Corso di Laurea in
Sicurezza igienico-sanitaria degli alimenti
Metodologie statistiche per l’analisi del rischio
ELEMENTI DI PROBABILITÀ
PER L’ANALISI DEL RISCHIO
Facoltà di Medicina Veterinaria, Università di Padova
Docente: Dott. L. Corain
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
1
SOMMARIO
¾ Teoria della probabilità: concetti generali
¾ Modelli probabilistici per le variabili discrete:
distribuzione binomiale e binomiale negativa
distribuzione di Poisson
¾ Modelli probabilistici per le variabili continue:
distribuzione normale (o gaussiana)
distribuzione log-normale
trasformazioni dei dati discreti
¾ Procedure di goodness-of-fit:
test Chi-quadrato
test di Anderson-Darling
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
2
1
TEORIA DELLA PROBABILITÀ: CONCETTI GENERALI
La probabilità può essere definita come un numero che
esprime la possibilità, il grado di verosimiglianza con cui un
evento è destinato a verificarsi.
Si parla così della probabilità di pescare una carta nera da
un mazzo di carte, della probabilità che in un vetrino siano
presenti 10 colonie di batteri o della probabilità che un
processo produttivo non sia inquinato da agenti patogeni.
La probabilità è una proporzione o frazione che varia tra i
valori 0 e 1, estremi inclusi. Associamo il valore zero a un
evento che non ha nessuna possibilità di verificarsi (evento
impossibile) e il valore uno a un evento che si verificherà
sicuramente (evento certo). Tra due estremi, si collocano
eventi più o meno probabili.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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TEORIA DELLA PROBABILITÀ: CONCETTI GENERALI
In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile
aleatoria – v.a.) può essere pensata come il risultato
numerico di un esperimento quando questo non è
prevedibile con certezza (ossia non è deterministico).
Ad una variabile casuale X si associa la sua distribuzione,
o legge di probabilità PX, che assegna ad ogni sottoinsieme
dell'insieme dei possibili valori di X (eventi) la probabilità che
la variabile casuale X assuma valore in esso. Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi:
discrete, se l'insieme dei possibili valori (o supporto di X)
è finito o numerabile;
continue, se l'insieme dei possibili valori è l’insieme dei
numeri reali.
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2
TEORIA DELLA PROBABILITÀ: CONCETTI GENERALI
Per caratterizzare una variabile casuale X, dobbiamo
specificarne la sua distribuzione, o legge di probabilità PX,
che può essere, in base al tipo di variabile casuale, di due
tipi:
funzione di probabilità: p(x) = P(X=x), se la variabile
aleatoria è discreta;
funzione di densità di probabilità: f(x), tale per cui
P(X ∈ A) = ∫A f(x) dx, se la variabile aleatoria è continua.
Le due funzioni p(x) e f(x) dipenderanno da uno o più
parametri (p, µ, σ, ecc.). Fissati i valori dei parametri, è
possibile calcolare la probabilità di eventi di interesse,
ovvero che la variabile X assume dei valori specifici.
Si noti che nelle applicazioni reali i parametri sono
ovviamente ignoti e non osservabili, ma possono essere
stimati attraverso una procedura di inferenziale di stima.
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TEORIA DELLA PROBABILITÀ: CONCETTI GENERALI
La media µ di una distribuzione di probabilità si dice valore
medio (o valore atteso) della variabile aleatoria.
Il valore atteso di una variabile aleatoria discreta è una
media ponderata delle modalità (valori) assunte dalla
variabile, dove i coefficienti di ponderazione sono
rappresentati dalle probabilità associate a ciascuna modalità
Valore atteso di una variabile aleatoria discreta
N
µ = E ( X ) = ∑ X i P( X i )
i =1
dove Xi = i-esima modalità della variabile aleatoria X
P(Xi) = probabilità associata alla modalità Xi
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3
TEORIA DELLA PROBABILITÀ: CONCETTI GENERALI
La varianza σ2 di una variabile aleatoria discreta è definita
come la media ponderata dei quadrati delle differenze tra
ciascuna modalità e il valore atteso della variabile, dove i
coefficienti di ponderazione sono rappresentati dalle
probabilità associate a ciascuna modalità.
