Modulo 1 - Matcos

Modulo 1°
Numeri
Statistiche
Programmi Matcos
1.
Problema n° 1
Il Sig. Rossi, titolare di un rinomato ristorante, ha trovato
ottimamente appetitosa la seguente ricetta:
Penne a candela con salsiccia e fagioli borlotti, per quattro persone:
A. Ingredienti:
350g di penne a candela; 300g di polpa di pomodoro; 200g di fagioli
borlotti; 60 g di salsiccia, uno spicchio di aglio, ½ scalogno tritato, sale,
pepe, prezzemolo e olio extravergine d’oliva q.b.
B. Preparazione
Pelare la salsiccia, tagliare a pezzetti, farla rosolare con l’aglio e lo
scalogno in un goccio d’olio; unire la polpa di pomodoro, aggiustare il
tutto con sale e pepe e un pizzico di zucchero; unire i fagioli e fare
cuocere per 15’; cuocere le penne a candela in abbondante acqua salata,
scolare al dente e unire alla salsa facendo saltare in padella. Servire con
una guarnizione di prezzemolo tritato.
Vuole realizzarla, ma il suo problema è che i clienti che si sono
presentati sono 6 e non 4. Come fare?
Soluzione
Per la parte A è chiaro che bisogna aumentare le dosi di ogni singolo
ingrediente, ma di quanto?
Il nostro bravo Sig. Rossi ricorda che questo è un problema di
matematica e che, in fondo, lui a scuola se la cavava assai bene in questa
disciplina. Prende, allora, carta e penna e ragiona: se per 4 persone
occorrono 350g di Penne, per una sola persona occorrono (350:4)g e
quindi se x è il risultato, moltiplicando x per 6 cioè 6x, trovo i grammi di
penne che mi occorrono. Allora le stesse operazioni le devo ripetere per
ogni singolo ingrediente.
13
Con santa pazienza alla fine trova la quantità degli ingredienti
necessari:
1
525g di penne, 450g di polpa di pomodoro, 90g di salsiccia, 1 e
2
3
spicchio di aglio tritato,
scalogno tritato, sale, pepe, prezzemolo, olio
4
extravergine q.b.
Prima di affrontare la parte B del problema, facciamo qualche
osservazione sulla matematica che ha fatto il Sig. Rossi.
2.
Numeri naturali e razionali assoluti
1 3
, , ecc. come si
2 4
chiamano questi numeri? Anzitutto appartengono a due categorie: quelli,
detti interi perché rappresentano quantità intere, come 4, 6, 300 ecc, e quelli
1 3
detti frazionari perché rappresentano una parte di unità intere come , ,
2 4
ecc.
Abbiamo incontrato numeri quali 4, 6, 300, 200 ecc.
Il Sig. Rossi ha usato numeri interi per esprimere quantità: 350
grammi, 4 persone ecc.
Con i numeri interi si possono, però, rappresentare anche altre
situazioni.
Ad esempio il Sig. Rossi dispone i tavoli in fila e per indicarli usa la
numerazione prima (1°), seconda (2°) e così via.
Per distinguere, allora, questi due usi, diremo cardinale un numero che
risponde alla domanda quanto?, quanti?. Diremo, invece, ordinale un
numero che risponde alla domanda: quanto distante in una fila? Prima o
dopo?
Vi sono, infine, numeri che, come i nomi della gente, vengono usati solo
per identificare oggetti diversi: ad esempio l’autobus 44, la trentesima
strada, etc. In tale circostanza si parla di numeri etichetta.
Sorge, subito una domanda: Quanti sono i numeri interi?
14
Cominciando a contare, ovvero a recitare la filastrocca 0, 1, 2, 3,…... non
finiremmo mai, perché ogni volta aggiungiamo un’unità (1) al precedente
ottenendo un nuovo numero intero.
Diremo allora che i numeri interi sono infiniti.
Siccome, come abbiamo constatato, questi numeri sono importanti e sono
utilizzati da tutto il genere umano, per esigenze primarie, è opportuno creare
simboli, nomi e significati che siano universali (ovvero validi per il cinese
come per l’americano).
Allora i matematici hanno convenuto nel dire che la totalità dei numeri
interi, di cui abbiamo parlato, si chiama insieme dei numeri naturali e si
indica con la lettera maiuscola N .
Per indicare un qualsiasi numero naturale, in maniera universale,
scriviamo
a∈N
(1)
ove " a " è la lettera dell’alfabeto, ma potevamo scrivere una qualsiasi altra
lettera; il simbolo ” ∈ “ (inventato dai matematici e non creato da Dio!) si
legge ”elemento”, ”appartiene” o loro sinonimi.
Per esprimere la quantità di aglio e scalogno abbiamo dovuto usare altri
1 3
1
tipi di numeri, quelli che abbiamo chiamato frazionari: , , 1 e ecc.
2 4
2
Questi numeri, dunque, non rappresentano quantità intere, ma parti di
esse, sia più piccole dell’unità che più grandi. Ad esempio:
1
è più piccolo di 1, infatti rappresenta la metà di una parte intera;
2
3
è più grande di uno e sappiamo che vale una parte intera più una sua
2
metà.
Ciascun numero frazionario, dunque, è individuato da due numeri interi,
uno che rappresenta in quante parti è stata divisa l’unità intera e l’altro il
numero di queste che sono state considerate.
Per l’universalità si è, poi, convenuto di scrivere questi numeri staccati da
un breve tratto di linea, uno sopra (il numero di parti prese) e l’altro sotto (il
numero di parti di suddivisione):
1 3
a
,
,……….
b
2 2
ciascun simbolo di questi è anche chiamato frazione.
15
E’ evidente che nella frazione occorre fare attenzione al numero che sta
sopra e a quello che sta sotto la linea, perché come abbiamo visto, hanno
diversi significati.
Possiamo, perciò, dire che:
un numero frazionario, o frazione è una coppia (due) ordinata
(distinguere il primo che sta sopra, e si chiama numeratore, dal secondo che
sta sotto la linea e si chiama denominatore) di numeri naturali, con il
secondo diverso da zero (non si può certo dividere in zero parti).
Ne scaturisce che:
i numeri frazionari sono infiniti, la totalità di essi si chiama insieme dei
+
numeri razionali assoluti e si designa, in modo universale, con Q .
Così se scrivo
a ∈ Q+
voglio intendere che a è un numero frazionario, che può essere
(2)
1
, ma
2
4
c
e quindi, in generale, la frazione
dove c e d sono numeri
d
5
naturali, con d ≠ 0 .
Osserviamo che ogni numero naturale si può scrivere come frazione:
2
2=
1
5
5=
1
a
a ∈ N a = ∈ Q+ .
1
Si esprime ciò dicendo che l'insieme N è incluso in Q+ e si scrive
N ⊂ Q+ .
anche
2.1. Moltiplicazione e Divisione
Ritornando al Sig. Rossi dobbiamo riconoscere che egli, per poter
risolvere il suo problema, ha dovuto eseguire delle”operazioni” sia con i
numeri naturali che con numeri frazionari o razionali assoluti.
16
In particolare egli ha dovuto eseguire l’operazione di divisione e di
moltiplicazione.
La divisione per determinare la quantità di ogni singolo ingrediente
per persona (divisione in matematica sotto intende parti uguali) e poi
moltiplicare (ovvero addizionare ripetutamente la stessa quantità) per il
numero di persone che in quel momento aveva come clienti.
Dunque negli insiemi dei numeri naturali e razionali assoluti sono
possibili “operazioni”. Ma cosa vuol dire “operazione”?
“Operazione” vuol rappresentare un procedimento che a partire da due
numeri assegnati fa scaturire un risultato in modo univoco, risultato che può
essere costituito da uno ed un sol numero o più numeri, ma in questo caso
ciascuno con preciso significato.
Infatti la moltiplicazione nei naturali partendo da due numeri, detti
universalmente fattori, basandosi sul meccanismo dell’addizione ripetuta, fa
corrispondere in modo univoco ed inequivocabile il risultato, costituito da
uno ed un solo numero, che, per l’appunto prende il nome di prodotto.
Il simbolo per indicare la moltiplicazione è " × " ;
così
3× 4
significa addizionare 3 per quattro volte:
3+3+3+3,
oppure addizionare 4 tre volte
4+4+4.
Allo stesso modo se a ∈ N , b ∈ N
a×b
vuol dire che il numero a è addizionato b volte o che il numero b è
addizionato a volte.
Ne segue che l’ordine dei fattori non è importante cioè
a×b = b× a
(3)
Questa proprietà della moltiplicazione si esprime dicendo che cambiando
l’ordine dei fattori il prodotto non cambia e si chiama proprietà
commutativa.
La moltiplicazione, perciò, la possiamo rappresentare con la struttura
rappresentata in Figura 1
17
Dato
Fattore
Dato
Fattore
Operazione
Prodotto
Risultato
Figura 1 - Schema dell’operazione moltiplicazione
L’operazione di divisione nei naturali è diversa dalla moltiplicazione,
anzi, in qualche caso, in un certo senso, è l’operazione inversa.
Dati i due numeri naturali, il primo rappresenta la quantità da ripartire,
perciò viene detto dividendo, il secondo il numero di parti, perciò viene
detto divisore; si capisce subito che il loro ruolo non è interscambiabile, a
differenza della moltiplicazione in cui, abbiamo visto l’ordine dei fattori non
influisce sul risultato.
Il procedimento di ripartizione in parti uguali porta inequivocabilmente al
risultato costituito da due numeri: uno rappresenta il numero di volte che il
divisore è contenuto nel dividendo, ed è detto quoziente intero o quoto, il
secondo, rappresenta il numero di unità del dividendo necessariamente
inferiore al divisore, che sono eventualmente avanzate nella ripartizione,
perciò detto resto; naturalmente il resto può essere zero; quando ciò accade
si dice che il divisore è un fattore del dividendo o che questo è divisibile per
il divisore.
Quando il resto è uguale a zero, la divisione è l’operazione inversa della
moltiplicazione, ovvero se
a :b = c
allora
b×c = a
18
Il simbolo con cui si indica la divisione nei naturali è “ : ”.
Lo schema grafico è riportato in Figura 2
Dividendo
Divisore
Divisione :
Quoziente
Resto
Figura 2 - Schema della divisione
Anche nell’insieme dei numeri razionali assoluti, Q+ , si possono definire
le operazioni di moltiplicazione e divisione. Infatti se
a c
,
b d
sono due frazioni, ossia due elementi di Q+ , si definisce loro prodotto la
e
ottenuta ponendo e = a× c, f = b× d, ovvero
frazione
f
a c a× c
× =
.
b d b× d
Dunque la moltiplicazione in Q+ ha la stessa struttura della
moltiplicazione in N , cioè per ogni due elementi di Q+ esiste uno ed un
solo elemento di Q+ che è chiamato il loro prodotto. Ricordando, poi, la
proprietà commutativa del prodotto in N si ha
a× c = c× a, b× d = d × b
e quindi
19
a c c a
× = ×
b d d b
(4)
cioè anche in Q+ vale la proprietà commutativa del prodotto.
Per definire l’operazione di divisione in Q+ introduciamo prima il
concetto di reciproco di un numero naturale o razionale assoluto.
1
chiamasi reciproco di a ,
Se a ∈ N e a ≠ 0 il numero frazionario
a
analogamente se
c
∈ Q+ , con c ≠ 0 ,
d
d
c
il numero ∈ Q+ chiamasi reciproco di
e risulta
c
d
c d
× = 1.
d c
Date ora due frazioni
a c
, con c ≠ 0
b d
si definisce la divisione come:
a c a d a×d
.
: = × =
b d b c b×c
Possiamo, perciò, dire che la divisione di due frazioni di cui la seconda
0
con b ≠ 0 ) si ottiene
diversa da zero (zero è anche una frazione del tipo
b
moltiplicando la prima per il reciproco (inversa) della seconda (ovvero
invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione).
