I N F I N I T
(Tk) D I
I
T R I A N G O L I
T A R
T A
G
L
I A
(possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Com’è noto, la somma dei termini dell’ k - esima riga del Triangolo di
Tartaglia (che poi sono i coefficienti combinatori dei polinomi (a + b)n
è sempre 2n. Infatti : (k-esima riga)
0
1 = 20
1
1
1
2
1
3
4
…
somme
1
1
2
3
4
2 = 21
1
4 = 22
1
3
6
…
8 = 23
1
4
16 = 24
…
1
Il Triangolo di Tartaglia riporta quindi tutte le
(n)
k
combinazioni di n
elementi a k a k.
1
combinazioni
Il Triangolo di Tartaglia è simmetrico (o “palindromo”) rispetto alla linea
verticale centrale
1
2
6
20
…
la parte destra del Triangolo è identica alla parte sinistra.
Nel Triangolo noto di Tartaglia, che ora possiamo anche chiamare T1, il primo
della serie infinita, per ciò che interessa questo lavoro (sulle geometrie k + 2
dimensionali , in questo caso almeno 1+2= 3= tridimensionali) ci sono i numeri
politopici (dalla relativa voce di Wikipedia):
“Serie dei numeri politopici [modifica]
Ogni diversa diagonale del triangolo rappresenta una successione di numeri n-topici (una
estensione alle n-dimensioni dei numeri poligonali, per esempio la 2° diagonale è composta dai
numeri triangolari: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,..
La 3° diagonale dai numeri tetraedrici (3 dimensioni), la 4° dai numeri pentatopici (4
dimensioni), la 5° dai numeri 5-topici (5 dimensioni), e così via.[3]
Qui le n-dimensioni vengono connesse alle n-diagonali , mentre, come vedremo,
in T2 vengono connesse alle n-righe.
Nella voce “Solido platonico” invece, si dice che :
“In altre dimensioni [modifica]
Può essere interessante notare che in uno spazio a quattro dimensioni esistono sei politopi
regolari, mentre da cinque dimensioni in su ne esistono solamente tre (gli analoghi del cubo,
del tetraedro regolare e dell'ottaedro regolare). Naturalmente nello spazio bidimensionale i
poligoni regolari sono invece infiniti. “
oltre al seguente schema dei solidi platonici, che mostra le
immagini dei solidi platonici:
2
Proprietà combinatorie [modifica]
Un poliedro convesso è un solido platonico se :
1. tutte le sue facce sono poligoni regolari convessi congruenti,
2. nessuna delle sue facce interseca le altre se non negli spigoli, e
3. in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce.
Ogni solido platonico può essere anche connotato da una notazione {p, q} dove
p = il numero di lati di ogni faccia (o il numero di vertici di ogni faccia) e
q = il numero di facce che si incontra in ogni vertice (o il numero di spigoli che si
incontrano in ogni vertice).
La sigla {p, q}, chiamata notazione di Schläfli, dà una descrizione combinatoria del poliedro.
La notazione di Schläfli è esplicata nella tabella sottostante.
Poliedro
Vertici Spigoli Facce Notazione di Schläfli
Posizione
dei vertici
tetraedro
4
6
4
{3, 3}
3.3.3
cubo
8
12
6
{4, 3}
4.4.4
ottaedro
6
12
8
{3, 4}
3.3.3.3
dodecaedro
20
30
12
{5, 3}
5.5.5
icosaedro
12
30
20
{3, 5}
3.3.3.3.3
3
In rosso la nostra evidenza che per il cubo, i numeri, i valori 6, 12 e 8
sono quelli che corrispondono al cubo tridimensionale (n = 3) nella successiva
terza riga per n = 3, terza dimensione) del successivo T2, e presenti anche nella
tabella citata dal libro “La quarta dimensione” nella Nota finale (Rif.1).
Questo per mostrare l’evidenza delle connessioni tra geometria tridimensionale
ed n-dimensionale tramite T1, e le geometrie n-dimensionali tramite gli N-cubi
e T2, a cominciare dal nostro noto cubo tridimensionale, tutte cose legate ai
coefficienti binomiali di T1 e alle relative formule combinatorie,
opportunamente adattate agli ipercubi (vedi Nota finale).
