Topologia di R

TOPOLOGIA DI Rn
Dato un insieme A si definisce distanza, se esiste, una funzione
d:A×A→R
tale che:
1. ∀X, Y ∈ A, d(X, Y ) = d(Y, X), (la distanza è simmetrica),
2. ∀X, Y ∈ A, d(X, Y ) ≥ 0,
3. d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y ,
4. ∀X, Y, Z ∈ A, d(X, Y ) ≤ d(X, Z) + d(Z, Y ) (disuguaglianza triangolare).
Ogni insieme su cui è possibile definire una distanza viene detto spazio metrico. In particolare,
Rn è uno spazio metrico, in cui si definisce la distanza euclidea, che è la naturale estensione a
dimensione qualunque della distanza definita nel piano:
∀ X = (x1 , . . . , xn ), Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn :
p
d(X, Y ) = |X − Y | = kX − Y k = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )n .
Osserviamo che questa definizione corrisponde alle definizioni di distanza già note in R e nel
piano R2 :
p
1. se x, y ∈ R, d(x, y) = (x − y)2 = |x − y|.
p
2. se X = (x1 , x2 ), Y = (y1 , y2 ) ∈ R2 , d(X, Y ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 è la lunghezza del
segmento XY , calcolato utilizzando il teorema di Pitagora.
Quando Y = O = (0, . . . , 0), cioè è l’origine, si ha che la distanza di X dall’origine (detta anche
norma di X) est:
q
d(X, O) = kXk = x21 + . . . + x2n .
Definizione. Dato X ∈ Rn , si dice intorno sferico di centro X e raggio ρ l’insieme dei punti di Rn
che hanno distanza da X minore di ρ:
B(X, ρ) = Iρ (X) = {Y ∈ Rn : d(X, Y ) < ρ} .
Se rileggiamo questa definizione nelle dimensioni basse abbiamo che:
1. Se x ∈ R, B(x, ρ) = {y ∈ R : |x − y| < ρ} = (x − ρ, x + ρ), cioè l’intorno sferico è un intervallo
aperto, costituito da tutti i punti che hanno distanza inferiore a ρ dal punto x.
2. Se X ∈ R2 ,
n
o
p
B(X, ρ) = Y ∈ R2 : (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < ρ =
= Y ∈ R2 : (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < ρ2
è il cerchio di centro X e raggio ρ, esclusa la circonferenza di centro X e raggio ρ.
3. Se X ∈ R3 , B(X, ρ) risulta essere la sfera piena di centro X e raggio ρ, esclusa la superficie
sferica di centro X e raggio ρ.
Nell’uso della lettera I è implicita l’idea che si sta parlando di ”intorni”. Quando si usa la lettera
B invece, si fa riferimento al fatto che si sta parlando di ”sfere”: in questo contesto, in inglese si usa
la parola ”ball” (ball of centre X and radius ρ).
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Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che un punto X ∈ A è interno ad A se esiste un
intorno B(X, ρ) tale che B(X, ρ) ⊆ A.
Esempi.
1. Se consideriamo un intervallo A = [a, b] ⊂ R, tutti i punti di (a, b) sono punti interni di A,
mentre gli estremi {a}, {b} non lo sono.
2. Dato un rettangolo pieno in R2 , tutti i punti che stanno dentro il rettangolo sono punti interni,
mentre i punti sul perimetro non lo sono.
3. Un segmento nel piano non ha punti interni.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che A è aperto in Rn se tutti i suoi punti sono punti
interni, cioè:
∀X ∈ A, ∃ρ > 0 B(X, ρ) ⊆ A.
In particolare, ∅ e Rn sono insiemi aperti in Rn .
Esempi.
1. Ogni intervallo aperto (a, b) è un sottoinsieme aperto di R.
2. Gli intorni sferici in qualunque dimensione sono insiemi aperti.
3. Nel piano, un rettangolo pieno privo del perimetro è aperto.
4. Lo stesso rettangolo, considerato come sottoinsieme di R3 non è aperto.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che X ∈ Rn è un punto di frontiera di A se:
∀ρ > 0 :
B(X, ρ) ∩ A 6= ∅
e
B(X, ρ) ∩ (Rn \ A) 6= ∅
cioè ogni intorno di X interseca sia A che il suo complementare.
Si dice frontiera di A, e si indica con ∂A, l’insieme dei punti di frontiera di A.
Spesso la frontiera di un insieme viene anche detta bordo (”boundary” in inglese).
Esempi.
1. Se A è un qualunque intervallo in R, la sua frontiera è costituita dagli estremi dell’intervallo
(indipendentemente dal fatto che l’intervallo li comprenda o no).
