teorema 10 algebra

- z1. MASSE CONTINUE E TEOREMA DI DECOMPOSIZIONE
Sia..,( un'algebra di parti di X.
Tra le masse che hanno codominio chiuso. ci sono. innanzitutto
le masse continue. cioè Quelle masse
lJ:d ... IR tali che
V E> O
j{A I , ...• Anl
partizione di X tale che !u!(Ai)<E
Vie (l ... n}, avendo definito, per ogni Aed:
c..,(
m
1
ul (A)
(I
= Sup (. L. IV(A . )
J =1 . J
ul è una massa su..,(
Per"
tali
masse
si
I
1;
Al.
partizione di
c..,(
positiva e coincide con u se u 2 O).
ha
precisamente,
il
seguente
risultato.
TEOREMA (1.1)
Se
u:..,(
.. [0.+=) è ulla massa sull'algebra JII di parti di X.
allora:
u è
continua .... VB
VAeJII:
=>
Se pOl
JII* = (A
..,(
ultrafiltro
è una
(J
ln
JII:aB:=inf
P(JIIA)=[O.u(A)]
-algebra oppure p
dove
(u(B);BeBI =0
=Jlln9>(A)
JII
A
è completa.
cioè JII= JII * cor
c X : VE > O 3AI.AZe..,( tale che Al c A c AZ p u(AZ-AI)<EI,
allora si può assprlre che:
P è continua
<=
Quest'ultima
per
VA e..,(: P( JII ) A
proprietà
d'insieme
funzioni
è
nota
(cfr.
[O.P(A)].
come
proprietà
Dinculeanu:
di
Vector
Darboux
Measures,
Pegamon Press (1967)).
dovuto a vari Autori, anche
con diverse sfumature (cfr. ad esempio [SJ. [6] e [7)).
Il
teorema
precedente
Le ipotesi
la chiusura del
se
..,(
aperto
è una
(cfr.
è
u 2 O ed JII (J-algebra
codominio. Infatti se
(J
-algebra,
[14]).
allora
Inoltre
p (..,()
se
sono
non
indispensabili
è
p > O.
se
per
anche
può essere un intervallo
si
considera
l'algebra d
- 3 (ma
non
o -algebra)
su [0,1)
risulta
dei
plurintervalli
semiaperti
con estremi razionali e si definisce
Il a-additiva, limitata e continua ma
a
destra
u ([a,b))=b-a,
Il (..01)
-
= Q n [o ,IJ e quindi non è chiuso.
....
Se la massa
[O + CD) sull 1algebra d TInn è continua.
t
allora. posto, per ogni ultrafiltro 6 in d
a 6 = inf {u (B) : B e 6l ,
l'insieme degli ultrafiltri
> O è al
6 per l quali è a6
più numerabile. per la limitatezza di
u • Posto quindi
an - a
ed ident i f icato
l'ultrafiltro
con la massa
6
n
6n
(1)
su .fJI a valori {O,l l, il cui supporto
coincide con
si verifica che la massa
Y=u-
!a6
n=l n n
è continua.
In altre parole vale il seguente fondamentale
TEOREMA (1.2) DI DECOMPOSIZIONE
u: d
.. [O,+~) sull'algebradc t3'(Xl
Ogni massa
decomporsi. in modo unico. come:
!
u - Y + n=l
( l.l)
con
può sempre
Y
continua,
ultrafiltro
disgiunte,
di X tale
(a
cioè
che
Vi=l.2 ..... n).
(l) Se u è una massa
supporto di u:
sull 'algebra
d c t3'(X) ,
si
chiama
sUPPu= lA ed: lul(A) = lui<X)l
(i)antO
è
una
successione
decrescente
ed
infinitesima.
- 4 -
Questa
decomposizione
vale
vale per ~+ e ~-) (cfr.
