Equazioni di 2° grado
b
si ricava
2a
nel modo seguente: 1. si moltiplica ogni termine dell’equazione per 4a 4a 2 x 2 4abx 4ac 0
2. si addiziona e sottrae b 2 4a 2 x 2 4abx 4ac b 2 b 2 0
2
3. 4a 2 x 2 4abx b 2 b 2 4ac 2ax b b 2 4ac
Considerata l’equazione ax 2 bx c 0 con a 0 , la formula risolutiva x
4. 2ax b b 2 4ac ; con b 2 4ac
b
2a
Per applicare la formula ridotta occorre che: 1) b si divisibile per due 2) a 1
La formula si ottiene dividendo tutte le lettere della formula risolutiva per due;
5. x
2
x
2
b
a b
b
b
b
4
ac b
2
2 2
2
2
2
4
x
2
a
a
a
2
2
Per applicare la formula ridottissima occorre che: 1) b si divisibile per due 2) a 1
La formula si ottiene dividendo tutte le lettere della formula risolutiva per due e si pone a 1 ;
2
b
1 b
b
4
2
2
2 2
b
b
2
b
x
x b
1
2
2
4
2
2
2
Relazioni tra coefficienti e radici
Considerata l’equazione ax 2 bx c 0 con a 0 , se x1 e x2 sono le radici tra esse ed i coefficienti
b
c
p x1 x2
a, b, c sussistono le seguenti relazioni: s x1 x2
a
a
b b 2b b
b
b
Dim: x1
; x2
; s x1 x2
;
2a
2a
a
2a
2a
b b b 2 b 2 b 2 4ac c
p x1 x2
2a 4a 2
2
a
a
4a 2
b
c
Viceversa se s x1 x2 p x1 x2 si può scrivere l’equazione x 2 sx p 0
a
a
a
b
c
b
Dim: ax 2 bx c 0 si dividono tutti i termini per a x 2 x 0 , poiché s si ha:
a
a
a
a
b
s x 2 sx p 0 . Con l’utilizzo delle formule suddette si possono risolvere i seguenti
a
problemi, senza risolvere le equazioni:
b
7
7
5
1) 6 x 2 7 x 10 0 x1 2 ; x2 ? Dim. s x1 x2 2 x2 x2 2
a
6
6
6
c
10
5 1 5
x2
oppure p x1 x2 2 x2
a
6
3 2 6
1
2) x1 3 x2 1 ;
3) s 5 p 6 ;
equaz.? Dim. s 2 p 3 ; x 2 sx p 0 x 2 2 x 3 0
x1 = ? x2 = ? Dim. x 2 5 x 6 0 ; x 3x 2 0 x1 3 x2 2
Cartesio
Se le soluzioni sono reali 0 , senza risolvere l’equazione, si possono determinare i segni delle
soluzioni, attraverso i segni di a, b, c in 0 , mediante la regola di Cartesio.
Segni uguali
Segni disuguali
Se
a
+
-
b
+
-
+ +
+ c
+
-
oppure
oppure
a
+
-
2 permanenze
2 radici negative
x1 0 x2 0
s 0 p 0
- - +
b
+
1 permanenza (1P) x1 0 (soluzione negativa)
1 variazione (1V) x1 0 (soluzione positiva)
c
+
-
2 variazioni
2 radici positive
x1 0 x2 0
s 0 p 0
a
+
-
b
+
-
c
+
1 permanenza
e 1 variazione
x1 0 x2 0
x1 x2 ; s 0 p 0
a
+
-
b
+
c
+
1 variazione e
1 permanenza
x1 0 x2 0
x1 x2 ; s 0 p 0
Es.: Considerata l’equazione x 2 2 x 3 0 determinare:
1) segno e natura soluzioni; 2) somma e prodotto delle soluzioni; 3) segni delle soluzioni.
Dim: 1) 4 12 16 >0 x1 x2 R ;
b
2
c
2 p 3 ;
2) s
a
1
a
3) poiché 16 0 si può applicare Cartesio per conoscere i segni delle radici:
a
+
b
1V
c
1P
x1 0 x2 0 con x1 x2
Es.: Considerata l’equazione x 2 2 x 3k 0 determinare:
1) segno e natura soluzioni; 2) somma e prodotto delle soluzioni; 3) segni delle soluzioni.
Dim: 1)
1 3k
4
1
0 1 3k 0 ; x1 x2 R per k ;
3
1
0 1 3k 0 ; x1 x2 R per k ;
3
1
0 1 3k 0 ; x1 x2 R per k ;
3
2) s 2 p 3k
1
3) si studiano i segni di a, b, c in 0 k :
3
segni di
a
b
c
+
+
?
