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JJ
II
J
I
Trigonometria:
equazioni riconducibili alle elementari
Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
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Abstract
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Lo scopo di questo lavoro è quello di fornire all’utente uno
strumento per verificare il suo grado di preparazione relativamente all’argomento ”Trigonometria:equazioni riconducibili alle elementari”.
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1 Trigonometria:
equazioni riconducibili alle elementari
Riferimenti teorici
3
8
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1.
Trigonometria:
equazioni riconducibili alle elementari
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla che
riguardano l’argomento: “Trigonometria:equazioni riconducibili alle
elementari”.
Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto è quella corretta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlo
cliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che si
ritiene corrisponda alla risposta corretta.
Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma procederà ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventualmente a correggere quelle errate.
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Inizio Quiz
1. La condizione cui deve soddisfare il parametro k
affinchè l’equazione 4senx = 3k abbia soluzione e’
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
non c’e’ nessuna limitazione ai valori di k
k ≥ − 43
k ≤ 43
k = ± 43
− 43 ≤ k ≤ 43
2. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a) L’equazione tgx = senx e’ equivalente a
senx = senx cosx √
(b) L’equazione cosx = 27 ha infinite soluzioni
(c) L’equazione senx = −1 in [0, 2π) ha due soluzione
(d) L’equazione cos x3 = 12 non ha soluzione
(e) L’equazione 4cos2 x − 3 = 0 ha nove soluzioni in [0, 2π)
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I
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Pieno Schermo
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Esci
3. L’equazione senx + cosx = 2
(a) Non ha soluzioni
(b) E’ vera per x = π2 + 2kπ
(c)E’ vera per ogni valore di x
(d) E’ vera per x ≥ π3
(e) E’ vera per x 6= π
4. L’equazione 2 − 2cos2 x +
√
2 senx = 0
(a) Non ha soluzione
(b) E’ soddisfatta per x = kπ, x = 45 π, x = 74 π + 2kπ
(c) E’ soddisfatta per
x = π2 + kπ, x = 34 π + 2kπ, x = 45 π + 2kπ
(d) E’ soddisfatta per ogni x
(e)E’ soddisfatta per x = π2 + kπ, x = π4 + 2kπ, x = 74 π + 2kπ
5. L’equazione sen(cosx) = 0
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Non ha soluzione
E’ vera per ogni x
Ha soluzione π2 + kπ
E’ vera per x > π2
E’ vera per x = 2kπ
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6. L’equazione 2sen2 x = 3cosx
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I
Pagine 6 di 7
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Non ha soluzione
E’ soddisfatta per x = π3 + 2kπ, x = 35 π + 2kπ
E’ soddisfatta per x = π3 + 2kπ
E’ vera per ogni x
E’ soddisfatta per x = π + 2kπ
7. L’equazione ex = cosx − 1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
E’ impossibile
Ha soluzione x = 2kπ
Ha l’unica soluzione x = 0
Ha infinite soluzioni
Ha soluzione x > 0
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Fine Quiz
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Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tua
preparazione consultando pagine teoriche relative agli argomenti
trattati in questa sezione del Quiz.
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Per visualizzare le pagine teoriche clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
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I
EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Un’equazione trigonometrica e’ un’equazione in cui compaiono funzioni trigonometriche.
La risoluzione di un’equazione trigonometrica si riconduce alla
risoluzione di un’equazione del tipo:
senx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a,
a ∈ R,
Pagine 8 di 7
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dove x e’ la misura dell’angolo incognito.
Percio’ tali equazioni trigonometriche si dicono elementari.
Risolviamo separatamente tali equazioni.
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1. Risolvere l’equazione:
Chiudi
senx = a,
Esci
significa trovare tutti i valori degli angoli, il cui seno vale a.
Intanto e’ evidente che deve essere −1 ≤ a ≤ 1, altrimenti
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l’equazione non ha soluzione.
ESEMPIO
L’equazione senx = 2 e’ impossibile.
Sappiamo che esiste sempre un angolo orientato positivo α
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I
Pagine 9 di 7
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Pieno Schermo
Chiudi
che soddisfa l’equazione senx = a. Ma se α soddisfa l’equazione
anche l’angolo supplementare π−α, soddisfa la stessa equazione,
perche’ sappiamo che e’ :
sen(π − α) = senα = a.