Esempi
ƒ
ƒ
1 3 1× 3 3
× =
= ;
2 5 2 × 5 10
4 7 4 × 7 28
× =
= ;
3 8 3 × 8 24
20
ƒ
ƒ
3 2 3 3 9
: = × = ;
5 3 5 2 10
7 2 7 15 105
: = × =
;
8 15 8 2 16
2.2. Il computer
Il Sig. Rossi, però, si accorge subito che qualcosa deve essere
perfezionata, dal momento che in sala si presentano spesso comitive di
clienti, costituite da un numero sempre diverso di persone, che chiedono
le ormai famose”Penne”, per cui egli è costretto ogni volta a”fare”prima
il matematico per aggiustare le dosi e poi il cuoco, con grande impegno
di energia e tempo.
Gli viene suggerito di fare uso del computer e dell’ambiente di
programmazione Matcos, dunque, con molto entusiasmo e curiosità egli
incomincia a studiare. Installato il programma Matcos scopre che:
per introdurre un numero naturale nel calcolatore occorre cliccare su
”File”e quindi su ”Nuovo”e dare il comando
a=legginum;
ove a, ma al suo posto ci poteva essere una qualsiasi altra lettere o
carattere alfanumerico come a1, alfa2, ecc. è il nome che individua la
cella della memoria del calcolatore ove si vuole inserire il numero;
legginum è la parola chiave del linguaggio e ”;” chiude il comando.
Cliccando, poi, su”esegui”compare sul video (Figura 3)
21
Figura 3
e quindi si può digitare
proseguire.
Per essere certi che,
effettivamente il numero
programma cliccando sulla
comando
il numero desiderato e cliccare su OK per
nella cella individuata con ”a” ci sia
che abbiamo introdotto, ritorniamo al
”torretta” in alto a destra e aggiungiamo il
Stampa(a);
ed eseguiamo, si ha in sequenza (Figura 4 e Figura 5)
22
Figura 4
Figura 5
Abbiamo allora costruito il programma
23
a=legginum;
stampa(a);
che consente di inserire un qualsiasi numero e di stamparlo. Se invece
vuole inserire un numero frazionario, ovvero una frazione, egli deve
cambiare solo la parola ”magica” legginum in leggifraz, cioè deve
scrivere
a=leggifraz;
Per la stampa deve scrivere :
stampafraz(a);
e procedere come prima.
Per poter specificare di che numero si tratta, Matcos consente di
completare i comandi precedenti come segue
a=legginum(“grammi di penne”);
stampa(“i grammi di Penne sono”, a);
ovvero tra “ ” poste in parentesi prima del; si può scrivere un qualsiasi
commento.
Prima di proseguire nel linguaggio Matcos, il Sig. Rossi osserva ed
apprezza che per introdurre un qualsiasi numero nel calcolatore, ha usato
una lettera dell’alfabeto, ovvero ha indicato con una lettera un valore
numerico da precisare all’occorrenza. Questo è un modo per
schematizzare processi, ovvero per astrarre situazioni che possono
essere diverse da momento a momento.
Occorre, ora, capire come si fanno le operazioni in Matcos; in
proposito il Sig. Rossi ricorda che un’operazione ha bisogno di due dati,
allora, egli pensa, bisogna ripetere due volte il comando legginum
a=legginum(“numero grammi di Penne”);
b=legginum(“numero persone”);
Il risultato dell’operazione sarà uno o più numeri, ad esempio se ci
serve moltiplicare a × b , ovvero il numero di grammi di penne, per il
numero di persone, il risultato sarà un solo numero che individuiamo con
un’altra lettera, ad esempio, c e scriveremo
c = a* b;
ove abbiamo sostituito il segno del prodotto usuale × con ∗ , perché il
nostro linguaggio Matcos così richiede. Per conoscere, poi, il valore di c
basta aggiungere l’ulteriore comando
Stampa(“il prodotto a x b è”, c);
24
Per effettuare la divisione tra due numeri naturali, ricordiamo che
essa ha come risultato il quoto ed il resto; il quoto si ottiene con
l’operatore DIV, ovvero si scrive
c=a DIV b;
ed il resto con l’operatore RDIV cioè si scrive
r=a RDIV b;
per conoscere i valori si aggiunge:
stampa(“il quoto è”,c,” il resto è ”,r);
Se invece dobbiamo effettuare la moltiplicazione e la divisione
nell’insieme Q+ , ovvero tra due frazioni l’operatore per la
moltiplicazione resta invariato:
*
mentre per la divisione esso è
/
da notare che nella divisione tra due frazioni non abbiamo resto.
In definitiva per moltiplicare, dividere due numeri naturali e
frazionari si può avere il seguente programma
a = legginum("numero naturale");
b = legginum("numero naturale");
c = a*b;
q = a DIV b;
r = a RDIV b;
f = leggifraz;
g = leggifraz;
h = f*g;
i = f/g;
stampa("il prodotto di ",a, " e ",b, " è ",c," il quoto
è ",q," il resto è ",r);
stampafraz(h,"moltiplicazione di f per g");
stampafraz(i,"divisione di f per g");
Nella seguente Tabella 1 sono riportati gli operatori Matcos per la
moltiplicazione e la divisione in N , rispettivamente in Q+ .
25
Operazione
Simbolo
in
N
Operatore
Matcos
Simbolo
in Q
+
Operatore
Matcos
Moltiplicazione
×
*
×
*
Divisione
:
DIV(quoto)
:
/
RDIV(resto)
Tabella 1
Il Sig. Rossi può, ora, risolvere il suo primo problema col computer e
imposta il seguente programma
a = legginum(“numero clienti”);
b =(350 DIV 4)*a;
stampa(“numero grammi di Penne”, b);
c =(300 DIV 4)*a;
stampa(“grammi di polpa di pomodoro”, c);
d =(200 DIV 4)*a;
stampa(“grammi di borlotti”, d);
s =(60 DIV 4)*a;
stampa(“numero grammi di salsiccia”, s);
f = frazione(1,4)*a;
g = frazione(1,8)*a;
stampafraz(f);
stampafraz(g);
Eseguendo questo programma, dunque, il Sig. Rossi dispone delle
quantità degli ingredienti necessari, per qualunque numero di persone si
presentino. Di certo, però, egli non può tenere il computer acceso con
questo programma implementato, per tutta la giornata e per i giorni
successivi; sente, perciò, il bisogno di salvarlo e richiamarlo quando
necessita. Scopre che per questa operazione occorre cliccare su”File”e
poi su”Salva con nome”. A questo punto comparirà la schermata (Figura
6)
26
Figura 6
che ci chiede di inserire il nome col quale salvare il programma e noi
inseriamo
Ricpequan.mcs
per intendere ricetta penne quantità ingredienti; naturalmente avremo
potuto scrivere qualunque altro nome, mcs è l'estensione dei programmi
Matcos.
Così quando occorre, basta cliccare su
“File”, poi su”Apri”
ed inserire il nome Ricpequan.
2.3. Algoritmi
Passiamo, ora, alla parte B del problema ovvero alla realizzazione
effettiva della ricetta, per la quale il Sig Rossi si trova davanti una
sequenza ordinata di operazioni da compiere manualmente, che
richiedono abilità specifica, buon gusto, ma anche un certo rigore. Infatti
figurano parole come”pizzico”, ”goccio”, q.b. etc che richiedono
evidentemente esperienza e capacità culinarie, ma esiste, anche, un
ordine rigoroso tra le varie azioni da compiere; ad esempio non si
possono unire alla salsa le penne, se queste non sono state cotte, così
27
come la ricetta richiede di unire i fagioli dopo aver unito i pomodori ed
aver aggiustato le spezie.
Tutto ciò, si direbbe, è lontano dal nostro ambiente, ovvero la
matematica e il calcolatore; mica tanto se si osserva che l’ordine imposto
dalla preparazione della ricetta è analogo all’ordine richiesto dalla
costruzione di un algoritmo e dal relativo programma per il calcolatore.
Infatti, ad esempio, nel programma Ricepequan, non posso invertire il
comando
a = legginum(“numero clienti”);
con
c =(300 DIV a)*a;
Quindi la ricetta ricorda il concetto di algoritmo in matematica e
informatica:
un algoritmo è una sequenza ordinata e finita di istruzioni chiare e
inequivocabili, che portano alla soluzione del problema con un numero
finito di operazioni aritmetiche.
Un programma per il calcolatore elettronico è la traduzione in un
linguaggio di programmazione, di un algoritmo.
28
3.
Problema n° 2 (Costo e guadagno)
Risolto il problema del calcolo della quantità degli ingredienti in
dipendenza del numero dei clienti, Il Sig. Rossi vuole sapere il costo
della ricetta ed il suo giusto guadagno.
Quindi tenendo conto che:
1 Kg di Penne costa 1,02 €
1 Kg di polpa di pomodoro costa 1,58 €
1 Kg di fagioli borlotti costa 2,49 €
1 Kg di salsiccia costa 5 €
1 spicchio d’aglio 0,05 €
1
scalogno 0,08 €
2
pepe, sale e olio 0,10 €
e che la preparazione incide per il 10%, se egli vuole realizzare un
guadagno netto pari al 30% dei costi effettuati, quanto dovrà richiedere
per ogni porzione della pietanza?
Soluzione
Essendo il Sig. Rossi esperto in matematica comincia a ragionare:
poiché il costo degli ingredienti è dato per Kg bisognerà riportarlo al
grammo e moltiplicare quest’ultimo per il numero di grammi previsti in
ogni porzione, così come calcolato nel precedente problema.
Tale operazione si realizza dividendo per 1000 (perchè 1Kg = 1000g)
il costo di ciascun ingrediente; ciò fatto è sufficiente moltiplicare per il
numero dei grammi previsti per ottenere il costo di ogni ingrediente.
Facendo la somma di tali costi si ottiene la spesa totale degli ingredienti.
A tale cifra occorrerà aggiungere il 10% (ovvero 10 € per ogni 100 euro)
previsto per la manodopera per ottenere il costo vivo di ogni singola
porzione. Volendo egli guadagnare il 30% (ovvero 30 € per ogni 100)
della spesa effettuata, a questa dovrà aggiungere tale importo, per
ottenere il costo al pubblico di una porzione della sua prelibata pietanza.
Nella Tabella 2 sono riportati i calcoli
29
Ingrediente
Dosi per 4 persone
Costo
gr/Porz.
Costo/Porz.
Penne
350 gr
1,02 € / Kg
87,5 gr
0,08925€
Polpa Di Pomodoro
300 gr
1,58 € / Kg
75 gr
0,1185 €
Fagioli
200 gr
2,49 € / Kg
50 gr
0,1245 €
Salsiccia
60 gr
5,00 € / Kg
15 gr
0,075 €
1
0,05 €
-
0,0125 €
Scalogno
1/2
0,08 €
-
0,02 €
Pepe Sale Olio
q.b.
0,10 €
-
0,025 €
Aglio
0,46475 €
Spesa Totale
Ingredienti/Porz.
0,51 €
Costo Vivo/Porz.
Spesa Tot. Ingred. +
Costo Manodop.
0,66 €
Costo /Porz.
Costo
vivo/Porz.+guadagno
Tabella 2
3.1. Addizione e Percentuale
In questo problema il Sig. Rossi ha dovuto di nuovo applicare il
concetto di divisione, per riportare ad un grammo il costo di 1 Kg di
ingrediente, e quello di moltiplicazione, dovendo conoscere il costo di
un certo numero di grammi per ogni ingrediente.
Successivamente ha dovuto, però, anche applicare il concetto di
addizione, per ottenere il costo di tutti gli ingredienti.
