Progetto SIGMA
dare SIGnificato al fare MAtematica
Laboratorio di Geometria
a.s. 2013/14
Quali poligoni “tassellano” il piano?
La geometria nella realtà quotidiana, nella natura e nell’ arte
Scuola dell’Infanzia
(bambini di cinque anni)
• Introduzione delle forme geometriche (quadrato, triangolo,
rettangolo, cerchio) partendo da una fiaba.
• Riconoscimento e manipolazione delle forme geometriche
(blocchi logici).
• Il “gioco delle mattonelle” : Quali forme potrebbero essere
usate come mattonelle di un pavimento? Perché?
“LA FAMIGLIA DEGLI GNOMI DELLE FORME”
C’ era una volta uno gnomo ROTONDO,
scese dal monte per vedere il mondo
e camminando per strade e per città
tutto rotondo vedeva qua e là!
L’orologio sul campanile e un pozzo nel
cortile,
il pallone dei campioni e la torta dei golosoni!
Ma mentre stava li tranquillo vide arrivare un tipo tutto
arzillo,
era QUADRATO e tutto blu il mondo intero guardava da
lassù!
“ Io valgo più di te, tu non sei il più importante “
e cominciarono a gridare, ad azzuffarsi e a litigare.
Nel bel mezzo della discussione s’intrufolò un giallo
gnomo RETTANGOLONE:
“voi non sapete proprio un bel niente, sono solo io
quello intelligente!
Se guardate i grattacieli e le scale dei pompieri …
ho la forma del cioccolato dai bambini tanto amato!”
e comincia una grande discussione …sempre più forte e
piena di tensione,
finche uno gnomo rosso e TRIANGOLARE mise fine a
quel litigare.
“Siamo tutti importanti, tutti quanti interessanti,
solo insieme siamo belli, perché siamo dei fratelli”.
Così si misero tutti a giocare a costruire e a inventare,
e mille cose belle nacquero sotto le stelle:
un trenino ed un carretto, una casa col giardinetto,
il pavimento di un castello,
un gelato e le ciambelle, più di mille caramelle…
Prova ora anche tu a inventare…
se la storia vuoi continuare!
“LA FAMIGLIA DEGLI GNOMI DELLE FORME”
ATTIVITA’1
2-4 incontri
•
•
Ascolto della filastrocca ()
Rielaborare verbalmente il racconto in sequenze al fine di rafforzare e consolidare le
capacità degli alunni di riconoscere e rappresentare le forme in personaggi con le
caratteristiche di :
•
•
•
•
•
•
•
•
Riprodurre graficamente quanto ascoltato suddividendo la filastrocca in sequenze
Creare:
Paese dei rotondi (con abitanti e oggetti)
Paese dei quadrati
“ “
Paese dei rettangoli “ “
Paese dei triangoli
“ “
Inventare e costruire nuovo mondo e nuovi oggetti dove tutti, come scritto nella
filastrocca, sono fratelli.
Disegno libero individuale sulla storia ascoltata.
GIOCHI DI ESPLORAZIONE E PIASTRELLATURA DI SUPERFICI PIANE
CON I BLOCCHI LOGICI E NON SOLO
ATTIVITA’ 2
2-4 incontri
•
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•
•
•
•
•
•
•
Gioco libero
“A caccia della forma”
“Divertiamoci con le forme” (uso dei blocchi logici)
“Scopro le caratteristiche delle forme”
Ritagliare da carta colorata delle tessere del tutto simili come forma
ai pezzi dei blocchi logici e con essi fare giochi di collages:
Costruzione di figure libere, ricostruzione di figure presentate dagli
insegnanti, costruzione di oggetti con tessere date dalle insegnanti
ecc...
Ricoprire una superficie piana limitata (foglio rettangolare)con
quadrati, triangoli equilateri, cerchi.
Verbalizzare quanto osservato e trovare soluzioni
Realizzare “piastrellazioni” semplici e complesse (facendo in modo
che due forme dello stesso colore abbiano o non abbiano lati in
comune).
Scuola primaria
classi: seconda – terza - quarta
PAROLE CHIAVE
• INVENTARE
• MANIPOLARE/SCOPRIRE
• OSSERVARE/DESCRIVERE
• ELABORARE/CONFRONTARE
• IPOTIZZARE
INVENTARE
I bambini sono invitati a:
•
inventare un racconto in cui si parli di un castello
incantato in cui in ogni stanza c’è un bellissimo
pavimento diverso dalla stanza accanto perché...
• Lasciare che i bambini (soprattutto se abbastanza
piccoli) disegnino qualche pavimento a piacere
legandolo alla loro storia.
MANIPOLARE / SCOPRIRE
• Fornire (oppure far ritagliare) molte forme
geometriche su cartoncino (quadrati, rettangoli,
rombi, triangoli, pentagoni, esagoni, cerchi)
• stimolare i bambini a utilizzarle come “mattonelle” del
pavimento del loro castello incollandole su un cartone
• favorire la scoperta delle combinazioni che funzionano
(prima usando un solo tipo di mattonella, poi due e
infine tre tipi ).
