COPERTINA
Titolo: Quel che vedo è sempre vero
Tematica affrontata: Numeri, algoritmi, strutture.
Relazioni e funzioni.
Forme dell’argomentazione e strategie del pensiero matematico.
Ordine di scuola: secondo ciclo - I biennio
Obiettivi specifici di apprendimento dell'attività:
Usare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione formale per
indicare e per definire relazioni e funzioni (Relazioni e funzioni).
Distinguere tra verifica e dimostrazione; verificare una congettura in casi
particolari o produrre controesempi per confutarla (Forme dell’argomentazione e
strategie del pensiero matematico).
Linguaggio naturale e linguaggio simbolico (linguaggio degli insiemi, dell’algebra
elementare, delle funzioni, della logica matematica) (Forme dell’argomentazione e
strategie del pensiero matematico).
Utilizzare in modo consapevole strumenti di calcolo automatico (Numeri, algoritmi,
strutture).
Tempo medio per svolgere l'attività in classe: 2 ore (escluse le prove di verifica)
INTRODUZIONE
Questa attività si colloca all'inizio del calcolo algebrico, quindi all'inizio del biennio
(anche se in taluni casi la questione può essere affrontata negli anni immediatamente
precedenti, e può essere ripresa negli anni successivi). Sono prese in considerazione
congetture semplici, verificabili numericamente e dimostrabili algebricamente, in
modo da giustificare l'affermazione: Quel che vedo è sempre vero.
Come vedremo in seguito, entrano in gioco due punti cruciali dell'apprendimento:
- la formalizzazione (esprimere con lettere relazioni enunciate a parole),
- la differenza tra verifica in un numero finito di casi e dimostrazione in generale.
L'attività può essere introdotta quando gli studenti già sanno sia calcolare il valore di
un’espressione numerica e semplificare una semplice espressione letterale, sia usare il
foglio elettronico per rendere più veloce la verifica di una congettura e la ricerca di
eventuali controesempi.
L'attività, che riguarda una situazione problematica (verifica di un'affermazione
attraverso l'implementazione nel foglio elettronico e dimostrazione della stessa),
permette agli studenti di affinare le capacità critiche nell’ambito delle forme di
ragionamento, di consolidare le regole per il calcolo del valore di un'espressione
letterale e, inoltre, di acquisire consapevolezza nell'uso degli strumenti di calcolo
automatizzato.
DESCRIZIONE DELL’ATTIVITA’
(inizio sceneggiatura prima fase)
Prima fase
L’attività viene svolta in aula e successivamente in laboratorio.
L’insegnante:
Propone agli studenti la seguente affermazione:
«La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente
è sempre un numero dispari»
Invita gli studenti, riuniti in gruppi, a verificare con esempi numerici la verità
dell’affermazione o a trovare eventuali controesempi:
7 2 6 2 49 36 13;
14 2 132 196 169 27;
...
Evidenzia come il computer e in particolare l’uso del foglio elettronico rendono il
lavoro più veloce.
Nella prima colonna del foglio elettronico inserisce alcuni numeri, nella seconda i
corrispondenti numeri precedenti (deve apparire un foglio elettronico con dentro i
dati :esempio il foglio1 del file numeri1.xls)
Completa le colonne successive con i corrispondenti quadrati e la differenza dei
quadrati. ( deve poter apparire per ogni colonna che si riempie la formula e il
risultato della formula: appare 1°quadrato e la relativa formula B6^2 e quindi il
foglio di lavoro si arricchisce di una nuova colonna e diventa come il foglio2 del file
numeri1.xls...così anche per il 2°quadrato, la differenza fino ad arrivare al foglio3
del file numeri1.xls)
Pone la questione di rendere generale la relazione tra i numeri della prima e della
seconda colonna. (appare la formula che permette di calcolare il successivo di un
numero facendo riferimento alla cella dove si trova il numero stesso: esempio la
formula B6-1 e quindi appare il foglio con la colonna riempita)
Prospetta la formalizzazione dell'espressione n-1 come formula che esprime il
numero precedente ad n (è opportuno allargare il discorso anche ad n+1 come il
successivo di n).
Verifica l'affermazione presentata allargando l'esplorazione ad un numero più
ampio di casi e soprattutto a numeri alti.