L’addizione è, dunque, l’operazione basata sulla legge del contare che
ognuno di noi, quasi, impara da sé. Essa ha la stessa struttura della
moltiplicazione, infatti assegnati due numeri, detti addendi, se ne trova
un solo altro, detto somma (fig. 7);
30
Addendo
Dato
Addendo
+
Dato
operazione
addizione
Risultato
Somma
Figura 7 - Struttura dell’addizione
E’ facile riconoscere che anche per l’addizione vale la proprietà
commutativa:
cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia
a+b =b+a.
Infatti addizionare il costo delle penne a quello dei fagioli è lo stesso che
addizionare il costo dei fagioli a quello delle penne.
Il Sig. Rossi osserva anche che, sommando al costo delle penne e dei
fagioli, il costo della polpa di pomodoro, trova lo stesso risultato, se somma
al costo della polpa e dei fagioli il costo delle penne.
Egli ha, così, osservato la proprietà associativa dell’addizione:
a + (b + c ) = (a + b) + c
(5)
ove con a, b, c abbiamo indicato tre numeri naturali.
Il Sig. Rossi, a dire il vero, qualche difficoltà l’ha incontrata nel
calcolare la percentuale, ovvero”un tanto per cento”; ma, dopo attenta
riflessione, si è accorto che il 10% (e successivamente il 30%)
significando 10 per ogni 100, si ottiene dividendo per 100 il numero
disponibile e poi moltiplicando il risultato per 10.
31
Quindi abbiamo la regola
La percentuale di una quantità si ottiene dividendola per 100 e
moltiplicando il risultato per la”quota”percentuale.
y
In formule l’ x 0 0 della quantità y è
×x.
100
x% di y =
y
yx
×x=
100
100
(6)
■
Un bel giorno il Sig. Rossi, avendo bisogno di denaro, pensò di
offrire al pubblico la sua pietanza al costo doppio di quello effettivo;
ovvero se il costo effettivo è x lui pose la vendita a 2 x . Anzi pensò che
se avesse raddoppiato il costo di ogni singolo ingrediente alla fine
avrebbe guadagnato ancora di più. Così facendo, però, rimane sorpreso
vedendo che il ricavo totale non era variato. Si mise allora a pensare per
scoprire l’arcano e ragionò se
a è il costo delle penne
b è il costo di………….
c è il costo di …………
d è il costo di ………….
a + b + c + d = x è la spesa totale
Se la raddoppio trovo 2 x .
Raddoppiando invece il costo di ogni singolo ingrediente trovo
2a , 2b , 2c , 2d
e quindi sommando trovo
2a + 2b+ 2c + 2d,
ma poiché il totale non è variato deve essere
2a + 2b + 2c + 2d = 2 x
essendo
x = a + b + c + d , 2x è 2(a +b + c + d)
e allora deve essere
2a + 2b + 2c + 2d = 2(a + b + c + d ) .
Egli ha così scoperto la proprietà, detta, distributiva del prodotto
rispetto alla somma, che in generale si può scrivere
a(b + c)= ab + ac
(7)
32
■
Il Sig. Rossi riflettendo si accorge di aver ricordato l’operazione di
addizione nei numeri naturali e si chiede se e come sia possibile la stessa
operazione per le frazioni ovvero nei numeri razionali assoluti.
Si accorge subito che se ha le frazioni
a c
e
b b
la loro somma non può che ottenersi sommando i numeratori (se
aggiungo a parti con c parti di una stessa quantità ottengo a + c parti
della stessa quantità)
cioè
a c a+c
+ =
.
b b
b
Osservando, poi, che
a+c = c+a
possiamo subito scrivere
a c c a
+ = +
b b b b
cioè per l’addizione così definita vale la proprietà commutativa.
E’ facile vedere che si ha anche la proprietà associativa
a ⎛c d ⎞ ⎛a c⎞ d
+⎜ + ⎟ =⎜ + ⎟+ .
b ⎝b b ⎠ ⎝b b ⎠ b
Nel caso in cui, le due frazioni date non hanno lo stesso denominatore
non si può applicare direttamente la definizione precedente.
Il problema è però risolvibile con un procedimento che, date due frazioni
con denominatore diverso ne determina due altre rispettivamente ad
esse”equivalenti”ma con uguale denominatore.
33
2
4
e
rappresentano la stessa
3
6
quantità, (dividere in 3 e prenderne 2 è lo stesso che dividere in 6 e
prenderne 4) quindi le diremo equivalenti 1.
2
4
e
che abbiamo detto equivalenti, si
Osservando le due frazioni
3
6
trova che la seconda si ottiene dalla prima moltiplicando numeratore e
denominatore per uno stesso numero, nella fattispecie 2. In generale
possiamo enunciare la proprietà invariantiva delle frazioni:
Moltiplicando/dividendo per uno stesso numero naturale diverso da zero,
numeratore e denominatore di una stessa frazione, si ottiene una frazione
ad essa equivalente. Frazioni equivalenti si identificano e si dice anche che
sono eguali:
(8)
a a×k a : h
h,k ∈ N h,k ≠ 0
=
=
b b× k b : h
E’ facile riconoscere che le due frazioni
Importante è osservare che nelle frazioni equivalenti vale la regola del
prodotto in croce: numeratore della prima per il denominatore della seconda
= numeratore della seconda per il denominatore della prima.
Quindi possiamo dire
a c
=
se e solo se a× d = b× c
b d
Esempio 1
Le seguenti frazioni sono equivalenti
1 2 3 9 27 10 100
.
, , , ,
,
,
2 4 6 18 54 20 200
La proprietà invariantiva ci consente di ridurre due frazioni allo stesso
denominatore e quindi di sommarle.
Il procedimento è dato dal seguente algoritmo:
1
Frazioni equivalenti, spesso sono dette anche uguali e per esse si usa il segno di
uguaglianza cioè si scrive
a c
= anche per indicare che sono equivalenti
b d
34
Date le frazioni
a c v
, ,
b d t
a) determinare il minimo comune multiplo dei denominatori
m.c.m.(b,d,t) = s
b) calcolare i quozienti
s : b = r1 ,
s : d = r2
s : t = r3
quindi
c)
a a × r1 a × r1
=
=
,
b b × r1
s
c c × r2 c × r2
=
=
,
d d × r2
s
v v × r3 v × r3
=
=
,
t t × r3
s
Per ottenere la somma
a c v
+ +
b d t
d)
basta calcolare la somma
a × r1 c × r2 v × r3
+
+
,
s
s
s
che è uguale a
a × r1 + c × r2 + c × r3
.
s
Esempio 2
Calcolare la somma
5 7 3
, ,
.
6 8 20
m.c.m.(6, 8, 20)=120
120 : 6 = 20
120 : 8 = 15
120 : 20 = 6
5 5 × 20 100
=
=
6 6 × 20 120
7 7 × 15 105
=
=
8 8 × 15 120
3
3× 6
18
=
=
20 20 × 6 120
35
5 7 3 100 + 105 + 18 223
.
+ +
=
=
6 8 20
120
120
■
Per ottenere la somma di due frazioni con Matcos, l’operatore si indica
ancora con +, oppure si può seguire l’algoritmo sopra esposto, tenendo
conto che il comando per ottenere il minimo comune multiplo di due o più
numeri è
<identificatore> = mcm(<numero>,<numero>…….);
Il seguente programma, date due frazioni ne calcola la somma con
l’operatore diretto
a = leggifraz;
b = leggifraz;
c = a+b;
stampafraz(c);
Per eseguire la somma di due frazioni con l’algoritmo di riduzione allo
stesso denominatore, occorre introdurre le frazioni specificandone
numeratore e denominatore; il comando necessario è
<identificatore> = frazione(<numero>, <numero>);
ove <identificatore> è una lettera che indicherà la frazione,”frazione”è la
parola chiave, <numero>, <numero> sono nell’ordine numeratore e
denominatore.
Il programma può essere così impostato
a = legginum("numeratore prima frazione");
b = legginum("denominatore prima frazione");
c = legginum("numeratore seconda frazione");
d = legginum("denominatore seconda frazione");
f = frazione(a,b);
g = frazione(c,d);
s = mcm(b,d);
a1 = a*(s/b);
c1 = c*(s/d);
a2 = a1+c1;
h = frazione(a2,s);
stampafraz(h);
stampa("la somma di ",a,"/",b," e di ",c,"/", d," è
",a2,"/",s);
36
Date due frazioni che non siano uguali possiamo stabilire quali di esse è
maggiore o minore. Se le due frazioni da confrontare hanno lo stesso
denominatore allora è facile stabilire il confronto: sarà maggiore quella che
ha il numeratore maggiore.
a
c
Per indicare che la frazione è maggiore della frazione si scriverà
b
b
a c
>
b b
e per indicare che è minore si scriverà, invece
a c
< .
b b
Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore occorrerà riferirci a
due frazioni equivalenti, ma con lo stesso denominatore.
Tuttavia per il confronto si può evitare l’esplicita riduzione allo stesso
denominatore ricorrendo alla regola del prodotto in croce:
il numeratore della prima per il denominatore della seconda e viceversa il
denominatore della prima per il numeratore della seconda e confrontare
questi due numeri naturali.
Dunque
a c
>
se e solo se a × d > b × c
b d
(9)
e
a c
< se e solo se a × d < b × c.
b d
a c
a c
Spesso si scrive anche ≥ (oppure ≤ ) e si legge
b d
b d
(10)
a
maggiore (minore) o uguale.
b
In Matcos l’operatore per il confronto si scrive allo stesso modo
<, >, <=, >=
■
37
Il Sig. Rossi credeva di aver risolto tutti i problemi matematici relativi
al costo della sua ricetta, incluso il guadagno. Ben presto, però, si
accorse che così non era, infatti recandosi al mercato per la compera
degli ingredienti, trovava che i prezzi unitari cambiavano quasi
giornalmente, così era costretto a rifare tutto il calcolo. Pensò, allora, di
nuovo al computer ed ad un programma che riducesse al minimo il suo
lavoro matematico giornaliero. Dopo attento studio egli scrisse il
seguente programma:
stampa("costo con guadagno del 30% della ricetta Penne
a candela con fagioli per n persone");
n = legginum("numero di persone");
a = legginum("costo di un Kg di penne");
b = legginum("costo di un Kg di polpa di pomodoro");
c = legginum("costo di un Kg di fagioli borlotti");
d = legginum("costo di un Kg di salsiccia");
e = legginum("costo di uno spicchio di aglio");
f = legginum("costo di scalogno");
a1 =(a/1000)*(350/4)*n;
b1 =(b/1000)*(300/4)*n;
c1 =(c/1000)*(200/4)*n;
d1 =(d/1000)*(60/4)*n;
e1 = e/4;
f1 = f/8;
costo = a1+b1+c1+d1+e1+f1;
ser =(costo /100)*10;
costo1 = costo + ser;
gua =(costo1 /100)*30;
costop = costo1 + gua;
Stampa("il costo al pubblico della ricetta è", costop);
Salvato questo programma, ogni giorno il Sig. Rossi, deve solo
introdurre i costi unitari di ogni singolo ingrediente e il numero di
clienti, dopo di che, in pochissimi secondi conosce il costo al pubblico
della ricetta.
4. Espressione
Numeri periodici
decimale
dei
numeri
razionali
Il sistema di numerazione decimale prevede, come è noto, oltre le unità
intere dei vari ordini anche unità decimali dei vari ordini.
38
Così la decima parte dell’unità,ovvero
1
, si indica con 0,1; la centesima
10
1
si indica con 0,01 e proseguendo avremo
100
1
1
0,001 =
0,0001 =
.
1000
10000
parte dell’unità,
Naturalmente 0,7 rappresenta 7 unità decimali, ovvero
7
.
10
Per le unità decimali vale la stessa convenzione di posizione delle unità
intere, ovvero:
dieci unità decimali di un ordine qualunque formano un’unità decimale
dell’ordine che precede quello considerato.
