PROBABILITA - ic 58° kennedy

Teoria della probabilità
prof.ssa Mancuso
PROBABILITA’ (P)
POSSIBILITA’ CHE SI VERIFICHI UN EVENTO (E)
P. TEORICA
P. SPERIMENTALE
PREVISIONE
MISURAZIONE (FREQUENZA)
Assume valori compresi tra 0 e 1
e si esprime con un numero decimale
o con una frazione equivalente
Si esprime come percentuale
Assume valori compresi tra 0 e 100%
Non si verifica
Mai---------------
0------------ --------------- 1
Evento
Impossibile
Si verifica
--------- Sempre
Evento
Certo
Definizione
Probabilità = numero degli eventi favorevoli (f)/numero totale degli eventi (t)
in formula
P = f/t
Esempi
La probabilità di pescare un quattro di cuori in un mazzo di 40 carte è
P = 1/40
oppure P = 0,025
La probabilità che nel lancio di un dado esca un numero pari è
P = 3/6
oppure P = 0,5
La probabilità che nel lancio di un dado esca un numero maggiore di 6 è
P = 0/6 = 0
(evento impossibile)
La probabilità che nel lancio di un dado esca un numero minore di 7 è
Teoria della probabilità
P = 6/6 = 1
prof.ssa Mancuso
(evento certo)
Se, lanciando 80 volte di seguito un dado è uscito 30 volte un numero pari, la sua frequenza relativa (fr ) è
fr = 30/80 = 0,375
la sua frequenza in percentuale è
% = 0,375 x 100 = 37,5%
Aumentando il numero di lanci, la frequenza misurata si avvicina sempre di più alla probabilità teorica! Se si è
effettuato un numero abbastanza grande di lanci, la frequenza misurata può essere considerata con buona
approssimazione uguale alla probabilità dell’evento considerato.
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PROBABILITÀ TOTALE
Gli esempi riportati si riferiscono al calcolo della probabilità di un singolo evento.
Consideriamo ora la probabilità che in una prova si verifichi l’uno o l’altro di due eventi E1 e
E2. La probabilità totale è data dalla somma della probabilità di E1 e E2 meno la probabilità
che si verifichino entrambi.
In formule: P (E1 o E2) = PE1 + PE2 – P (E1 e E2)
I due eventi E1 e E2 possono essere
COMPATIBILI, se il verificarsi di uno non esclude l’altro
ad esempio, nel lancio di un dado esce 4 oppure un numero pari
INCOMPATIBILI, se il verificarsi di uno esclude l’altro
ad esempio, nel lancio di un dado esce 4 oppure un numero dispari
Nel caso di eventi incompatibili, la probabilità che si verifichino insieme entrambi è zero
(evento impossibile)
P (E1 o E2) = PE1 + PE2 – P (E1 e E2) = PE1 + PE2 – 0 →
P (E1 o E2) = PE1 + PE2
------------------------------------------------Calcoliamo la probabilità totale del primo esempio (eventi compatibili):
nel lancio di un dado esce 4 oppure un numero pari
P4 = 1/6
Ppari = 3/6
P (4 o pari) = 1/6 + 3/6 – 1/6 = 3/6
Teoria della probabilità
prof.ssa Mancuso
Calcoliamo ora la probabilità totale del secondo esempio
Nel lancio di un dado esce 4 oppure un numero dispari
P (4 o dispari) = 1/6 + 3/6 = 4/6
Altri esempi
La probabilità di pescare da un mazzo di 40 carte napoletane una carta di spade o un asso di cuori è
P = 10/40 + 1/40 – 0 = 11/40
La probabilità di pescare da un mazzo di 40 carte napoletane una carta di spade o un asso è
P = 10/40 + 4/40 – 1/40 = 13/40
La probabilità di pescare da un sacchetto con 20 palline numerate da 1 a 20 un numero pari o un multiplo di 5 è
P = 10/20 + 4/20 – 2/20 = 12/20
La probabilità di pescare da un mazzo di 40 carte francesi una carta nera o una carta minore di 5 è
P = 20/40 + 16/40 – 8/40 = 28/40
La probabilità di estrarre da un sacchetto con i 90 numeri della tombola il numero 5 o il numero 15 è
P = 1/90 + 1/90 = 2/90
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PROBABILITA’ COMPOSTA
Gli esempi sopra si riferiscono alla probabilità di eventi legati tra loro dalla congiunzione o,
oppure. Consideriamo ora la probabilità che due eventi E1 e E2 si verifichino entrambi in una
singola prova o in una serie di prove. Tali eventi sono legati tra loro dalla congiunzione e.