(a questo punto bisogna costruire un foglio di lavoro che permetta diverse
esplorazioni: vedi il foglio1 del file numeri2.xls . Ci possono essere due obiettivi da
evidenziare anche con un’opportuna animazione:
1. la costruzione del foglio di lavoro che deve essere costruito con formule che
permettano di usarlo in modo dinamico su tantissimi numeri, cambiando solo il primo
numero e il passo; questo motiva anche l’utilizzo del supporto informatico per
verificare l’affermazione in un numero molto elevato di casi (in questo caso si anima
la costruzione del foglio con le formule?)
2. l’uso vero e proprio del foglio con tanti numeri e con numeri anche molto grandi,
vedi ad esempio il foglio2 o il foglio3 del file numeri2.xls (in questo caso può essere
opportuno mettere a disposizione del docente un foglio che si possa modificare?))
Fa notare che non s’incontrano casi che contraddicono la congettura proposta
(controesempi).
(fine sceneggiatura prima fase)
(inizio sceneggiatura seconda fase)
Seconda fase
L’insegnante:
Sollecita la riflessione su un aspetto del problema: Che cosa ci assicura che
l’affermazione «La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato
del suo precedente è un numero dispari» è sempre vera?
Formalizza algebricamente l’espressione « differenza tra il quadrato di un numero
naturale e il quadrato del suo precedente» ed invita gli studenti a svilupparla:
n2–(n–1)2 = n2–n2+2n–1 = 2n–1
(in questa fase bisognerebbe pensare a una opportuna “animazione” che metta in
risalto la formalizzazione dell’espressione e il successivo sviluppo della formula
…come? Non siamo riusciti a pensare modalità opportune, vedete voi cosa potete
fare o se invece è meglio non fare nulla di “animato”)
Prospetta l’espressione 2n come formula generatrice di un numero pari e quindi
2n–1 come formula generatrice dei numeri dispari.
Stimola gli studenti a ricercare la differenza tra verifica e dimostrazione in una
congettura e a giustificare l'espressione: Quel che vedo è sempre vero. Si tratta di
confrontare verifiche aritmetiche di un'affermazione in un numero limitato di casi
con una dimostrazione algebrica.
Nota: l’insegnante può fare osservare che la formalizzazione poteva anche essere
espressa come (n+1)2 – n2 = 2n+1 e che 2n+1 è ugualmente una formula generatrice
di numeri dispari.
(fine sceneggiatura seconda fase)
(inizio sceneggiatura terza fase)
Terza fase
Per consolidare l'esperienza, l'insegnante prospetta agli studenti altre situazioni in
cui intervengono scritture del tipo 2n+1, 2n e altre forme algebriche.
L'insegnante propone di osservare, verificare, dimostrare le seguenti affermazioni:
la somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari (e anzi è un
multiplo di 4);
la somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari;
la somma di due numeri pari è un numero pari;
il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari;
il prodotto di due numeri, di cui almeno uno è pari, è pari.
(fine sceneggiatura terza fase)
INDICAZIONI METODOLOGICHE
Difficoltà didattiche e superamento di esse
All’attività è legata l’acquisizione di varie abilità, fra cui soprattutto l'attenzione nella
lettura, la comprensione di enunciati matematici e la scoperta di regolarità negli
insiemi numerici.
Durante il primo ciclo di studi (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado) gli
studenti hanno acquisito familiarità con i numeri interi e con le operazioni con essi.
Hanno compreso il significato di numero primo (e imparato a riconoscerlo), di divisore
e di multiplo. Hanno anche individuato semplici regolarità di comportamento dei
numeri naturali (ad esempio, ad un numero pari segue sempre un numero dispari, e
viceversa) e hanno verificato in casi particolari proprietà elementari dei numeri.
L’attività proposta riguarda una semplice proprietà: essa consente di affrontare alcune
difficoltà di base che, per molti studenti, rappresentano ostacoli per un corretto
procedere nell’apprendimento matematico.
Una delle difficoltà che gli studenti incontrano, a tutti i livelli scolastici, è la traduzione
delle relazioni fornite da un contesto problematico in una formalizzazione; nel nostro
caso, molti studenti hanno difficoltà ad esprimere con le lettere le relazioni enunciate
nel problema.