Esempio 3
ƒ
Il numero 518,71 è pari a 518 +
7
1
71
+
= 518 +
10 100
100
51
è il numero decimale 0,051.
1000
Così facendo abbiamo stabilito che ogni frazione avente come
denominatore dieci, cento,mille......si può scrivere in forma decimale con un
numero di cifre decimali finito.
La stessa cosa avviene per quelle frazioni che, mediante la proprietà
invariantiva, sono equivalenti ad una frazione con denominatore 10, 100,
1000 etc.
ƒ
La frazione
Esempio 4
La frazione
ovvero
2
4
è equivalente a
,
5
10
2 2× 2 4
=
=
= 0, 4
5 5 × 2 10
39
2
ha l’espressione decimale 0,4; allo stesso risultato
5
possiamo giungere se effettuiamo la divisione 2 : 5 e trasformiamo le unità
intere del resto in unità decimali, quindi proseguendo la divisione, ottenendo
cifre decimali del quoziente, fino a quando il resto si annulla (diventa zero ):
Quindi la frazione
2
:5
7
: 25
20
0
0, 4
20
0, 28
200
0
viceversa
0,4 =
4
2
=
10 5
0,28 =
28
7×4
7
=
=
100 25 × 4 25
Ci sono, tuttavia, delle frazioni che non sono equivalenti a frazioni
decimali, ad esempio
2 1 1
, , ..........
11 3 7
Anzi si può dimostrare che tutte quelle frazioni il cui denominatore
contiene fattori diversi da 2 e 5, non sono equivalenti a frazioni decimali.
Volendo l’espressione decimale di queste frazioni, proviamo a procedere
come sopra, ovvero dividendo numeratore e denominatore, trasformando il
resto in unità decimali dei vari ordini finchè non diventa zero:
2
:11
20
0,1818....
→ 90
20
→9
1
:3
→ 10
0,33....
→ 10
1
1
:7
→ 30
0,1428571....
20
60
40
50
10
→3
40
ci accorgiamo che le cifre del quoziente non hanno termine, perché il resto,
dopo un certo numero di volte (quante?), si ripete e conseguentemente a
partire da quella cifra anche le cifre del quoziente si ripetono e il processo
può proseguire all’infinito.
I numeri decimali che hanno un numero di cifre decimali illimitato ma
con una o un gruppo che si ripete si chiamano periodici e la cifra o il gruppo
di cifre che si ripete si chiama periodo, esso viene indicato con una barra
sopra:
0, 3 , 0, 18 , 0, 142857 .
Quindi abbiamo stabilito che:
le frazioni che non sono equivalenti ad una frazione decimale, ovvero col
denominatore pari a 10, 100,.........., hanno espressione decimale illimitata e
periodica, ossia sono numeri periodici.
Così come da un numero decimale finito siamo risaliti facilmente alla
frazione decimale equivalente, anche da un numero periodico si può risalire
alla frazione da cui proviene, detta perciò generatrice.
Per effettuare le operazioni aritmetiche con i numeri periodici, occorre
approssimarli ai decimi, centesimi etc.... così 0,3 viene approssimato con
0,3, o 0.33 ecc.
In Matcos i numeri decimali si scrivono sostituendo la virgola con il
punto.
5.
Problema n° 3 (Ampliamento del locale)
Il Sig. Rossi, spinto dal buon andamento degli affari, decide di
ampliare il locale con altre due sale quadrate, di cui una con il lato di m
3,5 e l’altra di superficie totale pari a m 2 20,5 poiché dispone già della
pavimentazione. Egli, dunque, deve conoscere la superficie della prima
sala per acquistare il pavimento e il lato della seconda per poterla
costruire.
Soluzione
Il Sig. Rossi ha di nuovo a che fare con la Matematica e questa volta
non solo con l’aritmetica, ma anche con la geometria. Prova perciò a fare
uno schizzo per capire bene quali sono i dati e quali le incognite del
problema.
41
1
a
Sala
3,5
2
a
Quadrato di lato 3,5 m, si vuole la
superficie
Sala
Quadrato di superficie m 2 20,25 ,
si vuole conoscere il lato
Il Sig. Rossi, dunque, deve ricordare la figura geometrica denominata
quadrato e in particolare il calcolo della sua area. Con l’aiuto del suo
vecchio libro di geometria trova che la superficie di un quadrato è data
dalla formula
A = lato × lato = l × l
ovvero si trova moltiplicando il lato per se stesso.
Allora il primo quesito è subito risolto, la prima sala deve avere la
superficie pari a
m 2 3,5 x 3,5 = 12,25.
Il secondo quesito è, invece, l’inverso del precedente infatti egli
dispone della superficie e vuole conoscere il lato. Ricorda in proposito
che il lato del quadrato è pari alla radice quadrata dell’area:
20, 25 = 4,5 m.
l= A =
A questo punto il Sig. Rossi vuole approfondire gli argomenti di
matematica che ha incontrato nella soluzione del problema.
6.
Le potenze di numeri razionali assoluti
Prima di tutto egli ha incontrato il prodotto
l ×l
42
ovvero di un numero per se stesso.
Un prodotto in cui i fattori sono uguali merita di essere segnalato con un
nome ed un simbolo appropriato:
il prodotto con fattori tutti uguali si chiama potenza;
il numero di volte che si ripete il fattore si chiama esponente.
il fattore che si ripete si chiama base della potenza;
il simbolo per rappresentare una potenza è
an
ove a è il fattore che si ripete, ovvero la base; a deve essere, dunque, un
numero diverso da zero (qualsiasi prodotto con fattore nullo è nullo), n è
l’esponente che deve essere, perciò, un numero naturale maggiore di 1.
Osserviamo che il nuovo simbolo usato per indicare una potenza ha il
vantaggio di essere più conciso (corto) rispetto alla scrittura del prodotto
ripetuto.
Per le potenze valgono le seguenti proprietà
a m ⋅ a n = a m+n
prodotto di potenze di uguale base
a m : a n = a m−n
se m > n quoziente di potenze di uguale base
(a )
potenza di potenza
m
n
= a m× n
(a × b)
( a : b)
n
n
= a n × bn
distributività delle potenze rispetto al prodotto
= a n : bn
distributività della potenza rispetto al quoziente
Inoltre si pone
a0 = 1
in questo modo la seconda proprietà vale anche per n = m , infatti
n
n
n−n
0
1 = a : a = a = a = 1;
mentre non si attribuisce alcun significato alla scrittura 00 .
Ricapitolando in simboli possiamo scrivere
43
× ...
⎧a×
a
a
⎪ nvolte
⎪
a n = ⎨a
⎪1
⎪
⎩
n >1
n =1
n=0
00 non ha significato.
Particolare importanza assumono le potenze a base 10, esse, tra l’altro,
consentono di scrivere ogni numero in forma decimale, anche con parte
intera minore di 1:
4
1320 = 0,1320* 10
2
75,2 = 0,752* 10
5
56425 = 0,56425* 10
Inoltre le potenze del dieci sono importanti perché consentono di
scrivere, in forma abbreviata, numeri molto grandi, ad alcuni dei quali sono
associati nomi speciali, come risulta nella tabella seguente
101 = 10 = dieci
102 = 100 = cento
103 = 1000 = mille
106 = 1.000.000 = milione
109 = 1.000.000.000 = miliardo o bilione
1012 = 1.000.000.000.000 = trilione
1015 = 1.000.000.000.000.000 = quadrilione
1018 = 1.000.000.000.000.000.000 = quinquilione
Nota che dopo le prime tre, solo una potenza su tre, riceve un nome
particolare. Le potenze intermedie sono chiamate dieci o cento, seguito dal
nome immediatamente inferiore nell’elenco speciale dei nomi.
7.
Estrazione di radice
Nel secondo quesito il Sig. Rossi ha dovuto affrontare il problema
inverso al precedente, ovvero dato un numero cercarne un altro una cui
potenza (nel caso in questione era la seconda) desse il numero dato.
44
Questa operazione prende il nome di estrazione di radice, piu’
precisamente:
dato un numero razionale assoluto a diverso da zero si dice sua radice
quadrata (cubica, quartica.......) quel numero b che, elevato al quadrato
(cubo, quarta potenza,...) dà per risultato a e si scrive
b =
2
b =
a,
Quindi
b =
b =
3
3
b =
a,
4
……………
a
equivale a dire
″
″
″
″
a
a
a
b = 4
″
″
b = na
a2 = b
a3 = b
a4 = b
″
″
n
a =b
Esempio 5
25 = 5 ;
81 = 9 ;
3
27 = 3 ;
3
125 = 5 ;
4
625 = 5 .
Nell’ambiente di programmazione MatCos l’operatore per la potenza è
∧
così
si scriverà
2∧ 3
23
mentre per la radice quadrata il comando è
Radiceq(<numero>);
Per le radici cubiche, quartiche, ..........., ennesime, occorre utilizzare
l’operatore potenza con l’esponente uguale al reciproco dell’indice della
radice, cioè per ottenere la
3
n
a
a
occorre scrivere
″
a ∧ (1/ 3)
a ∧ (1/ n)
In sostanza, come in Matematica, si introduce il simbolo di potenza con
esponente razionale non intero, ponendo l’uguaglianza
45
1
n
a = an
quindi
1
b = a n equivale a dire che b n = a
cioè
n
8.
a =b.
Il quadrato e la sua superficie
Il quadrato è la figura geometrica costituita da quattro lati uguali e
quattro angoli uguali (quindi retti).
Il quadrato, dunque, appartiene all’insieme dei quadrilateri, è
caratterizzato dell’aver i lati e gli angoli uguali, inoltre i lati giacciono a due
a due su rette parallele e gli angoli sono retti, le intersezioni dei lati si
chiamano vertici e il segmento che unisce due vertici opposti si chiama
diagonale (Figura 8).
Figura 8 – Quadrato.
Lati: AB, BC , CD, DA;
Vertici: A, B, C, D;
Diagonali: AC , DB;
∧
∧
∧
∧
Angoli interni: ABC , BCD, CDA, DAB .
I lati AB, DC , giacciono rispettivamente sulle rette AB, DC parallele;
così come i lati AD, BC sulle rette AD e BC.
Le rette AB e DA così come AB e CB risultano perpendicolari tra loro.
46
Figura 9- Superficie del quadrato.
La superficie di un quadrato (Figura 9) si determina sperimentalmente:
essa è data dal numero di quadratini unitari che ricoprono l’intera area, tale
numero è pari alla lunghezza del lato per se stesso.
A = l ×l = l2 .
Un quadrato si può costruire col seguente algoritmo.
ƒ Assegnato il lato: segmento AB.
ƒ Tracciare la perpendicolare in A alla retta AB e staccare su di essa
un segmento AD pari ad AB.
ƒ Si punta il compasso in B e si traccia un arco di raggio AB,
analogamente si punta il compasso in D e con lo stesso raggio si
traccia un arco che interseca il precedente nel punto C;
ƒ Il poligono ABCD è il quadrato richiesto.
Tale algoritmo si può implementare nell’ambiente di programmazione
MatCos.
1. Assegnare il segmento AB:
occorre assegnare gli estremi del segmento, i comandi necessari
sono
A=punto;
B=punto;
Naturalmente si potevano usare altre lettere, per approfondire il
comando “punto”consulta la guida del software.
Per ottenere il segmento AB, occorre aggiungere il comando
l=segmento(A, B);
2. Per tracciare la perpendicolare in A alla retta AB il comando
necessario è
<identificatore>=perpendicolare(<retta>,<punto>);
47
quindi possiamo ottenere la perpendicolare aggiungendo il
comando
p=perpendicolare(retta(A,B), A);
Occorre, ora, staccare su questa retta un segmento di estremo
A e di misura pari a quella del segmento (A, B), che abbiamo
chiamato l.
