Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta I
Lezione del giorno 15 dicembre 2008
Proprietà del coefficiente binomiale
n
Abbiamo visto che, fissati i numeri naturali n,m, (con mn) il coefficiente binomiale   conta il
m
numero delle combinazioni semplici di n elementi presi ad m ad m, o equivalentemente il numero
dei sottoinsiemi di cardinalità m contenuti in un insieme di cardinalità n.
Fissato il numero n, i valori possibili di m sono m=1,2….,n.
Ma tenendo conto del significato insiemistico, possiamo estendere per convenzione il valore del
n
coefficiente binomiale anche al caso m=0, definendo   =1, coerentemente con l’osservazione che
0
esiste 1 solo sottoinsieme di cardinalità 0 (quello vuoto) contenuto in un insieme di cardinalità n.
Dunque i possibili coefficienti binomiali con n fissato sono i seguenti:
n
n
 n  n
  =1,   , ……., 
 ,   .
0
1
 n - 1  n 
 n  n(n  1)(n  2)....(n  n  1) n!
Notare che si ha   =
= =1 , quindi i 2 valori “estremi” (il primo e
m!
n!
n
l’ultimo) sono ambedue uguali a 1.
n
Costruiamo ora una formula alternativa per il calcolo di   (ma all’inizio valida solo nel caso
m
m≠0, m≠n).
Nella formula originale:
n 
n(n  1)(n  2)....(n  m  1)
  =
m!
m
supponendo che sia m≠0, m≠n, moltiplichiamo numeratore e denominatore per (n-m)!, ottenendo la
nuova formula:
n 
n(n  1)...(n  m  1)[(n - m)! ]
n(n  1)...(n  m  1)(n - m)(n - m - 1).....1
n!
  =
=
=
m! (n - m)!
m! (n - m)!
m! (n - m)!
m
Otteniamo dunque la formula alternativa:
n 
n!
  =
(se m≠0, m≠n) .
m! (n - m)!
m
Tale formula non ha senso nei casi m=0, m=n, perché contiene un termine 0! al quale non abbiamo
attribuito significato. Ma possiamo dare significato alla formula anche nei casi m=0, m=n,
definendo convenzionalmente 0!=1, per ritrovare i valori già noti:
n
n
n!
n!
  =
  =
=1
=1
 0  0!(n - 0)!
 n  n! (n - n)!
Utilizzando questa formula alternativa per il coefficiente binomiale, si ottiene il:
Teorema: Se n è un numero naturale, comunque preso un intero m con 0≤m≤n si ha:
n  n

  = 

m  n - m
Dimostrazione.
Usiamo la formula alternativa per sviluppare il secondo membro ed arrivare al primo:
n

n 
n!
n!
n!

 =
=
=
=  
 n - m  (n - m)! [n - (n - m)]! (n - m)! m! m! (n - m)!  m 
Dal Teorema precedente si ha che, fissato il numero naturale n e facendo variare m=0,1,…,n, i
coefficienti binomiali:
n n n
n  n  n
  ,   ,   , …… , 
 , 
 ,  
0
1
2
n
2
n
1
     

 
 n
sono uguali a coppie simmetriche (equidistanti rispetto al “centro” della successione):
n n n n 
  =   ,   = 
 , etc….
 0   0  1   n - 1
n 
Esempio: se n=5 i coefficienti binomiali   con m=0,1,2,3,4,5,sono uguali a coppie:
m
5
5
5 
5
5 
5
  =1 ,   =5 ,   =10 ,   =10 ,   =5 ,   =1
0
1 
 2
3
 4
5
Possiamo disporre i coefficienti binomiali in una struttura triangolare (detta triangolo di
Tartaglia-Pascal) in cui in ogni riga si sistemano i coefficienti che hanno n fissato ed m variabile
da 0 ad n. Per esempio le prime 4 righe del triangolo sono:
Riga 1
Riga 2
Riga 3
Riga 4
1 
  =1
0
1
  =1
1
 2
 2
 2
  =1
  =2
  =1
0
1 
 2
3
 3
3 
 3
  =1
  =3
  =3
 