Questi due angoli sono evidentemente gli unici angoli, minori di 2π, che soddisfano l’equazione in questione. Infine,
sappiamo che tutti gli angoli che differiscono da questi, per
multipli interi di 2π radianti, soddisfano pure l’equazione.
Possiamo, quindi dire che le misure in radianti di tutti gli
angoli che soddisfano l’equazione, sono date dalle due formule:
x = α + 2kπ
e
Esci
x = (π − α) + 2kπ
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con k ∈ Z
ESEMPIO
√
Titolo della Pagina
Trovare le soluzioni dell’equazione senx =
2
2 .
Soluzione
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J
I
I due angoli positivi, minori di 2π, che, soddisfano l’equazione
data sono: π4 e π − π4 = 34 π.
Tutte le soluzioni sono quindi date dalle formule:
x=
Pagine 10 di 7
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Pieno Schermo
Chiudi
Esci
π
+ 2kπ
4
e x=
3
π + 2kπ
4
con
k ∈ Z.
Risolvere l’equazione:
cosx = a,
significa determinare tutti i valori degli angoli, il cui coseno
vale a.Anche in questo caso dobbiamo supporre che sia:
−1 ≤ a ≤ 1, altrimenti l’equazione e’ impossibile. Esiste
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Titolo della Pagina
sempre un angolo orientato positivo α, minore di 2π, che soddisfa l’equazione cosx = a. Ma se α soddisfa l’equazione, anche l’angolo opposto−α, soddisfa la stessa equazione perche’
come sappiamo risulta:
cos(−α) = cosα.
Contenuti
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II
J
I
Pagine 11 di 7
Ne segue che le misure, in radianti, di tutti gli angoli che
verificano l’equazione, sono date dalla formula:
x = ±α + 2kπ
con k ∈ Z.
ESEMPI
√
Indietro
(a) Risolvere l’equazione cosx =
3
2 .
Soluzione
Pieno Schermo
√
Chiudi
Esci
Siccome sappiamo che e’ cos π6 = 23 , allora le soluzioni
dell’equazione sono date dalla formula x = ± π6 + 2kπ
con k ∈ Z.
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(b) Risolvere l’equazione cosx = − 21 .
Soluzione
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JJ
II
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I
Siccome sappiamo che cos π3 = 12 , il piu’ piccolo angolo positivo che soddisfa l’equazione e’ π − π3 = 23 π.
Tutte le soluzioni dell’equazione sono date dalla formula
x = ± 23 π + 2kπ con k ∈ Z.
2. Risolvere l’equazione:
Pagine 12 di 7
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Pieno Schermo
tgx = a,
significa determinare tutti i valori degli angoli, la cui tangente vale a, con a numero reale qualunque.
Esiste sempre un angolo orientato positivo α, minore di π,
che soddisfa l’equazione tgx = a. Sappiamo che angoli che
differiscono di π hanno la stessa tangente; quindi turre le
soluzioni in radianti dell’equazione sono date dalla formula:
Chiudi
x = α + kπ,
Esci
con k ∈ Z.
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ESEMPIO
√
Risolvere l’equazione tgx = −
Titolo della Pagina
3
3 .
Soluzione
Contenuti
JJ
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J
I
Pagine 13 di 7
Indietro
Pieno Schermo
√
Essendo tg π6 = 33 , il piu’ piccolo angolo positivo che soddisfa
√
l’equazione data e’ π− 33 = 56 π; quindi tutte le soluzioni dell’equazione
data si ottengono dalla formula x = 56 π + kπ con k ∈ Z.
Per la risoluzione dell’equazione ctgx = a il procedimento e’ analogo a quello dell’equazione tgx = a.
Le equazioni cosecx = a e secx = a si riconducono ad equazioni
elementari in seno e coseno.
In modo analogo a quanto fatto precedentemente , si risolvono
anche le equazioni del tipo:
Chiudi
sen(mx) = sen(nx), cos(mx) = cos(nx),
Esci
tg(mx) = tg(nx), ctg(mx) = ctg(nx),
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dove m e n sono due numeri reali qualunque, diversi fra di loro.
