Trigonometria – angoli e misure
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
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Angoli e gradi
Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un
angolo. Le due semirette (che si indicano con le lettere minuscole) si
dicono lati dell’angolo. L’angolo si dice convesso se non contiene i
prolungamenti dei lati, concavo nel caso contrario.
a A
concavo
convesso
O
b B
^
L’angolo si indica con aOb
^ se
Oppure con AOB
prendiamo due punti A e B
sulle semirette.
Quando le due semirette coincidono, l’angolo convesso si dice angolo
nullo, mentre l’altro si dice angolo giro.
Si dice allora che l’angolo dato dalla 360ma parte di un angolo giro
misura 1 grado.
angolo giro
a≡b
O
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angolo nullo
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Angoli notevoli
Angolo piatto
(180°)
Angolo 45°
O
O
Angolo retto
(90°)
O
Angolo 30°
O
Angolo 60°
O
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Angoli e radianti
E’ utile avere una visione dinamica degli angoli.
Se immaginiamo che una delle due semirette si muova verso l’altra, questa
descrive l’angolo e quindi l’angolo si può dire orientato.
Un angolo è orientato positivamente se la rotazione della semiretta avviene in
senso antiorario, negativamente se la rotazione è in senso orario.
B’
B
O
r A
r’ A’
C’è dunque l’esigenza di misurare gli angoli tenendo conto dei loro versi e del
numero di giri…
A parità di angolo, la lunghezza di un percorso lungo una circonferenza dipende
dal raggio (tale percorso avrà lunghezze diverse a seconda della circonferenza
che consideriamo). Di contro, il rapporto tra la misura della lunghezza di questo
cammino e quella del corrispondente raggio resta costante. Con riferimento alla
figura, si ha, cioè:
l ( AB) l ( A' B ' )
=
r
r'
Si dice misura in radianti dell’angolo il rapporto
l ( AB)
preso con segno positivo
r
se l’angolo è orientato positivamente, o con segno negativo se è orientato
negativamente.
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I radianti
l ( AB)
Il rapporto r
è un numero puro (non ha unità di misura) e non dipende dal
raggio. Si introduce allora il concetto di circonferenza goniometrica, di raggio
unitario (=1)
Se consideriamo il calcolo della lunghezza di una circonferenza (cioè 2πr), si ha
che il rapporto con l’angolo fornisce il valore 2 π, che corrisponde quindi alla
misura in radianti dell’angolo giro.
La lunghezza di un angolo piatto orientato positivamente sarà allora π.
Grazie al rapporto trovato e alla misura dell’angolo piatto, siamo in grado di
passare sempre velocemente dalla misura in gradi a quella in radianti di un
angolo, tenendo presente la formula:
ρ
π
=
gr 180
Gradi
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
Radianti
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2/3π
5/6 π
π
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Sin, cos e tg di un angolo acuto
I due triangoli descritti in figura dai punti sulle semirette e
dalla loro origine sono simili, perché sono due triangoli
rettangoli e hanno l’angolo nell’origine in comune.
o
Per questo motivo hanno lati proporzionali a coppie.
ipot
α
opp
adiac
I rapporti tra i lati definiscono i seguenti valori:
opp
- il rapporto
tra la misura del cateto opposto all’angolo α nell’origine e
ipot
la misura dell’ipotenusa si dice seno dell’angolo α e si indica con sin α (oppure
sen α)
adiac
- il rapporto
tra la misura del cateto adiacente all’angolo α e quella
ipot
dell’ipotenusa si dice coseno e si indica con cos α
opp
- il rapporto
tra la misura del cateto opposto e quella del cateto
adiac
adiacente all’angolo α si dice tangente e si indica con tan α (oppure con tg α)
Siccome
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opp
opp
ipot
=
=
adiac ipot adiac
si ha che tan α =
sin α
cos α
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Osservazioni
Guardando la figura, si può osservare che
sin α =
B
β
c
opp (α ) a adiac ( β )
= =
= cos β
ipot
c
ipot
α
A
b
a
C
Quindi, siccome α e β sono angoli complementari, si vede che:
il coseno di un angolo coincide con il seno del suo complementare (da qui
nasce il nome co-seno = seno del co-mplementare)
In geometria analitica, la tangente è interpretata come il coefficiente angolare m
dell’angolo α formato dalla retta con l’asse x.
Infatti, se consideriamo la retta di equazione y=mx + q con coefficiente
angolare m positivo e due punti sulla retta A=(x’,y’) e B=(x’’,y’’) si vede che
y ' '− y '
m=
x' '− x'
y
β
A
α
x’’-x’
O
B
y’’-y’
x
Del resto A, B e C costituiscono un triangolo rettangolo in C e quindi:
y ' '− y '
= tan( BAˆ C )
x' '− x'
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Sin, cos e tg di un angolo orientato
D’ora in poi indicheremo ogni angolo con la sua misura (positiva o negativa in radianti.
Tracciamo una circonferenza goniometrica,
y
cioè una circonferenza di raggio unitario)
P’
P
centrata nell’origine O e pensiamo come
semiretta origine di tutti gli angoli il semiasse
x
positivo delle ascisse, che interseca in A la
O
H A≡(1,0)
circonferenza.
