Matematica Discreta I
Lezione del giorno 21 novembre 2007
Possiamo disporre i coefficienti binomiali in una struttura triangolare (detta triangolo di
Tartaglia-Pascal) in cui in ogni riga si sistemano i coefficienti che hanno n fissato ed m variabile
da 0 ad n. Per esempio le prime 4 righe del triangolo sono:
Riga 1
Riga 2
Riga 3
Riga 4
1
=1
0
1
=1
1
2
2
2
=1
=2
=1
0
1
2
3
3
3
3
=1
=3
=3
0
1
2
3
4
4
4
4
=1
=4
=6
=4
0
1
2
3
=1
4
=1
4
Notiamo che in ogni riga ogni termine (tranne quelli estremi) si ottiene come somma dei 2 termini
3 2 2 4 3 3
che lo sovrastano nella riga superiore: per esempio = + , = +
2 1 2 2 1 2
Ciò dipende dalla seguente formula:
n n - 1 n - 1
+
=
m m - 1 m
Dimostrazione della formula:
Sviluppiamo il secondo membro, usando la formula alternativa per il calcolo del coefficiente
binomiale:
n - 1 n - 1
(n - 1)!
(n - 1)!
(n - 1)!
(n - 1)!
+
=
+
=
+
m - 1 m (m - 1)![(n - 1) - (m - 1)]! m! (n - m - 1)! (m - 1)!(n - m)! m! (n - m - 1)!
Per calcolare il comune denominatore delle 2 frazioni, è utile osservare che:
(m-1)!m=m!, (n-m-1)!(n-m)=(n-m)!
dunque il comune denominatore è m!(n-m)! e sviluppando i calcoli si ottiene:
n - 1 n - 1 (n - 1)! m (n - 1)!(n - m) (n - 1)!(m n - m)
+
=
=
=
m! (n - m)!
m! (n - m)!
m - 1 m
n
(n - 1)! n
n!
=
=
= .
m! (n - m)! m! (n - m)! m
La formula precedente permette di ricavare i termini di un riga del triangolo di Tartaglia-Pascal
(tranne i 2 estremi che sono sempre uguali ad 1) conoscendo quelli della riga superiore e
sommandoli a 2 a 2. Per esempio dalla conoscenza della riga numero 4:
4
=1
0
4
=4
1
4
=6
2
4
=4
3
si possono ricavare subito i termini della riga numero 5:
5
5
5
5
=1 =1+4=5 =4+6=10 =6+4=10
0
1
2
3
4
=1
4
5
=4+1=5
4
5
=1
5
e poi quella della riga 6 e così via.
Sviluppo della potenza di un binomio secondo Newton
Se a,b sono numeri reali >0, sono ben note le formule per calcolare il quadrato e il cubo del binomio
(a+b):
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Esaminando la riga numero 2 e la riga numero 3 del triangolo di Tartaglia-Pascal, possiamo scrivere
le precedenti formule anche nel modo seguente:
2
2
2
(a+b)2 = a2+ ab+ b2
0
1
2
3
3
3
3
(a+b)3 = a3+ a2b+ ab2+ b3
0
1
2
3
Queste formule sono un caso particolare di una formula generale (dovuta a Newton) che permette di
calcolare (per ogni numero naturale n) la potenza (a+b)n, considerando tutti i prodotti delle potenze
di base a per le potenze di base b (in cui gli esponenti di a decrescono da n a 0 e quelli di base b
crescono da 0 a n), moltiplicando tali prodotti ordinatamente per gli elementi della riga numero n
del triangolo di Tartaglia-Pascal e sommando i risultati:
n
n
n
n 2 n-2 n n-1 n n
a b +
ab + b
(a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+……+
0
1
2
n - 2
n - 1
n
Dimostrazione della formula di Newton:
Si usa il principio di induzione. Per n=1 la formula dà l’eguaglianza:
1
1
(a+b)1= a1+ b1
1
0
1 1
che é banalmente vera in quanto = =1 .
0 1
Supponiamo vera la formula per n, e dimostriamola vera per n+1: la tesi è dunque la seguente
n 1 n+1 n 1 n n 1 n-1 2
n 1 2 n-1 n 1 n n 1 n+1
a +
a b+
a b +……+
a b +
ab +
b
(a+b)n+1 =
(*)
0
1
2
n -1
n
n 1
Sfruttiamo l’identità (a+b)n+1=(a+b)(a+b)n e l’ipotesi che la formula è vera per n, ottenendo, per la
proprietà distributiva:
(a+b)n+1=(a+b)n(a+b)=
n
n
n
n 2 n-2 n n-1 n n
a b +
ab + b ]=
=(a+b)[ an+ an-1b+ an-2b2+……+
0
1
2
n - 2
n - 1
n
n
n
n
n 3 n-2 n 2 n-1 n n
a b +
a b + ab +
= an+1+ anb+ an-1b2+……..…+
0
1
2
n - 2
n - 1
n
n
n
n
n 2 n-1 n n n n+1
a b +
ab + b =
+ anb+ an-1b2+ an-2b3+…………+
0
1
2
n - 2
n - 1
n
n
n n
n n
n n
n
] abn+ bn+1
= an+1+[ + ] anb+[ + ] an-1b2+.......+[ +
0
1 0
2 1
n n - 1
n
n
n 1
,
e si ottiene, come si voleva, il secondo membro della (*), tenendo conto che =1=
0
0
n
n 1
n n - 1 n - 1
=1=
, ed applicando la formula (già dimostrata) =
+
(da cui si ottiene
n
n 1
m m - 1 m
n 1 n n
= + ; poi sostituendo n con n+1 ed con 2:
sostituendo n con n+1 ed m con 1:
1 0 1
n 1 n n
= + etc…).
2 1 2