A proposito di cubi e teoria dei giochi, ricordiamo bene il cubo di Rubrik: era
già complicato con tre dimensioni (tranne che per pochi geni), figuriamoci con n
dimensioni!
Abbiamo però notato che, se moltiplichiamo ogni termine di una riga di T1 per
le potenze crescenti di 2 (o, come vedremo, di un qualsiasi numero k), il
secondo Triangolo di Tartaglia, che ora possiamo chiamare T2 ( e quindi T1
quello già noto, e ora solo il primo della nostra serie infinita Tk):
- perde la sua simmetria destra - sinistra, diventando asimmetrico rispetto
alla linea centrale;
- dà, come somma dei termini della k - ma riga, le potenze di 2 (o, in
generale, di k per ogni Tk):
4
1 * 2^0
1 * 2^0
1 * 2^0
1 * 2^0
…
1 * 2^1
2 * 2^1
3 * 2^1
…
1 * 2^2
3 * 2^2
…
1 * 2^3
…
T2
Scrivendo i relativi risultati, abbiamo (anche per la 4° riga):
n-esima riga
somme = potenze di 3
0
1 = 30
1
1
1
2
1
3
1
3 = 31
2
4
9 = 32
4
6
12
27 = 33
8
4
1
8
24
32
…
…
…
….
….
16
….
81 = 34
….
I valori in blu 1, 8, 24, 32, 16 della quarta fila, se scritti al contrario
(immagine speculare di T2, ma equivalente), sono i numeri di ipercubi,
facce cubiche, facce quadrate, lati e vertici per un cubo a 4 dimensioni o
4 – cubo, analogamente a come i numeri della riga precedente sono quelli
relativi al cubo normale, mentre l’ultimo numero, 81 e 27 rispettivamente
(potenze di 3) sono la somma di tutti i valori di una riga. Tali numeri
sono, inoltre, in ottima connessione con i modi di vibrazioni fisiche sia
5
delle stringhe bosoniche (24) che delle superstringhe (8). Abbiamo infatti
oltre ai numeri 8 e 24, i numeri 32 = 24 + 8 e 16 = 8 +8 sempre quindi
connessi ad 8 e 24. Le funzioni di Ramanujan corrispondenti a tali
numeri sono:
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx 142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
w'
−
e 4 φw' (itw')
1
8=
. (1)
3
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
e
dx
∫0 cosh πx
142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
−
w'
t w'
4
(
)
e
φ
itw
'
w
'
.
24 =
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
(2)
Vedi Nota finale sulle possibili applicazione di T2.
Di conseguenza, la 5° riga, qui rappresentata con puntini, darebbe
i numeri relativi ad un cubo a 5 dimensioni, o 5 – cubo, evitando i
complessi calcoli esposti alla pagina riportata nella nota finale, tratta dal
recente libro “La quarta dimensione” , della recente serie editoriale
“Mondo Matematico” (Rif.1)
In T2, infatti, ogni elemento numeri è dato dal doppio del numero
superiore a sinistra, più il numero superiore a destra (nel Triangolo di
6
Tartaglia tradizionale, o T1, ricordiamo, si ha invece come somma dei
due numeri della riga precedente: Ora invece la 5° riga si calcola
facilmente con 2 + 8 =10, 16+ 24 =40, 48+32 = 80, 64+ 16 = 80, 16*2=32
Quindi la 5° riga risulta:
1
10
40
80
80
32 somma 243 =3^5
…
…
…
…
…
… somma 729 =3^6
E così via per tutte le righe successive.
E così via per qualsiasi altro k, per es. k = 3 per T3 , abbiamo come
somma di ogni riga le potenze di k +1 = 3 + 1 = 4
T3
1 * 3^0
1 * 3^0
1 * 3^0
1 * 3^0
1 * 3^0
…
1 * 3^1
2 * 3^1
3 * 3^1
4 * 3^1
…
1 * 3^2
3 * 3^2
6 * 3^2
…
scrivendo direttamente i risultati:
7
1 * 3 ^3
4 * 3^3
…
1 * 3^4
…
1 = 40
1
1
1
1
4 = 41
3
6
9
16 = 42
9
27
64 = 43
27
1
12
54
108
81
256= 44
…
…
…..
….. .
….
….