Infatti, perche’ sia ad esempio.
Titolo della Pagina
sen(mx) = sen(nx)
JJ
II
bisogna che l’angolo mx sia uguale all’angolo nx, oppure ne differisca per multipli interi di 2π od anche sia eguale al supplementare di nx, cioe’ π−nx, oppure differisca da questo per multipli
interi di 2π.
J
I
Deve quindi risultare
Contenuti
Pagine 14 di 7
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
mx = nx + 2kπ, oppure mx = π − nx + 2kπ,
da cui si ricava
2kπ
e x = (2k+1)π
x = m−n
m+n ,
con k ∈ Z.
In modo analogo si ragiona per le altre tre equazioni.
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
ESEMPI
1. Risolvere l’equazione sen3x = sen2x.
Soluzione
Deve quindi risultare
3x = 2x + 2kπ, oppure 3x = π − 2x + 2kπ,
di qui si ricava
Pagine 15 di 7
Indietro
π
x = 2kπ, x = (2k + 1) ,
5
con k ∈ Z.
Pieno Schermo
Chiudi
2. Risolvere l’equazione cos(2x − π4 ) = cos(x + π6 ).
Soluzione
Esci
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Deve essere
2x −
Titolo della Pagina
π
π
=± x+
+ 2kπ,
4
6
da cui si ricava
Contenuti
x=
JJ
II
J
I
Pagine 16 di 7
Indietro
Pieno Schermo
con k ∈ Z
3. Risolvere l’equazione tg9x = tg4x.
Soluzione
In questo caso deve risultare
Chiudi
9x = 4x + kπ,
da cui si ricava
Esci
5
π
2kπ
π + 2kπ, x =
+
,
12
36
3
π
x=k ,
5
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con k ∈ Z.
Titolo della Pagina
4. Risolvere l’equazione sen7x = cos5x.
Contenuti
si puo’ scrivere
JJ
II
J
I
Pagine 17 di 7
sen7x = sen
π
2
− 5x ,
da cui risulta
7x =
e dunque
π
2
− 5x + 2kπ, oppure 7x = π − ( π2 − 5x) + 2kπ,
Indietro
x=
Pieno Schermo
con k ∈ Z.
Chiudi
Esci
π
π
π
+ k , x = + kπ,
24
6
4
Home Page
Titolo della Pagina
EQUAZIONI LINEARI IN sen(x) E cos(x).
Un equazione trigonometrica si dice lineare in senx e cosx quando
e’ del tipo:
asenx + bcosx = c,
con
a,
b 6= 0.
Contenuti
Per risolvere le equazioni lineari si procede come nei seguenti:
JJ
II
ESEMPI
J
I
1. Risolvere l’equazione
√
3 senx − 3cosx = 0.
Pagine 18 di 7
Indietro
Pieno Schermo
Dividendo ambo i membri di questa equazione per cosx, si
ottiene:
√
√
3 tgx − 3 = 0, ossia tgx = 3.
Le soluzioni di questa equazione sono date da
x=
Chiudi
π
+ kπ,
3
con k ∈ Z.
Esci
Nel risolvere l’equazione abbiamo diviso per cosx; nel fare
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cio’ non abbiamo perso ulteriori soluzioni perche’ cosx = 0
per x = π2 + kπ, ma questi valori non soddisfano l’equazione.
Titolo della Pagina
2. Risolvere l’equazione senx + cosx = 1.
Contenuti
JJ
II
J
I
Si osservi inanzi tutto, che l’equazione non e’ soddisfatta per
x = π + 2kπ, perche’ per tali valori il seno vale zero e il
coseno -1, e si avrebbe: -1=1, il che e’ assurdo. Possiamo
quindi supporre x 6= π + 2kπ e trasformare l’equazione data
mediante le formule di razionalizzazione:
senx =
Pagine 19 di 7
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Pieno Schermo
Chiudi
1 − t2
2t
,
cosx
=
,
1 + t2
1 + t2
dove t = tg x2 .