La probabilità che si verifichi sia E1 che E2 è data dal prodotto delle singole probabilità
In formule: P (E1 e E2) = PE1 x PE2
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prof.ssa Mancuso
I due eventi E1 e E2 possono essere
INDIPENDENTI, se il verificarsi di uno non influisce sulla possibilità che si verifichi l’altro
ad esempio, nel lancio di due dadi esce un due e un quattro
DIPENDENTI, se il verificarsi di uno influisce sulla possibilità che si verifichi l’altro
ad esempio, da un mazzo di 40 carte napoletane si estrae prima un quattro e poi un asso, senza rimettere nel mazzo
la prima carta
Nel caso di eventi dipendenti, la probabilità dell’evento E2 è condizionata dall’evento E1; si
parla quindi, di probabilità condizionata, che si indica con PE1/E2 (si legge probabilità che si
verifichi E2 sapendo che si è verificato E1)
Calcoliamo la probabilità composta del primo esempio:
Nel lancio di due dadi esce un due e un quattro
P (2 e 4) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Calcoliamo ora la probabilità composta del secondo esempio:
Da un mazzo di 40 carte napoletane si estrae prima un quattro e poi un asso, senza rimettere nel mazzo la prima carta
P
(4 e asso)
= 4/40 x 4/39 = 4/390
Altri esempi
La probabilità di estrarre da un’urna con 10 palline numerate da 1 a 10 il numero 5 e, dopo aver rimesso la pallina
nell’urna, il numero 6, è
P = 1/10 x 1/10 = 1/100
La probabilità di estrarre da un’urna con 10 palline numerate da 1 a 10 il numero 5 e, senza rimettere nell’urna la
pallina, il numero 6, è
P = 1/10 x 1/9 = 1/90
La probabilità di ottenere due numeri pari nel lancio di due dadi è
P = 3/6 x 3/6 = 9/36 = 1/4
Nel caso in cui l’ordine con cui si verificano gli eventi E1, E2 non abbia importanza, la
probabilità composta P(E1 e E2) aumenta
In formule P(E1 e E2) = PE1 x PE2 + PE2 x PE1
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Ad esempio, vogliamo calcolare la probabilità che in due lanci successivi di una moneta esca
una volta testa e una volta croce, indipendentemente dall’ordine.
P(testa e croce) = Ptesta x Pcroce + Pcroce x Ptesta
P = 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
-----------------------------------------------Abbiamo visto all’inizio che in molti casi è utile ricorrere ad una rappresentazione grafica
della probabilità totale (diagramma di Venn - insiemi).
Nel caso della probabilità composta la rappresentazione grafica più utile è il diagramma ad
albero, in particolare quando si considerano eventi o prove multiple e/o quando l’ordine
degli eventi non conta.
Ad esempio, vogliamo calcolare la probabilità che da un matrimonio nascano 1 figlio maschio
e 1 figlia femmina, indipendentemente dall’ordine
P (maschio e femmina)
1° figlio
maschio
1/2
2° figlio
femmina
1/2
femmina
1/2
maschio
1/2
P (maschio e femmina) = 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
Come vedi, quando l’ordine degli eventi non ha importanza, la probabilità dell’evento
composto aumenta, infatti la probabilità che nasca un maschio e poi la femmina nell’ordine
indicato è P (maschio e femmina) = 1/2 x 1/2 = 1/4
Vediamo un altro esempio, calcoliamo la probabilità che in 4 lanci di monete otteniamo 2 volte testa (T) e
due volte croce (C), indipendentemente dall’ordine. La probabilità di ciascun singolo evento è 1/2; I casi
possibili sono: TTCC, TCCT, TCTC, CCTT, CTCT. Ma siamo sicuri di averli considerati tutti? Aiutiamoci con un
diagramma ad albero:
P (2T e 2C)
1°lancio:
T
2°lancio:
T
3°lancio:
4°lancio:
C
C
C
C
T
T
C
T
C
T
C
T
T
C
C
C
T
C
T
T
C
C
T
C
T
T
C
T
Ci era sfuggita la possibilità CTTC. Qual è la Probabilità dell’evento 2T e 2C, indipendentemente dall’ordine?
Risposta P = 6/16 = 3/8
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prof.ssa Mancuso
IN SINTESI
Probabilità semplice = n. eventi favorevoli/n. totale eventi
Probabilità di più eventi E1 , E2, …
 Uniti dalla congiunzione o, oppure = somma (+) delle probabilità semplici (se gli
eventi sono compatibili, devi sottrarre la probabilità che si verifichino entrambi.
Giungi allo stesso risultato se ricordi che ogni evento devi contarlo una volta sola)
 Uniti dalla congiunzione e = prodotto (x) delle probabilità semplici (se gli eventi sono
dipendenti, devi fare attenzione quando calcoli le probabilità semplici, perché il
numero totale degli eventi non rimane costante)