0
1 
 2
 3
 4
 4
 4
 4
  =1
  =4
  =6
  =4
0
1 
 2
3 
=1
 4
  =1
 4
Notiamo che in ogni riga ogni termine (tranne quelli estremi) si ottiene come somma dei 2 termini
 3   2  2  4  3  3 
che lo sovrastano nella riga superiore: per esempio   =   +   ,   =   +  
 2  1   2   2   1   2 
Ciò dipende dalla seguente formula:
 n   n - 1   n - 1
 + 

  = 
 m   m - 1  m 
Dimostrazione della formula:
Sviluppiamo il secondo membro, usando la formula alternativa per il calcolo del coefficiente
binomiale:
 n - 1   n - 1
(n - 1)!
(n - 1)!
(n - 1)!
(n - 1)!

 + 
 =
+
=
+
 m - 1  m  (m - 1)![(n - 1) - (m - 1)]! m! (n - m - 1)! (m - 1)!(n - m)! m! (n - m - 1)!
Per calcolare il comune denominatore delle 2 frazioni, è utile osservare che:
(m-1)!m=m!, (n-m-1)!(n-m)=(n-m)!
dunque il comune denominatore è m!(n-m)! e sviluppando i calcoli si ottiene:
 n - 1   n - 1 (n - 1)! m  (n - 1)!(n - m) (n - 1)!(m  n - m)

 + 
 =
=
=
m
1
m
m! (n - m)!
m! (n - m)!

 

n 
(n - 1)! n
n!
=
=
=   .
m! (n - m)! m! (n - m)!  m 
La formula precedente permette di ricavare i termini di un riga del triangolo di Tartaglia-Pascal
(tranne i 2 estremi che sono sempre uguali ad 1) conoscendo quelli della riga superiore e
sommandoli a 2 a 2. Per esempio dalla conoscenza della riga numero 4:
 4
  =1
0
 4
  =4
1 
 4
  =6
 2
 4
  =4
3 
si possono ricavare subito i termini della riga numero 5:
5
5
5 
5
  =1   =1+4=5   =4+6=10   =6+4=10
0
1 
 2
3
 4
  =1
 4
5 
  =4+1=5
 4
5
  =1
5
e poi quella della riga 6 e così via.
Sviluppo della potenza di un binomio secondo Newton
Se a,b sono numeri reali >0, sono ben note le formule per calcolare il quadrato e il cubo del binomio
(a+b):
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Esaminando la riga numero 2 e la riga numero 3 del triangolo di Tartaglia-Pascal, possiamo scrivere
le precedenti formule anche nel modo seguente:
 2
 2
 2
(a+b)2 =   a2+   ab+   b2
0
1 
 2
3
 3
3 
 3
(a+b)3 =   a3+   a2b+   ab2+   b3
0
1 
 2
 3
Queste formule sono un caso particolare di una formula generale (dovuta a Newton) che permette di
calcolare (per ogni numero naturale n) la potenza (a+b)n, considerando tutti i prodotti delle potenze
di base a per le potenze di base b (in cui gli esponenti di a decrescono da n a 0 e quelli di base b
crescono da 0 a n), moltiplicando tali prodotti ordinatamente per gli elementi della riga numero n
del triangolo di Tartaglia-Pascal e sommando i risultati:
n
n
n
 n  2 n-2  n  n-1  n  n
 a b + 
 ab +   b
(a+b)n =   an+   an-1b+   an-2b2+……+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
Dimostrazione della formula di Newton:
Si usa il principio di induzione. Per n=1 la formula dà l’eguaglianza:
1 
1
(a+b)1=   a1+   b1
1
0
1  1
che é banalmente vera in quanto   =   =1 .
 0  1
Supponiamo vera la formula per n, e dimostriamola vera per n+1: la tesi è dunque la seguente
 n  1 n+1  n  1 n  n  1 n-1 2
 n  1 2 n-1  n  1 n  n  1 n+1
 a + 
 a b+ 
 a b +……+ 
 a b + 
 ab + 
 b
(a+b)n+1 = 
(*)
0 
1 
2 
 n -1 
n 
 n  1
Sfruttiamo l’identità (a+b)n+1=(a+b)(a+b)n e l’ipotesi che la formula è vera per n, ottenendo, per la
proprietà distributiva:
(a+b)n+1=(a+b)n(a+b)=
n
n
n
 n  2 n-2  n  n-1  n  n
 a b + 
 ab +   b ]=
=(a+b)[   an+   an-1b+   an-2b2+……+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
n
n
n
 n  3 n-2  n  2 n-1  n  n
 a b + 
 a b +   ab +
=   an+1+   anb+   an-1b2+……..…+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
n
n
n
 n  2 n-1  n  n  n  n+1
 a b + 
 ab +   b =
+   anb+   an-1b2+   an-2b3+…………+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
n
n n
n n
n n 
n
 ] abn+   bn+1
=   an+1+[   +   ] anb+[   +   ] an-1b2+.......+[   + 
0 
1   0 
 2  1 
 n   n - 1
n
n
 n  1
 ,
e si ottiene, come si voleva, il secondo membro della (*), tenendo conto che   =1= 
0 
0 
n
 n  1
 n   n - 1   n - 1
  =1= 
 , ed applicando la formula (già dimostrata)   = 
 + 
 (da cui si ottiene
n
 n  1
 m   m - 1  m 
 n  1  n   n 
 =   +   ; poi sostituendo n con n+1 ed con 2:
sostituendo n con n+1 ed m con 1: 
1   0   1 
 n  1  n   n 