In questi nuovi triangoli, un termine è dato da quello superiore a
sinistra moltiplicato per k, in questo caso per 3, sommato al termine
superiore a destra, per es.
54 = 9 * 3 + 27 = 27 + 27 = 54
(vedi elementi sottolineati)
Quindi abbiamo infiniti Triangoli di Tartaglia, che chiameremo
T1, T2, T3, …. Tk dove la somma di tutti gli elementi di ogni
k-esima riga è una potenza di (k+1), e quindi (k+1)n.
Per il Triangolo di Tartaglia noto, esso coincide con T1, con k =1, e
infatti la somma dei termini di una riga è sempre una potenza di
k + 1 = 1 + 1 = 2, e quindi (1 + 1)n = 2n.
Ora, poiché T1 è collegato notoriamente alle combinazioni
dei coefficienti binomiali, gli altri Tk sembrano collegati alle
disposizioni con ripetizione di n elementi, poiché la loro formula è
(k+1)n = k’n, cosi come n! è la formula delle permutazioni di
n elementi (n! entra nella formula dei singoli elementi di T1 ).
Ecco così come da T1, legato alle combinazioni binomiali
8
di (a + b)n, si passa con Tk alle disposizioni con ripetizione.
Ma i numeri binomiali sono coinvolti ovviamente anche nelle formule
della nota finale, seconda pagina.
Ora le potenze di tipo pn, e cioè quando k + 1 = p con
p numero primo, sono importanti, con i loro inversi 1/pn,
per i ottenere i cosiddetti numeri p-adici, sui quali si basa il
fisico francese Alain Connes per costruire il suo spazio adelico
e un operatore di Riemann per connetterli con una fisica
quantistica adelica, collegata a sua volta con gli zeri della
funzione zeta di Riemann, anch’essa basata sugli inversi
dei soli numeri primi 1/p elevati ad un numero complesso s,
anziché agli inversi delle potenze di p come nei numeri p-adici.
E poiché la spaziatura degli gli zeri della funzione zeta è
collegata alla spaziatura dei livelli energetici degli atomi, ci
potrebbe essere alla fin fine una possibile connessione, peraltro
ancora da scoprire (per il momento è solo sospettata), tra gli
infiniti Tk con k + 1 = k’ = numero primo.
In tal caso, gli infiniti Tk collegati agli infiniti numeri
primi k’ = k + 1 , sarebbero un nostro ulteriore contributo, basato
sulla teoria dei numeri (Tk e numeri primi k’ ) alle teorie
sulla fisica quantistica, connesse a loro volta con le teorie di stringa.
9
T1 è anch’esso collegato con i numeri di Fibonacci, poiché questi
sono la somma (e quindi una partizione) di alcuni coefficienti binomiali
appartenenti a righe successive.
Conclusioni
Concludendo, molti vecchi e nuovi risultati della Teoria dei numeri
in generale e dei numeri primi in particolare, come per esempio questa
serie infinita di Tk, hanno avuto e potrebbero avere in futuro un ruolo
molto importante nella fisica quantistica e sue conseguenze (teorie di
stringa, ecc.) e alcune connessioni che abbiamo già trovate ed esposte nei
lavori già sul sito o altri in preparazione.
NOTA FINALE
sulla visualizzazione della quarta dimensione e sulle formule per
determinare i numeri per ogni k- esima riga di T2, e quindi per ogni
dimensione desiderata.
Due pagine riportate dal Rif. 1 :
10
11
Come si vede nella tabella, la seconda , terza, quarta e quinta riga,
corrispondenti alla prima, seconda, terza e quarta dimensione,
riportano i valori di T2 scritti al contrario, cioè come nella sua versione
12
speculare ma equivalente. Tutto ciò è evidente che evita facilmente i
calcoli indicati nella pagina seguente per un maggior numero k di
dimensioni, continuando, fin dove è possibile ( in base alle dimensioni del
foglio di carta usato a tale scopo) a costruire T2 fino alla riga/dimensione
considerata, con calcoli, quindi, più facili e veloci rispetto ai calcoli
equivalenti con i binomiali per la sola medesima riga tenendo conto che
ogni k dimensione richiede k+1 termini da mettere nella stessa riga.
Riferimenti
1)”La quarta dimensione” di Raul Ibanez Torres, RBA Italia S.r.l
13