Varianza di una variabile aleatoria discreta
N
σ = ∑ [ X i − E ( X )]2 P( X i )
2
i =1
dove Xi = i-esima modalità della variabile aleatoria X
P(Xi) = probabilità associata alla modalità Xi
Lo scarto quadratico medio σ di una variabile aleatoria
discreta è dato dalla radice quadrata della varianza: σ=√σ2
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TEORIA DELLA PROBABILITÀ: CONCETTI GENERALI
La media (o valore atteso) µ e la varianza σ2 (e la deviazione
standard σ) di una v.a. X sono i parametri di maggiore
interesse della distribuzione di probabilità di X, in quanto
essi esprimono rispettivamente la tendenza centrale e la
variabilità della v.a. X.
Nel caso la v.a. X sia continua, per il calcolo di µ e la
varianza σ2, l’operatore sommatoria va sostituito con
l’integrale:
La probabilità che la v.a. assuma valori minori od uguali ad
un valore specificato, viene detta funzione di ripartizione:
FX = P (X ≤ x).
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LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Tra i modelli probabilistici discreti più utilizzati vi è la
distribuzione binomiale, caratterizzata da 4 proprietà:
Si considera un numero prefissato di n osservazioni.
Ciascuna osservazione può essere classificata in due
categorie incompatibili ed esaustive, chiamate per
convenzione successo e insuccesso
La probabilità di ottenere un successo, p, è costante per
ogni osservazione, così come la probabilità che si
verifichi un insuccesso, q = (1 – p).
Il risultato di un’osservazione, successo o insuccesso, è
indipendente dal risultato di qualsiasi altra.
La funzione di probabilità della distribuzione binomiale è
definita dall’espressione:
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LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Media e varianza della distribuzione binomiale sono
rispettivamente µ = np e σ2 = npq = np(1-p).
Una distribuzione binomiale può essere simmetrica o
asimmetrica in base ai valori assunti dai parametri. Per
qualsiasi valore di n, la distribuzione è simmetrica se p=0.5
e asimmetrica per valori di p diversi da 0.5. L’asimmetria
diminuisce all’avvicinarsi di p a 0.5 e all’aumentare del
numero di osservazioni n.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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5
LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE
La distribuzione binomiale è utilizzata come modello
quando una specifica caratteristica in un campione può
essere riconosciuta (ad esempio la presenza di elementi
difettosi in un lotto).
La distribuzione binomiale è spesso usata come base per
l'elaborazione di schemi di campionamento in accettazione
di alimenti e altri materiali.
In tali schemi, q è definito come la probabilità che un
generico campione non sia difettoso (ad esempio, che non
vi siano contaminanti), mentre p è la probabilità che il
campione sia difettoso (ad esempio, vi è almeno un
elemento contaminante) e dove n rappresenta il numero di
totale campioni esaminati.
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LA DISTRIBUZIONE DI POISSON
In molte applicazioni si è interessati a contare il numero di
volte in cui si osserva la realizzazione di un evento
(contaminazione, presenza di un patogeno, ecc.) in una
certa area di opportunità.
Un’area di opportunità è un intervallo continuo quale un
tempo, una lunghezza, una superficie, un volume o in
generale un’area nella quale un certo evento può verificarsi
più volte.
Un esempio può essere quello di un processo di
fertilizzazione industriale in cui si vuole inoculare in 1000
bottiglie di liquami di scarti di carne una sospensione di
spore con un livello medio di 10 spore / bottiglia. Qual è la
probabilità nella bottiglia che siano presenti 0 spore /
bottiglia (evento: P(X < 1))?