Il
(cfr.
teorema
anche
se
precedente
dovuto
è
Come àbbiamo visto le a
a
ma non
n
- inf
affatto
è
~
è
O (in
>
quanto
[9] pago 148).
[4]) ed a B.De FinetU (cfr.
(1. 2)
non
{~
detto
ad
A.Sobczyk
P.C.Hallmer
[8]) (cfr. anche
[9] pag.144).
della (1.1) sono date da
n
(A); A e B }
n
,
che esista An
e
~(An)=an'
Bn tale che
~-atomo An (l) (ovviamente
Quando questo accade, B dà origine al
n
se a > O) e risulta
n
(1. 3)
Ciò accade,
ad esempio.
nel caso in cui
lJ
una misura sulla
è
a- algebra Jt. In tal caso si ha il seguente risultato
TEOREMA
lJ
una
è
della
Se
(1.3).
mIsura
Jt
limitata
decomposizione
{An;
n=O,I,2, ... } di
ognI
AeJt
DIII.
e
per
Infatti
in
una
è
ogni
,
su Jt
(1.1),
X in
a-algebra
si
Jt,
questo
trovare
tale che
caso
An
SIa
parti
con
allora,
può
n=1.2.3 ....
di
y
un
che
le
~
=
partizione.
(A
n Ao ) per
lJ-atomo
le
Q
P
n
e
X
notazioni
una
y (A)
è
di
tale
sono
che
delle
misure e dalla continuità di y segue che
(l) AeJt
è detto
~-atomo
se
~(AlJ'O
In tal caso la restrizione
due valori {O,~(A}}.
e VBe "'A :
di
\.l
ad
(~(B}=O)v(~(A·B)=O).
Jt A è
una
mssa
a
- 5 -
j una part i z ione
VkeN
tale
che
solo
di
Posto
y (A
ki
questi
C
n
-
~ l
)
f
di X in""
per
ogn1
Per
L
diciamolo
insielJli.
si
O per
ha
n~lCnt risulta
ogni
n.
è
tale
fissato,
che
uno
a n(B k )=
an(C n ) = l.
-
-
neN
Bk •
k';l Bk • risulta y(C n )= O e
Se ora definiamo C
ogni
y(c)
-
c
O e posto Ao =C •
Conseguentemente
y (A)
u = (AnA ) per ogni Aed. Inoltre possiamo trovare una partizione
o
tale che
= l e ovviamente A
{A ·A .... ) d i C in d
n
l 2
è un u-atomo per ogni neN.
c.v.d.
2.IL CODOMINIO DI UNA MISURA.
Sia si una
su d
e
sia
a -algebra di
(l.l)
la
parti di X.
u una mIsura limitata
sua decomposizione nella mIsura continua
y e nelle misure ultrafiltro an0
Proviamo innanzitutto la
PROPOSIZIONE (2.1)
uM
-
U lA. A+y(X)] con
Ae'A
A = {m~M amo M c ~ )
MA
=
{
neN;
!fiCA)
=
l } •
risulta
utA)
cioè
- 6 -
~(A)
= À+y(A) e [À,À+y(X)] con À=
Viceversa
esiste.
e
se
per
x e[ À, À+Y(X)].
teorema
il
À=
se
=~.
e BnA
Infine
~(AUB)
a
meMA m
posto a=x-À.
essendo aerO. y(X)].
A c.Sll
tale
A
o
(1.3),
c N),
(M
r
posto
che
y (A)=
~
risulta
B
~(A)=a
(B)
=À
= a+À= x.
c.v.d.
Si ha quindi l'importante
TEOREMA
Se .SII è
(2.2)
una
a-algebra di
una mIsura limitata su S;/, allora
DIM.
Per
visto
quanto
parti
di
~
X e
lJ.{s() è chiuso.
nella
proposizione
precedente.
se y(X) >0 (cioè se non è nulla la componente continua della
~(.III)
altro
non
è
che
è
un'unione
finita
d'intervalli
~),
chiusi
e quindi un chiuso.