Si ottiene l’equazione equivalente:
2t
1+t2
+
1−t2
1+t2
= 1, ossia 2t2 − 2t = 0
da cui segue
2t(t − 1) = 0 =⇒ t = 0 oppure t = 1;
Esci
e dunque
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tg x2 = 0 e tg x2 = 1.
Dalla prima si ricava
Titolo della Pagina
x
2
= kπ, ossia x = 2kπ,
Contenuti
e dalla seconda
JJ
II
J
I
Pagine 20 di 7
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
x
2
=
π
4
+ kπ, ossia x =
π
2
+ 2kπ.
Le soluzioni delll’equazione proposta sono quindi date dalle
formule
π
x = 2kπ, x = + 2kπ,
2
con k ∈ Z.
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ESEMPI DI EQUAZIONI RICONDUCIBILI ALLE ELEMENTARI
Risolvere le seguenti equazioni:
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
a) senx cosx =
1
4
b) senx − cosx = 0
c) cos2 x + 3senx − 3 = 0
J
I
Pagine 21 di 7
Indietro
d) tgx + ctgx + 2 = 0
e) senx + sen2x + sen3x = 0
Soluzione:
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
a) Moltiplicando ambo i membri per 2 e ricordando la formula
di duplicazione del seno, possiamo scrivere:
sen2x = 12 =⇒ 2x = π6 + 2kπ e 2x = 65 π + 2kπ, da cui segue
π
5
x = 12
+ kπ, x = 12
π + kπ con k ∈ Z
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 22 di 7
Indietro
Pieno Schermo
b) Dividendo ambo i membri per cosx ( i valori che annullano
il coseno non soddisfano l’equazione) si ha
tgx − 1 = 0 =⇒ tgx = 1 =⇒ x = π4 + kπ, con k ∈ Z.
c) Utilizzando la formula fondamentale della trigonometria si
ha:
1 − sen2 x + 3senx − 3 = 0 =⇒ sen2 x − 3senx + 2 = 0.
Posto senx = t si ha t2 −3t+2 = 0 da cui segue t = 1 e t = 2.
Pertanto abbiamo le due equazioni elementari: senx = 2 che
e’ impossibile, e senx = 1 da cui segue x = π2 + 2kπ con
k ∈ Z.
1
d) Ricordando che la ctgx = tgx
, possiamo riscrivere l’equazione
nella forma
1
tgx + tgx
+ 2 = 0 =⇒ tg 2 x + 2tgx + 1 = 0 =⇒ (tgx + 1)2 =
0 =⇒ tgx = −1 =⇒ x = 34 π + kπ con k ∈ Z.
c) Applicando le formule di prostaferesi, al primo e terzo addendo, si ha:
Chiudi
senx + sen2x + sen3x = 2sen2x cosx + sen2x =
Esci
= sen2x(1 + 2cosx) = 0,
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da cui:
sen2x = 0 e 1 + 2cosx = 0,
Titolo della Pagina
e quindi:
2x = kπ, cioe’ : x = k π2 ; e x = ± 23 π + 2kπ, con k ∈ Z.
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 23 di 7
ESERCIZI
1. La condizione cui deve soddisfare il parametro k affinche’
l’equazione
4senx = 3k
abbia soluzione e’
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
A)non c’e’ nessuna limitazione ai valori di k
B)k ≥ − 43
C)k ≤
4
3
D)k = ± 43
E)− 43 ≤ k ≤
Esci
4
3
Soluzione: E)
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4senx = 3k =⇒ senx = 34 k con −1 ≤ 34 k ≤ 1 =⇒
=⇒ − 43 ≤ k ≤ 43
2. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A)L’equazione tgx = senx e’ equivalente a senx = senx cosx
Contenuti
JJ
II
J
I
√
B)L’equazione cosx =
7
2
ha infinite soluzioni
C)L’equazione senx = −1 in [0, 2π) ha due soluzione
D)L’equazione cos x3 =
1
2
non ha soluzione
2
E)L’equazione 4cos x − 3 = 0 ha nove soluzioni in [0, 2π)
Soluzione:A)
Pagine 24 di 7
Indietro
senx−senx cosx
A)tgx = senx =⇒ senx
= 0 =⇒
cosx = senx =⇒
cosx
senx = senx cosx, poiche’ cosx 6= 0 sempre altrimenti la tgx
non e’ definita;
√
B)cosx =
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
7
2
√
non ha soluzione perche’
7
2
e’ maggiore di 1;
C) senx = −1 ha una soluzione in [0, 2π), vale a dire x = 23 π;
D)cos x3 =
1
2
ha soluzione:
x
3
= ± π3 + 2kπ =⇒ x = ±π + 6kπ;
E)4cos2 x − 3 = 0 =⇒ cosx =
π 11
5
7
6 , 6 π, 6 π, 6 π;
√
3
2
√
e cosx = −
3
2
=⇒ x =
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3. L’equazione senx + cosx = 2
A)Non ha soluzioni
Titolo della Pagina
B)E’ vera per x =
π
2
+ 2kπ
C)E’ vera per ogni valore di x
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 25 di 7
Indietro
Pieno Schermo
D)E’ vera per x ≥
π
3
E)E’ vera per x 6= π
Soluzione: A)
Il valore più grande che possono assumere seno e coseno e’ 1,
ma tale valore non puo’ essere assunto contemporaneamente
dalle due funzioni.