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6
LA DISTRIBUZIONE DI POISSON
Per poter utilizzare la distribuzione di Poisson come
modello matematico per la conta dei batteri in un campione
alimentare, alcune condizioni devono essere soddisfatte:
Il
numero di singoli organismi per unità di
campionamento (k) deve essere ben al di sotto del
numero max possibile che potrebbe verificarsi (k→∝);
La probabilità che una determinata posizione in una
unità di campionamento sia occupata da un organismo
deve essere allo stesso tempo costante e molto piccola;
La presenza di un singolo organismo in qualsiasi
posizione deve né aumentare né diminuire la probabilità
che un altro organismo nocivo sia vicino;
Le dimensioni dei campioni deve essere piccola rispetto
a tutta la popolazione.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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LA DISTRIBUZIONE DI POISSON
La funzione di probabilità della distribuzione di Poisson, il suo
valore atteso e la sua varianza, sono definite dalle seguenti
espressioni:
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7
DISTRIBUZIONE POISSON
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA
Se la seconda e la terza condizione per l'uso della
distribuzione di Poisson non sono soddisfatte, la
varianza della popolazione di solito è maggiore
della media (µ > σ2 ). Questo è particolarmente vero
nel campo della microbiologia in cui gli aggregati di
cellule si manifestano sia nei campioni naturali che
in diluizioni, preparazione di vetrini, ecc. Dei vari
modelli matematici disponibili,
la distribuzione
binomiale negativa è spesso il miglior modello per
descrivere la distribuzione delle frequenze ottenute.
La distribuzione binomiale negativa, che descrive il
numero di fallimenti prima del x-esimo successo,
quando n è il numero intero, è definita
dall’espressione:
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ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE NEGATIVA
Un metodo molto semplice per ottenere un valore
approssimativo per il k può essere ottenuta riordinando
l'equazione per la varianza di una binomiale negativa:
Per ottenere stime più affidabili è opportuno utilizzare il
metodo di stima della massima verosimiglianza.
Il metodo della massima verosimiglianza è implementato dal
software statistico R (non Minitab), tuttavia esiste la
possibilità di effettuare i calcoli usando degli applet presenti
sul web:
http://www.wessa.net/rwasp_fitdistrnegbin.wasp#output
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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MODELLI PROBABILISTICI PER VARIABILI CONTINUE
z
z
z
z
Una funzione di densità di probabilità continua è un
modello che definisce analiticamente come si
distribuiscono i valori assunti da una variabile aleatoria
continua.
Quando si dispone di un’espressione matematica adatta
alla rappresentazione di un fenomeno continuo, siamo in
grado di calcolare la probabilità che la variabile aleatoria
assuma valori compresi in intervalli (gli intervalli sono gli
eventi di interesse, per una v.a. continua).
Tuttavia, si noti che la probabilità che la variabile
aleatoria continua assuma un particolare valore è pari a
zero.
I modelli continui hanno importanti applicazioni in
ingegneria, scienze fisiche e naturale e scienze sociali.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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MODELLI PROBABILISTICI PER VARIABILI CONTINUE
z
Alcuni tipici fenomeni continui sono gli aspetti
dimensionali dei campioni/prelievi (volume, peso, ecc.) o
il tempo che intercorre fra il verificarsi di due eventi di
interesse (ad esempio la contaminazione).
z
La figura rappresenta graficamente tre funzioni di
densità di probabilità: normale, uniforme ed
esponenziale.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA
La distribuzione normale (o distribuzione Gaussiana) è
la distribuzione continua più utilizzata in statistica.
La distribuzione normale è importante in statistica per tre
motivi fondamentali:
1. Diversi fenomeni continui sembrano seguire, almeno
approssimativamente, una distribuzione normale.
2. La distribuzione normale può essere utilizzata per
approssimare numerose distribuzioni di probabilità
discrete.
3. La distribuzione normale è alla base dell’inferenza
statistica classica in virtù del teorema del limite
centrale.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA
La distribuzione
caratteristiche:
normale
ha
alcune
importanti
La distribuzione normale ha una forma campanulare e
simmetrica.
Le sue misure di posizione centrale (valore atteso,
mediana) coincidono.
Il suo range interquartile è pari a 1.33 volte lo scarto
quadratico medio, cioè copre un intervallo compreso
tra µ – 2/3σ e µ + 2/3σ.
