La formula di Binet per i numeri di Fibonacci: una dimostrazione con

La formula di Binet per i numeri di Fibonacci: una
dimostrazione con l’algebra lineare
Francesco Daddi
Agosto 2009
Lo scopo di queste pagine è quello di dimostrare la formula di Binet per i numeri di Fibonacci
facendo uso dell’algebra lineare.
La successione di Fibonacci è definita nel seguente modo:
⎧
⎪
⎨ F0 = 0
F1 = 1
⎪
⎩ F =F
∀n > 1
n
n−1 + Fn−2
osserviamo che, per ogni k ≥ 1, risulta:
Fk+1 = Fk + Fk−1
Fk = Fk
che possiamo riscrivere nel seguente modo:
Fk+1
Fk
se poniamo
uk =
=
Fk+1
1 1
Fk
;
Fk−1
1 0
⎡
Fk
, A=⎣
1 1
⎤
⎦ ,
1 0
si ha:
uk = Auk−1
⇒
2
uk = A uk−2
⇒
...
⇒
k
uk = A u0 dove u0 =
F1
F0
=
1
0
;
dobbiamo cercare di scrivere con una formula chiusa le potenze di A; per risolvere questo problema
possiamo diagonalizzare A:
⎤
⎡
√
⎡
⎡
⎤ ⎡
⎤ 1+ 5
⎤−1
1
1
1
1
1 1
0
⎥ √
√ ⎦⎢
√ ⎦ .
2
⎢
⎣
⎣
⎦=⎣ √
√ ⎥
1+ 5 ⎣
1+ 5
5−1
5−1
⎦
1
−
5
−
−
1 0
0
2
2
2
2
2
2
Ponendo, per semplicità,
⎤
⎡
√
1+ 5
1
1
√ ⎦,D=⎢
2
⎢
P = ⎣ √5 − 1
1+ 5
⎣
−
0
2
2
⎡
⎤
abbiamo
0
⎥
√ ⎥
1− 5 ⎦
2
A = P DP −1 da cui Ak = P D k P −1
e quindi
uk = P D k P −1 u0
Dal momento che
⎡
⎢
Dk = ⎢
⎣
⎢
0
⎢
⎥
⎥
√ ⎦ =⎢
⎢
1− 5
⎣
2
1+ 5
2
0
⎡
⎡ ⎤k
√
1
1
∀k ≥ 1 .
√ k
1+ 5
2
0
⎤−1
√
⎡ √
⎤
⎥
⎥
√ k ⎥
⎥
⎦
1− 5
2
0
5+1
2
1
5⎢
⎢
P
=
√
1+ 5
5−1
5 ⎣ 5−1
−
−1
2
2
2
possiamo ottenere l’espressione generale per i numeri Fk+1 e Fk :
⎤
⎡ √ k
⎡
5
1
+
⎡
⎤
0
⎥√
⎢
1
1
Fk+1
⎥ 5⎢
⎢
2
√
√
⎢
⎢
⎦
=⎣ 5−1
√ k ⎥
⎥
⎢
1
+
5
⎣
5
Fk
⎦
⎣
1− 5
−
0
2
2
2
−1
=⎣ √
√
⎦
⎤
⎥
⎥ ,
⎦
√
⎤
1 ⎥ 1 ⎥
√
⎦ 0 ;
5−1
−1
2
5+1
2
svolgiamo i calcoli:
Fk+1
Fk
√
⎤
⎡
⎡ ⎢
1
1
⎢
5⎣ √
√
⎢
⎦
=
⎢
1
+
5
−
1
5
5
⎣
−
2
2
√ k
1+ 5
2
0
e quindi
⎡ Fk+1
Fk
⎡
⎤⎢
⎢
5⎣ √
√ ⎦⎢
=
1+ 5 ⎢
5−1
⎢
5
−
⎣
2
2
√
1
1
⎤
⎡ √
⎤
5
+
1
0
⎥
⎥⎢
⎥
2
⎢
⎥
√ k ⎥
⎥⎣ √
⎦
5−1
⎦
1− 5
2
2
√ k+1
1+ 5
2
√ k+1
1− 5
−
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ;
⎥
⎦
3
dal momento che
√ √ ±1 ∓ 5
1+ 5
·
= ∓1, abbiamo:
2
2
⎡ Fk+1
Fk
√ ⎢
5⎢
⎢
=
⎢
5 ⎢
⎣
√ k+1 √ k+1
1+ 5
1− 5
−
2
2
√ k
√ k 1− 5
1+ 5
−
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ;
⎥
⎦
se consideriamo solo la seconda coordinata, troviamo la formula di Binet:
⎡
⎤
√ k √ √ k
5⎣ 1+ 5
1− 5 ⎦
Fk =
.
−
5
2
2
Riferimenti bibliografici
[1] M.W. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo: capitolo 1 del materiale didattico per il
master universitario di II livello in “Numeri e Codici. Lezioni di matematica” presso la Scuola Iad
- Università Tor Vergata Roma (A.A. 2008/2009).