Per ottenere la distanza di due punti, cioè la misura di un
segmento il comando è
<identificatore>=distanza(<punto>,<punto>);
nel nostro caso, dunque,
distanza(A,B);
o, se vogliamo denominarla con una lettera
m=distanza(A,B);
Per ottenere sulla retta p, un segmento di primo estremo A e
misura pari alla distanza (A, B) il comando necessario è
segmento(<punto>, <numero>, <direzione>);
ove <punto> sta per l’estremo fissato, <numero>, per la misura,
<direzione> per la direzione del segmento che è data da una
retta, una semiretta, un segmento : perciò dobbiamo aggiungere
s = segmento(A, m, p);
Di questi segmenti ce ne sono due in corrispondenza a ciascun
semipiano determinato dalla retta AB, per fissarne uno, basta
scegliere primo o secondo e cliccare su OK.
Occorre, ora, denominare il secondo estremo del segmento s,
perché sarà un altro vertice del quadrato; per questo ci serve il
comando
<identificatore> = <segmento>.estremo(<numero>);
48
ove <segmento> è il segmento di cui vogliamo individuare un
estremo, <numero> sta per 1 o 2 a seconda se vogliamo il primo
o il secondo estremo; dunque nel nostro caso dobbiamo scrivere
D = s.estremo(2);
3. Ci resta da individuare l’altro vertice che chiamiamo C, esso
deve essere tale che i segmenti BC e CD devono essere uguali al
segmento AB e a sua volta uguali ad AD.
Per fare ciò dobbiamo determinare l’intersezione delle due
circonferenze di centri in B e D e raggio pari ad m.
Questo si ottiene con i comandi
C1 = circ(D, m);
C2 = circ(B, m);
C = intersezione(C1,C2);
Il significato di questi comandi è evidente
Circ(<punto>,<numero>);
individua la circonferenza di centro in <punto> e raggio pari a
<numero>;
intersezione(<oggetto>,<oggetto>);
individua una (o la) intersezione dei due <oggetti>.
Infine per ottenere il quadrato basta aggiungere il comando
poligono(A,B,C,D);
In definitiva abbiamo il seguente programma denominato
Quadrato;
A = punto;
B = punto;
l = segmento(A,B);
m = distanza(A,B);
p = perpendicolare(retta(A,B),A);
s = segmento(A,m,p);
D = s.estremo(2);
c1 = circ(D,m);
c2 = circ(B,m);
c = intersezione(c1,c2);
poligono(A,B,C,D);
49
volendo cancellare le circonferenze e la retta p, basta aggiungere al
programma:
cancella(c1,c2,p);
50
9.
Certi numeri strani!
Il Sig. Rossi un bel giorno decide di dividere una delle sale quadrate
in due parti uguali, in modo da poter selezionare i clienti, pensa che i due
nuovi locali debbano avere forma triangolare in modo da sistemare
nell’angolo più grande la cassa.
Al fine di effettuare la suddivisione con precisione pensa di utilizzare
la Matematica. Perciò traccia un modello con i disegni di Figura 10 e
Figura 11
D
A
Figura 10- Sala intera.
C
B
Figura 11 – Sala suddivisa.
deve, quindi, unire due spigoli opposti e vuole utilizzare una parete in
legno. Non gli resta che rilevare le misure per ordinare la parete, nessun
problema per l’altezza essendo pari a quella della stanza, ma la
lunghezza presenta qualche difficoltà per via degli spigoli.
Allora il Sig. Rossi, pensa di ricorrere di nuovo alla matematica ed
osserva che la lunghezza della parete è pari all’ipotenusa del triangolo
rettangolo isoscele di lato AB, la cui misura egli conosce esattamente.
Ricorda, pure, che tale problema è risolubile col teorema di Pitagora e
scrive
AC = 2 × AB 2 = AB 2 .
Quindi per ottenere la misura richiesta, basta moltiplicare la
lunghezza del lato per 2 . Felice di aver risolto il problema si mette ad
eseguire i calcoli, cerca……
51
2 =: 1, 414
100
96
24 × 4 = 96
281× 1 = 281
400 2824 × 4 = 11296
281
.
11900
.
11296
.
604
.
.
.
cioè non riesce a calcolare esattamente la forma decimale di 2 ,
della quale ha assoluto bisogno, perché non può certo fornire al
falegname un numero sotto forma di radice. Pensa di ricorrere alla
calcolatrice tascabile e impostando i tasti: 2,
, trova
1,414213562
resta, un po’ sconcertato per tutte queste cifre decimali (9!) e allora
prova con il calcolatore e il software Matcos; a tal proposito il comando
che fornisce la radice quadrata di un numero è
radiceq(<numero>);
quindi scrive
a = radiceq(2);
stampa(a);
Lo stupore aumenta quando trova
1,4142135623731
cioè tutte le cifre di prima, più altre 4.
Per prima cosa pensa di fare un controllo e ricorda che
2=x
vuol dire che
x2 = 2 ,
quindi con la calcolatrice prova a fare
1, 414213562 × 1, 414213562
e trova
1,999999999
52
che non è esattamente 2, infatti
2-1,999999999= 0,000000001
Con il computer trova
2-1,4142135623731×1,4142135623731=-0,0000000000000004
Allora, egli, conclude che nessuno dei due numeri trovati, benché
l’uno contenesse 10 cifre di cui 9 decimali e l’altro 14 di cui 13
decimali, è esattamente 2 perché il quadrato di nessuno di essi è pari a
2.
La cosa desta ancora più meraviglia per il fatto che nelle cifre decimali
non c’è periodo, ovvero nessuno dei due numeri è periodico.
Il Sig. Rossi, un po’ deluso, e riservandosi di approfondire
l’argomento matematico, torna al suo problema pratico e urgente; dopo
attenta riflessione, conclude che, in fondo, la parete può costruirla anche
considerando solo due cifre decimali di 2 , ovvero considerando solo i
centesimi, al più dovrà utilizzare un po’ di silicone per gli interstizi!
53
10. I numeri irrazionali
Dobbiamo ammettere, dunque, che ci sono numeri, come 2 , che hanno
espressione decimale infinita non periodica, cioè non sono razionali e perciò
li chiamiamo irrazionali. Ogni numero irrazionale, però, può essere
approssimato con un numero razionale, ovvero con un numero finito di cifre
decimali, più grande, quindi per eccesso, o più piccolo, quindi per difetto.
Le operazioni con i numeri irrazionali, nella pratica si effettuano con le
loro approssimazioni.
Così possiamo dire che
approssimato ai decimi per difetto
2 = 1.4
approssimato ai decimi per eccesso
“ = 1.5
approssimato ai centesimi per difetto
“ = 1.41
approssimato ai centesimi per eccesso
“ = 1.42
e così via………
L’insieme dei numeri razionali assoluti unito con l’insieme dei numeri
irrazionali assoluti prende il nome di insieme dei numeri reali e si indica
con R +
Nell’insieme dei numeri reali assoluti, sono possibili tutte le operazioni,
con le relative proprietà, che abbiamo visto nei numeri razionali.
■
11. Problema n° 4 (L’incasso e l’utile)
Il Sig. Rossi, ad un certo punto della sua vita, non è più interessato al
guadagno giornaliero ma a quello, ad esempio, mensile; perciò
giornalmente segna la spesa e il ricavo.
Quanto sarà il suo utile dopo 30 giorni?
Soluzione
Questa volta il Sig. Rossi è contento perché capisce subito che
togliendo dalla somma degli incassi giornalieri, la somma delle spese
giornaliere, ciò che gli rimane costituisce il suo utile mensile.
Togliere significa sottrarre, quindi il Sig. Rossi deve eseguire
addizioni e una sottrazione.
54
La sottrazione è, dunque, l’operazione che toglie da un numero naturale o
frazionario, un altro più piccolo o al più uguale.
Nell’insieme dei numeri naturali o razionali assoluti, perciò, la
sottrazione è un’operazione definita solo se il primo numero, detto
minuendo, è maggiore o uguale al secondo, detto sottraendo; quando è
definita essa ha la stessa struttura dell’addizione (Figura 12)
Sottraendo
Minuendo
Dato b
Dato a
Se a ≥ b
Sottrazione
a -b
Differenza
Figura 12 Schema della sottrazione in N e Q+ .
E’ facile verificare, con la legge del contare che se
a − b = c allora c + b = a ,
in questo senso alcune volte si dice che la sottrazione è l’operazione inversa
dell’addizione.
Nell’insieme dei razionali assoluti la sottrazione di due frazioni
a c
−
b b
è possibile solo se a ≥ c in tal caso
a c a−c
− =
.
b b
b
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, occorre
preventivamente sostituirle con due frazioni equivalenti aventi lo stesso
denominatore.
55
Esempio 6
3 5
−
4 7
m.c.m.(4, 7) = 28
3 21
= ,
4 28
5 20
= ,
7 28
21 20 1
−
= .
28 28 28
Ritornando al Sig. Rossi questa volta il suo compito è agevole se non
fosse stato per il numero elevato degli addendi (30, ma potrebbero essere
anche di più!).
Per ovviare a quest’ultimo inconveniente, pensa di nuovo al computer
e al linguaggio Matcos.
Scopre, così, che ci sono nuovi oggetti chiamati vettori, i quali
possono contenere più di un numero, ad esempio, 30, 50, ……. n, che si
chiamano elementi del vettore.
Per introdurre i vettori in Matcos (Figura 13) bisogna scrivere:
n = legginum(“numero degli elementi del vettore”)
a = vettore(n);
leggivett(a);
56
Figura 13
Così nel vettore a, può introdurre le spese giornaliere e introducendo,
anche, un altro vettore b potrà introdurre i ricavi. Occorre, ora, sommare
tutti gli elementi di a e tutti gli elementi di b. Quando dobbiamo eseguire
sempre la stessa operazione, cambiando solo i dati, il calcolatore è
particolarmente utile, perché con un semplice costrutto ci risolve il
problema.
Tale costrutto è
Per(i da 1 a n) esegui;
operazione 1
operazione 2
.
.
Fine;
ove:
i è una qualsiasi lettera che funge da contatore,
n è il numero di volte che deve eseguire la stessa operazione,
fine; è la chiusura del costrutto.
Nel nostro caso dobbiamo addizionare sia tutti gli elementi di a (spese)
che quelli di b (ricavi) e poi fare la sottrazione delle due somme, ciò può
essere fatto col seguente programma:
57
n = legginum("numero di giorni");
a = vettore(n);
b = vettore(n);
leggivett(a);
leggivett(b);
s=0;
s1=0;
Per(i da 1 a n) esegui;
s = s + a(i);
s1= s1+b(i);
fine;
stampa("la somma dei ricavi è ",s," la somma delle
spese è ",s1);
c = s-s1;
stampa("il guadagno in ",n," giorni è ",c);
12. Un’amara sorpresa: i numeri negativi
Un bel giorno il Sig. Rossi eseguendo il programma per calcolare il
suo guadagno mensile si trova come risultato sul video il numero -500.
Pensa subito di aver sbagliato ad introdurre i dati e ripete le
operazioni, ma il risultato non cambia.
Allora, dopo attenta riflessione, ricorda che a scuola aveva imparato
certi numeri preceduti dal segno, “–“, detti negativi, contrapposti a quelli
preceduti dal segno +, detti positivi, a proposito della rappresentazione di
debiti e crediti. Subito, allora, gli viene un dubbio atroce e va a
controllare la cassaforte e scopre l’amara verità: egli in quel mese aveva
incassato 500 euro in meno di quanto aveva speso; dunque i matematici
hanno inventato i numeri con segno per rappresentare situazioni
dicotomiche: debiti e crediti; caldo e freddo; ecc.
Così +30 parlando di soldi vorrà intendere un guadagno di 30 unità;
-20 parlando di temperatura, specificherà 20 gradi sotto lo zero, ovvero
freddissimo.