Gli errori più frequenti in algebra sono legati alla mancata comprensione del passaggio
dall'aritmetica all'algebra. Il docente deve sempre far presente che l'aritmetica dà
significato all'algebra, fornisce esempi e permette un controllo. E' perciò consigliabile
un frequente riferimento a numeri, visti come casi particolari di una proprietà generale
espressa in termini letterali; in altre parole occorre evitare che l'algebra sia vista come
una pura manipolazione di simboli privi di significato.
C'è poi una difficoltà specifica del primo biennio del secondo ciclo: la comprensione
della differenza concettuale tra verifica (la proprietà considerata è valida in un numero
finito di casi, anche altissimo, come sono quelli presenti nella tabella del foglio
elettronico) e dimostrazione (la proprietà è valida in ogni caso). In altri termini: “Quel
che vedo è sempre vero!”. Anche perché, mentre durante gli anni della ex Scuola
Media, si compiono generalmente solo attività di verifica di talune proprietà (ad
esempio la validità della relazione pitagorica è verificata attraverso il conteggio di
quadretti per particolari terne pitagoriche), nel primo biennio del secondo ciclo si
affronta la dimostrazione.
A questo livello scolare non è detto che uno studente che dimostra correttamente
teoremi di geometria euclidea, abbia veramente compreso il significato concettuale
della dimostrazione. A proposito di dimostrazioni, sottolineiamo che l'attività proposta
presenta una dimostrazione in campo non geometrico: la dimostrazione riguarda tutti
i settori della matematica.
L’attività proposta mira al superamento di tali difficoltà attraverso una metodologia
definita *dell’apprendistato cognitivo*, (collegamento con il file Apprendistato.doc)
intesa come imitazione consapevole delle strategie scelte e proposte dal docente: lo
studente non si limita a riprodurre i comportamenti dell’esperto (il docente), ma
diviene consapevole dei motivi che portano l’esperto a scegliere certe strategie e non
altre (vedi *Indicazioni metodologiche, Matematica 2003*, pag. 33). (collegamento
con il sito dove si trovano i materiali di Matematica 2003)
Nell’attività considerata l’insegnante fornisce alcuni suggerimenti. Inizia prospettando
le espressioni n–1 e n+1 come formule che esprimono il numero precedente e il
successivo al numero n; successivamente presenta l’espressione 2n come formula
generatrice di un numero pari e 2n+1 (ovvero 2n–1) come formula generatrice di un
numero dispari. L’acquisizione consapevole di tali formule da parte degli studenti li
condurrà facilmente alla dimostrazione algebrica dell’enunciato considerato.
Il processo fondamentale da attivare nella mente degli studenti è il passaggio dalla
validità dell’enunciato per i numeri presenti nella tabella del foglio elettronico (anche
se sono tanti, sono comunque in numero finito) alla validità generale (per ogni
numero n) espressa dalle uguaglianze algebriche dimostrate:
n 2 (n 1) 2 2n 1
(n 1) n 2n 1 .
oppure
Le formule precedenti non vanno proposte all'inizio dell'attività: è didatticamente più
efficace partire dall'esame di una tabella per una verifica numerica della congettura e
successivamente passare alla dimostrazione algebrica. Con questo tipo di attività si
chiarisce il ruolo di esempi e controesempi.
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APPROFONDIMENTO DISCIPLINARE
PER IL DOCENTE
Lo studio dei numeri naturali e delle sue proprietà ha occupato nel corso dei secoli un
posto rilevante nell’ambito della ricerca matematica.
Il settore concernente tali studi è normalmente chiamato Aritmetica. Gli sviluppi
dell’aritmetica elementare (questioni riguardanti la divisibilità e i numeri primi, la
teoria delle congruenze, l’analisi indeterminata o diofantea, …) sono oggi indicati
usualmente con il nome di Teoria dei Numeri.
I problemi relativi ai numeri naturali sono numerosi e spesso possono essere enunciati
in modo estremamente semplice. Alcuni di essi riguardano proprietà dei numeri
facilmente verificabili e dimostrabili; altri, invece, sono difficilissimi, nonostante
l’apparenza semplice dell’enunciato, e non sono ancora stati risolti. Un classico
esempio è rappresentato dalla congettura di Goldbach: ”Ogni numero pari maggiore di
2 può essere scritto come somma di due numeri primi”.
L'attività proposta riguarda proprietà semplici da enunciare e di facile dimostrazione.
