Teorema sul limite di una somma
Se lim f ( x ) = l1 e lim g ( x ) = l2 allora lim [ f ( x ) + g ( x )] = l1 + l2
x → x0
x→ x0
x → x0
Il teorema vale anche per i casi in cui x tende a più infinito oppure a – infinito. La dimostrazione è
analoga a quella vista qui sopra. Tutti e tre i teoremi possono essere enunciati in un modo unico e
significativo:
IL LIMITE DI UNA SOMMA È UGUALE ALLA SOMMA DEI LIMITI
……………………………………………………………………………………………………………
Teorema sul limite di un prodotto
Se lim f ( x ) = l1 e lim g ( x ) = l2 allora lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = l1 ⋅ l2
x → x0
x→ x0
x → x0
IL LIMITE DI UN PRODOTTO È UGUALE AL PRODOTTO DEI LIMITI
……………………………………………………………………………………………………………
Teorema sul limite di un rapporto
Se lim f ( x ) = l1 e lim g ( x ) = l2 allora lim
x → x0
x → x0
x→ x0
f ( x ) l1
=
g ( x ) l2
IL LIMITE DI UN RAPPORTO È UGUALE AL RAPPORTO DEI LIMITI
……………………………………………………………………………………………………………
I teoremi sui limiti visti pocanzi permettono di calcolare i valori di combinazioni di funzioni in modo
semplice.
Esempi:
•
(3x + 5) lim 3x + lim 5
lim 3 ⋅ lim x + 5
3x + 5 lim
3 ⋅ 4 + 5 17
x →4
x →4
x→4
lim
=
=
= x →4 x →4
=
=
= 17
x →4 2 x − 7
lim (2 x − 7) lim 2 x + lim (− 7 ) lim 2 ⋅ lim x + (− 7) 2 ⋅ 4 − 7 1
x →4
•
(
)
x→4
x →4
x →4
x →4
lim x 2 − 6 x + 7 = lim x 2 + lim (− 6 x ) + lim 7 = lim x ⋅ lim x + lim (− 6) ⋅ lim x + 7 = 5 ⋅ 5 − 6 ⋅ 5 + 7 = 2
x →5
x →5
x →5
x →5
x →5
x →5
x →5
x →5
Nello svolgere i due esempi si sono applicati i teoremi sui limiti in tutti i passaggi. Nel calcolo rapido
però i passaggi si saltano e per fare i calcoli basta sostituire direttamente il valore a cui tende x nella
funzione.
3x + 5 3 ⋅ 4 + 5 17
=
=
= 17
x →4 2 x − 7
2⋅4 − 7 1
• lim
(
)
lim x 2 − 6 x + 7 = 52 − 6 ⋅ 5 + 7 = 25 − 30 + 7 = 2
x →5
1
Si devono però fare delle considerazioni per i casi in cui in alcuni dei limiti compaiono infinito o zero:
QUATTRO CASI DELLA SOMMA:
l + ∞ = +∞
l − ∞ = −∞
(In tutti questi casi
l
è un numero qualsiasi finito)
+ ∞ + ∞ = +∞
− ∞ − ∞ = −∞
Queste 4 proprietà sono tutte dimostrabili col metodo usato per il teorema del limite della somma. Sono
anche comprensibili in modo intuitivo se pensiamo a infinito come a un numero molto grande.
+ ∞ − ∞ forma indeterminata della somma
Un limite di questo tipo può dare qualsiasi risultato, va valutato caso per caso.
(In tutti questi casi p > 0 e n < 0 )
CASI DEL PRODOTTO:
p ⋅ (+ ∞ ) = +∞
p ⋅ (− ∞ ) = −∞
+ ∞ ⋅ (+ ∞ ) = +∞ − ∞ ⋅ (− ∞ ) = +∞
n ⋅ (+ ∞ ) = −∞
n ⋅ (− ∞ ) = +∞
+ ∞ ⋅ (− ∞ ) = −∞ − ∞ ⋅ (+ ∞ ) = −∞
Queste proprietà sono tutte dimostrabili col metodo usato per il teorema del limite del prodotto. Sono
anche comprensibili in modo intuitivo se pensiamo a infinito come a un numero molto grande. Per il
segno vale sempre la regola del segno nel prodotto.
∞ ⋅ 0 forma indeterminata del prodotto
Un limite di questo tipo può dare qualsiasi risultato, va valutato caso per caso.
……………………………………………………………………………………………………………
(In tutti questi casi l ≠ 0 )
CASI DEL RAPPORTO:
l
=0
∞
0
=0
∞
l
=∞
0
∞
=∞
0
Queste proprietà sono tutte dimostrabili col metodo usato per il teorema del limite del rapporto. Sono
anche comprensibili in modo intuitivo se pensiamo a infinito come a un numero molto grande. Per il
segno vale sempre la regola dei segni nel rapporto.
∞
∞
0
0
1a forma indeterminata del rapporto
2a forma indeterminata del rapporto
Limiti di questi due tipi possono dare qualsiasi risultato, vanno valutati caso per caso.
2
