MUSICA AUREA E FISICA TEORICA
(Da Pitagora al bosone di Higgs)
Gruppo ” B. Riemann”*
Nardelli Michele, Francesco Di Noto
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa
Abstract
In this paper we show some connections between music, theoretical physics and golden
ratio
Riassunto
In questa lavoro mostreremo le numerose relazioni tra la sezione aurea e la musica,
Introduzione
La sezione aurea , com’è noto, è presente in parecchi fenomeni naturali: da quelli
studiati dalla fisica quantistica e dalla chimica ( stringhe, stabilità nucleare), a quelli
studiati dalla botanica (fillotassi), ma anche dall’astronomia (orbite di pianeti,
galassie spirali e buchi neri), ecc. ecc. Ma è anche presente nella musica, come
vedremo in questo lavoro ad essa dedicato in tal senso
Documentazione
La documentazione è molto vasta, qui riporteremo la più diffusa e importante, seguita
da nostre osservazioni e commenti.
Cominceremo dalla voce di Wikipedia “Successione di Fibonacci, con il paragrafo.
“Nella musica”, evidenziando in grassetto i brani che interessano maggiormente
1
“Nella musica [modifica]
La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che importante in essa sia
il ruolo della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci. A sostegno di tale tesi vengono spesso
richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il piano e
le applicazioni della sezione aurea e della successione di Fibonacci nei rapporti fra le durate
(in misure) delle varie parti dei brani musicali e nella retorica musicale.
Nel caso dei violini alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalla sapienti
capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per
esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura
proprio in posizione aurea rispetto la lunghezza complessiva dello strumento,[3] inoltre anche
lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in
tale posizione, tuttavia non vi sono conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano
effettivamente un suono migliore allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla
lavorazione dei materiali o alla scelta degli stessi.
Invece, si può confermare come errato il luogo comune fra gli appassionati de numeri di
Fibonacci di sostenere l'esistenza di parallelismi fra la struttura della tastiera del pianoforte e
questa successione: i tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta
divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla
successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di
una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del
costruttore, poiché:
•
•
•
si tratta di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello
strumento
le note musicali sono 12 e nell'ottava una è ripetuta
la disposizione delle note musicali sulla tastiera, sebbene facesse uso del tasto spezzato,
era comunque affermata prima dell'opera di Luca Pacioli e dunque prima di ogni
completa comprensione della successione di Fibonacci[4].
Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano
in rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio.[5]
Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, che sono spiegati
(almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di
Fibonacci.
2
Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere
rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano,
numero di note o di battute, etc non sono comunque rari anche in questo caso facili entusiasmi
dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio Paul Larson nel 1978 riscontrò nei Kyrie contenuti
nel Liber Usualis il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una
documentazione che ne attesta la volontà di inserimento, la non casualità della cosa rimane tutta a
livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte che per le opere di
Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, subitamente convinto
anche lui tale teoria specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte, dovette ricredersi
riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.
I musicologi hanno trovato altre applicazioni nei rapporti fra le durate (in misure) delle varie parti
dei brani musicali, in particolare si trovano tali rapporti nelle opere di Claude Debussy[6][7]e di Béla
Bartók[8][9]. Tra i compositori del XX secolo ricordiamo Stravinsky, Xenakis, Stockhausen (vedi il
brano Klavierstück IX, dove si hanno frequenti rimandi alle successioni fibonacciane nelle
segnature di tempo), Nono, Ligeti, Manzoni e Gubajdulina che disse a proposito di Bartok:
« [...] L'aspetto ritmico della musica di Bartók mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare
a fondo la sua applicazione della Sezione Aurea. »
Tuttavia è molto difficile stabilire se l'artista ha voluto consciamente strutturare l'opera con la
sezione aurea o se piuttosto essa sia frutto della sua sensibilità artistica [10], dato che la sezione aurea
si riscontra spesso in natura[11], come ad esempio nelle stelle marine, in ammoniti, conchiglie,
ananas, pigne e nella forma di un uovo[12]. Infatti mentre alcuni ritengono che i sopra citati Debussy
e Bartok impieghino deliberatamente la sezione aurea, per altri questo è meno scontato. D'altronde
Debussy scrive al suo editore Durand (agosto 1903) esplicitamente:
(FR)
(IT)
« Vous verrez, à la page 8 de "Jardins sous la
Pluie", qu'il manque une mesure; c'est d'ailleurs
un oubli de ma part, car elle n'est pas dans le
manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au
nombre; le divine nombre [...]. »
« Lei vedrà, alla pagina 8 di "Jardins sous la
Pluie" che manca una misura; è inoltre una
mancanza della mia parte, perché non è nel
manoscritto. Ancora, è necessaria, per il numero;
il numero divino [...]. »
Nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo, come i già
citati Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, invece applicarono sistematicamente
e intenzionalmente - differentemente dalla maggioranza dei loro predecessori - i numeri di
Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza e facendo evolvere i precedenti
utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica
(soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in
particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato
CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l’applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e
del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori.
Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti
mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L’esempio più
3
emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella
costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad
esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai
Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro
composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'album
Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della
sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che
contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci: i Tool
fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le
sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Da notare che la
canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([...] To swing on the spiral [...]
Spiral out. Keep going [...]).”
Un altra documentazione simile è tratta dal sito lnx.altreviste.com/.../57-musica-
sezione-aurea-e-numeri-di-fibonacci
dal titolo “Musica, sezione Aurea E numeri di Fibonacci”
“Musica, sezione Aurea e numeri di Fibonacci
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Nell'ambito dell'arte e della matematica si indica con sezione aurea il rapporto fra
due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la
loro somma, mentre lo stesso rapporto esiste anche tra la grandezza minore e la loro
differenza.
In formule, indicando con a e b le due lunghezze, vale la relazione:
(a+b) : a = a : b = b : (a-b) [1]
Tale rapporto vale approssimativamente 1,618.
Il numero ricavato che esprime la sezione aurea è un numero irrazionale, cioè
rappresentabile con infinite cifre decimali (non tutte uguali a 0 o 9); esso può essere
approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della
successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.
Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in
svariati contesti naturali e culturali, apparentemente slegati tra loro, hanno
impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un
ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo
4
nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è forse la storia
del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino",
proprio a dimostrazione del fascino esercitato.
La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che centrale in
essa sia il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi vengono spesso
richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il
piano.
Nel caso dei violini alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalla
sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari
geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo
centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto la lunghezza complessiva
dello strumento,[48] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di
posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione; non vi sono però
conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano effettivamente un suono
"migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione
dei materiali o alla scelta degli stessi.
Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in
special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici
tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da
due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di
Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una
mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del
costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione
strutturale dello strumento.
In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero
riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do
5/3, una sesta minore di Do e Mi 8/5).
Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano
in rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio.[49]
Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, che sono spiegati
(almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di
Fibonacci.
Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere
rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un
brano, numero di note o di battute, etc non sono comunque rari anche in questo caso facili
entusiasmi dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di
aver riscontrato nelle Kyrie contenute nel Liber Usualis, il rapporto aureo a livello delle battute,
5
ma in mancanza di una documentazione che ne attesta la volontà di inserimento rimane tutto
a livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte che per le opere
di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, subitamente
convinto anche lui tale teoria specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte,
dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.
Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue
maggiori composizioni (come la Musica per Archi, Percussioni e Celesta) e Claude Debussy
(1862-1918), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come le
divine nombre nella raccolta Estampes (1903) e usata, tra gli altri, nella composizione dei
brani La Mer (1905) e Cathédrale Engloutie.
Quest’ultimo, in particolare, è un preludio per pianoforte di 89 battute, di cui le prime 68
hanno un tempo doppio delle restanti 21: in altre parole, alla battuta 68 il brano rallenta il
tempo a metà. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa prima sezione a
34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione
aurea di 89. Questo è uno dei tanti esempi che si possono citare per descrivere l’applicazione
del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali di Debussy. Il pianista Roy
Howat ha analizzato altri brani di Debussy come Reflets dans l'eau, L'isle joyeuse (oltre al già
citato La mer) riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate.
Bartòk e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di
sezione aurea, ma se ne potrebbero menzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del XIX
secolo e il XX secolo. In epoche più recenti, musicisti quali Stockhausen, Pierre Barbaud, Iannis
Xenakis, facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un
utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer
per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972,
un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo
l’applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale
e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori.
Sofija Gubajdulina ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad
esempio nella Sinfonia "Stimmen... Verstummen...", in Perception, nel pezzo per percussioni
All'inizio era il ritmo, nel coro Omaggio a Marina Cvetaeva, nel trio Quasi hoquetus, nella
sonata Et exspecto e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di
Fibonacci quale regola per organizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La
Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella struttura intervallare e in quella
ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura
intervallare con le cifre occorre prendere il semitono come unità di misura. [...] Certamente i
numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano, sono disposti in una
sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni
dubbi, perché gli intervalli in questione sono considerati all'interno del sistema temperato, [...]
un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applica invece al sistema del mondo, in una
6
parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di
Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla
naturalità del nostro respiro."[50]
Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli
aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci.