Invece
Se
~WJ
=
Per
y
= O.
risulta,
con
le
notazioni
introdotte.
A •
provare
che
è
un
chiuso.
basterà limitarsi
al
ca;ù
n;la n = 1.
Sia C l'insieme di Cantor ed I =
c
e
C.
può
essere
rappresentato
c n e(0.2}. Definiamo ora f : C
f (C)
è
=
2l
continua.
nE
'>l c n a n'
Pertanto
SI'
ve d e
essendo
+
[0.1]. Il generico elemento
come
c
=
E
essendo
n >1
I. mediante:
facilmente
che
C compatto.
A =f(C)
anche A
è
e
che
f
compatto.
c.v.d.
- 7 -
COROLLARIO
e
precedenti
dimostrazioni
Dalle
(2.3)
Se SII
una misura
è
è
limitata
immediatamente:
segue
una
a -algebra
su SII
•
di
parti
allora
di
X
finito
è
o perfett.o.
Uno studio dettagliato del codominio della misura
con
porta
che
oppure
un
Cantar.
m( [11 (N))
plurintervallo
Precisamente,
condizione
se
si
finito
è
verifica
d'indici,
la
allora
oppure
chiuso
o
un
intervailo
infine
un
se
detto
per
<
M. [11 (li)
ognI
condizione
m( [11 (li))
BO
un
è
insieme
rn
>
per
un
tipo
verifica
si
m(9(l1) )
n.
chiuso.
=
[O.m(ll)];
numero
plurintervallo
la
fini to
chiuso;
se
infine.
si ha a >r
per infiniti indici. m([1I(}l)) è un insieme
n n
tipo Cantar (l'insieme di Cantar, di misura nulla o di misura
positiva.
ottiene
si
quando
an > rn
per
ogni
il eI'l) •
Per
tali
risultati cfr. [lO] •
Conseguentemente:
COROLLARIO
suila
a-algebra J/I di
coincide
chiusi,
y= O.
(2.4).
con
ed
è
Per
parti
[O. u (X)]. o
un
una
insieme
di
è
tipo
generIca
misura
X
sarà
• u(SII)
un'unione
Cantar
finita
solo
nel
limitata
finito
oppure
d'intervalli
caso
in
cui
- 8 3. IL CODOMINIO DI UNA NASSA
il
Un primo risultato. sul codominio di una massa è
(3.1)
TBOREMA
chiusura
del
Se
suo
U
una massa
è
Il (si)
codOlàinio
sull 'algebra
coincide
col
seguente:
allora
.RI ,
codominio
di
la
una
misura su una a-algebra e quindi è del tipo descritto dal corollario
(2.4).
DIN.
-
Sia.X
lo
spazio
di
Stone
A = {S e
l'insieme degli ultrafiltri susl),
. -
si = {A : A e si},
associato
-
-
-
che
compatto
(tipo
-
totalmente
sconnesso
è
X : Ae S} ,
II(A) = II(A)
RI è base di una topologia su X,
e
-
-X
(cioè
ad
VAesi.
rende
-
-
X spaz io
l'insieme
topo logico
di
Cantor),
inoltre si è l'algebra dei clopen di X.
Questo
porta
che
è
-
sull' algebra si
una misura
•
Infatti
la proprietà (di a-additività):
•
{ A'
n'
è
•
netl}
vera,
esistesse
tale
l..:~,
in
quanto
una
la
premessa
successione
di
è
sempre
insiemi
sarebbe
che
ed esisterebbe allora un l
non
-
falsa.
vuoti
A chiuso
,
Se
per
disgiunti
e
-
Quindi
assurdo
-
di si ,
compatto
c ti finito tale che A
le ipotesi fatte. (l)
(1) Un'altra
dimostrazione della
o-additività di
Il,
si
ottiene
dal
Teorema di Alexandroff:
Siano Il: si + R massa sull'algebra si c !l'eX) ed X spazio topolQgic'i
compatto. Se Il è regolare (cioè VAesi e VE> O ]F,Gesi 3' FcAcG
e II!j(G-F) «), allora Il è o-additiva.
