Trigonometria

Trigonometria
Trigonometria del Triangolo Rettangolo
Quando si tratta di triangoli rettangoli, tutto diventa speciale : ci sono
teoremi che li caratterizzano e particolarità che li rendono assai comodi da
utilizzare.
In particolare, vi sono i cosiddetti criteri speciali di congruenza o similitudine
per i triangoli rettangoli; questi non sono niente di che, solo tengono conto del
fatto che in un triangolo rettangolo c’è un angolo fissato. In particolare questo
significa che un angolo può completamente determinare la classe di similitudine
di un triangolo rettangolo; un altro modo per dire questo è dire che, conoscendo
uno dei due angoli acuti, possiamo detemrinare unicamente i rapporti tra i lati.
In questo modo si definiscono naturalmente alcune funzioni che associano
ad un qualsiasi angolo acuto il rapporto tra due dei lati del triangolo, come ad
esempio
cateto adiacente
α→
ipotenusa
α→
cateto opposto
ipotenusa
dove i termini opposto e adiacente sono da intendersi rispetto all’angolo che vale
α.
Facciamo un esempio : sia ABC un triangolo rettangolo in A e supponiamo
di
sapere
che ∡ABC = 60◦ , allora possiamo dire che 2 · AB = BC e 2 · AC =
√
3 · BC (infatti tale triangolo è metà di un triangolo equilatero); osserviamo
poi che da queste due relazioni possiamo calcolare tutti i rapporti tra i lati di
ABC. Allora conosciamo, ad esempio, il valore delle due funzioni scritte sopra
per α = 60◦ .
Queste funzioni sono tanto importanti in matematica che hanno un nome (un
po’ più comodo che non “catetoadiacentefrattoipotenusa” o simili); sia quindi α
un angolo acuto non nullo, sia ABC rettangolo in A tale che ∡ABC = α, allora
definiamo
AB
AC
cos(α) =
sin(α) =
BC
BC
dove cos(α) si legge coseno di alfa e sin(α) si legge seno di alfa.
1
In termini di queste due funzioni si possono scrivere anche tutti gli altri
rapporti, come ad esempio il rapporto tra i cateti :
AC
sin(α)
=
= tan(α)
AB
cos(α)
dove tan(α) si legge tangente di alfa.
Anche i reciproci di questi tre rapporti hanno dei nomi e precisamente
1
= sec(α)
cos(α)
1
= csc(α)
sin(α)
1
= cot(α)
tan(α)
ovvero secante, cosecante, cotangente di alfa.
Per definizione, si ricavano le seguenti formule per i triangoli rettangoli, una
volta chiamati gli elementi come in figura.
c cos(α) = b c sin(α) = a c cos(β) = a
c sin(β) = b
b tan(α) = a a tan(β) = b
Esercizi
0. (Relazione trigonometrica fondamentale)
Dimostrare che sin2 (α) + cos2 (α) = 1.
1. Scrivere, in tutti i modi possibili, le altezze di un triangolo in funzione di
lati e funzioni trigonometriche degli angoli.
2. Scrivere l’area di un triangolo rettangolo in funzione dell’ipotenusa e degli
angoli.
3. Trovare, in funzione di lati e angoli, il raggio del cerchio inscritto.
4. Sapendo che in una circonferenza una corda lunga l è vista dal centro
sotto un angolo α, calcolare il raggio.
Formule
Ci proponiamo ora di esprimere le funzioni trigonometriche dell’angolo γ =
α + β in termini di funzioni trigonometriche di α e β.
Visto che, fino ad ora, abbiamo definito le funzioni trigonometriche solo per
un angolo acuto, supponiamo che α e β siano tali che α + β < 90◦ .
2
Siano, come in figura, OAB e OBC due triangoli rettangoli in A e B rispettivamente; sia CH la perpendicolare da C su OA e poniamo ∡AOB = α,
∡BOC = β.
Vogliamo valutare i rapporti OH/OC e CH/OC. Tracciamo BK perpendicolare a CH; allora avremo che ∡KBC = ∡ABC − ∡KBA = 90◦ − α.
