Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
Un giocatore possiede inizialmente 10 monete. Scommette sul lancio di un dado regolare: se
esce un numero dispari perde una moneta, se esce un numero pari vince una moneta.
a) Costruire la variabile casuale Y=“Numero di monete del giocatore dopo 4 lanci” e
calcolarne il valore atteso
b) Qual è la probabilità che il giocatore dopo 4 lanci abbia 10 monete?
Soluzione
a) sia X i la variabile casuale che vale +1 se esce un numero pari e -1 se esce un numero dispari al
lancio i-esimo per i=1,2,3,4
1
PX i  1  PX i  1 
e le X i sono indipendenti tra loro
2
4
Y  10   X i Y assume valori da 6 (tutte le X i valgono -1 ) a 14 (tutte le X i valgono 1)
i 1
E(Y)=10+4E( X i )=10
b) Tale probabilità coincide con la probabilità che in 4 lanci esca 2 volte un numero pari e 2 volte
un numero dispari
Indichiamo con N la variabile casuale che conta il numero delle volte che esce un numero pari su 4
lanci
N Bin n  4, p  0,5
 4
P{N=2}=  0,5 4  0,375
 2
Esercizio 2
In un concorso la probabilità di vincere per ogni partecipante indipendentemente dagli altri è
pari a 0,7. A 10 tra i vincitori vengono assegnati premi in denaro, agli altri premi in beni di
consumo (se i vincitori sono meno di 10, vengono assegnati tanti premi in denaro quanti sono i
vincitori). Supponiamo che i partecipanti siano 13 e sia X il numero dei partecipanti che hanno
vinto premi in beni di consumo.
a) Determinare la distribuzione di X
b) Calcolare E(X)
Soluzione
a) Sia N=numero di vincitori
Quindi N  Bin n  13, p  0,7
se N  10
0
X 
 N  10 se N  10
quindi
se N  10
0
1
se N  11

X 
se N  12
2
3
se N  13
13 
P {X=1}=P{N=11}=  0,711 (0,3) 2 =0,139
11 
13 
P {X=2}=P{N=12}=  0,712 (0,3)1 =0,054
12 
13 
P {X=3}=P{N=13}=  0,713 (0,3) 0 =0,0097
13 
P {X=0}=1-P{X=1}-P{X=2}-P{X=3}=0,7973
b) E(X)=(2)(0,054)+(3)(0,0097)+0,139=0,2761
Esercizio 3
E’ dato lo spazio di probabilità finito   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Sia p   c   1,2,.10
Determinare
a) il valore della costante c per cui p( ) è una misura di probabilità su 
b) Determinare la funzione di probabilità della variabile casuale X ( ) 
1

e calcolarne il
valore atteso
c) Determinare la funzione di probabilità della variabili casuale Y ()  1A  
sottoinsieme dei numeri pari di  e calcolarne il valore atteso
con A
Soluzione
a)  p( )  1

10
Quindi devo determinare c in modo tale che 1  c   
 1
(10)(11)
=55
2
1
Da cui c 
55
1


b) P  X    p  

55

10 1 
1 1
E ( X )   P X   
 1 
  55
per   2,4,6,8,10
1
c) Y    
altrove
0
PY  1  p2  p(4)  p(6)  p(8)  p(10) 
1
2  4  6  8  10  30
55
55
Y~Bernoulli(30/55)
E(Y)=30/55=0,545
Esercizio 4
Siano X e Y due variabili aleatorie con valori 0,1,2 , la cui funzione di distribuzione congiunta
è descritta dalla seguente tabella.
X\Y 0
1
2
0
0,1
0,1
1
0,2 0,2
2
0,3
0,1
a) Costruire le funzioni di probabilità di X e Y
b) Calcolare le medie E(X) e (Y)
c) Cacolare le varianze Var(X) e Var(Y)
d) Stabilire se X e Y sono indipendenti
e) Costruire le funzioni di probabilità di Z=X-Y
f) Calcolare E(Z) e Var(Z)
Soluzione
a)
0,2 se x  0
 X (0)  0,2
0,4 se x  1




,
da
cui

x


(
1
)

0
,
4

 X
X
0,4 se x  2
 (2)  0,4
 X
0
altrove
0,6 se y  0
 Y (0)  0,6
0,2 se y  1




da
cui

y


(
1
)

0
,
2

 Y
Y
0,2 se y  2
 (2)  0,2
 Y
0
altrove
b)
E ( X )   x X ( x)  (0)0,2  (1)0,4  (2)0,4  1,2
xR X
E (Y )   yY ( y)  (0)0,6  (1)0,2  (2)0,2  0,6
yR y
c)
E ( X 2 )   x 2 X ( x)  (0)0,2  (1)0,4  (4)0,4  2
xR X
Var ( X )  E ( X 2 )  E ( X ) 2  2  1,2  0,56
2
E (Y 2 )   y 2Y ( x)  (0)0,6  (1)0,2  (4)0,2  1
yRY
Var (Y )  E (Y 2 )  E (Y ) 2  1  0,6  0,64
d)
X e Y non sono indipendenti . Ad esempio 0  P X  0, Y  1  P X  0PY  1  0,04
c)
Z=X-Y 0 1 2
0
0 -1 -2
1
1 0 -1
2 1 0
2
Sia Z=X-Y
 Z (2)  P X  0, Y  2  0,1
0,1 se z  2
 (1)  P X  0, Y  1  P X  1, Y  2  0
0,4 se z  0
 Z

