soluzione simulazione - "Marie Curie" – Meda

Liceo Scientifico Statale “M. Curie”
Verifica di Matematica
Classe 4 E
Esponenziali, logaritmi, coniche.
Nome ____________________________________
3 dicembre 2012
durata della prova :
Cognome_______________________________________________
voto
Punt.
Max.
SIMULAZIONE
P1
Scrivi l’equazione della funzione omografica passante per P(1;0) e avente come asintoti le rette x=-2 e
y=1. Determina dominio e codominio. Stabilisci se è invertibile e, in caso affermativo, trova la funzione
inversa e rappresentala. Traccia il grafico di y = f (x ) e utilizzalo per risolvere graficamente la
x −1
≥x
x +2
Dopo aver imposto il passaggio per P e le condizioni su a, b, c e d relative agli asintoti si ottiene un
x −1
sistema di 3 equazioni in 4 incognite. Attribuendo ad a (ad es.) il valore 1 si ottiene y =
il cui
x +2
dominio è x ≠ −2 e il cui codominio è y ≠ 1 . Sul dominio e il codominio fissati, la funzione omografica è
1 + 2x
; per il grafico si procede ribaltando le parti
monotòna quindi invertibile. La sua inversa è y =
1− x
13 − 3
negative. Le soluzioni della disequazione sono x < −2 ∨ − 2 < x ≤
2
Sono dati i punti A(2;0 ) e B(0;1) . Determina il luogo descritto dall’ortocentro (incontro delle altezze) del
triangolo APB al variare di P sulla retta x − 2y = 0 . Rappresenta graficamente il luogo ottenuto.
[Se P appartiene alla retta data, avrà coordinate (k;….) . Dopo aver trovato le equazioni di due altezze,
esprimere in funzione di k le coordinate del loro punto di intersezione ed “eliminare” il parametro k in
disequazione
P2
modo da avere una equazione in x e y. La curva ottenuta è una …….. di equazione 4 x 2 − y 2 − 8 x + y = 0 ]
Q1
Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni logaritmiche:
•
•
•
log 2 2 x − 3 + log 2 x − 1 = 0
1
1
+
=2
ln x 2 ln x − 1
log x 2 ≥ 1
sol: x=2
sol: x = e ; x = 4 e
sol: 1 < x ≤ 2
9


1
log 3  log 1 (x + 1) < 2
sol: x >   − 1


2
 2

Supponendo che tutte le variabili assumano valori positivi e diversi da 1, dimostra che:
log a x ⋅ log b x
log ab x =
log a x + log b x
•
Q2
Dopo aver scritto log ab x =
Q3
1
applicare la prima proprietà dei logaritmi al denominatore e poi
log x ab
completare i calcoli.
Dopo aver determinato il dominio, traccia i grafici delle seguenti funzioni precisando, dove necessario, le
equazioni degli asintoti:
(1 + x )(1 − x )
•
y=
•
y = 2 − log2 (x − 3)
•
togliere il modulo e distinguere i casi. Rappresentare con GeoGebra
facile
log x (x − 1)
osservare che, dopo aver fatto le opportune C.E. e applicando la formula del
y=
1
log x
2
Punt.
attr.
cambiamento di base, la funzione diventa y = log 1 (x − 1) decisamente più abbordabile.
2
Q4
Senza utilizzare la calcolatrice, ordina in senso crescente i seguenti numeri, dando esauriente spiegazione
1
ln
log π e ,
logπ 2π − logπ 2 , ln π ,
π
Trasformare tutti logaritmi dati in base e e ordinare in senso crescente gli argomenti in quanto, se la base
è e, la funzione logaritmica è crescente.
totale