Quindi, per le formule conclusive del paragrafo precedente, CK = BC cos(α) =
OC sin(β) cos(α); HK = AB = OB sin(α) = OC cos(β) sin(α), da cui
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
Con procedimento simile, si ottiene che
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
Queste due relazioni vanno sotto l’altisonante nome di formule di somma.
Sfruttando una costruzione simile, riportata in figura, si può dimostrare che
sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β)
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
sempre nell’ipotesi che α − β sia un valore positivo. Ovviamente queste due
relazioni, assai simili alle precedenti, vengono chiamate formule di differenza.
Ora, ponendo α = β nelle formule di somma, si ottengono le seguenti formule
di duplicazione :
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α) = 2 cos2 (α) − 1 = 1 − 2 sin2 (α)
3
dove nelle ultime uguaglianze abbiamo sfruttato la relazione dimostrata nell’esercizio
0.
Le ultime relazioni ricavate, sul coseno dell’angolo doppio, sono interessanti,
dal punto di vista della manipolazione formale, in quanto legano tale coseno al
seno oppure al coseno dell’angolo separatamente; in parole povere, si possono
invertire :
r
1 + cos(2α)
cos(α) =
2
r
1 − cos(2α)
sin(α) =
2
ottenendo le formule di bisezione. Da notare che abbiamo potuto prendere
la radice quadrata del membro a destra con tranquillità, in quanto abbiamo
definito il seno e il coseno di un angolo acuto come numeri positivi.
Manipoliamo un poco le formule di duplicazione :
2 sin α2 cos α2
2 tan α2
2t
=
sin(α) =
=
1 + t2
1 + tan2 α2
cos2 α2 + sin2 α2
cos2
cos(α) =
cos2
e dunque
α
2
α
2
− sin2
+ sin2
α
2
α
2
tan(α) =
1 − tan2
=
1 + tan2
2t
1 − t2
α
2
α
2
=
1 − t2
1 + t2
dove abbiamo posto t = tan α2 . Queste si chiamano formule parametriche;
possono essere usate per ridurre la verifica di relazioni goniometriche alla semplificazione di un’espressione polinomiale fratta in una variabile.
Sommando le formule di somma e quelle di differenza, otteniamo
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos(α) cos(β)
cos(α + β) − cos(α − β) = 2 sin(α) sin(β)
sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin(α) cos(β)
sin(α + β) − sin(α − β) = 2 cos(α) sin(β)
Queste formule sono fondamentali, in quanto permettono di trasformare prodotti
in somme e viceversa, e sono dette formule di prostaferesi. Si possono scrivere
anche in quest’altra forma
α−β
α+β
cos
cos(α) + cos(β) = 2 cos
2
2
α+β
α−β
cos(α) − cos(β) = 2 sin
sin
2
2
4
sin(α) + sin(β) = 2 sin
α+β
2
cos
α−β
2
sin(α) − sin(β) = 2 cos
α+β
2
sin
α−β
2
Esercizi
Nota : Gli esercizi seguenti si basano unicamente sulle proprietà delle funzioni goniometriche ricavate in questo paragrafo; queste proprietà prescindono
dal fatto che esse siano state definite solo per angoli acuti. Si potranno dunque
affrontare questi quesiti supponendo che tutti gli angoli coinvolti siano acuti,
ma ricordando che le relazioni dimostrate rimangono vere per qualsiasi valore
di α (vedi il prossimo paragrafo).
5. Trovare le formule di somma, differenza, duplicazione e bisezione della
tangente.
6. Mostrare che, comunque assegnati α1 , . . . , αn , si ha
n
X
sin
i=1
αi
!
[n/2]
X
=
k=0
X
I ⊆N
|I| = 2k + 1
Y
sin(αj )
j∈I
Y
cos(αj )
j ∈I
/
dove N = {1, . . . , n}. Trovare e dimostrare la corrispondente formula per il
coseno.
