uy
e che
M Ux =
@U (X;Y )
@X
= Y e M Uy =
@U (X;Y )
@Y
=X
otteniamo
M RS =
M Ux
M Uy
=
Y
X
Quindi sostituendo nel sistema
vincolo di bilancio
)
condizione di tangenza
)
Y = 200 2X
M RS = ppxy )
2X = 200 2X
)
Y = 2X
Y = 200 2X
Y
X =2
X = 50
Y = 100
Y
200
Paniere ottimo
100
50
100
X
(4) Dal momento che entrambi i prezzi sono aumentati del 50%, a¢ nchè Daniela
possa continuare a consumare il paniere X = 50; Y = 100, il suo reddito dovrà
aumentare del 50%.
14
Esercizio 7. Squirrel ha ricevuto in eredità un cesto contenente 10 Kg di nocciole
(bene X) e 20 Kg di ghiande (bene Y). Attualmente entrambi i beni vengono venduti
a 4e/Kg (px =py =4). Le preferenze di Squirrel per i due beni sono rappresentate
dalle funzione di utilità U(X,Y)=X5 Y. (1) Rappresentate il vincolo di bilancio di
Squirrel, indicando la sua inclinazione, le sue intercette, ed il paniere delle dotazioni
iniziali. (2) Calcolate, e rappresentate gra…camente, la scelta ottima di Squirrel. (3)
Un incendio nei magazzini di nocciole riduce l’o¤erta aggregata di nocciole facendone
quadruplicare il prezzo (px ’=16e/Kg). Il prezzo delle ghiande resta pari a 4e/Kg. Si
discuta delle conseguenze di tale aumento sul vincolo di bilancio e sulla scelta ottima
di Squirrel. Si fornisca una rappresentazione gra…ca del nuovo paniere ottimo. [non
è necessario calcolare il nuovo paniere ottimo]
Soluzione. (1) A di¤ erenza degli altri esercizi presi in considerazione, in questo
caso il consuatore non dispone di un reddito montario ma intermini di beni (è dotato
di 10 nocciole e 20 ghiande) ed il valore di queste dotazioni è pari a quanto il consumatore ricaverebbe se decidesse di venderle. Siano X e Y le dotazioni iniziali del
consumatore, l’equivalente monetario di tali dotazioni iniziali è M=X px + Y py =
10 4 + 20 4 = 120. Dunque il vincolo di bilancio del consumatore è:
Y =
M
py
px
py X
! Y = 30
X
(2) Stanti le preferenze dl consumatore abbiamo che MRS=MU x /MU y =5X 4 Y/X 5 =
5Y =X. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il seguente sistema
vincolo di bilancio
)
condizione di tangenza
Y = 30 X
M RS = ppxy )
Y = 30 X
5Y
X =1
da cui X*=25 e Y*=5.
(3) L’aumento nel prezzo delle nocciole ha due e¤ etti in questo caso. Da un
lato le nocciole diventano relativamente più care; dall’altro visto che il consumatore
non dispone di un reddito monetario ma in termini di beni, l’aumento nel prezzo
delle nocciole modi…ca anche il potere d’acquisto del consumatore. Il nuovo valore
0
monetario delle dotazioni iniziali di Squirrel è M’=X px + Y py = 10 16 + 20 4 =
240.
15
Qualora foste interessati al calcolo del nuovo paniere ottimo, tale paniere ottimo
potrebbe essere calcolato risolvendo il seguente sistema
(
Y = 60 16X
Y = 60 16X
vincolo di bilancio
)
)
p0
5Y
condizione di tangenza
M RS = pxy
X = 16
da cui si ottiene X**=25/2 e Y**=10. NB. Ricordatevi che il vincolo di bilancio
non è più quello trovato al punto 1 in quanto sia il reddito che il prezzo del bene X è
cambiato!
Esercizio 8. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di un reddito M da destinare all’acquisto degli unici due beni
disponibili nell’economia considerata: X1 (in ascissa) ed X2 (in ordinata). I prezzi dei
due beni sono rispettivamente p1 e p2 con p1 = p2 . Il nostro individuo consuma sempre i due beni congiuntamente; in particolare desidera sempre consumare un’unità
di bene X1 con un’unità di bene X2 . (1) Fornite una rappresentazione gra…ca delle
curve di indi¤erenza dell’individuo (3 curve) e discutete della relazione che sussiste
tra i beni considerati. (2) Rappresentate il vincolo di bilancio dell’individuo (esplicitandone inclinazione ed intercette) ed individuate la sua scelta ottima. (3) Supponete
che il prezzo del bene X1 si riduca passando da p1 a p01 < p1 . Discutete, attraverso un
apposito gra…co, le conseguenze di tale riduzione sulla scelta ottima dell’individuo.
Soluzione. (1) Dato che i due beni sono consumati sempre congiuntamente, X 1
e X 2 sono per il consumatre beni perfetti complementi. Ci aspettiamo quindi che
le preferenze del consumatore siano rappresentate da una funzione di utilità del tipo
U(X 1 ,X 2 )=min(aX 1 ;bX 2 ) dove a e b sono parametri positivi. Inoltre il testo ci dice
che il consumatore consuma una unità di bene X 1 con una unità di bene X 2 ; quindi
la retta dei vertici - la cui generica equazione è aX 1 =bX 2 - dovrà passare dal paniere
(1;1) - ovvero dal paniere contenente una unità del bene X 1 e una unità del bene
X 2 . Sostituendo i valori del paniere nella retta dei vertici otteniamo a 1 = b 1
ovvero a=b; quindi le preferenze del consumatore sono rappresentate da una funzione
di utilità U(X 1 ,X 2 )=min(aX 1 ;aX 2 ) che si caratterizza per una retta dei vertici
X 1 =X 2 coincidente con la bisettrice del I quadrante.
(2) Il vincolo di bilancio del consumatore è
X2 =
M
p2
p1
p2 X1
! X2 = M
X1
essendo p 1 = p 2 :La scelta ottima del consumatore, che si ottiene risolvendo il seguente
16
sistema
vincolo di bilancio
)
retta dei vertici
X2 = M X1
X2 = X1
è X2 = M=2 = X1 .
(3) La contrazione nel prezzo di uno dei due beni aumenterebbe il potere d’acquisto
del consumatore inducendolo. Dato che i due beni sono perfetti complementi ed il
consumatore li consuma sempre in rapporto …sso, il consumatore destinerà parte del
"maggior reddito" nell’acquisto di un po’ dipiù di entrambi i beni. Ci aspettiamo
quindi che il nuovo paniere ottimo sia X2 = X1 > X2 = X1 .
17