C
Definizione Algebrica. Un numero complesso z è un numero
della forma
x + iy
(1)
√
dove x e y sono numeri reali e i = −1 è la cosiddetta unità immaginaria, cioè un numero il cui quadrato è uguale a −1:
i2 = −1.
x è chiamata la parte reale del numero complesso z, x =Re(z).
y è chiamata la parte immaginaria del numero complesso z, y =Im(z).
L’insieme dei numeri complessi è indicato con C.
Osservazione. I numeri reali possono essere visti come particolari numeri complessi, precisamente quelli con y = 0.
L’insieme C si può costruire nel modo seguente.
Definizione Analitica. I numeri complessi z = x+iy, z 0 = x0 +iy 0 ,
..., sono i punti (x, y), (x0 , y 0 ), ... del piano R2 di coordinate rettangolari
cartesiane x e y, x0 e y 0 , ....
Il piano R2 i cui punti sono identificati con gli elementi di C è chiamato il
piano complesso.
I numeri reali x, x0 , ... sono qui identificati con i punti (x, 0), (x0 , 0), ...
dell’asse x, che, riferito al piano complesso, è chiamato asse reale.
I numeri y, iy 0 , ..., chiamati immaginari puri, sono i punti (0, y), (0, y 0 ), ...
sull’asse y, chiamato asse immaginario del piano complesso.
Definizione Vettoriale.
Un numero complesso può essere identi
ficato con il vettore xy di coordinate x e y, partente dall’origine:
1
2
y
6
x + iy
3
ϕ
]
x
-
Chiamiamo argomento di z, l’angolo polare ϕ di z, cioè l’angolo che z,
come vettore, forma con l’asse reale, e lo indicheremo con
ϕ = Arg(z).
Definizione. Il modulo, o valore assoluto, di z = x + iy è definito
come
p
|z| = x2 + y 2 .
Il modulo di un numero complesso è la lunghezza del corrispondente vettore nel piano complesso. Per come è definito, il modulo di un numero
complesso è un numero reale sempre positivo eccetto in 0 dove si annulla:
z 6= 0 ↔ |z| > 0.
Esempio. |3 + 4i| =
√
32 + 42 = 5.
Definizione. I numeri complessi
z = x + iy
e
z̄ = x − iy
sono detti coniugati.
Due numeri coniugati complessi sono situati simmetricamente rispetto
all’asse reale, sono uno il coniugato dell’altro e hanno uguale modulo:
z = z,
Esempio. 2 − 5i = 2 + 5i.
|z| = |z|.
3
Definizione. La somma di due numeri complessi è definita come
(x + iy) + (x0 + iy 0 ) = x + x0 + i(y + y 0 ).
(2)
Ne segue che l’opposto di z = x+iy è il numero complesso −z = −x−iy.
Vettorialmente, la somma e la sottrazione di numeri complessi seguono le
regole della somma e della sottrazione di vettori.
Esempio. 3 + 5i + 4 − 6i = 7 − i.
Teorema 1 La somma su C è associativa, commutativa, ammette
lo 0 come identità, e ogni numero complesso ha il suo opposto.
Riassumiamo dicendo che C è un gruppo abeliano rispetto alla somma.
Definizione. Il prodotto di due numeri complessi è definito come
(x + iy) · (x0 + iy 0 ) = xx0 − yy 0 + i(xy 0 + x0 y).
(3)
Esempio. (2 + 3i)(1 − 2i) = 2 + 6 − 4i + 3i = 8 − i.
Osservazione. In riferimento alla forma algebrica (1), le regole (2) e (3)
si riducono alla condizione che tutte le operazioni con i numeri complessi siano
eseguite come per i polinomi, ricordando la proprietà dell’unità immaginaria:
i · i = i2 = −1.
Le seguenti proprietà sono valide in C:
Teorema 2 Valgono le seguenti:
|z| − |z 0 | 6 |z + z 0 | 6 |z| + |z 0 |,
zz = |z|2 .
Dall’ultima equazione del teorema precedente si ottiene che l’inverso di
un numero complesso non nullo è il suo coniugato moltiplicato per l’inverso
del quadrato del suo modulo:
1
z
=
z
|z|2
.
4
La divisione si riduce al prodotto tra numeri complessi, moltiplicando e
dividendo per il coniugato del divisore:
z0
z0z
z0z
=
= 2.
z
zz
|z|
Teorema 3 Il prodotto su C è associativo, commutativo, ammette 1
come identità, ogni numero complesso non nullo ha il suo inverso,
ed è distributivo rispetto alla somma.
Riassumiamo dicendo che C è un campo.
Il prodotto in C ha una notevole interpretazione geometrica. Si ha infatti
che:
Teorema 4 Per il prodotto su C valgono le seguenti:
|zz 0 | = |z||z 0 |
e
Arg(zz 0 ) = Arg(z) + Arg(z 0 ).
Con il prodotto, i moduli sono moltiplicati e gli argomenti sommati. Geometricamente, ne segue che il prodotto tra z e z 0 si riduce a ruotare il vettore z
dell’angolo ϕ0 (in senso antiorario se ϕ0 > 0) e a moltiplicare la sua lunghezza
per |z 0 |.
Algebricamente parlando, un numero complesso è un elemento dell’estensione C del campo dei numeri reali R, ottenuta dall’aggiunta al campo R di
una radice i del polinomio x2 + 1.
Il campo C così ottenuto è chiamato il campo dei numeri complessi.
La principale proprietà del campo C è di essere algebricamente chiuso,
cioè ogni polinomio a coefficienti in C si spezza in fattori lineari. La proprietà
di essere algebricamente chiuso è espressa dal teorema di Gauss:
Teorema 5 (Teorema fondamentale dell’Algebra) Ogni polinomio
di grado n > 1 a coefficienti in C ha almeno una soluzione in C.
Esempio. z 2 +1 = z 2 −i2 = (z −i)(z +i), z 2 +2z +2 = (z +1+i)(z +1−i).
5
Esercizi. Semplifica le seguenti espressioni complesse
(−4 − 3i + 3 + 3i)2 − (1 + 2i + 4 − i) · (−4i)2
2 + 4i − (−4 + 4i) − ((−3 − 2i) · (4 + 4i))2
(1 + 2i)2 − 1 − 2i − (−2 + 3i) −
(1 − i)2
2
81 + 16i
390 − 160i
(2 + 2i) · (−1 − i)
(−4 − 3i) · (−2)
· −1 − i − (−4)
−
44 17
− i
25 25
−12 − 4i
−4 + 4i
· (−1 − i − 4 + i)
−2 − 3i
(4 + 3i) · (−3) · (1 + 3i) · (−3 − 3i)
2
22
−
i
195 585
2
1 + 4i
+ (−1 − i)2
(−1 − i) · (−3 − i)
−
47 3
− i
10 5
(1 − 4i − 1 − i) · (2i − 4 − 3i)
−1 + i
−2 ·
−1 − 4i
85 85
+ i
4
4
2
40 + 42i
−1 + 4i − (2 + 4i) − 4 − 3i
2 2
4 − 2i
−112 + 384i
(4 + i) · (4 + 2i)
· (2i)2
2
(−4)
7
− − 3i
2
1 + 4i + (4 + i + 3 + 2i)2
41 + 46i
−3 − 2i − (−4 − 2i)
· (3 − 3i)2 · (3 − 4i + 2 + 4i)
2
(−3 + 4i)
(−2 + 4i − 4 + 3i)2
(−4 + 3i)2
2
2
− (1 − 2i) · (−1) + (4 + 2i)2
432 126
+
i
125 125
−6887 + 2184i
−538 − 354i
