sei esercizi risolti sui triangoli rettangoli File - TED

Altri esercizi risolti sui Triangoli rettangoli
b = a ⋅ sen β
c = a ⋅ cos β
b = c ⋅ tg β
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(1)
(2)
(3)
1) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 2 2


a = ?

γ = ?
a =?
β = 45°
c =?
γ =?
b=2 2
β = 45°
c =?
Conoscendo un cateto e il lato opposto possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare l’ipotenusa:
b
2 2
2 2
2
b = a ⋅ sen β ricavo
→ a =
=
=
=2 2⋅
=4
sen β sen 45°
2
2
2
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 45° = 45°
Siccome γ = β il triangolo è isoscele per cui anche i cateti sono uguali, dunque c = b = 2 2
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
Potevamo anche utilizzare il teorema (2) per calcolare l’altro cateto:
2
c = a ⋅ cos β = 4 ⋅ cos 45° = 4 ⋅
=2 2
2
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2) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
a = 6

b = ?
β = ?

γ = 60°
γ = 60°
a=6
c =?
b =?
β =?
c =?
L’altro angolo acuto γ si ricava come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 60° = 30°
Possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare il cateto b :
1
b = a ⋅ sen β = 6 ⋅ sen 30° = 6 ⋅ = 3
2
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare c :
3
c = a ⋅ cos β = 6 ⋅ s cos 30° = 6 ⋅
=3 3
2
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
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3) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 10

β = ?
γ = ?

a = 26
γ =?
a = 26
b = 10
c =?
β =?
c =?
Conoscendo un cateto e l’ipotenusa possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare l’angolo β :
b 10 5
→ sen β = =
=
b = a ⋅ sen β ricavo
a 26 13
Con l’aiuto della calcolatrice scientifica si può calcolare, approssimato, l’angolo β . Bisogna calcolare 5/13 e
poi applicare (usando il tasto di seconda funzione) la funzione inversa del seno al valore così calcolato.
5
 ≅ 22,62°
 13 
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β ≅ 90° − 22 ,62° ≅ 67 ,38°
Si ottiene così: β = sen −1 
Per calcolare in modo esatto l’altro cateto c bisogna però prima calcolare in modo esatto il coseno di β :
2
25
144 12
5
cos β = + 1 − sen 2 β = + 1 −   = 1 −
=
=
169
169 13
 13 
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare l’altro cateto:
12
c = a ⋅ cos β = 26 ⋅ = 24
e il problema è risolto.
13
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4) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
a = 6 + 2

b = ?
γ = ?

β = 15°
γ =?
a= 6+ 2
b =?
c =?
β = 15°
c =?
L’altro angolo acuto γ si ricava come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 15° = 75°
Possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare il cateto b :
6 − 2 6−2
b = a ⋅ sen β = 6 + 2 ⋅ sen 15° = 6 + 2 ⋅
=
=1
4
4
(
)
(
)
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare c :
c = a ⋅ cos β =
=
(
)
6 + 2 ⋅ sen 75° =
(
)
6+ 2
=
6+ 2 ⋅
4
(
6+ 2
4
)
2
=
6 + 2 12 + 2
=
4
8+4 3
=2+ 3
4
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
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5) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 24

a = ?
γ = ?

c = 70
γ =?
a =?
β =?
b = 24
β =?
c = 70
Conoscendo i due cateti possiamo utilizzare il teorema (3) per calcolare l’angolo β :
b 24 12
 12 
b = c ⋅ tg β ricavo
→ tg β = =
=
ricavo
→ β = tg −1   ≅ 18,92°
c 70 35
 35 
L’altro angolo acuto γ si ricava come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β ≅ 90° − 18,92° ≅ 71,08°
Per calcolare in modo esatto l’ipotenusa bisogna però prima calcolare in modo esatto il coseno di β :
cos β = +
1
1 + tg 2 β
1
=+
 12 
1+  
 35 
2
1
=
1+
144
1225
=
1
1369
1225
=
35
37
Posso ora utilizzare il teorema (2) per calcolare l’ipotenusa:
70
37
c
→ a =
=
= 70 ⋅
= 74
c = a ⋅ cos β ricavo
35
cos β  35 
 
 37 
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
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6) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 8

a = ?
γ = ?

β = 25°
c =?
a =?
γ =?
b=8
β = 25°
c =?
Conoscendo un cateto e il lato opposto possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare l’ipotenusa:
8
b
→ a =
=
≅ 18,93
b = a ⋅ sen β ricavo
sen β sen 25°
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare l’altro cateto:
c = a ⋅ cos β ≅ 18,93 ⋅ cos 25° ≅ 17 ,16
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 25° = 65°
Non essendoci angoli particolari i valori di a e c sono stati approssimati con l’uso della calcolatrice.