7. Dimostrare le seguenti :
• sec2 (α) = 1 + tan2 (α)
• csc2 (α) = 1 + cot2 (α)
• sec2 (α) + csc2 (α) = sec2 (α) csc2 (α)
•
1+cot(α)
csc(α)
•
sin(α)−sin(2α)
sin2 (α)−cos2 (α)
= sin(α) + cos(α)
= 2 sin(α)
• (sec(α) − tan(α))2 =
•
1
sec(α)−tan(α)
•
1+sin(α)
cos(α)
+
cos(α)
1+sin(α)
•
sin(α)
1−cos(α)
−
sin(α) cos(α)
1+cos(α)
•
cos(2α)−cos(4α)
sin(2α)+sin(4α)
1−sin(α)
1+sin(α)
= sec(α) + tan(α)
= 2 sec(α)
= csc(α)(1 + cos2 (α))
= tan(α)
• 8 cos4 (α) = cos(4α) + 4 cos(2α) + 3
5
•
sin(α)+sin(2α)+sin(3α)
cos(α)+cos(2α)+cos(3α)
• 2 sin2
α
6
− sin2
= tan(2α)
α
2 α
7 = cos
7 − cos
α
3
• sin(2α) + sin(4α) − sin(6α) = 4 sin(α) sin(2α) sin(3α)
• se α+β +γ = 180◦ , allora tan(α)+tan(β)+tan(γ) = tan(α) tan(β) tan(γ)
• se α+β+γ = 180◦, allora sin(α)+sin(β)+sin(γ) = 4 cos(α/2) cos(β/2) cos(γ/2)
8. Trovare le formule di addizione, duplicazione, bisezione per secante e
cosecante.
9. Trovare un’espressione di sin(nα) e cos(nα) in termini di seni e coseni di
kα con k < n. Trovarne una in termini di seno e coseno del solo angolo α.
10. Calcolare seno e coseno di 15◦ , 7◦ 30′ , 1◦ , 20◦ .
11. Siano a, b, c, α, β reali tali che
1. a2 + b2 6= 0, α 6= β + k360◦ ∀k ∈ Z
2. a sin(α) + b cos(α) = c
3. a sin(β) + b cos(β) = c
Dimostrare che cos2 α−β
=
2
c2
a2 +b2
Oltre l’angolo retto
Sia Γ = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} la circonferenza unitaria (detta anche
circonferenza goniometrica); sia s una semiretta dipartentesi dall’origine. Conveniamo di associare a s l’angolo che essa forma con la semiretta di riferimento
s0 = {(x, y) ∈ R2 |y = 0, x ≥ 0}, misurato in senso antiorario da s0 e, d’altra
parte, di associare ad un dato angolo α la semiretta sα uscente dall’origine che
forma con s0 un angolo α in senso antiorario a partire da s0 .
In questo modo otteniamo una bigezione di [0, 360[ con le semirette uscenti
dall’origine nel piano.
6
Ora, definiamo Pα = sα ∩ Γ; è immediato verificare che, se α ∈]0, 90[, si ha
Pα = (cos(α), sin(α)).
Possiamo quindi pensare di estendere la definizione di seno e coseno ad angoli
qualsiasi in questo modo : dato α numero reale, sia Pα come detto sopra, allora
Pα = (cos(α), sin(α)).
E’ immediato verificare che le funzioni cosı̀ definite sono periodiche di periodo 360◦; inoltre, con banali considerazioni geometriche, si possono ottenere le
seguenti formule ed altre simili, dette formule degli archi associati.
cos(α + 90◦ ) = − sin(α)
cos(α + 180◦ ) = − cos(α)
cos(α + 270◦) = sin(α)
sin(α + 90◦ ) = cos(α)
sin(α + 180◦) = − sin(α)
sin(α + 270◦ ) = − cos(α)
Queste ultime relazioni possono anche scriversi come
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) = − sin(α)
Da queste relazioni vediamo subito che le forumule di somma e differenza
valgono anche per le funzioni estese a tutta la retta reale. Inoltre, il fatto che
siano definite anche per valori negativi fa sı̀ che la formula di differenza sia un
caso particolare di quella di somma. Infatti, le formule di somma si chiamano
anche formule di addizione d’archi.