L’esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie
fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato
su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati
da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i
numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i
Dream Theater nell'album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri
8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album
della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente
sulla serie di Fibonacci.
note:
1 ^ Si legge: "a più b" sta ad "a" come "a" sta a "b" e come "b" sta ad "a" meno "b"
48 ^ Livio, op. cit., p. 271”
49 ^ Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi, basato sul temperamento
equabile, prevede che i rapporti tra due semitoni successivi della scala cromatica sia pari alla
quantità 12√2, un numero irrazionale, il che fa sì che gli unici rapporti interi fra le note
corrispondano agli intervalli di ottava (il cui rapporto è pari a due).
50 ^ Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da Enzo Restagno", contenuto in AA.VV.
"Gudajdulina", ed. EDT “
Altra nota dal libro di Marcus Du sautoy “L’equazione da un milione di dollari”
(Rizzoli) pag. 63:
7
8
Vediamo ora una connessione con le teorie di stringa, connettendo la serie di
Fibonacci delle vibrazioni musicali con le vibrazioni delle stringhe, legate ai numeri
primi naturali (di forma 6f+1 con f = numeri di Fibonacci anziché n = numeri
√
naturali come per i numeri primi normali) quindi alla serie di Fibonacci.
Dal Rif. 4 (Sulle possibili relazioni matematiche tra Funzione zeta di Riemann,
Numeri Primi, Serie di Fibonacci, Partizioni e Teoria di Stringa), pag.5 , 6 e 7:.
“2. Possibili relazioni matematiche tra teoria di stringa e serie di Fibonacci.
Nardelli ha provato a paragonare le frequenze emesse da una stringa alle frequenze
emesse dalle note musicali. Ad ogni nota è cioè assegnata una ben determinata
frequenza. Ogni frequenza è, a sua volta, associata a dei ben determinati numeri primi.
Le frequenze che vanno dal Do naturale al Si naturale sono: 262Hz, 294Hz, 330Hz,
349Hz, 392Hz, 440Hz e 494Hz. Scomponendo in fattori, i numeri primi che
costituiscono tali frequenze sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 131 e 349.
Come è logico, anche questi numeri possono corrispondere a delle determinate
frequenze. Adesso, proviamo a dividere tutte le frequenze che vanno dal Do naturale
al Si naturale, precisamente 262, 277, 294, 311, 330, 349, 370, 392, 415, 440, 466 e
494, quindi anche i semitoni, per 2, per 4 e per 8,ottenendo così tutte le frequenze
corrispondenti alla tastiera di un pianoforte. Scomponendo in fattori, la serie dei
9
numeri primi che formano tutte le frequenze così ricavate è: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 31,
37, 47, 59, 83, 131, 139 e 233. Di tali numeri il 2 si ripete trenta volte, il 3 undici
volte, il 5 nove volte, il 7 dodici volte, l’11 otto volte, il 13 otto volte, il 31 tre volte
ed il 37 tre volte. Mettendo in grafico la serie dei numeri ed il numero di volte che
esso si ripete, otteniamo una curva che mostra la casualità insita nelle forme frattali.
D’altronde anche il fisico A. Palumbo ha notato che la gradita ripetitività dei
temi di un brano musicale, riproposta in tonalità diverse, risiede nel rispetto dei
principi della geometria frattale. Quindi, le stringhe la cui vibrazione è
dell’ordine di 10-100 Hz, quindi di energia pari a 10−12 , 10−13 eV, possono
essere correlate all’andamento che rispecchia la casualità dei numeri primi,
quindi ad un andamento frattale.
L’esempio stringhe - note può essere benissimo esteso alle altre frequenze e quindi
anche a quelle stringhe di energia pari a quella corrispondente ad un bosone o ad un
fermione. Calcolando i rapporti tra le successive frequenze di vibrazione delle
stringhe, si nota facilmente che esse coincidono quasi perfettamente con le radici 2n –
esime del numero 1,6180339 , cioè la nota “sezione aurea” della serie di Fibonacci.
Infatti, calcolando tali radici, otteniamo i seguenti valori, che per semplicità
indicheremo con le lettere a, b, c: √1,618033 =1,272019... = a , √√1,618033
=1,127838... = b , √√√1,618033 =1,061997... = c .