2
1P x1 0
segno di c in 0 : 3k 0 k 0
1
3
0
k
0
c 0
1
k 0 si ha c 0 si hanno due permanenze, quindi due soluzioni negative.
3
Se k 0 si ha c 0 ; si ha una permanenza ed una variazione, quindi una soluzione negativa ed
una positiva.
Se k 0 si ha c 0 si ha una permanenza ed una soluzione nulla, quindi una soluzione negativa
ed una nulla.
Se
Es.: Considerata l’equazione x 2 3 k x 3k 0 determinare:
1) segno e natura soluzioni; 2) somma e prodotto delle soluzioni; 3) segni delle soluzioni.
Dim: 1) 3 k 12k 9 k 2 6k 12k 9 k 2 6k k 3 ;
2
2
0 k 3 0 k 3 0 k 3 ;
x1 x2 R per k 3 ;
2
k 3 0
2
0 k 3 0 k R 3 k 3 ; x1 x2 R per k 3 ;
2
2) s k 3 p 3k
3) k 3 0 k R studio i segni di a, b, c in 0 :
2
a 0;
b 0;
c 0;
1 0 ;
3 k 0 3 k 0 ;
3k 0 3k 0 ;
k R
k 3
k 0
0
+
+
+
3
+
+
-
+
-
0
a0
b0
c0
Per k 0 ;
2P x1 0 x2 0
Per k 0 ; c 0 spuria + + 0; 1P x1 0 x2 0 ;
Per 0 k 3 ; 1P 1V x1 0 x2 0 con x1 x2 ;
Per k 3 ; b 0 pura x1 x2 soluzioni opposte;
Per k 3 ; 1V 1P x1 0 x2 0 con x1 x2
Equazioni parametriche
Sono equazioni che oltre all’incognita contengono un parametro, risolverle non significa trovare le
radici, ma il valore del parametro verifica alcune condizioni richieste.
Es.: Considerata l’equazione x 2 k 1x 4k 14 0 determinare il valore k che verifichi le
seguenti condizioni:
1) le soluzioni sono opposte; 2) una soluzione è nulla;
3) le soluzioni sono discordi.
Dim: 1) l’equazione è pura b 0 k 1 0 k 1
3
2) l’equazione è spuria c 0 k 14 0 k 14
3) per il segno delle soluzioni occorre applicare Cartesio, ma prima occorre imporre 0 :
0 k 1 4k 14 k 2 1 2k 4k 56 k 2 6k 55 0 k 5 k 11
2
studio i segni di a, b, c in 0 :
a 0;
b 0;
c 0;
1 0 ;
k 1 0 ;
k 14 0 ;
-14
k R
k 1
k 14
-5
+
-
+
+
1V 1P
2V
1
+
+
11
+
+
+
+
+
+
0
a0
b0
c0
2P
L’intervallo in cui le radici sono discordi k 14
Discussione equazione letterale di 2° grado incompleta
Si riduce l’equazione in forma normale, si trasportano tutti i termini al primo membro, si uguaglia a zero il
secondo membro.
discussione sulla C. E
discussione del coefficiente di x2 se letterale
discussione sulla C.A.
Discussione equazione letterale di 2° grado completa
Si calcola il m.c.d. e si pone diverso da zero, si spezza nei suoi fattori, si pone ogni fattore diverso da zero e
da ognuno si ricava il valore della costante o dell’incognita, per le costanti scrivo la condizione di esistenza
(C. E.), per le incognite la condizione di accettabilità (C.A.).
Si riduce l’equazione in forma normale e poi si effettuano tre discussioni:
1. discussione sulla C. E.
si pone la costante della C.E. uguale a zero e si scrive che l’equazione perde di
significato equazione impossibile.
2. si deve discutere il coefficiente di x2 se letterale:
a) si pone = 0 l’equazione si abbassa di grado, diventa un’equazione di primo grado e si trova
la soluzione.
b) si pone diverso da zero e si trova il delta, si trova la natura delle soluzioni e le soluzioni
stesse.
b
2a
b
si pone il 0 x1 x2 R x1, 2
2a
bi
si pone il 0 x1 x2 R x1, 2
2a
si pone il 0 x1 x2 R x1, 2
3. discussione sulla C.A.
4
a) si considera la C.A. si sostituisce nella soluzione (ricavata dalla discussione 2)
dell’equazione, si ricava la costante, per la costante uguale ad un valore si scrive soluzione
non accettabile, equazione impossibile.
b) per la costante diversa dal valore trovato, si scrive soluzione accettabile, equazione
determinata.
N.B. Se il coefficiente dell’incognita non contiene la costante, ma solo un numero, non occorre fare
la discussione. Se l’equazione è pura si deve discutere il segno del radicando. Se il delta è un
quadrato perfetto si discute solo il delta maggiore e uguale a zero.
5