In generale i numeri negativi sono definiti nel seguente modo:
se n è un numero naturale si indica con − n quell’oggetto tale che
n + ( − n) = 0
e si chiamerà l’opposto di n .
Quindi per ogni numero naturale esiste il suo opposto; i numeri naturali
vengono detti anche interi positivi in contrapposizione ai loro opposti detti
58
negativi. L’insieme (la totalità) dei numeri positivi e negativi con l’aggiunta
dello zero che non ha segno, nel linguaggio universale della matematica,
prende il nome di insieme dei numeri interi relativi e si indica con Z .
L’insieme Z testè definito è suscettibile di un’immagine geometrica
molto significativa.
Consideriamo una retta r e fissiamo su di essa due punti che indichiamo
con O e U (Figura 14)
Figura 14 – Retta orientata.
diciamo positivo, e lo indichiamo con una freccia, il verso secondo il
quale O precede U; il verso opposto sarà chiamato negativo. Assumiamo il
segmento OU come unità di misura per i segmenti, ciò fatto ad ogni numero
relativo, ovvero ad ogni elemento di Z , facciamo corrispondere un punto
sulla retta r così costruito: se il numero è positivo il punto corrispondente P
si trova sulla semiretta di origine O che contiene il punto U, tale che il
segmento OP contiene il segmento OU tante volte, quante sono le unità
rappresentate dal numero considerato, privo del segno; se il numero è
negativo si procede allo stesso modo con la differenza che, il punto
corrispondente si troverà sulla semiretta di origine O, che non contiene U,
detta semiretta opposta alla precedente. Nella Figura 15 sono rappresentati i
punti P e Q corrispondenti rispettivamente ai numeri +3 e -5:
Figura 15 – Riferimento sulla retta.
Naturalmente al numero zero corrisponde il punto O ed al numero 1,
corrisponde il punto U.
Una retta su cui sono stati fissati il punto O, il punto U ed il verso
positivo, si chiama retta numerica, o, si dice anche, che su di essa è stato
fissato un riferimento cartesiano.
Esistono comandi Matcos che realizzano la retta numerica, essi sono:
59
r = rettanum;
che in esecuzione rappresenta una retta numerica denominata r (Figura 16).
Figura 16 – Videata Matcos.
r = rettanum(punto, numero);
ove <”punto”> rappresenta l’origine che dobbiamo definire
precedentemente o fissare col mouse e <numero> rappresenta l’unità di
misura (Figura 17).
60
Figura 17 – Videata Matcos.
Possiamo, ora, rappresentare sulla retta numerica il punto corrispondente
a qualsiasi numero intero relativo, ovvero elemento di Z . Il comando
successivo è
<identificatore> = Punto_su(<rettanum>, <numero>);
Ad esempio se vogliamo rappresentare i punti corrispondenti ai numeri
-5 e +5, occorre il seguente segmento di programma:
r = rettanum;
P = Punto_su(r,+5);
Q = Punto_su(r,-5);
61
Figura 18 – Videata Matcos.
Osservando i punti P e Q corrispondenti ai numeri +5 e -5 ci accorgiamo
che essi pur essendo da parti opposte rispetto al punto O, hanno da esso
uguale distanza, questa circostanza viene segnalata dicendo che i numeri
relativi +5 e -5 hanno lo stesso valore assoluto o modulo. Allo stesso modo,
allora, -3 e +3 hanno lo stesso valore assoluto, in generale per indicare il
valore assoluto di un numero relativo si usa il simbolo
; così se a ∈ Z , il
valore assoluto o modulo di a , che si indica con a , è uguale alla distanza
dall’origine dei punti della retta numerica che corrispondono
rispettivamente ai punti a e - a . Così, in formule, possiamo scrivere che
dato a ∈ Z , risulta
⎧a se a è positivo
a =⎨
⎩-a se a è negativo.
In Matcos per individuare il valore assoluto di un numero si ha il
comando
<identificatore> = valore_Ass(<numero>);
62
Il seguente segmento di programma, introduce un numero e ne stampa il
suo valore assoluto.
a = legginum;
x = valore_Ass(a);
stampa(“il valore assoluto di”, a,”è”, x);
Nell’insieme Z sono definite le operazioni di addizione, sottrazione,
moltiplicazione e divisione dalle seguenti regole.
12.1. Addizione
La somma di due numeri relativi concordi (dello stesso segno) è il
numero relativo che ha lo stesso segno e per valore assoluto la somma dei
valori assoluti dei due addendi.
La somma di due numeri relativi discordi (di segno diverso) e non
opposti è il numero relativo che ha lo stesso segno dell’addendo di valore
assoluto maggiore e modulo uguale alla differenza fra il maggiore e il
minore dei due moduli dei due addendi. La somma di due numeri opposti
sappiamo già che è 0.
Il seguente segmento di programma esegue la somma di due numeri
relativi arbitrari, e rappresenta su una retta numerica i punti corrispondenti
rispettivamente agli addendi e alla somma; eseguendolo varie volte puoi
dare un’interpretazione geometrica dell’addizione in Z .
r = rettanum;
a = legginum;
P = punto_su(r,a);
b = legginum;
Q = punto_su(r,b);
c= a+b;
stampa("la somma di ",a," e di ",b, " è ",c);
T=punto_su(r,c);
63
Figura 19 – Videata Matcos.
Le regole precedenti possono essere espresse in formule come segue:
se a e b sono due numeri positivi, ovvero due numeri naturali, a + b è già
definito dalla legge del contare;
se
a> b
allora
a + (−b) = a − b
se
a< b
a + (−b) = −(b − a)
(− a) + (−b) = −(a + b)
naturalmente
a + 0 = a qualunque sia a ∈ Z .
L’addizione così definita ha, ovviamente, la stessa struttura
dell’addizione nei numeri naturali e le stesse proprietà di commutatività e
associatività:
a + b = b + a qualunque siano a,b ∈ Z
64
a + (b + c) = (a + b) + c qualunque siano a,b,c ∈ Z .
Ribadiamo, però, che in Z l’addizione ha l’ulteriore proprietà rispetto a
N:
a + (−a ) = 0 qualunque sia a ∈ Z
nota col nome di”esistenza dell’opposto”.
Questa proprietà ci consente di risolvere il seguente problema in Z :
assegnato un numero a ∈ Z , trovare quel numero x tale che
x+a = 0
(11)
così se
a=3
a = -5
x = -3
x = +5
E’ appena il caso di osservare che questo problema non è risolvibile in
N.
La formula (11) viene anche detta equazione di primo grado, di cui x è
l’incognita e a il termine noto.
12.2. Sottrazione
Se a e b sono due numeri relativi arbitrari chiamiamo loro differenza o
sottrazione quel numero che si ottiene sommando ad a l’opposto di b .
In formule si può scrivere
a − b = a + (−b) qualunque siano a,b ∈ Z.
Ne consegue che se
a − b = c allora c + b = a .
La sottrazione in Z , dunque, si può fare sempre, ovvero viene a cadere la
condizione del minuendo maggiore o uguale al sottraendo, necessaria, come
abbiamo visto, in N . Allora la struttura della sottrazione in Z è la stessa di
quella dell’addizione (Figura 20).
65
Figura 20 - Schema della differenza in Z
Esercizio 1
Scrivi un programma che esegua la sottrazione di due numeri
relativi e rappresenti i punti corrispondenti al minuendo, sottraendo e
differenza su una retta numerica.
12.3. Moltiplicazione
La Moltiplicazione in Z come operazione ha lo stesso schema
dell’addizione, ovvero (Figura 21)
66
Figura 21 - Schema della moltiplicazione in
Z
quindi è sempre definita o, come si suol dire, è un’operazione interna. Il
risultato, chiamato prodotto dei due fattori, viene determinato dalle seguenti
regole:
ƒ il prodotto (la moltiplicazione) di due numeri positivi è un numero
positivo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;
ƒ il prodotto di un numero positivo, per un numero negativo, è un
numero negativo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori
assoluti;
ƒ il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo che ha come
modulo il modulo dei valori assoluti.
Esempi
ƒ
ƒ
ƒ
(+2) × 3 = +6 = 6;
(−2) × 3 = −6;
(−2) × (−3) = +6 = 6;
(+5) × (+7) = 35;
(+5) × (−7) = −35;
(−5) × (−7) = +35 = 35;
Se vuoi renderti conto delle motivazioni che hanno portato a queste
regole vai nel secondo livello.
La moltiplicazione come precedentemente definita, soddisfa le proprietà:
commutativa
a×b = b× a;
2 × 3 = 3× 2 ;
67
associativa
a× ( b× c ) = ( a×b )× c;
2 × ( 3 × 5 ) = ( 2 × 3) × 5 ;
distributiva rispetto all’addizione a× ( b+ c ) = ( a×b ) + ( a× c ) ;
2 × ( 3 + 5 ) = ( 2 × 3) + ( 2 × 5 ) ;
esistenza dell’elemento neutro a×1= a;
5 ×1 = 5,
legge dell’annullamento del prodotto:
se
a×b = 0,
allora a o b (o entrambi) sono nulli.
Puoi verificare queste proprietà col seguente programma Matcos:
a = legginum;
b = legginum;
c = legginum;
a1=a*b;
a2=b*a;
stampa("il prodotto di a e b è”,a1,”il prodotto di b e
a è”,a2);
a3=a*b;
a4=a3*c;
a5=b*c;
a6=a*a5;
stampa("il prodotto di(a*b)* c è”,a4,”il prodotto a
*(b*c) è”,a6);
a7=a*b;
a8=a*c;
a9=a*(b+c);
stampa("il prodotto di a*b+a*c è”,a7+a8,”il prodotto
a*(b+c) è”,a9);
stampa("la somma di”,a,”e di”,b,”è”,c);
Eseguendo questo programma più volte puoi dedurre che, nei casi
esaminati, valgono le proprietà commutativa, associativa e distributiva
(basta osservare il risultato delle diverse operazioni e constatare che vale la
proprietà che stai esaminando). Il calcolatore è anche in grado di
comunicarti direttamente, se, nel caso in questione, vale o no la proprietà
che stai esaminando.
Per ottenere tutto ciò abbiamo bisogno del costrutto Matcos
se(condizione) allora
68
istruzione;
altrimenti
istruzione;
che chiamasi costrutto di controllo.
Con questo costrutto il programma precedente può essere così
migliorato:
a=legginum;
b=legginum;
a1=a*b;
a2=b*a;
se(a1=a2) allora
stampa("vale la proprietà commutativa");
altrimenti
stampa("non vale la proprietà commutativa)";
12.4. Divisione e confronto
Le operazioni di moltiplicazione e addizione consentono di definire
anche in Z , la divisione:
Dati due numeri relativi a e b con b ≠ 0 esistono e sono unici due altri
numeri relativi q e r tali che
a = b× q + r
0≤ r < b
Da questo enunciato segue la nota regola sul segno del quoziente:
+:+ = +
+:− = −
−:− = +
−:+ = −
Dati due numeri relativi siamo in grado di stabilire se sono uguali o quali
dei due sia il maggiore. Per ottenere ciò è sufficiente osservare la posizione
dei punti sulla retta numerica cui corrispondono i numeri in considerazione
(Figura 22):
è maggiore il numero cui corrisponde il punto più a destra nel verso positivo
della retta.
−3 < − 1
5 > −4
69
Figura 22 – Confronto di numeri relativi.
13. I numeri razionali
1 3
,
, etc, ovvero i numeri
2 4
frazionari; essi hanno un preciso significato nell’interpretazione della realtà.
Possiamo anche dire, in maniera più astratta, che essi risolvono il
seguente problema:
dati due numeri positivi a e b determinare quel numero x tale che
a× x = b;
b
tale numero x è la frazione .
a
Dal punto di vista formale, ovvero prescindendo dall’interpretazione
diretta nel reale, possiamo considerare i numeri
a
con a, b ∈ Z e b ≠ 0 .
b
Tale insieme prende il nome di insieme dei numeri razionali e si indica
con Q , per cui possiamo scrivere
Abbiamo già incontrato numeri come
⎧a
⎫
Q = ⎨ a, b ∈ Z , b ≠ 0 ⎬ .
