Numeri, gruppi, polinomi

A
Alessio Russo
Numeri, gruppi, polinomi
Un’introduzione all’Algebra
Nuova edizione
Copyright © MMXIII
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
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via Raffaele Garofalo, /A–B
 Roma
() 
 ----
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III edizione: febbraio 
La vera essenza della Matematica è nella sua libertà.
George Cantor
Indice
Premessa
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1 Principio di induzione e sue applicazioni
1.1 Insiemi, relazioni ed applicazioni . . . . .
1.2 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . .
1.4 Un’osservazione finale . . . . . . . . . . .
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2 Aritmetica sui numeri interi
2.1 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
2.4 Numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica
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3 Aritmetica modulare
3.1 Congruenza modulo un intero . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Anello degli interi modulo m . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Funzione di Eulero ed equazioni congruenziali . . . . . .
3.4 Aritmetica modulare e grandi numeri . . . . . . . . . . .
3.5 Piccolo teorema di Fermat e applicazioni (crittosistema
RSA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Teoria dei gruppi
4.1 Operazioni in un insieme - semigruppi, monoidi
4.2 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Teorema di Lagrange e applicazioni . . . . . . .
4.4 Sottogruppi normali e gruppi quoziente . . . .
4.5 Omomorfismi di gruppi . . . . . . . . . . . . .
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Indice
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Indice
Gruppi di permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Azioni di un gruppo e teorema di Sylow . . . . . . . . . . 114
5 Polinomi
5.1 Elementi algebrici e trascendenti . . . . . . . . . . .
5.2 Polinomi in una indeterminata . . . . . . . . . . . .
5.3 Divisibilità nell’anello dei polinomi su un campo . .
5.4 Fattorizzazione nell’anello dei polinomi su un campo
5.5 Radici di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Molteplicità di una radice . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Fattorizzazione in C[x] e in R[x] . . . . . . . . . . .
5.8 Divisibilità e fattorizzazione in Z[x] . . . . . . . . . .
6 Ricerca delle radici
6.1 Campo dei quozienti e caratteristica . . . .
6.2 Polinomio minimo ed estensioni algebriche .
6.3 Campo di spezzamento . . . . . . . . . . . .
6.4 Risolubilità per radicali e gruppo di Galois
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. 162
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Bibliografia
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Indice analitico
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Premessa
Questi appunti sono rivolti essenzialmente agli studenti di quei corsi di laurea,
quali ad esempio Matematica e Matematica e Informatica, in cui è previsto un
insegnamento introduttivo di Algebra. D’altra parte, poiché le nozioni trattate
sono di largo uso in vari settori della matematica, allora queste note potrebbero
essere di qualche utilità anche in quei corsi di laurea di indirizzo scientifico in
cui si ha comunque l’esigenza di conoscere e di applicare certi concetti di base
di tale disciplina.
Si è cercato di introdurre l’algebra moderna a partire dalla teoria dei numeri. Infatti, i primi tre capitoli sono dedicati rispettivamente, al principio di
induzione e a diverse sue applicazioni, all’aritmetica dei numeri interi e all’aritmetica modulare. Ciò allo scopo di permettere allo studente l’acquisizione
graduale di nozioni via via più astratte (come ad esempio quella di classe dei
resti, quella di struttura algebrica o quella di isomorfismo) motivandole a partire da situazioni a lui ben note. D’altra parte, non mancano anche delle applicazioni pratiche degli argomenti sviluppati, come ad esempio il crittosistema
RSA, volte a mostrare come l’algebra sia utile non solo all’interno della matematica. Il quarto capitolo è invece dedicato allo studio delle proprietà elementari
dei gruppi, che costituiscono sicuramente uno degli esempi più importanti ed
interessanti di struttura algebrica. Nel quinto capitolo vengono presi in esame
i polinomi (con particolare riferimento a quelli a coefficienti negli insiemi numerici noti), studiando proprietà di divisibilità e mostrando come per essi sia
possibile sviluppare un’aritmetica per certi versi simile a quella degli interi.
Rispetto alla prima edizione si è aggiunto un paragrafo alla fine del quarto
capitolo concernente le azioni di un gruppo su un insieme con un’applicazione
alla dimostrazione del teorema di Sylow, uno dei risultati più importanti della
teoria dei gruppi finiti. Inoltre, la parte riguardante i polinomi è stata ampliata
con un capitolo (il sesto ed ultimo del libro) che costituisce un’introduzione
elementare alla teoria di Galois.
La trattazione, spesso arricchita da riferimenti storici, è corredata da numerosi esercizi (più di duecento in questa edizione), molti dei quali completamente risolti, che consentono non solo una verifica puntuale di quanto studiato,
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Premessa
ma spesso, costituiscono un approfondimento di problematiche appena accennate nella teoria. Fra essi ve ne sono diversi assegnati alle Olimpiadi della
Matematica degli ultimi anni.
Sono naturalmente in debito verso tutte quelle persone che con le loro
osservazioni e suggerimenti mi daranno la possibiltà di migliorare questo lavoro.
Alessio Russo