OSSERVARE / DESCRIVERE
• Far osservare e descrivere con quali “movimenti”delle
“mattonelle” si possono ottenere i pavimenti per
introdurre intuitivamente i concetti di:
-
traslazione come “trascinamento” della figura
rotazione come far “girare” la figura intorno ad un punto
simmetria assiale come figura “allo specchio”
ELABORARE
• Realizzare in piccoli gruppi tassellazioni artistiche
variamente colorate, partendo da griglie corrispondenti
alle combinazioni che funzionano
CONFRONTARE
I RISULTATI
IPOTIZZARE
• Ai bambini delle classi quarte si possono porre
domande del tipo:
- Perché solo con alcuni poligoni regolari (tutti i lati e gli
angoli uguali) si può tassellare il piano ?
-Dipende da quanto misurano gli angoli dei poligoni
regolari?
- Come possiamo misurare gli angoli?
-Per ricoprire perfettamente il piano, quanto deve
essere la somma di tutti gli angoli dei poligoni che si
trovano attorno ad un vertice?
Scuola Secondaria I grado
(classe terza)
Tassellazioni del piano con poligoni regolari
• Scoperta dei vari tipi di tassellazioni con poligoni regolari (dello stesso
tipo o di tipo diverso) e motivazione geometrica basata sugli angoli
(determinazione dell’angolo di un poligono regolare).
• Si può inoltre osservare che in ogni vertice si hanno sempre gli stessi
poligoni nello stesso ordine
• Utilizzazione del software di geometria dinamica “Geogebra” sia per fare
congetture sui vari tipi di pavimentazioni possibili che per realizzarle
effettivamente facendo uso delle isometrie.
• Collegamento con educazione tecnica (costruzione dei poligoni regolari
con riga e compasso).
• Collegamento con scienze: tassellazioni in natura (cellette esagonali
dell’alveare,forma delle cellule epiteliali …).
• Collegamento con educazione artistica: realizzazione di tassellazioni
“artistiche”.
Tassellazioni con un solo tipo di poligono regolare
triangoli equilateri
quadrati
esagoni regolari
Tassellazioni con due tipi di poligoni regolari
(3,3,3,3,6)
(3,6,3,6)
(3,3,3,4,4)
(3,3,4,3,4)
(4,8,8)
(3,12,12)
Tassellazioni con tre tipi di poligoni regolari
(4,6,12)
(3,4,6,4)
Tassellazioni in natura
Corteccia di pino loricato
favi di api
favi di vespe
pelli di
serpenti
Paleodictyon
basalto
colonnare
grafite
grafene
nanotubulo
fullerene
cellule
vegetali
Scuola Secondaria II grado
(classe prima)
Tassellazioni del piano con poligoni non regolari
• Ricoprire il piano con triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni
irregolari con l’uso delle isometrie: uso del software Geogebra.
• Studio delle tassellazioni periodiche e aperiodiche.
• Realizzazione di tassellazioni “artistiche” in collaborazione con
l’insegnante di disegno.
Tassellazione con un triangolo qualunque
Possiamo tassellare il piano partendo da un triangolo qualunque in questo modo: si
considera il punto medio di un lato e si costruisce il triangolo simmetrico rispetto a
questo punto. In questo modo si costruisce un parallelogramma con cui si può
tassellare il piano.
Tassellazione con un quadrilatero qualunque
Si considera il punto medio di un lato del quadrilatero e costruisce il quadrilatero
simmetrico rispetto a questo punto: si ottiene così un esagono con cui è possibile
tassellare il piano.
Non possiamo tassellare il piano con pentagoni regolari…ma con pentagoni
irregolari?
E’ interessante studiare una tassellazione con un particolare tipo di pentagono irregolare (ne
esistono anche altri che funzionano): ha due lati uguali che formano un angolo di 60° e due
lati uguali che formano un angolo di 120° (vedi figura); ruotando intorno al vertice con
l’angolo di 60° si ottiene una specie di “fiore” che per traslazioni tassella il piano.
Interessante è modificare il pentagono (lasciano inalterate le sue caratteristiche) con la
funzione di trascinamento di Geogebra…
Tassellazioni non periodiche
Una tassellazione si chiama periodica se esiste un “parallelogramma periodico” cioè
un parallelogramma che traslato nelle due direzioni parallele ai suoi lati riproduce la
tassellazione.
Tutte le tassellazioni che abbiamo considerato finora sono periodiche.
Ma esistono tassellazioni non periodiche?
• Una coppia di tasselli che può dare origine ad una tassellazione non
periodica è costituita dalla “freccia” e dall’“aquilone” (ricavati da un
pentagono regolare).
Ecco una tassellazione non periodica che si può ottenere assemblando in modo
opportuno la freccia e l’aquilone:
Metodologia didattica
L’insegnante non deve aver fretta di arrivare ad un “risultato”:
occorre dare ai bambini (o ai ragazzi) il tempo per
sperimentare e fare le loro congetture cercando di
valorizzare le loro scoperte e stimolandoli a comunicare in
modo chiaro i propri ragionamenti.