10
Le successive radici non hanno rilevanza, bastano infatti le prime tre sopra calcolate,
e qualche media aritmetica tra due di esse, molto vicina al valore di qualche rapporto
tra una frequenza ed una delle precedenti indicate dal Nardelli.
Le dodici frequenze indicate, precedentemente, sono: 262 , 277, 294, 311, 330, 349,
370, 392, 415, 440, 466, 494. I rapporti effettivi tra una di loro ed una delle
precedenti è molto vicina ad uno dei numeri a, b e c come 2n -esime radici del
numero 1,618033, o alla media aritmetica tra a e b .
Infatti: (a + b)/ 2 =1,1999285 . Avremo, quindi: 277/262 = 1,05725 = circa c ;
294/277 = 1,06137 = circa c ;
294/262 = 1,12213 = circa b ; 311/262 = 1,18702 = circa media tra a e b ;
311/277 = 1,12274 = circa b ; 311/294 = 1,05782 = circa c ;
330/262 = 1,25954 = circa a ; 330/277 = 1,19133 = circa media tra a e b ;
330/294 = 1,12244 = circa b ; 330/311 = 1,06109 = circa c ;
349/262 = 1,33206 = circa a ; 349/277 = 1,25992 = circa a ;
349/294 = 1,18707 = circa media tra a e b ; 349/311 = 1,12218 = circa b ;
349/330 = 1,05757 = circa c ; e così via, fino all’ultimo numero 494, che ha rapporti
simili con tutti i numeri precedenti a partire da 392: 494/392 = 1,26020 = circa a ;
494/415 = 1,19036 = circa media tra a e b ; 494/440 = 1,12272 = circa b ; 494/466 =
1,06008 = circa c . 7 Per i rapporti tra 494 ed i primi numeri della serie delle
frequenze, il valore ottenuto è maggiore del numero 1,618033. Per esempio: 494/262
= 1,885496. Ma se prendiamo il numero aureo 1,618033 e lo moltiplichiamo per b ,
avremo:1,618033 × 1,127838 = 1,824879 , vicino al rapporto reale 1,885496 , ancor
11
meglio se approssimato alla seconda cifra decimale: 1,82 ≈ 1,88.
La stessa cosa succede con i numeri di Fibonacci. Il rapporto tra un numero di
Fibonacci e la semidifferenza, per es. il rapporto tra 89 e 72 (semidifferenza tra 89 e
55, in quanto: 89 – 55 = 34; 34 / 2 = 17 e 89 – 17 = 72) è di 1,2361 , cioè circa il
numero “a” = 1,272019 , proprio come con i semitoni. Questo potrebbe essere
importante per ulteriori ricerche sull’argomento delle relazioni tra teoria di stringa e
serie di Fibonacci, e anche tra teoria di stringa, numeri primi naturali e semitoni.
Dalla serie delle frequenze, compresi i semitoni, il Nardelli ricava la serie di
numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 31, 37, 47, 59, 83, 131, 139 e 233 che
sembrano essere associati a vibrazioni di stringhe.
Anche quelli che vengono chiamati numeri primi “naturali”, perché spuntano fuori
anche in altri fenomeni naturali, come la stabilità nucleare, sono legati alla serie di
Fibonacci, in modo diverso dai rapporti tra le frequenze oggetto di questo capitolo,
ma comunque strettamente legati ai numeri di Fibonacci, confermando i nostri
sospetti e calcoli sul possibile legame tra vibrazioni delle stringhe, numeri primi (e
quindi funzione zeta di Riemann) e serie di Fibonacci (e quindi anche frattali e caos
quantistico). Stabilito con i suddetti esempi che il rapporto tra una frequenza qualsiasi
e una delle frequenze inferiori è vicinissimo ad una radice 2n -esima (con n = 1, 2 e 4
e radici 2-esime ( 2 ), 4-esime ( 4 ) e 8-esime ( 8 ) ) del numero 1,618033 , quindi
alla sezione aurea, (che potrebbe essere definita anche come una nuova “costante di
stringa”) occorre vedere il significato fisico della relazione matematica così venuta
fuori tra 2n , le radici 2n –esime della suddetta sezione aurea, i numeri primi e i
12
numeri di Fibonacci, che ricompaiono poi anche nei numeri primi naturali, i quali
coincidono con molti dei numeri primi ricavati dal Nardelli.