Se α è la misura in radianti di un angolo individuato da un punto P sulla circonferenza, si ha
che:
• Sin α è l’ordinata del punto P
• Cos α è l’ascissa del punto P
• Tg α è l’ordinata del punto P’ e cioè dell’intersezione della retta che passa per P e per
l’origine con la retta tangente alla circonferenza nel punto A.
Possiamo a questo punto fare alcune osservazioni:
1)Siccome P è un punto della circonferenza goniometriche che ha raggio 1, avremo sempre
che -1≤ sin α ≤ 1 e si ha che -1≤ cos α ≤1
2)Se applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo HOP, troviamo quella che viene
chiamata identità fondamentale, ovvero: sin2α+cos2α = 1
3)Per la similitudine dei triangoli rettangoli HOP e AOP’, si ha anche che:
sin α
tgα =
cos α
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se
α≠
π
2
+ kπ
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Altre osservazioni
Sempre guardando la circonferenza goniometrica disegnata, notiamo anche che:
1) sin α è positiva quando P è sulla parte di circonferenza al di sopra dell’asse x. In caso
contrario è negativo.
2) cos α è positivo quando il punto P è sulla parte di circonferenza a destra dell’asse y, ed
è negativo quando si trova su quella di sinistra
3) tg α può assumere qualsiasi valore reale ed è positiva quando P è nel primo o nel terzo
quadrante, negativa negli altri due casi.
y
y
P
O
P’
P
x
H A≡(1,0)
H
O
x
A≡(1,0)
P’
y
y
P’
H
P
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O
x
A≡(1,0)
H
O
P
x
A≡(1,0)
P’
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Altre osservazioni
Tutte le osservazioni fatte ci permettono di trovare seno coseno e tangente di
alcuni angoli particolari in modo molto veloce (guardate la tabella qui sotto e
provate a ragionarci un po’ …)
α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3/2 π
2π
sin α
0
1/2
√2/2
√3/2
1
0
-1
0
cos α
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
0
1
tg α
0
√3/3
1
√3
Non
definita
0
Non
definita
0
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Proprietà di sin, cos e tg - 1
Vediamo ora come calcolare seno, coseno e tangente di angoli negativi o
maggiori di 2π
Se sulla circonferenza la posizione P è raggiunta dopo aver percorso un certo
numero di giri in senso antiorario (oppure orario) la misura in radianti tiene conto
anche del numero di giri, ma non la posizione di P, allora si ha:
sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ)=cosα
tg (α + kπ) = tgα
(con α∈R e intendendo con k il
numero di giri, ∀k∈Z)
(∀ α ≠ π/2 + kπ, ∀k∈Z)
Come si vede dal disegno, dalla definizione di seno, coseno e tangente deriva
che:
y
sin(- α) = - sin α
cos(- α) = cos α
tg(- α) = - tg α
P
P’
α
O
x
-α
H A≡(1,0)
Q
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Proprietà di sin, cos e tg - 2
Sappiamo che i valori di seno e coseno si scambiano tra loro passando da un angolo
acuto α al suo complementare β= π/2 – α
Questa relazione vale per qualunque coppia di angoli tali che α+β=π/2
Si hanno allora le uguaglianze:
⎛π
⎞
cos⎜ − α ⎟ = sin α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
sin ⎜ − α ⎟ = cos α
⎝2
⎠
Se consideriamo le figure qui sotto
Osservandole possiamo ottenere altre relazioni che possono servire per calcolare
valori di seno e coseno, e cioè:
π⎞
⎛
sin ⎜ α + ⎟ = cos α
2⎠
⎝
π⎞
⎛
cos⎜ α + ⎟ = − sin α
2⎠
⎝
sin (π + α ) = − sin α
sin (π − α ) = sin α
cos(π − α ) = − cos α
sin (2π − α ) = − sin α cos(2π − α ) = cos α
cos(π + α ) = − cos α
In realtà non è necessario memorizzare queste espressioni, ma basta abituarsi a
visualizzare la posizione del punto P in corrispondenza dell’angolo di cui si voliono
calcolare seno e coseno e poi, con considerazioni geometriche, ricondursi ad angoli
compresi tra 0 e π/2.
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Formule di addizione, duplicazione e bisezione
sin (α − β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
tgα + tgβ
tg (α + β ) =
1 − tgα ⋅ tgβ
Formule di addizione:
Formule di duplicazione: sin (2α ) = 2 sin α cos α
cos(2α ) = cos 2 α − sin 2 α
tg (2α ) =
Considerando che α = 2 ⋅
α
2
2tgα
1 − tg 2α
dalla formula di duplicazione del coseno e dall’identità
fondamentale, deriviamo anche le formule di bisezione:
1 − cos α
⎛α ⎞
sin ⎜ ⎟ = ±
2
⎝2⎠
1 + cos α
⎛α ⎞
cos⎜ ⎟ = ±
2
⎝2⎠
1 − cos α
⎛α ⎞
tg ⎜ ⎟ = ±
1 + cos α
⎝2⎠
Le formule di addizione e di duplicazione sono utili quando gli angoli sono variabili. Le
formule di bisezione si usano invece quando non sono noti i segni che devono
assumere il seno il coseno e la tangente.
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