1 www.matematicagenerale.it Calcolo delle derivate applicando la definizione di alcune funzioni. Sia f(x) = K, calcoliamo la derivata di tale funzione. Per definizione la derivata è lim h0 f ( x h) f ( x ) h e nel nostro caso: lim h0 f ( x h) f ( x ) k k 0 lim lim 0 h0 h0 h h h Quindi f '( k ) 0 D (k ) 0 [email protected] | G.Grasso 2 www.matematicagenerale.it Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = x. Applichiamo la definizione di derivata: lim h0 f ( x h) f ( x ) h Ovvero nel nostro caso: lim h0 f ( x h) f ( x ) ( x h) x h lim lim 1 h 0 h 0 h h h D( x) 1 Calcoliamo la derivata della funzione f(x)=x2 Applichiamo la definizione di derivata: lim h0 f ( x h) f ( x ) h Ovvero nel nostro caso: lim h 0 f ( x h) f ( x ) ( x h) 2 x 2 x 2 2 xh h 2 x 2 h(2 x h) lim lim lim 2x h 0 h 0 h 0 h h h h D( x 2 ) 2 x [email protected] | G.Grasso 3 www.matematicagenerale.it La derivata della funzione f(x )= xn ( n ) Applicando la definizione di si può calcolare la derivata della funzione f(x) =xn f '( x) x n 1 D( x n ) x n1 Applichiamo la definizione di derivata lim h0 f ( x h) f ( x ) h tenendo conto che: si ha: Di seguito proveremo questa regola con il principio di induzione. Calcoliamo, usufruendo della definizione, la derivata di f(x)=lnx Applichiamo la definizione di derivata: lim h0 f ( x h) f ( x ) h Nel nostro caso f(x+h)= ln (x+h) e f(x) = lnx pertanto: lim h0 f ( x h) f ( x ) ln( x h) ln( x ) ln( x h) ln x lim lim lim h0 h0 h0 h h h h Mettiamo in evidenza x : [email protected] | G.Grasso 4 www.matematicagenerale.it h ln x(1 ) ln x x lim lim h 0 h 0 h h Applichiamo la proprietà del prodotto di logaritmi: h h ln(1 ) ln x ln(1 ) ln x x x lim ln x lim ln x lim lim lim h 0 h 0 h 0 h 0 h h 0 h h h h Semplifichiamo i termini simili e riconosciamo il limite fondamentale nel primo limite: lim x 0 ln(1 x ) 1 x quindi dividiamo e moltiplichiamo per x al denominatore: h ln(1 ) x 1 lim h 0 h x x x Dunque: D (ln x ) 1 x [email protected] | G.Grasso 5 www.matematicagenerale.it Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = senx. Applichiamo la definizione di derivata: lim h0 f ( x h) f ( x ) h Nel nostro caso f(x+h)= sen (x+h) e f(x) = senx pertanto: f ( x h) f ( x ) sen( x h) sen( x) lim h0 h0 h h Applichiamo le formule di addizione: lim lim h0 sen( x h) sen( x ) senx cos h senh cos x sen ( x ) lim h 0 h h Mettiamo sen x in evidenza: lim h0 senx (cos h 1) senh cos x senx (cos h 1) senh cos x lim lim h0 h0 h h h Riconosciamo 2 limiti notevoli: senh 1 cosh 1 lim 0 x 0 h h e x0 lim Quindi: 0 lim h0 1 senx (cos h 1) senh cos x lim cos x h 0 h h D ( senx ) cos x [email protected] | G.Grasso 6 www.matematicagenerale.it [email protected] | G.Grasso