Da quanto appena detto segue che, per le funzioni ora definite, valgono tutte
le formule prima ricavate (solo formalmente) dalle formule di addizione; l’unica
particolarità è che nelle formule di bisezione si dovrà tener conto del segno del
coseno e del seno del nuovo angolo e quindi esse si riscriveranno come :
r
1 + cos(2α)
cos(α) = ±
2
r
1 − cos(2α)
sin(α) = ±
2
Osservazione
Potrà sembrare che l’estensione svolta in questo paragrafo non sia del tutto
lecita : abbiamo trovato due funzioni che coincidono con le nostre sugli angoli
7
acuti e che rispettano le formule di addizione, perchè dovrebbero essere proprio
loro le loro estensioni a tutta la retta reale? Ebbene, è un utile esercizio (di
equazioni funzionali) dimostrare il seguente :
siano f, g : R → R continue, non costanti, tali che f (x − y) = f (x)f (y) +
g(x)g(y) per ogni x, y reali; allora f (x) = cos(kx), g(x) = sin(kx) per k ∈ R
Dunque, due tali f,g sono uniche, una volta determinati i loro valori su un
qualunque intervallo.
L’unico nostro problema è la continuità : non abbiamo i mezzi per dimostrare
la continuità delle due funzioni che abbiamo definito ed è comunque difficile farlo
senza mordersi la coda (usando quelle funzioni che si tenta di definire).
Ad ogni buon conto, si può prendere la precedente come unica definizione
di seno e coseno. La dimostrazione delle formule di addizione può comunque
essere fatta con angoli acuti e poi estesa tramite le formule degli archi associati
e da qui si ricavano tutte le relazioni precedenti nello stesso identico modo.
Le funzioni seno e coseno
Vediamo un attimo che effetto ha avuto l’estensione che abbiamo effettuato;
innanzitutto, notiamo che cos(0◦ ) = 1 , cos(90◦ ) = 0 e dunque che sin(0◦ ) =
0 , sin(90◦ ) = 1. Inoltre, dalla definizione o dalle formule di addizione, sappiamo
che entrambe queste funzioni sono periodiche di periodo 360◦ .
Occupiamoci ora del loro segno. Sappiamo che sugli angoli acuti sono entrambe positive; tramite le formule degli archi associati deduciamo quindi che il
coseno è positivo su ] − 90◦, 90◦ [, mentre è negativo su ]90◦ , 270◦[ e si annulla in
90◦ , −90◦ ; il seno ha comportamento simile, ma sfasato di 90◦ , ovvero è positivo
su ]0◦ , 180◦ [, negativo su ] − 180◦, 0◦ [ e si annulla in 0◦ , 180◦ .
Ecco, infine, i grafici di queste due funzioni.
y
y
=
c
o
s
(
x
=
s
i
n
(
x
)
)
0
,
8
,
4
0
5
5
2
0
5
,
2
0
,
4
,
8
0
Le altre funzioni goniometriche
8
,
5
Tramite la circonferenza goniometrica si possono interpretare geometricamente anche le altre funzioni sopra definite; siano t = {(x, y) ∈ R2 |x = 1} e
c = {(x, y) ∈ R2 |y = 1} le tangenti a Γ in (1, 0) e (0, 1). Definiamo Tα = sα ∩ t
e Cα = sα ∩ c; allora Tα = (1, tan(α)) e Cα = (cot(α), 1), come porta a dire una
banale applicazione delle similitudini tra triangoli.
Inoltre, si ha sec(α) = OTα e csc(α) = OCα . E, detta pα la tangente a Γ in
Pα , le sue intersezioni con gli assi siano Xα = pα ∩ {y = 0} e Yα = pα ∩ {x = 0};
allora si ha Xα = (sec(α), 1) e Yα = (1, csc(α)).
Infine tan(α) = Xα Pα e cot(α) = Yα Pα .
La verifica di questa ultima affermazione è contenuta negli esercizi alla fine
del precedente paragrafo.
E’ da notare come queste costruzioni siano possibili solo per α ∈] − 90◦ , 90◦ [
oppure per α ∈]0◦ , 180◦ [; in effetti, volendo riportare invariata la definizione di
tangente e cotangente, secante e cosecante (come rapporto), dobbiamo escludere
dal dominio di definizione alcuni valori, nei quali il denominatore si annulla.