√
4. L’equazione 2 − 2cos2 x + 2 senx = 0
A)Non ha soluzione
B)E’ soddisfatta per x = kπ, x = 54 π, x = 74 π + 2kπ
C)E’ soddisfatta per x =
Chiudi
+kπ, x = 34 π +2kπ, x = 54 π +2kπ
D)E’ soddisfatta per ogni x
E)E’ soddisfatta per x =
Esci
π
2
Soluzione:B)
π
2
+ kπ, x =
π
4
+ 2kπ, x = 47 π + 2kπ
2 − 2cos2 x +
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Titolo della Pagina
√
2 senx = 0 =⇒
√
√
=⇒ 2 − 2 + 2sen2 x + 2 senx = 0 =⇒ senx(2senx + 2) = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
=⇒ senx = 0 =⇒ x = kπ
e
2senx +
√
√
Pagine 26 di 7
=⇒ x =
5
π
4
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5. L’equazione sen(cosx) = 0
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A)Non ha soluzione
B)E’ vera per ogni x
Chiudi
C)Ha soluzione
π
2
+ kπ
D)E’ vera per x >
Esci
2
=⇒
2
7
x = π;
4
2 = 0 =⇒ senx = −
π
2
E)E’ vera per x = 2kπ
e
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Soluzione:C)
sen(cosx) = 0 =⇒ cosx = kπ
Titolo della Pagina
bisogna distinguere i due casi:
k = 0 =⇒ cosx = 0 =⇒ x =
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JJ
II
J
I
π
+ kπ
2
e
k 6= 0 =⇒ cosx = kπ non ha soluzione poiche’ −1 ≤ cosx ≤ 1;
Pagine 27 di 7
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Pieno Schermo
Chiudi
Esci
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6. L’equazione 2sen2 x = 3cosx
A)Non ha soluzione
Titolo della Pagina
B)E’ soddisfatta per x =
C)E’ soddisfatta per x =
Contenuti
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II
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I
π
3
π
3
+ 2kπ, x = 35 π + 2kπ
+ 2kπ
D)E’ vera per ogni x
E)E’ soddisfatta per x = π + 2kπ
Soluzione:B)
2sen2 x = 3cosx =⇒ 2 − 2cos2 x − 3cosx = 0 =⇒
Pagine 28 di 7
=⇒ 2cos2 x + 3cosx − 2 = 0 =⇒ cosx = −2
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che e’ impossibile, e
Pieno Schermo
cosx =
Chiudi
Esci
1
2
=⇒ x =
π
3
+ 2kπ e x = 35 π + 2kπ;
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7. L’equazione ex = cosx − 1
A)E’ impossibile
Titolo della Pagina
B)Ha soluzione x = 2kπ
C)Ha l’unica soluzione x = 0
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II
J
I
Pagine 29 di 7
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Chiudi
Esci
D)Ha infinite soluzioni
E)Ha soluzione x > 0
Soluzione:A)
ex > 0 ∀x =⇒ cosx − 1 > 0 =⇒ cosx > 1 che e’ assurdo.
Per tornare alla simulazione del Quiz clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1