 =   +   etc…).
 2  1   2 
Principio dei cassetti.
Si basa sul seguente risultato di insiemistica: se A,B sono insiemi finiti, con A=n, B=m, e se
n>m , comunque data una funzione f: A → B, esistono sempre almeno 2 elementi diversi in A che
hanno in B lo stesso corrispondente mediante f (tale risultato è ovvio perché sappiamo che, se n>m,
la funzione f certamente non è iniettiva).
Se pensiamo ad A come un insieme di n “oggetti”, a B come un insieme di m “cassetti”, e alla
funzione f come un modo di inserire ogni oggetto in un cassetto, il principio afferma semplicemente
che se il numero di oggetti è maggiore di quello dei cassetti, certamente esistono almeno 2 oggetti
diversi che saranno inseriti nello stesso cassetto.
Applicazioni del principio dei cassetti:
1) Il paradosso delle “strette di mano”.
Supponiamo che A sia un insieme di n persone che si riuniscono, e che ognuna stringa la mano ad
alcune altre (al limite anche a nessuna o a tutte le altre). Si può allora concludere con certezza che
esistono almeno 2 persone diverse che hanno stretto la mano allo stesso numero di persone.
Infatti se B è l’insieme dei numeri interi da 0 ad (n.-1), possiamo definire una funzione f: A → B,
associando ad ogni persona il numero di strette di mano. Ovviamente però non può avvenire
contemporaneamente che i valori 0 e (n-1) siano corrispondenti di elementi di A (se esiste una
persona che ha stretto le mani a tutte le altre, non ne esiste una che non ha stretto le mani a
nessuno). Quindi possiamo restringere il codominio B, sostituendolo con un insieme C ottenuto
togliendo da B quel numero (0 oppure (n-1)) che non è corrispondente di nessun elemento di A.
Otteniamo così una funzione f: A → C, dove A=n, C=n-1<n: applicando il principio dei
cassetti si ha la tesi.
2) Il problema del “bersaglio”.
Si supponga di colpire con 101 colpi (tutti a segno) un bersaglio quadrato con il lato di lunghezza
70 cm. Allora certamente esistono almeno 2 colpi sul bersaglio che distano meno di 10 cm.
Infatti basta suddividere il bersaglio in 100 quadrati, ognuno con il lato di lunghezza 7 cm.,
considerare l’insieme A dei 101 colpi e l’insieme B dei 100 quadrati, e definire poi la funzione
f: A→ B che associa ad ogni colpo di A il quadrato in cui esso cade. Per il principio dei cassetti
esistono almeno 2 colpi che cadono nello stesso quadrato, e geometricamente la loro distanza non è
superiore alla lunghezza della diagonale che è uguale a 7 2 cioè circa 9,9 cm.