Quindi, la tangente e la secante sono definite su R \ {90◦ + k360◦ |k ∈ Z}, la
cotangente e la cosecante su R \ {k360◦|k ∈ Z}.
Inoltre, la tangente e la cotangente hanno un periodo di ampiezza 180◦ ,
mentre la secante e la cosecante, come del resto il seno e il coseno, hanno periodo
di ampiezza 360◦ .
Eccone i grafici.
9
2
5
2
,
,
5
5
0
y
=
s
e
c
(
x
=
t
y
=
c
a
n
o
(
t
(
x
x
)
)
2
2
,
2
y
,
,
5
5
5
5
)
y
5
!
2
,
5
0
!
2
2
,
,
5
=
c
s
c
(
x
)
5
5
Esercizi
12. Scrivere le formule degli archi associati per tangente, cotangente, secante, cosecante.
13. Dimostrare le formule di addizione a partire dalla definizione delle funzioni trigonometriche data in questo paragrafo.
I Radianti
Fino ad ora, abbiamo utilizzato il sistema sessagesimale per esprimere gli
angoli. Nel fare trigonometria è più usuale sfruttare una diversa convenzione
: definiamo radiante l’angolo che, al centro di una circonferenza, sottende un
arco di lunghezza pari al raggio.
10
Questa definizione significa : identifichiamo un angolo con la lunghezza
dell’arco che esso sottende sulla circonferenza unitaria.
Quindi, un angolo giro sarà indicato con 2π radianti; un angolo piatto con
π radianti e un angolo retto con π/2 radianti.
Nel seguito sottintenderemo la parola radianti dopo valori angolari.
Divagazione
Vi sono altre definizioni, molto più eleganti, delle funzioni seno e coseno,
che non hanno legami con la geometria degli angoli, ad esempio come serie
di potenze; da tali definizioni, si può ricavare che queste funzioni hanno un
periodo e tale periodo risulta essere 2π. In questo modo si è soliti introdurre in
matematica il numero pigreco.
Con queste definizioni alternative, dunque, gli argomenti di seno e coseno
vengono automaticamente interpretati come angoli in radianti, una volta che ci
si riconduca alle definizioni date sopra.
In questo senso (e in altri, legati ad esempio alla teoria del calcolo integrale
o all’analisi complessa) la scelta dei radianti è la più naturale.
Esercizi
14. Trovare le formule di conversione da gradi a radianti e viceversa.
15. Calcolare seno, coseno, tangente degli angoli mπ/n con 0 < m < 2n e
1 ≤ n ≤ 6, n = 8, 10.
Trigonometria
Potrà apparire una distinzione sottile, ma la trigonometria è l’indagine dei
legami tra le lunghezze e gli angoli in un triangolo, mentre lo studio delle funzioni
seno e coseno, delle loro relazioni e delle identità che soddisfano viene detto più
propriamente goniometria.
Questo per giustificare il titolo del paragrafo; nella pratica questa distinzione
è assolutamente inesistente e capiterà spesso di sentir parlare di trigonometria
del triangolo.
Ora, torniamo alle origini : il teorema di Pitagora. Ci proponiamo di calcolare, in un triangolo generico, un lato in funzione degli altri due e dell’angolo
tra essi compreso; sappiamo che è in teoria possibile per il secondo criterio di
congruenza, che ci assicura l’unicità di un triangolo di cui siano specificati due
lati e l’angolo tra loro compreso.
11
Sia ABC un triangolo qualsiasi, come in figura; sia allora H in AC (o sul
suo prolungamento) il piede dell’altezza uscente da B. Possiamo scrivere, per
il teorema di Pitagora, che BC 2 = BH 2 + HC 2 e, sempre per il teorema di
Pitagora, che BH 2 = AB 2 − AH 2 .