,
ijJls ta infatti osserv_are che nel caso in esame ~ è regolare, 1n Quanto
VAeslbasta scegliere ~=G=A.
- 9 -
Consideriamo
.
con .91"
la
cioè
la
ora
(si
può
la
provare
piccola
più
-algebra
O'
generata
.
....."
che
a-algebra
d
e
denotiamo
~
la
è
"-algebra
•
su
-
da
•
X.
rispetto
di
Baire
in
X•
alla
quale
ognI
funzione reale e continua su X è rnisurabile).
Prolunghiamo ora
.
su """ ponendo VAed,,:
".
~
'
~(A) = inf { . El~(A.): A,.ede A c
l>
Orbene
tale
.UlA.l.
l
prolungamento
una
è
l>
mIsura
l
su
una
" -algebra.
con la proprietà:
c.v.d.
OSSERVAZIONE
del
e
teorema
ci
dice
(3.1)
di
che
Il
teorema
precedente
rappresentazione
una massa
di
definita
Stone
su
una
è
conseguenza
[9]
(cfr.
un'algebra s4
•
pago
può
20)
sempre
~
essere
riguardata
come
una
misura
definita
su
un'algebraSll
isomorfa ad .91.
OSSERVAZIONE
stabilito
vicine
per
(3.2)
le
alle
Dalla
misure.
misure.
decomposizione
si
può
almeno
In
[5]
~(dA)
di "".
Aaea.
è
prova
Sl
chiuso
detto
per
aB =
~-atomo.
che
se
ogni
~
le
a
è
n
generano
una
~(Aa) =
Ae al
aB .
che
proprietà
•
se
e
da
le
masse
del
quanto
più
codominio.
~-atomi.
sull'algebra .91 e
massa
Aed • allora per
inf { ~(A);
tale che
congetturare
per
siano quelle dove gli ultrafiltri
(1.1)
ogni
è aa> O.
a
se
ultrafiltro
allora esiste
- lO Chiamiamo
v (dA)
è
proprietà
chiuso
atomiche
(cfr.
ve
massa a
per
di
chiusura
ogni
Aed
forte
e
•
[5]) le masse atomiche
(p.c.f.)
chiamiamo
V
con O ~ e < V ,
due valori
e(Ae »0. Con tali definizioni,
la
3Ae
proprietà
proprietà:
masse
~e
> O per
la
fortemente
qual i:
V -atomo
provata
In
tale
che
[5]
SI
può cosI enunciare:
TEOREMA
(3.2)
Se
una
è
massa
non
continua
sull 'algebra
d , allora:
(V ha la p.c.f.) =o
(V è fortemente atomica).
[Il}).
Si provano facilmente le seguenti caratterizzazioni (cfr.
~:..cI -+
PROPOSIZIONE (3.3). Se
d. con decomposizione (1.1)
(v
fortemente
= y
+ a
l: a a
allora:
con a= n>1
nPn'
atomica) ....
em(A n )
e y
~
[0.+<:0) è una massa sull'algebra
= O per m;ln) .... ( a
si annulla sugli atomi di a) _
è
fortemente
(gli ultrafiltri le,,;neN
atomica
considerati
•
come punti dello spazio di Stone X,formano un insieme discreto e y si annulla sugli atomi di a).