2

,
da
cui





z


(
0
)

P
X

i
,
Y

i

0
,
4

0,2 se z  1
 Z
Z
i 0
0,3 se z  2


 Z (1)  P X  1, Y  0  P X  2, Y  1  0,2
0
altrove
 (2)  P X  2, Y  0  0,3
 Z
d)
2
E ( Z )  E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )  1,2-0,6=0,6
Dal momento che X e Y non sono indipendenti la varianza di Z si può calcolare a partire dalla
distribuzione di Z
Var (Z )  E ( Z 2 )  E ( Z ) 2   z 2 Z ( z )  E ( Z ) 2  1,8  0,6  1,44
2
zRz
oppure si può utilizzare la formula
Var(Z )  Var( X  Y )  Var( X )  Var(Y )  2Cov( X ,Y )  Var( X )  Var(Y )  2Cov X , Y  =
=0,56+0,64+0,24=1,44
Cov( X , Y )  E ( XY )  E ( X ) E (Y )  0,6  (1,2)(0,6)  0,12
Esercizio 5
Siano X 1 , X 2 variabili casuali di Bernoulli di parametro p, indipendenti .
(a)Calcolare la funzione di probabilità di A= X 1  X 2 , B=min( X 1 , X 2 ) ,C=max( X 1 , X 2 )
(b)Calcolare la probabilità congiunta delle variabili casuali X 1 e Y= X 1 X 2 . Dire se X 1 e Y
sono indipendenti. .
Soluzione
(a) A~Bin(2,p)
Dobbiamo dapprima calcolare la distribuzione congiunta di X 1 , X 2
1
X1 \ X 2 0
0
(1  p) 2 p(1-p)
1
p(1-p)
p2
Max( X 1 , X 2 ) ) 0 1
0
0 1
1
1 1
2

 C (0)  P X  0, Y  0  1  p 

2

 C (1)  1  (1  p)
C~Bernoulli( (1  p) 2 )
Min( X 1 , X 2 ) ) 0 1
0
0 0
1
0 1
2
 B (0)  1  p

 B (1)  P X  1, Y  1  p 2
B~Bernoulli( p 2 )
(b)
Y  X1 X 2 0 1
0
0 0
1
0 1
Y~Bernoulli( p 2 )
Determino la distribuzione congiunta di X 1 e Y.
P X 1  0, Y  0  P X 1  0, X 2  0  P X 1  0, X 2  1

P X 1  1, Y  0  P X 1  1, X 2  0
P X  1, Y  1  P X  1, X  1
1
1
2

X1\Y 0
1
2
0
(1  p) + p(1-p) 0
1
p(1-p)
p2
X 1 e Y non sono indipendenti.
Esercizio 6
Si ritiene che il 55% delle matricole che entrano in un’università si laurei in quattro anni nella
stessa università.
(a) Determinare la probabilità che in un campione di 5 matricole, esattamente tre si
laureino in 4 anni
(b) Determinare la probabilità che in un campione di 5 matricole, la maggioranza si laurei
laurei in 4 anni
(c) Si scelgono a caso 80 matricole. Determinare valore atteso e scarto quadratico medio
della proporzione di matricole che si laureerà in 4 anni
Soluzione
(a) Sia X=numero di matricole che si laureano in 4 anni su un totale di 5 matricole
X~Bin(n=5, p=0,55)
P{X=3}=0,3369
(b)
La mediana è pari al valore di x tale che F(x)=P{ X  x }  0,5 , quindi me=3
Dobbiamo calcolare PX  3  1  P{X  3}  1  0,4069  0,5931
( c)
Y~Bin(n=80, p=0,55)
E(Y)=44
Var(Y)=19,8
 Y  =4,4497
Si tratta di calcolare E (Y / 80)  0,55 , Var (Y / 80) 
Var (Y )
 0,05562
80 2
Esercizio 7
Il responsabile di uno stabilimento produttivo rileva che, nei 100 giorni precedenti, si sono
avuti 8 guasti.
a) Determinare la probabilità che, in un determinato giorno, non ci siano guasti
b) Determinare la probabilità di uno o più guasti in un determinato giorno.
c) Qual è la probabilità di almeno due guasti in 3 giorni?
Soluzione
a) X=numero dei guasti al giorno
X~Poi(8/100=0,08)
e   0
 e 0,08  0,923
PX  0=
0!
b) PX  1  1  PX  0  0,077
c) Y=numero di guasti in 3 giorni
Y~Poi( (3)(0,08) =0,24 )
PY  2  1  PY  0  PY  1  1  e 0, 24 1  0,24  0,025