Mettendo assieme queste due relazioni otteniamo BC 2 = AB 2 + CH 2 −
AH 2 = AB 2 + AC 2 − 2AH 2 − 2AH · CH = AB 2 + AC 2 − 2AH · AC, nel caso che
AC = AH + HC; è semplice verificare che quanto segue funziona, sostituendo
α con π − α, e porta al medesimo risultato, nel caso in cui AC = HC − AH.
Ricordando i risultati del primo paragrafo possiamo dire che AH = AB cos(α)
da cui, adottando le notazioni in figura
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
ed ecco il Teorema di Carnot, detto anche Legge del Coseno; ovviamente, quanto
dimostrato vale permutando ciclicamente le lettere di lati e angoli.
Ora, rielaboriamo un poco il risultato precedente; ovviamente si ha
cos α =
b 2 + c2 − a 2
2bc
e, ricordando che sin2 α = 1 − cos2 α, possiamo vedere che
1 − cos2 α
a2
=
=
=
=
=
=
=
4b2 c2 − b4 − c4 − a4 − 2b2 c2 + 2b2 a2 + 2a2 c2
4a2 b2 c2
2
2
2
(2bc) − (a − b − c2 )2
4a2 b2 c2
2
2
(a − b − c2 + 2bc)(−a2 + b2 + c2 + 2bc)
4a2 b2 c2
2
2
(a − (b − c) )((b + c)2 − a2 )
4a2 b2 c2
(a − b + c)(a + b − c)(b + c + a)(b + c − a)
4a2 b2 c2
2
4S
a 2 b 2 c2
2
1
2R
dove, dopo un poco d’algebra, abbiamo utilizzato il teorema di Erone per l’area
del triangolo (indicata con S) e la formula per il raggio del cerchio circoscritto
(indicato con R).
Dunque, ricordandoci che 0 < α < π e che dunque il suo seno è positivo,
otteniamo che
1
sinα
=
a
2R
risultato noto come Teorema del Seno.
12
Questi due teoremi permettono di calcolare tutti gli elementi di un triangolo conoscendone opportunamente1 tre. Questo calcolo si dice risoluzione del
triangolo.
Inoltre, dal teorema del seno si ricava immediatamente una formula per l’area
del triangolo:
sinα
2S
1
=
⇔ S = bc sin α
a
abc
2
Una simile espressione ha una ovvia interpretazione geometrica : b sin α è la
lunghezza dell’altezza relativa al lato c e reciprocamente c sin α è la lunghezza
dell’altezza relativa al lato b.
Un altro utile risultato è il seguente teorema delle proiezioni, di banale dimostrazione :
a = b cos γ + c cos β
Altre formule note e di frequente utilizzo sono riportate come esercizi.
Esercizi
16. (Formule di Nepero) Dimostrare che valgono
tan β+γ
b+c
2
=
b−c
tan β−γ
2
e le formule ottenute permutando ciclicamente le lettere.
17. (Formule di Delambre) Dimostrare che valgono
cos β−γ
b+c
2
=
a
sin α2
e le formule ottenute permutando ciclicamente le lettere.
18. (Formule di Briggs) Dimostrare che valgono
r
α
(p − b)(p − c)
sin =
2
bc
r
α
p(p − a)
cos =
2
bc
α
r
tan =
2
p−a
e le formule ottenute permutando ciclicamente le lettere, con
s
a+b+c
(p − a)(p − b)(p − c)
p=
r=
2
p
1 nel caso in cui siano noti due lati e un angolo, l’angolo deve essere quello compreso;
altrimenti, è pur sempre possibile calcolare tutto, ma vi sono due valori possibili per il terzo
lato e i due angoli
13
19. Calcolare la lunghezza delle mediane di un triangolo in funzione di lati
e angoli.
20. Calcolare la lunghezza delle bisettrici di un triangolo in funzione di lati
e angoli.
21. Calcolare l’area di un quadrilatero, note le diagonali e l’angolo tra esse.
22. (Formula di Brahmagupta) Calcolare l’area di un quadrilatero ciclico,
noti i lati.
23. (Formula di Gerone) Generalizzare l’esercizio precedente al caso di un
quadrilatero generico, di cui siano noti lati e angoli. Discutere il caso di un
quadrilatero circoscrittibile e di un quadrilatero contemporaneamente ciclico e
circoscrittibile.