2. La frontiera di un segmento in R2 è composta dal segmento stesso, inclusi gli estremi.
3. La frontiera di un rettangolo in R2 è il perimetro del rettangolo stesso.
4. Sia A = n1 , n ∈ N \ {0} . A non ha punti interni. Il punto 0 e tutti i punti di A sono di
frontiera; ∂A = A ∪ {0}.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che A è chiuso se ∂A ⊆ A.
∅ e Rn sono insiemi chiusi di Rn .
Osserviamo che un insieme può essere né aperto né chiuso. L’esempio più semplice è proprio un
intervallo del tipo [a, b). Gli insiemi ∅ e Rn sono chiusi (e aperti) in Rn .
Si dimostra inoltre che:
Proposizione.
A ⊆ Rn è aperto
⇐⇒
Rn \ A è chiuso.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice chiusura di A, e si indica con A, il più piccolo
insieme chiuso che contiene A. Si può dimostrare che
A = A ∪ ∂A.
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Esempi.
1. Ogni intervallo chiuso è un insieme chiuso di R.
2. N è un insieme chiuso di R.
3. Tutti i punti di Q sono punti di frontiera. La sua chiusura è Q = R. (Quando la chiusura di
un insieme coincide con lo spazio ambiente si dice che l’insieme è denso nello spazio ambiente).
Esercizio. Rappresentare nel piano cartesiano gli insiemi:
A = (1, 2) × (1, 2)
B = [1, 2] × [1, 2]
C = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2, 1 < y < 2} D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}
E = [−1, 3) × [−2, 2)
F = {(x, y) ∈ R2 : −1 < x ≤ 2, −2 ≤ y < 2}.
verificando che sono tutti rettangoli. Descriverne inoltre la frontiera e la chiusura, graficamente e
insiemisticamente.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che X ∈ Rn è un punto di accumulazione di A se
∀ρ > 0
B(X, ρ) ∩ (A \ {X}) 6= ∅.
cioè se ogni intorno di X interseca A in punti diversi da X.
I punti di A che non sono di accumulazione per A si dicono punti isolati. Ciò significa che esiste
ρ > 0 tale che B(X, ρ) ∩ (A \ {X}) = ∅, ossia esiste un intorno di X che interseca A solo in X.
Osservazioni.
1. Un punto di accumulazione può appartenere all’insieme come non appartenergli.
2. Tutti i punti interni di A sono punti di accumulazione di A.
3. Se A ha punti di accumulazione, necessariamente contiene infiniti elementi. Viceversa, se un
insieme contiene un numero finito di elementi (si dice anche che è un insieme finito), allora
tutti i suoi punti sono isolati.
Lo studente può provare a dimostrare queste ultime due osservazioni per esercizio.
Esempi.
1. Tutti i punti di un intervallo chiuso sono punti di accumulazione dell’intervallo stesso.
2. N è costituito da punti isolati.
3. Tutti i punti di R sono punti di accumulazione di Q.
4. Sia A = n1 , n ∈ N \ {0} . Tutti i punti di A sono punti isolati. A ha 0 come unico punto di
accumulazione.
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Tutte le definizione date finora possono essere estese a tutti gli spazi metrici, cioè agli insiemi su
cui è possibile definire una distanza. Si possono estendere a tutti gli spazi metrici anche le definizioni
che diamo nel seguito.
Definizione. Un insieme A ⊆ Rn si dice limitato se
∃M > 0 ∀X ∈ A,
X ∈ B(O, M ).
Equivalentemente, potremo dire che ∃M > 0 tale che A ⊆ B(O, M ), o anche che ∃M > 0, ∀X ∈ A,
d(X, O) = kXk < M .
Definizione. Un insieme A ⊆ Rn si dice compatto se è chiuso e limitato.
Esempi.
1. Gli intervalli chiusi sono compatti di R. I segmenti che contengono i propri estremi sono
compatti in Rn , per ogni n > 0.
2. Un rettangolo con il perimetro incluso è un compatto di R2 .
3. Una curva chiusa è un compatto di R2 .
4. Il grafico della parabola y = x2 , cioè l’insieme dei punti {(x, x2 ) ∈ R2 : x ∈ R} è un insieme
chiuso ma non limitato di R2 .
Definizione. Data una funzione f definita su un insieme A a valori in Rn , o più in generale a valori
in uno spazio metrico, si dice che f è limitata su A se l’insieme f (A) è un sottoinsieme limitato di
Rn .
In altre parole, f : A → Rn è limitata su A se ∃M > 0, ∀x ∈ A, kf (x)k < M .
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Per esempio la funzione
z) = (sin y, cos(x + z)) è limitata in R3 , dato che
q f : R → R , f (x, y,
√
√
k(sin y, cos(x + z))k = sin2 y + cos2 (x + z) ≤ 1 + 1 = 2.
Appunti redatti da Luisa Mazzi per il corso di Analisi Matematica I, corsi di Laurea di Ingegneria
per l’Ambiente e il Territorio e Ingegneria della Protezione del Territorio.
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