Essa tuttavia presenta legami con
- la logica: si tratta di tradurre situazioni in un linguaggio simbolico, nel nostro caso il
linguaggio algebrico; il discorso rientra nei rapporti fra sintassi (calcolo con lettere) e
semantica (i numeri rappresentati da quelle lettere);
- l'informatica: un computer, o un semplice foglio elettronico, o perfino una
calcolatrice numerica, permettono verifiche veloci, anche con numeri grandi;
- alcuni concetti di teoria dei numeri, in particolare le congruenze; da proprietà
elementari dei numeri naturali (la somma di un numero pari e di un numero dispari è
un numero dispari, la somma di due pari è un numero pari, il prodotto di due dispari è
dispari, ecc.) si passa naturalmente a capire l'anello delle classi di resto modulo 2,
cioè l'insieme con due elementi {0, 1}, dove 1+1 = 0 ecc.
ELEMENTI PER PROVE DI VERIFICA
1. Nel seguente test vero/falso, si chiede di riconoscere le espressioni algebriche che
possono rappresentare certe somme, qualora si indichino in modo opportuno i numeri
di partenza. Ad esempio, nell'esercizio 1 sono vere la risposta a) (se i numeri dispari
sono indicati con 2n+1 e 2n+3) e la risposta b) (se i numeri dispari sono indicati con
2n–3 e 2n–1), mentre sono false le risposte c) e d), qualunque sia il modo di indicare i
numeri di partenza.
L’insegnante può scegliere di richiedere o meno la motivazione delle affermazioni. In
effetti, a livello teorico, per dimostrare la falsità di certe affermazioni bisognerebbe
introdurre opportune congruenze; naturalmente nella pratica didattica è bene limitarsi
a considerazioni (corrette) basate sul buon senso o su opportuni esempi.
Per ogni affermazione indica se è vera o se è falsa.
La somma di due numeri dispari consecutivi si può indicare con la scrittura:
Vero
Falso
a)
4(n+1)
b)
4(n–1)
c)
4n+1
d)
4n–1
La somma di due numeri pari consecutivi si può indicare con la scrittura:
Vero
Falso
a)
4(n–2)
b)
4(n–1)
c)
4n–1
d)
4n–2
La somma di tre numeri pari consecutivi si può indicare con la scrittura:
Vero
Falso
a)
6(n–1)
b)
6n
c)
3n
d)
6n+8
e)
6n+4
La somma di tre numeri dispari consecutivi si può indicare con la scrittura:
Vero
Falso
a)
6(n–1)
b)
6n
c)
3n
d)
6n+8
e)
6n-3
2. Nella seguente proposta invece si vuole verificare se gli alunni hanno compreso il
significato di dimostrazione algebrica e il ruolo di esempi e controesempi.
Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false:
“La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3”
“La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari”
“Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo”
“La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari”
SPUNTI PER ALTRE ATTIVITÀ CON GLI STUDENTI
L'attività può essere presentata autonomamente o, meglio, inserita in un percorso più
articolato che comprende le altre unità: Diverse scritture per una formula, Non è vero
che è sempre vero, Sarà vero ma non ci credo e Condizione necessaria ma non
sufficiente di Matematica 2003, Numeri e algoritmi. Per scaricare il testo, si veda alla
sezione Materiali.
Nell’ottica di un insegnamento-apprendimento sensato dell’algebra si può fare
riferimento anche ai materiali del pacchetto formativo multimediale “Algebra fra
tradizione e rinnovamento”: Diverse scritture per un numero, Costruzione di formule,
Numeri figurati. Per scaricare il testo, si veda alla sezione Materiali
Segnaliamo inoltre alcune osservazioni ed esercizi.
1. Dopo avere svolto l'attività, si può notare che:
- la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi non solo è sempre dispari, ma
più precisamente è la somma dei due numeri consecutivi considerati; per esempio
7 2 6 2 13 6 7; 14 2 132 27 13 14; ... ;
e la dimostrazione corrispondente è una bella applicazione della scomposizione in
fattori della differenza di due quadrati:
(n 1) 2 n 2 (n 1 n) (n 1 n) n 1 n
- è anche vero che ogni numero dispari è la differenza dei quadrati di due numeri
consecutivi; basta leggere le formule precedenti da destra verso sinistra:
2n 1 (n 1) 2 n 2
- un’applicazione della stessa formula a volte utile permette il calcolo del quadrato di
un numero noto il quadrato del numero precedente o successivo.