La variabile aleatoria con distribuzione
assume valori compresi tra -∞ e + ∞.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
normale
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DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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11
DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA
Notiamo che, essendo e e π delle costanti matematiche, le
probabilità di una distribuzione normale dipendono soltanto
dai valori assunti dai due parametri µ e σ.
Specificando particolari combinazioni di µ e σ, otteniamo
differenti distribuzioni di probabilità normali.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA
Poiché esiste un numero infinito di combinazioni dei
parametri µ e σ, per poter rispondere a quesiti relativi a
una qualsiasi distribuzione normale avremmo bisogno di
in numero infinito di tavole.
Introduciamo ora una formula di trasformazione delle
osservazioni, chiamata standardizzazione, che consente
appunto di trasformare una generica variabile aleatoria
normale in una variabile aleatoria normale standardizzata.
La standardizzazione
Z=
X −µ
σ
Z è la variabile ottenuta sottraendo ad X il suo valore atteso
µ e rapportando il risultato allo scarto quadratico medio, σ.
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DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE
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DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE
Figure 4-27 Lognormal probability density functions with θ = 0
for selected values of ω2.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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TRASFORMAZIONI DEI DATI DISCRETI
La distribuzione normale è raramente un modello adatto
per i dati microbiologici, ma è molto importante perché
molti test statistici parametrici sono basati sulla
distribuzione normale. Tali test includono l'analisi della
varianza (ANOVA) e test per la significatività delle
differenze. Per dati microbiologici, devono essere perciò
prese
in
considerazione
trasformazioni
dette
'normalizzanti'.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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PROCEDURE DI GOODNESS-OF-FIT
Una volta assunta una funzione p(x) e f(x) adeguata a
rappresentare un problema reale (discreto o continuo), e
disponendo di stime plausibili per i suoi parametri, è
possibile calcolare la probabilità di un qualsiasi evento di
interesse.
Tuttavia, dal momento che la vera legge di probabilità PX di
un fenomeno X rappresenta una caratteristica ignota e non
osservabile della popolazione (come per altro lo sono i
anche i suoi parametri), risulta di interesse valutare la bontà
di adattamento (goodness of fit) di uno specifico modello
probabilistico rispetto ad un campione di dati osservati.
Più propriamente, un test statistico di goodness of fit
consente di prendere una decisione in merito all’ipotesi che
il vero modello della popolazione sia o meno uno prespecificato modello probabilistico.
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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TEST CHI-QUADRATO
z
Per verifica l’ipotesi nulla secondo cui legge di
probabilità PX di un fenomeno X è uguale a P0,
H0: PX = P0
contro l’alternativa
H1: PX ≠ P0
si può considerare la statistica χ2
Statistica test χ2 per il confronto tra leggi di probabilità:
χ =
2
∑
tutte le celle
z
( f0 − fe )
2
fe
La statistica χ2 si ottiene calcolando per ogni cella di una
tabella di contingenza la differenza al quadrato fra la
frequenza osservata (f0) e quella attesa (fe), divisa per fe,
e sommando quindi il risultato ottenuto per ogni cella.
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TEST CHI-QUADRATO
Fissato α, l’ipotesi nulla dovrà essere rifiutata se il valore
osservato della statistica χ2 è maggiore del valore critico χ2U
di una distribuzione χ2 con (r-1) gradi di libertà.