(Notiamo che i numeri di n, cioè 1, 2 e 4 moltiplicati fra loro forniscono 8 ed anche
i numeri relativi alle radici 2-esime, 4-esime e 8-esime, quindi 2, 4 e 8 moltiplicati fra
loro forniscono 64 = 82. Il numero 8 è un numero di Fibonacci, ed è connesso ai
“modi” corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la
seguente equazione modulare di Ramanujan:
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
e
dx
∫0 cosh πx
142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
w'
−
t w'
4
(
)
e
φ
itw
'
w
'
1
.)
8=
3
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
In questo possibile significato fisico, potrebbe benissimo essere coinvolta la
funzione zeta di Riemann, con la nota somiglianza tra gli intervalli tra gli zeri di
questa funzione (basati sui numeri primi matematici, di forma P = 6n ± 1 tranne il 2
ed il 3) ed i livelli energetici degli atomi, come conseguenza delle vibrazioni delle
stringhe connesse ai numeri primi ottenuti dal Nardelli, (che sono stati identificati con
i numeri primi naturali presenti anche in altri fenomeni naturali) collegabili alla
funzione zeta di Riemann e ad alcune soluzioni di equazioni di teoria di stringa come
è stato evidenziato nei lavori “New mathematical connections concerning string
theory I e II” e in “Teoremi sulle coppie di Goldbach e le coppie di numeri primi
gemelli: connessioni tra funzione zeta di Riemann, Numeri Primi e Teoria di Stringa”.
13
Concludendo, oltre che ai problemi additivi di tipo Goldbach invocati dal
Nardelli, le stringhe e le loro vibrazioni sembrano essere collegate anche alla
serie di Fibonacci, tramite il numero aureo, oltre che ai numeri primi naturali
collegati anch’essi ai numeri di Fibonacci. I nostri sospetti sulla relazione fisicomatematica tra stringhe, numeri primi e numeri di Fibonacci si dimostrano
quindi fondatissimi”
Per il resto si rimanda al Rif 4)
Con questa citazione concludiamo questo lavoro sulla “Musica Aurea”
Conclusioni
Concludiamo brevemente sottolineando come la sezione aurea spunta dappertutto in
natura in base anche alle sue simmetrie geometriche di fondo (Rif.5), e anche nella
straordinaria arte che è la musica, e da questa si collega direttamente ad un altro
fenomeno “vibratorio” questa volta del tutto naturale, costituito dalle stringhe,
argomento molto importante della fisica moderna (vedi anche Rif. 6)
Riferimenti
1) voce di Wikipedia “Successione di Fibonacc”, sito
it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci 2) “Sezione Aurea e Musica” sul
14
sito :www.sectioaurea.com/sectioaurea/S.A.&Musica.htm
3)) “Musica, sezione Aurea e numeri di Fibonacci”, sito l
nx.altreviste.com/.../57-musica-sezione-aurea-e-numeri-di-fibonacci
4) Sulle possibili relazioni matematiche tra Funzione zeta di Riemann, Numeri Primi,
Serie di Fibonacci, Partizioni e Teoria di Stringa.
Dedicato alla memoria del genio matematico S. Ramanujan (1887-1920)
Michele Nardelli, Francesco Di Noto e Annarita Tulumello
5) “L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n^2 + n + 1 (con n
primo)(alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle
partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di stringa)”
Francesco Di Noto, MicheleNardelli
sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
6)”Sistema Musicale Aureo Phi(n/7) e connessioni matematiche tra numeri
primi e “Paesaggio” della Teoria delle Stringhe”Christian Lange1, Michele
Narrdelli2,3 e Giuseppe Bini4,5” sul sito: eprints.bice.rm.cnr.it/628/ - 15k
7) “DAI NUMERI PRIMI AL BOSONE DI HIGGS TRAMITE LE
SIMMETRIE”
(numeri primi-numeri di Lie-gruppi eccezionali di Lie-simmetrieteorie
di stringa-E8xE8-bosone di Higgs)
Gruppo “B. RIEMANN”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
15
…
Nota 1(sulla musica del Bosone di Higgs)
Cliccando sul seguente link http://cdsweb.cern.ch/record/1460881 e
seguendo la pagina web, è possibile ascoltare la musica (sia solo al piano,
sia con più strumenti e le consiglio quest'ultima) che hanno ricavato dai
"dati" inerenti il Bosone di Higgs.
Nel grafico qui di seguito i "dati" da cui è stata ricavata la musica.
(fonte
http://cdsweb.cern.ch/record/1459533/files/SigPlusBkg_inclusi
ve.gif?subformat=icon-640)
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(fonte:
http://www.geant.net/Media_Centre/Media_Library/Media%
20Library/Higgs_Boson_ATLAS_Preliminary_data.pdf)
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