⎩b
⎭
Osserviamo esplicitamente che un elemento di Q è una frazione
preceduta dal segno + o -, infatti:
a
a
se a e b sono tutti e due positivi allora è lo stesso di +
b
b
a
c
=−
se c è l’opposto di a (quindi c è
se a è negativo e b è positivo
b
b
positivo)
a
a
se a è positivo e b è negativo
=−
se d è l’opposto di b (quindi d
b
d
è positivo)
70
se a è negativo e b è negativo
a
c
=+
b
d
se c e d sono rispettivamente
gli opposti di a e b .
Inoltre in Q c’è lo zero cioè
0=
0
b
qualunque sia b ≠ 0
a
a
qualunque sia a ≠ 0
ma anche l’unità cioè
1=
Infine ogni elemento di Z ( e quindi anche di N ) è elemento di Q , infatti
a
b
a∈Z : a = ,
b∈N :b =
1
1
Questa circostanza si esprime dicendo che N e Z sono sottoinsiemi di
Q (Figura 23) e si scrive in simboli(universale)
N ⊂ Q,
Z ⊂ Q,
N ⊂ Z ⊂ Q,
Q
Z
N
Figura 23 – Diagramma di Venn.
Per approfondire questo argomento vai nel 2° livello.
71
I numeri razionali si possono rappresentare sulla retta numerica (
Figura 24)
Figura 24 – Rappresentazione di numeri razionali.
1
→P
2
−
3
→Q
2
Da questa rappresentazione si ricava l’ordine con la convenzione già
vista per i relativi:
dati due numeri razionali se non sono uguali (nel segno e nel valore
assoluto) è maggiore quello cui corrisponde sulla retta il punto più a destra
nel verso positivo fissato.
Nell’insieme dei numeri razionali si possono definire le operazioni di
addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione, le quali conservano tutte
le proprietà già viste nell’insieme dei numeri relativi.
Ricordiamo brevemente come sono definite queste operazioni.
13.1. Addizione e Sottrazione
a c
, ∈Q ⇒
b b
a c
, ∈Q ⇒
b b
a c
+ =
b b
a c
− =
b b
a+c
b
a−c
b
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore occorre preliminarmente
ricondurle allo stesso denominatore con l’algoritmo già noto.
13.2. Moltiplicazione
Il prodotto di due o più frazioni si ottiene moltiplicando, tenendo conto
delle regole dei segni, i numeratori e, rispettivamente, i denominatori
72
a c f a×b× f
× × =
.
b d g c×d × g
13.3. L’inverso o reciproco
Dato il numero razionale a ≠ 0 , dicesi suo inverso o reciproco quel
numero razionale tale che moltiplicato per a dia l’unità. Il reciproco di a è
1
, infatti
a
1
a× =1
a
a
b
a b
Il reciproco di con a e b ≠ 0 è , infatti × = 1 .
b
a
b a
13.4. Divisione
La divisione di due razionali si ottiene moltiplicando, tenendo conto delle
regole dei segni, il primo per il reciproco del secondo:
a c a d a×d
: = × =
.
b d b c b×c
13.5. Quanti clienti mediamente ho?......
Il Sig. Rossi al fine di razionalizzare il suo lavoro, si pone la
domanda: quanti clienti ho settimanalmente e come si distribuiscono nei
diversi giorni?
Sarebbe interessante avere informazioni di questo tipo, perché
potrebbe organizzare meglio la sala, effettuare la spesa giornaliera in
modo più oculato e così via. Come risolvere il problema? Dopo attenta
riflessione, osserva che spesso nei vari telegiornali sente parlare di
statistiche, vede tabelle ecc. Ma cosa è una statistica e come si ottiene
una tabella?
73
Dopo essersi documentato sui libri di scuola precisa meglio il suo
problema:
quanti clienti ho settimanalmente e come si dispongono nei vari giorni?
Fissato l’obiettivo, comincia a raccogliere i dati per 4 settimane
consecutive e trova i risultati riportati nella tabella 3, in cui nella prima
riga orizzontale sono riportati i giorni della settimana e nella prima riga
verticale le settimane.
L
M
M
G
V
S
D
T.
1°
10
12
9
7
10
18
20
86
2°
8
9
5
10
12
15
18
77
3°
9
10
6
8
10
12
19
74
4°
10
12
5
10
9
13
16
85
Tabella 3
I dati così disposti sono poco visivi e pensa di ordinarli in grafici.
Costruisce allora i diagrammi a strisce riportati nelle figure seguenti
che si leggono più facilmente
Figura 25 a
Figura 25 b
Figura 25 c
Figura 25 d
74
Si accorge allora che la domenica è il giorno in cui ha più clienti ed il
mercoledì è il giorno con meno clienti.
Certamente il Sig. Rossi ha acquisito una maggiore informazione, ma
non è ancora sufficiente dal punto di vista quantitativo. Egli, infatti, ha
bisogno di un numero che rappresenti il più vicino possibile il numero
dei clienti settimanali e nei singoli giorni della settimana. Gli viene
suggerito di calcolare la ”media aritmetica” dei clienti settimanali o
giornalieri.
La media aritmetica si calcola sommando i valori rilevati e dividendo
per il numero delle rilevazioni.
Cosi
la media dei clienti settimanali è
80
86 + 85 + 74 + 77
= 80.5 ≈
4
81
La media dei singoli giorni è
10 + 8 + 9 + 10
L
= 9, 25 ≈ 9
4
12 + 9 + 10 + 12
M
= 10, 75 ≈ 11
4
9+5+6+5
M
= 6, 25 ≈ 6
4
7 + 10 + 8 + 10
G
= 8, 75 ≈ 9
4
10 + 12 + 10 + 9
V
= 10, 25 ≈ 10
4
14
18 + 15 + 12 + 13
S
= 14.5 ≈
4
15
20 + 18 + 19 + 16
D
= 18.25 ≈ 18
4
Il Sig. Rossi in questo modo ha un’informazione su base scientifica
sull’andamento dei suoi clienti, che può sfruttare per ottimizzare il suo
lavoro.
Osserva, però, che i calcoli e i grafici che ha dovuto fare benché facili
gli hanno richiesto tempo e fatica, in qualche momento anche noiosa.
Pensa, allora, di sfruttare il computer e scopre che in Matcos per ottenere
il grafico che lui ha elaborato, chiamato diagramma a strisce, c’è un
comando specifico:
75
diagstr(<lista>);
ovvero basta digitare la parola chiave diagstr
e aggiungere tra parentesi l’elenco dei valori rilevati, chiudendo il
comando col solito”;”.
Allo stesso modo per ottenere la media aritmetica il comando è
<identificatore> = media(<lista>);
cioè al primo membro un simbolo che identifica il numero che
rappresenta la media, e il secondo membro la parola chiave media
seguita dalla lista dei valori rilevati tra parentesi.
Concludendo egli compila il seguente semplice programma per
ottenere il diagramma a strisce e la media aritmetica di un insieme di
valori:
diagstr(86,85,74,77);
m = media(86,85,74,77);
stampa("la media settimanale è ", m);
Figura 26
Il Sig. Rossi non è ancora soddisfatto dei risultati precedenti per
almeno due ragioni:
76
− vorrebbe avere qualche informazione in più sui suoi singoli clienti,
ad esempio le fasce di età (perché esse influenzano la scelta del cibo)
e si accorge che il diagramma a strisce non è molto conveniente,
perché sarebbe difficoltoso suddividere in fasce di uguale ampiezza
le età;
− la media aritmetica non sempre è molto vicina ai clienti che
effettivamente arrivano.
Il primo problema viene risolto da due altri tipi di diagramma:
l’istogramma e il diagramma circolare o a settori.
L’istogramma è più indicato quando sull’asse orizzontale si riportano
non ”oggetti”, come i ”giorni della settimana”, ma singoli numeri o
intervalli numerici. Ad esempio se il Sig. Rossi vuole indicazioni sull’età
dei clienti abituali considera ad esempio le seguenti fasce di età:
10-15,
15-20,
20-25,
25-30,
30-35, 40-45
e rileva in un mese il numero di clienti per ogni singola fascia:
12,
20,
25,
18,
30,
15
Quindi costruisce l’istogramma
40
30
20
10
0
20
12
30
25
18
15
10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 40-45
Figura 27 – Istogramma.
Il diagramma circolare, invece, è utile quando si vuole
un’informazione sul rapporto o percentuale, ad esempio, dei clienti del
lunedì rispetto al numero dei clienti settimanali. Così il Sig. Rossi nella
prima settimana trova che:
il lunedì il rapporto è
martedì
“
10
≈ 0.12
86
12
≈ 0.14
86
77
9
≈ 0.10
86
7
giovedì
“
≈ 0.08
86
10
venerdì
“
≈ 0.12
86
18
sabato
“
≈ 0.21
86
20
domenica
“
≈ 0.23
86
Questi rapporti o percentuali diventano più espressivi se sono descritti
graficamente come settori circolari.
Il diagramma circolare o a settori si costruisce così:
si divide un cerchio in 100 parti uguali (settori), ciascuno di essi avrà
360°
l’ampiezza di
= (3.6)° come in Figura 28
100
mercoledì
“
Figura 28 – Settore circolare.
Una percentuale dell’1% sarà allora rappresentata da un angolo di
3.6°, una del 2% da un angolo doppio e così via.
I settori (angoli) relativi alle percentuali precedenti sono allora
78
0.12 × 360 = 43.2
0.14 × 360 = 50.4
0.10 × 360 = 36
0.08 × 360 = 28.8
0.12 × 360 = 43.2
0.21× 360 = 75.6
0.23 × 360 = 82.8
Anche questi due diagrammi si possono ottenere con comandi
MatCos, essi sono
istogramma(<lista>);
e
diagcirc(<lista>);
L’altro problema del Sig. Rossi è un po’ più complicato, egli vuole un
numero che riassuma ”meglio” certe sue esigenze. Ad esempio se egli
volesse sapere qual è il numero di clienti che più frequentemente si
presenta nel corso della settimana, dall’osservazione della tabella 3 ci si
accorge che è 10, mentre la media giornaliera della settimana è 12.
Questo nuovo indice si chiama moda. Dunque la moda è il numero
che individua la frequenza massima.
Un’altra caratteristica di un insieme di dati risulta dalle seguenti
considerazioni: si scrive in ordine crescente il numero di clienti per ogni
giorno della settimana:
7
9
10
10
12
18
20
≤
si nota che in metà settimana il numero dei clienti è
10 e nell’altra
metà è > di 10.
Questo numero che divide a metà i dati numerici si chiama mediana.
Nel nostro caso è 10, che coincide con la moda.
Dunque, media, moda e mediana, detti indici di centralità, sono tre
numeri che riassumono con criteri diversi il comportamento di un
gruppo di persone o di un qualunque insieme di dati numerici.
Nell’esempio del Sig. Rossi questi tre numeri, sono abbastanza vicini
tra di loro, e si può, quindi, scegliere indifferentemente uno o l’altro
senza gravi conseguenze per le decisioni conseguenti del Sig. Rossi. Non
è sempre così. Infatti consideriamo il seguente insieme di dati che
rappresentano il numero di ore settimanali che un gruppo di 30 ragazzi
trascorre singolarmente davanti la televisione:
79
10, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 28, 28, 32,
38, 38, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 48, 48, 50
Si trova, con programma Matcos, che la mediana è 26, la moda è 42,
la media è 31.
In questo caso, media, moda e mediana hanno valori assai diversi e,
quindi, valutano in modo differente il comportamento complessivo del
gruppo di ragazzi.