Per calcolare 512 si può fare 502+50+51=2500+101=2601; questo si spiega se si
rilegge la formula come: (n 1) 2 n 2 2n 1 n 2 n (n 1) .
Analogamente 492=502–50–49=2500–99=2401.
2. Risolvere e commentare il seguente problema:
Due persone sono nate in anni diversi, ma festeggiano il compleanno lo stesso giorno.
Se la somma delle loro età attuali è dispari, negli anni futuri la somma delle loro età
sarà pari o dispari? E il prodotto?
Se il prodotto delle loro età attuali è dispari, negli anni futuri la somma delle loro età
sarà pari o dispari?
Risoluzione. Se la somma delle due età attuali è dispari, allora si tratta di un numero
pari e uno dispari. Anche negli anni futuri, una delle due età sarà espressa da un
numero pari e l'altra da un numero dispari. La somma sarà quindi sempre dispari e il
prodotto sempre pari.
Se il prodotto delle due età attuali è dispari, allora si tratta di due numeri dispari.
Negli anni futuri, le due età saranno entrambe pari oppure entrambe dispari; in
entrambi i casi, la somma sarà pari.
3. Risolvere e commentare il seguente rompicapo:
Ciascuna delle persone che ha partecipato ad un ricevimento ha dato un certo numero
di strette di mano (non necessariamente a tutti; anzi, non si esclude nemmeno che
due persone si siano stretta la mano più volte). Dimostrare che il numero di quelli che
ne hanno dato un numero dispari, è pari.
Risoluzione. Se associamo ad ogni persona il numero delle strette di mano date, e poi
sommiamo tutti questi numeri, il risultato deve essere pari, perché ogni stretta di
mano coinvolge due persone. Abbiamo quindi una somma pari con molti addendi (le
strette di mano date dalle varie persone): fra questi addendi, alcuni possono essere
pari, ma quelli dispari sono in numero pari (altrimenti la somma sarebbe dispari).
DOCUMENTAZIONE E MATERIALI
(questi materiali sono di Matematica 2003, di cui si è discusso per renderlo accessibile
all'interno del sito INDIRE)
*Diverse scritture per una formula* [3_DIVERS.PDF]
* Non è vero che è sempre vero* [5_NON.PDF]
* Sarà vero ma non ci credo* [6_SAR_V.PDF]
*Condizione necessaria ma non sufficiente* [7_CONDIZ.PDF]
(Questi materiali sono tratti dal pacchetto formativo multimediale “Algebra fra
tradizione e rinnovamento”. I primi tre file si trovano in particolare sul disco Equipeguida nella sezione Didattica, il filmato invece si trova sul disco n°1 )
*Diverse scritture per un numero* [PDAR01.doc]
* Costruzione di formule* [PDAR04.doc]
* Numeri figurati* [PDAR08.doc]
*Filmato della lezione n°1 del prof. Arzarello* [2-ARZARELLO-1°LEZIONE.MPEG]
N.B. è necessario pensare se è utile mettere in rete tutto il materiale del
pacchetto formativo multimediale ” Algebra fra tradizione e rinnovamento”
(è molto ricco e forse può servire anche ad altri gruppi).
In alternativa, come ho fatto per il file Apprendistato.doc, vi devo inviare
anche i tre file scritti sopra e il filmato della lezione del prof. Arzarello.
Ditemi cosa è meglio.
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. La Matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di
verifica per un nuovo curricolo di matematica (Scuola primaria e Scuola secondaria di
primo grado).
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
AAVV, Matematica 2003. La Matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di
verifica per un nuovo curricolo di matematica (Ciclo secondario).
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
PISA 2003 Valutazione dei quindicenni a cura dell’OCSE, Roma, Armando Armando,
2004
AAVV, Algebra fra tradizione e rinnovamento. Pacchetto formativo multimediale per
docenti di Scuola Superiore. M.I.U.R, Liceo Scientifico “Vallisneri”, U.M.I.,2005
SITOGRAFIA
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Didattica/didattica.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
PROPOSTA DI ATTIVITÀ PER IL CORSISTA
(da condividere e discutere in rete)
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il percorso didattico relativo;
preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative alla
situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuto in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta
didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di
significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.