Field
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
No. bacteria
19
12
7
11
9
9
7
7
9
13
18
13
10
12
12
Conteggio di No. bacteria
No. bacteria
Totale
4-5
6
6-7
11
8-9
12
10-11
18
12-13
12
14-15
11
16-17
11
18-19
11
20-21
3
22-23
3
24-26
2
Totale complessivo
100
Num. medio di batteri
12.69
X
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Fr_att_Poiss
0.5
2.6
8.4
16.4
21.8
20.9
15.1
8.5
3.8
1.4
0.4
0.1
0.0
Fr_oss
0
6
11
12
18
12
11
11
11
3
0
3
2
Chi-Sq.Stat. =
DF =
alpha =
Crit. value =
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
(Att-Oss)^2/Att
0.5
4.3
0.8
1.2
0.7
3.8
1.1
0.8
13.4
1.8
0.4
73.0
122.9
101.728
12
0.05
18.74
30
15
TEST CHI-QUADRATO
Conteggio dei batteri: frequenze osservate vs distribuzione di Poisson
22
20
Fr_oss
Fr_att
18
Frequenza
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Numero di batteri
Chi-Sq. Stat. = 101.728
DF =
12
alpha =
0.05
Crit. value =
18.74
31
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
TEST CHI-QUADRATO
Conteggio dei batteri: frequenze osservate vs distribuzione binomiale negativa
22
20
Fr_oss
Fr_att
18
Frequenza
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Numero di batteri
Chi-Sq. Stat. =
DF =
alpha =
Crit. value =
14.5
12
0.05
18.74
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
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16
TEST DI ANDERSON-DARLING
La statistica di Anderson-Darling (A2) misura l'area il modello
previsto (in base alla distribuzione scelta) e la funzione di
ripartizione empirica. Più precisamente, la statistica
Anderson-Darling è una distanza al quadrato che avrà un
peso maggiore nelle code della distribuzione.
Valori bassi della statistica Anderson-Darling indicano che la
distribuzione ipotizzata si adatta bene i dati.
La statistica A2 può essere applicata sia a modelli discreti sia
continui, ma tradizionalmente viene applicata a variabili
continue.
La statistica test Anderson-Darling A2 è definita come
A2 = - n – S, dove
S=∑ni=1((2*i - 1)/n)*[ln(F(Y(i)) + ln(1 - F(Y(N+1-i))]
F è la funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione
specificata
33
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
TEST DI ANDERSON-DARLING
Summary for Counts
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared
P-Value <
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
0
750000
1500000
2250000
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
3000000
5.08
0.005
731462
719651
5.17897E+11
1.99001
4.14066
80
26303
270721
519110
971676
3467369
Probability Plot of Counts
95% Confidence Interval for Mean
9 5 % C onfidence Inter vals
571312
Mean
Normal - 95% CI
891612
95% Confidence Interval for Median
369663
Median
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
99.9
99
95% Confidence Interval for StDev
622824
852407
95
90
Lognormal - 95% CI
Loc
Scale
N
AD
P-Value
99
95
Percent
90
80
70
60
50
40
30
20
13.05
1.037
80
0.518
0.183
Percent
Probability Plot of Counts
99.9
Mean
731462
StDev
719651
N
80
AD
5.081
P-Value <0.005
640945
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
-2000000
-1000000
0
1000000
2000000
3000000
4000000
Counts
10
5
1
0.1
10000
100000
1000000
Counts
10000000
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
34
17
TEST DI ANDERSON-DARLING
Summary for Peso
Anderson-Darling Normality Test
1.77
0.005
A-Squared
P-Value <
0.96
0.98
1.00
1.02
1.04
1.06
1.08
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
0.98302
0.02868
0.00082
1.61433
3.20499
50
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
0.94500
0.96275
0.97700
0.99425
1.08500
Probability Plot of Peso
Lognormal - 95% CI
99
Loc
-0.01753
Scale
0.02857
N
50
AD
1.592
P-Value
<0.005
95% Confidence Interval for Mean
9 5 % C onfidence Inter vals
0.97487
Mean
90
95% Confidence Interval for Median
0.970
0.975
0.980
0.985
0.98500
95% Confidence Interval for StDev
0.990
0 02396
0 03574
Probability Plot of Peso
Normal - 95% CI
80
Percent
0.96867
Median
70
60
50
40
30
20
99
Mean
0.9830
StDev
0.02868
N
50
AD
1.768
P-Value <0.005
95
90
80
Percent
95
0.99117
70
10
5
1
0.90
0.95
1.00
Peso
1.05
1.10
60
50
40
30
20
10
5
1
0.90
0.95
1.00
Peso
1.05
1.10
ELEMENTI DI PROBABILITÀ PER L’ANALISI DEL RISCHIO
35
18