24. Calcolare la lunghezza delle diagonali di un quadrilatero ciclico, noti
i lati. Esprimerne il prodotto e il rapporto, ricavando i teoremi di Tolomeo e
Legendre.
25. Calcolare il lato ln (Ln ) del poligono regolare di n lati inscritto in
(circoscritto a) una circonferenza di raggio r.
26. Dimostrare le seguenti :
• sin α + sin β + sin γ =
S
R
• sin α · sin β · sin γ =
S2
2R2
• sin α2 · sin β2 · sin γ2 =
r
4R
•
tan α2 · tan β2
2r
=
α+β
a
+
b+c
tan 2
Appendice : Esponenziale complesso
Nel seguito daremo per note la definizione di numero complesso e la familiarità con le usuali operazioni nel campo complesso.
Definiamo l’esponenziale di un numero complesso in questo modo; sia z ∈ C,
z = ai + b, allora ez = exp z = ea (cos(b) + i sin(b)), dove ea indica l’abituale
elevamento a potenza nel campo reale.
In un senso che non è possibile precisare qui, questa è la naturale estensione
della funzione esponenziale ad argomento complesso.
Notiamo che dalla definizione segue che
sin(α) =
eiα − e−iα
2i
cos(α) =
eiα + e−iα
2
All’esponenziale complesso ora definito si applicano le normali regole per il
calcolo con la funzione esponenziale : ez ew = ez+w (ez )w = ezw .
Inoltre e¯z = ea (cos(b) − i sin(b)) = ea (cos(−b) + i sin(−b)) = ez̄ e dunque,
possiamo riscrivere le precedenti relazioni come :
cos(α) = ℜe eiα
sin(α) = ℑm eiα
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da cui possiamo scrivere le formule di addizione in maniera compatta e comoda
da ricordare come
ℜe eiα+iβ = ℜe eiα eiβ
ℑm eiα+iβ = ℑm eiα eiβ
Inoltre, anche le formule di duplicazione e bisezione vengono trasformate
nell’elevamento al quadrato e nella radice quadrata. Quindi, per calcolare
cos(nα), possiamo procedere come segue :
cos(nα)
= ℜe einα = ℜe (eiα )n = ℜe(cos(α) + i sin(α))n
n X
n
= ℜe
(i)k cosn−k (α) sink (α)
k
k=0
=
[n/2] X
k=0
n
(−1)k cosn−2k (α) sin2k (α)
2k
e lo stesso per il seno.
Spesso, il passaggio alla scrittura complessa rende la semplificazione di un’espressione
trigonometrica più agevole, soprattutto quando sono coinvolti seni di vari multipli di uno stesso argomento. Ad esempio :
n
X
k=0
sin(kα)
= ℑm
n
X
k=0
eikα = ℑm
1 − ei(n+1)α
1 − eiα
ei(n+1)α/2 ei(n+1)α/2 − e−i(n+1)α/2
= ℑm
eiα/2
eiα/2 − e−iα/2
sin((n + 1)α/2)
=
ℑm einα/2
sin(α/2)
sin((n + 1)α/2) sin(nα/2)
=
sin(α/2)
Inoltre, la moltiplicazione per numeri complessi di norma unitaria, come ad
esempio eix con x ∈ R è, dal punto di vista geometrico, una rotazione; questo
permette di trovare ancora un’altra forma per le formule di addizione :
cos(α)
sin(α)
cos(β)
sin(β)
cos(α + β)
sin(α + β)
·
=
− sin(α) cos(α)
− sin(β) cos(β)
− sin(α + β) cos(α + β)
intendendo le matrici come rotazioni e il prodotto come composizione.
Esercizi
PN
27. Trovare un’espressione chiusa per k=0 sin2 (kx).
28. Calcolare il prodotto di tutti i lati e le diagonali di un poligono regolare
di n lati inscritto nella circonferenza goniometrica, uscenti da un dato vertice.
29. Calcolare come visto per il coseno sin(nα)
P
P
30. Calcolare in forma chiusa nk=0 cos(kx) e nk=0 cos2 (kx).
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