ESERCIZIO 10 (delle fotocopie)
Enunciato del teorema:
se un numero naturale n divide due numeri naturali allora n divide anche la loro somma
altro modo equivalente di enunciare lo stesso teorema:
Se due numeri naturali sono entrambi multipli dello stesso numero naturale n, allora anche la loro somma è
un multiplo di n
Precisazione: un numero naturale n divide un altro numero naturale a se e solo se la divisione intera a : n dà come resto 0
(vedi il libro di testo a pag. 14), cioè se a è un multiplo di n. Ciò implica che 0 non divide nessun numero, in quanto non si
può dividere nessun numero per 0, quindi n è sempre diverso da 0.
Ipotesi
(b è un multiplo di n, cioè n divide b)
(c è un multiplo di n , cioè n divide c)
,
(indico con a la somma di b e c)
Tesi
(a è un multiplo di n , cioè n divide la somma a)
L’idea della dimostrazione di questo teorema molto importante si basa semplicemente sul raccoglimento a fattor
comune.
DIMOSTRAZIONE
C.V.D.
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Osservazione 1: il teorema si può applicare per ogni valore di n, ad esempio se:
n=2
si avrà il teorema:
la somma di due numeri pari è pari
n=3
si avrà il teorema:
la somma di due multipli di 3 è un multiplo di 3
n=4
si avrà il teorema:
la somma di due multipli di 4 è un multiplo di 4
……
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Osservazione 2: il teorema si può facilmente estendere al caso in cui
, dove
, cioè
se un numero naturale n divide due numeri naturali allora n divide anche la loro differenza
(questa è la versione che abbiamo dimostrato in classe, si fa la stessa dimostrazione di prima utilizzando il
raccoglimento a fattor comune rispetto alla sottrazione invece che alla addizione)
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Osservazione 3: il teorema si può facilmente estendere dal caso di soli due addendi al caso di un numero qualsiasi
di addendi, ad esempio
se un numero naturale n divide quattro numeri naturali allora n divide anche la loro somma
Questo teorema è quindi alla base delle dimostrazioni dei criteri di divisibilità per 2, per 5, per 3, per 9, per 11,
per 4, per 25 applicati a numeri composti da 2 cifre, da 4 cifre, da un numero qualsiasi di cifre.
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Osservazione 4: questo teorema è anche alla base del funzionamento dell’algoritmo euclideo per la ricerca del
massimo comune divisore tra due numeri naturali.
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