Numeri, gruppi, polinomi
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A Alessio Russo Numeri, gruppi, polinomi Un’introduzione all’Algebra Nuova edizione Copyright © MMXIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, /A–B Roma () ---- I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. III edizione: febbraio La vera essenza della Matematica è nella sua libertà. George Cantor Indice Premessa 9 1 Principio di induzione e sue applicazioni 1.1 Insiemi, relazioni ed applicazioni . . . . . 1.2 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . 1.4 Un’osservazione finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Aritmetica sui numeri interi 2.1 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo 2.4 Numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Aritmetica modulare 3.1 Congruenza modulo un intero . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Anello degli interi modulo m . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Funzione di Eulero ed equazioni congruenziali . . . . . . 3.4 Aritmetica modulare e grandi numeri . . . . . . . . . . . 3.5 Piccolo teorema di Fermat e applicazioni (crittosistema RSA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Teoria dei gruppi 4.1 Operazioni in un insieme - semigruppi, monoidi 4.2 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Teorema di Lagrange e applicazioni . . . . . . . 4.4 Sottogruppi normali e gruppi quoziente . . . . 4.5 Omomorfismi di gruppi . . . . . . . . . . . . . 7 7 e . . . . gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 16 28 31 . . . . 33 33 36 39 45 . . . . 51 51 53 56 59 . 61 . . . . . 65 66 74 80 87 94 88 Indice 4.6 4.7 Indice Gruppi di permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Azioni di un gruppo e teorema di Sylow . . . . . . . . . . 114 5 Polinomi 5.1 Elementi algebrici e trascendenti . . . . . . . . . . . 5.2 Polinomi in una indeterminata . . . . . . . . . . . . 5.3 Divisibilità nell’anello dei polinomi su un campo . . 5.4 Fattorizzazione nell’anello dei polinomi su un campo 5.5 Radici di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Molteplicità di una radice . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Fattorizzazione in C[x] e in R[x] . . . . . . . . . . . 5.8 Divisibilità e fattorizzazione in Z[x] . . . . . . . . . . 6 Ricerca delle radici 6.1 Campo dei quozienti e caratteristica . . . . 6.2 Polinomio minimo ed estensioni algebriche . 6.3 Campo di spezzamento . . . . . . . . . . . . 6.4 Risolubilità per radicali e gruppo di Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . 125 . 127 . 131 . 137 . 143 . 147 . 148 . 150 . . . . 155 . 155 . 157 . 162 . 168 Bibliografia 183 Indice analitico 185 Premessa Questi appunti sono rivolti essenzialmente agli studenti di quei corsi di laurea, quali ad esempio Matematica e Matematica e Informatica, in cui è previsto un insegnamento introduttivo di Algebra. D’altra parte, poiché le nozioni trattate sono di largo uso in vari settori della matematica, allora queste note potrebbero essere di qualche utilità anche in quei corsi di laurea di indirizzo scientifico in cui si ha comunque l’esigenza di conoscere e di applicare certi concetti di base di tale disciplina. Si è cercato di introdurre l’algebra moderna a partire dalla teoria dei numeri. Infatti, i primi tre capitoli sono dedicati rispettivamente, al principio di induzione e a diverse sue applicazioni, all’aritmetica dei numeri interi e all’aritmetica modulare. Ciò allo scopo di permettere allo studente l’acquisizione graduale di nozioni via via più astratte (come ad esempio quella di classe dei resti, quella di struttura algebrica o quella di isomorfismo) motivandole a partire da situazioni a lui ben note. D’altra parte, non mancano anche delle applicazioni pratiche degli argomenti sviluppati, come ad esempio il crittosistema RSA, volte a mostrare come l’algebra sia utile non solo all’interno della matematica. Il quarto capitolo è invece dedicato allo studio delle proprietà elementari dei gruppi, che costituiscono sicuramente uno degli esempi più importanti ed interessanti di struttura algebrica. Nel quinto capitolo vengono presi in esame i polinomi (con particolare riferimento a quelli a coefficienti negli insiemi numerici noti), studiando proprietà di divisibilità e mostrando come per essi sia possibile sviluppare un’aritmetica per certi versi simile a quella degli interi. Rispetto alla prima edizione si è aggiunto un paragrafo alla fine del quarto capitolo concernente le azioni di un gruppo su un insieme con un’applicazione alla dimostrazione del teorema di Sylow, uno dei risultati più importanti della teoria dei gruppi finiti. Inoltre, la parte riguardante i polinomi è stata ampliata con un capitolo (il sesto ed ultimo del libro) che costituisce un’introduzione elementare alla teoria di Galois. La trattazione, spesso arricchita da riferimenti storici, è corredata da numerosi esercizi (più di duecento in questa edizione), molti dei quali completamente risolti, che consentono non solo una verifica puntuale di quanto studiato, 9 9 10 10 Premessa ma spesso, costituiscono un approfondimento di problematiche appena accennate nella teoria. Fra essi ve ne sono diversi assegnati alle Olimpiadi della Matematica degli ultimi anni. Sono naturalmente in debito verso tutte quelle persone che con le loro osservazioni e suggerimenti mi daranno la possibiltà di migliorare questo lavoro. Alessio Russo