Inoltre se d
(v
fortemente
di X in d
ed n >0 ed a
Un
v=y
è una
o-algebra:
atomica)
-
(
3
n=O,l,2 .... )
partizione
-
tale che
O per m;ln
è o-additiva su IA • n=0.1.2 .... }).
classico
n
esempio
di
definita su
massa
si =
fortemente
~(t;)
con
atomica
è
y continua e
dato
da
limitata,
11 -
a n = (A c N; neA ) e
Mentre se a
n>"la n =aeJR.
si sostituisce
y
V è atomica {ogni ( n ) è un
ao =
V -atomo), ma non fortemente. atomica
(non esiste un v-atomo A per "il quale
El
naturale
teorema
(3.2).
chiedersi
almeno
se
nel
{A c N; AC finito }, allora
ao(A) = l).
vale
caso
l'implicazione
in
cui
.SJI
sia
(I V I
(3.4).
verifica
Se
V è
una massa
(V
la p.c.f.) -
sulla
(Il]):
o-algebra
continua oppure
è
del
o -algebra.
una
La risposta è positiva e precisamente si prova (cfr.
TEOREMA
opposta
d
,
allora
fortemente
è
atomica)
4. OSSERVAZIONI CONCLUSIVE
Dai
risultati
del
paragrafo
precedente
si
possono dedurre
le seguenti osservazioni:
OSSERVAZ IONE
(4. l).
fortemente
Per
non
sono
che
vedA) non è chiuso.
OSSERVAZIONE
di
un
certo
atomiche.
(4.2).
tipo.
l e mas se
vedA)
cioè
è
che non sono con t inue oppure
sicuramente
quando
finito
chiuso,
è
o
esiste
è
è
Ae#
tale
necessariamente
un'intervallo
chiuso
o
è un plurintervallo chiuso oppure un insieme tipo Cantar, esattamen-
te
come
l'altro,
nel
caso
quando
OSSERVA2IONE
concetto di
delle
non
(4.3).
misure
sono
Nel
definite
continue,
caso
di
sono
masse
atomo secondo Constantinescu
con l'ultrafiltro legato alla massa
a -algebre,
su
fortemente
a
(cfr.
valori
che
tra
atomiche.
reali,
(12])(1),
il
coincide
a , nella decomposizione (1.1).
n
- 12 In
generale.
origine ad un
atomica.
come
atomo per
Pertanto
usuale di
per
(4.4).
necessaria
masse
la
masse
essere
le
se""' è una
Da
candidate
masse
la
continue
1n
[13]
ha
u sia verificata
quelle
fortemente
è
atomiche,
dà
il
concetto
introdotto da Constantinescu.
completezza
o
lJ
non
di
fortemente
provato
spazio
che
una
LP(X.,,",. u)
la p.c.L Quindi
LP.
sembrerebbero
atomiche,
almeno
o-algebra.
alcuni
G.Letta si
per
ultrafiltro
completezza dello
(l ~ p < + m), è che per la massa
le
fortemente
G.H.Greco
per
tale
ma questo accade se
1.I.
le
visto,
atomo coincide con quello
OSSERVAZIONE
condizione
abbiamo
risultati
deduce
di
che se
G.H.Greco.
u
=
K.S.P.Bhaskara Rao
E a B
0>1 n n con
completo
-
~
Bo a valori
e
di
{O.l}:
fortemente atomica
e se d è una a-algebra. allora vale J'equivalenza.
(1)
(nota di pago 11)
Sia,,", un'algebra edJ'un suo ideale (ideale di sottoinsiemi nulli). Denotiamo
con
A(J') =Qlc,,", -J:91t- Il e I!I chiuso per l'intersezione finita}
(quindi I!I è una base di filtro in "'" -J).
Constantinescu chiama atani in "'" rispetto ad J gli elementi massimali
di A(J'). mentre chiama insiemi at. .ici. gli insiemi Ae"'" - J tali che
A-BeJ'
Se u è una massa sull'algebra,,", a valori
e di Hausdorff. llinsieme
ln
un gruppo cOlllTlUtativo topologico
.AI'(u)={A e""': VB e""'A : u(B) = O}
è un ideale di ""' e chiameremo atOlllO di
u. ogni atomo rispetto a .AI'( u).