I comandi Matcos per ottenere la moda e la mediana sono
rispettivamente:
<identificatore>=moda(<lista>);
<identificatore>=mediana(<lista>);
In definitiva disponendo di una tabella di frequenze rilevate, il seguente
programma Matcos restituisce i diagrammi e gli indici di centralità.
a=legginum;
b=legginum;
……………………………
n=legginum;
diagstr(a,b,……n);
istogramma(a,b,……n);
diagcirc(a,b,……n);
m=media(a,b,……n);
m1=moda(a,b,……n);
m2=mediana(a,b,……n);
stampa(“la media è”, m,
è”, m2);
“la moda è”, m1,
“la mediana
80
14. Secondo livello
La sezione secondo livello approfondimenti si trova sul sito cird.unical.it,
come esempio si riporta il primo argomento.
14.1. Insieme
La parola insieme è per noi sinonimo di raggruppamento, classe ecc.
Importante è stabilire che:
ƒ
Un insieme è definito(assegnato) se e solo se disponiamo di un
criterio in base al quale possiamo stabilire in modo
inequivocabile, se un qualsiasi oggetto appartiene o no a
quell’insieme. Ad esempio: l’insieme dei numeri naturali è
definito, ma l’insieme dei ragazzi simpatici non è definito, perché
il criterio in base al quale possiamo affermare che un oggetto
appartiene o no all’insieme non è universale; infatti, nel caso in
questione, l’attributo simpatico non è oggettivo.
ƒ
Possiamo considerare insiemi di elementi qualsiasi come ad
esempio:
− l’insieme delle sedie dell’aula;
− l’insieme dei bambini nati nel 2006;
− l’insieme formato dal numero due, da cinque e da tutti i
triangoli rettangoli.
In generale gli insiemi si indicano con le lettere latine maiuscole: A, B, C
….. mentre gli elementi(gli oggetti) dell’insieme con lettere latine
minuscole: a, b, c,…
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A useremo il simbolo
" ∈ " come abbreviazione delle parole”elemento di”o”appartenente a”e
scriveremo
a∈ A
Naturalmente il simbolo " ∉ " indicherà che a non appartiene ad A .
Spesso per mettere in evidenza gli elementi di un insieme, si racchiudono
questi in parentesi graffe e si separano con una virgola.
A = { zero, due, cinque} ,
B = {Giove, Saturno}
E per gli insiemi assegnati mediante una proprietà(caratteristica) si usa la
notazione seguente
81
A = { x proprietà che definisce l'appartenenza all'insieme}
Esempi
1. A = {alunni alunno frequentante la < prima > A}
2. B = {calciatori calciatore tesserato in una squadra di serie B}
In realtà bisognerebbe considerare un passaggio preliminare in cui sia
specificato l’insieme universale, cioè l’insieme cui appartengono tutti gli
oggetti dei quali si sta parlando.
Così, per l’esempio 1, se con U indichiamo l’insieme universale(cioè
l’insieme degli alunni dell’istituto) si dovrebbe scrivere
A = {alunno ∈ U alunno frequentante la < prima > A}
Tuttavia nel seguito, ove non strettamente necessario tralasceremo
l’indicazione dell’insieme universale.
15. Esercizi e complementi
Ulteriori esercizi di approfondimento si trovano sul sito cird.unical.it.
1.
Petti di pollo saporiti.
1)
Ingredienti (per 4 persone):
8 fettine di petto di pollo;
8 fette di pancarrè;
8 fettine di pancetta affumicata;
200 g di farina;
2 cucchiai di Marsala;
4 cucchiai di olio d’oliva;
sale e pepe q.b.
82
2)
Preparazione
a. In un tegame antiaderente cuocere le fette di pancetta e
scolarle dorate e croccanti;
b. tostare le fette di pancarrè e versarvi sopra l’unto della
pancetta;
c. a parte rosolare nell’olio le fettine di carne infarinate;
d. salare, pepare ed ultimare la cottura spruzzando con il
Marsala.
e. disporre le fette di pane su un piatto da portata, appoggiare su
ognuna un filetto di pollo e una fetta di pancetta e servire subito.
Aggiustare le dosi per 6 persone.
2.
Baccalà con pomodoro e patate
1)
Ingredienti (per 4 persone):
600 g di baccalà già ammollato;
400 g di passata di pomodoro;
500 g di patate;
1 cipolla;
2 spicchi di aglio;
35 olive nere snocciolate;
1 bicchiere di olio extravergine d’oliva;
1 mazzetto di odori: alloro, timo, finocchio, basilico,
rosmarino;
sale e pepe q.b.
2)
Preparazione
a. Pulire il pesce e tagliarlo a pezzi;
83
b. soffriggere con l’olio la cipolla tritata, l’aglio schiacciato e
gli odori, aggiungere baccalà e pomodoro, sale e pepe;
c. dopo un’ora di cottura unire le patate a dadini e le olive
intere;
d. cuocere ancora 30 minuti, aggiungendo se necessario, un po’
di acqua;
e. servire caldo.
Aggiustare le dosi per 7 persone.
3.
Rispondere alle seguenti domande per iscritto:
a. Quali tipi di numeri figurano nella ricetta n° 1 e nella ricetta
n° 2?
b. Quanti sono i numeri naturali?
c. Scrivere in simboli l’insieme dei numeri naturali e razionali
assoluti.
4.
Definire l’operazione di prodotto nei numeri naturali ed enunciare
la proprietà commutativa per iscritto.
5.
Ripetere l’esercizio 4 per l’insieme dei numeri razionali assoluti.
6.
Scrivere ed eseguire un programma che introduce due numeri
naturali e ne calcola il prodotto, il quoziente intero e il resto.
7.
Scrivere un programma che introduce due numeri razionali
assoluti (frazioni) e ne calcoli prodotto e quoziente.
84
8.
Scrivere un programma che calcoli la quantità degli ingredienti
della ricetta n° 1 per un numero arbitrario di persone.
9.
Ripetere l’esercizio 8 per la ricetta n° 2.
10. Salvare i programmi dell’esercizio 8 e 9 con i nomi Ricetta 1 e
Ricetta 2.
11. Scrivere ed eseguire per 10 volte, appuntando i risultati, un
programma
che
verifichi
la
proprietà
associativa
della
moltiplicazione in N .
12. Ripetere l’esercizio 11 in Q+ .
13. Indicare 5 multipli del numero 11.
14. Indicare 3 divisori del numero 48.
15. Definizione 1. Un numero naturale maggiore di 1, si chiama primo
se non ammette divisori diversi da 1 e da se stesso.
Indicare 5 numeri primi.
16. Teorema
1.
Ogni
numero
naturale
ammette
un’unica
fattorizzazione in fattori primi.
Calcolare i fattori primi di
a)
58, 112, 315;
b)
121, 7381, 8964;
85
c)
92, 731, 5641;
d)
77, 821, 6810.
17. Definizione 2. Un numero naturale si chiama pari se è divisibile
per 2.
Indicare un numero pari, scrivere un arbitrario numero pari.
18. Definizione 3. Un numero naturale si chiama dispari se non è
divisibile per 2.
Indicare un numero dispari, scrivere un arbitrario numero dispari.
19. Il seguente segmento di programma Matcos stabilisce se un
qualsiasi numero è primo o no:
n=legginum(“introdurre il numero intero”);
se (Primo(n)=vero) allora
stampa (n, “è primo”);
altrimenti
stampa(n, “non è primo”);
20. Esegui il seguente programma e scopri cosa fa’:
n=legginum(“introdurre un numero intero”);
m=n-1;
per (i da 2 a m) esegui;
r=n RDIV i;
j=0;
esegui finquando (r=0);
se (Primo(i)=vero) allora esegui;
n=n DIV i;
r=n RDIV i;
j=j+1;
fine;
stampa(i,”^”,j);
fine;
fine;
21. Rispondi per iscritto: che cosa è un algoritmo?
86
22. Descrivi un algoritmo di un’attività quotidiana.
23. Il seguente algoritmo stabilisce la data della Pasqua:
a. Sia y l’anno di riferimento successivo al 1900;
b. calcola la differenza tra y e 1900 e chiamala n ;
c. indica con a il resto della divisione di n per 19;
d. dividi ( 7 a + 1 ) per 19 e chiama b il suo quoziente;
e. dividi ( 11a + 4 − b ) per 29 e chiama m il suo resto;
f. dividi n per 4, chiama q il quoziente;
g. dividi ( n + q + 31 − m ) per 7 chiama w il resto;
h. calcola ( 25 − m − w ) chiama g il risultato;
i. se g > 0 la Pasqua cadrà ad Aprile nel giorno g ;
j. altrimenti la Pasqua cadrà nel mese di Marzo al giorno
( 31 + g ).
Applicando il precedente algoritmo calcola la data in cui cade la
Pasqua cristiana nei seguenti anni:
1941 – 1945 – 1980 – 1999 – 2001 – 2010 – 2011 – 2020.
24. Rispondi per iscritto: che cosa è un programma per il calcolatore?
25. Scrivi un programma che stabilisce la data del giorno di Pasqua,
basato sull’algoritmo dell’esercizio 23.
26. Scrivi un algoritmo che riproduce solo numeri pari/dispari;
27. Scrivi un algoritmo che calcoli tutti i divisori di 51;
28. Scrivi un algoritmo che calcoli tutti i divisori di un numero
assegnato;
29. Scrivi l’algoritmo su cui si basa il programma dell’esercizio 19;
30. Scrivi l’algoritmo su cui si basa il programma dell’esercizio 20.
87
31. Calcola il costo della ricetta dell’esercizio 1 del cap. 1,
considerando i costi di mercato per gli ingredienti e aggiungendo il
10% per le spese e il 30% per il guadagno.
32. Ripetere l’esercizio 1 per la ricetta dell’esercizio 2 del capitolo 1.
33. Poiché il costo degli ingredienti è variabile scrivere un programma
che calcoli il costo della ricetta dell’esercizio 1 dando in lettura i
costi unitari degli ingredienti.
34. Ripetere l’esercizio 3 per la ricetta dell’esercizio 2.
35. Definire per iscritto l’operazione di addizione in N .
36. Enunciare e scrivere le proprietà dell’addizione.
37. Scrivere un programma che verifichi le proprietà dell’addizione.
38. Definire la percentuale di una quantità ed enunciare la regola di
calcolo.
39. Calcolare il 31% di 1000.
40. Calcolare la percentuale degli alunni promossi l’anno precedente
sapendo che la classe era costituita da 25 alunni e che i bocciati
furono 7.
88
41. Scrivere un algoritmo che calcoli la percentuale di una quantità
assegnata.
42. Sapendo che lo scorso anno sono stati complessivamente bocciati
nell’istituto 200 ragazzi, pari alla percentuale del 30%, quanti
erano gli alunni frequentanti?
43. Enunciare per iscritto la proprietà distributiva del prodotto rispetto
alla somma e verificarla con un programma.
44. Definire l’addizione nell’insieme delle frazioni.
45. Enunciare le proprietà dell’addizione nell’insieme dei numeri
razionali assoluti.
46. Enunciare la proprietà invariantiva delle frazioni.
47. Cosa ci consente di fare la proprietà invariantiva delle frazioni.
48. Scrivere un programma che calcoli un certo numero di frazioni
equivalenti ad una data.
49. Definire la relazione d’ordine nell’insieme delle frazioni.
50. Ordinare in senso crescente le seguenti frazioni:
a.
1 3 2 7 15 10
,
, , , ,
;
2 4 3 8 12 13
89
b.
8 7 11 9 5
, , , , .
5 3 4 10 11
51. Ordinare in senso crescente le seguenti frazioni:
a.
b.
21 7 13 25 81 17
;
, ,
,
,
,
30 5 18 13 92 16
151 171 415 791
,
,
,
.
81 91 1915 895
52. Modificare il programma dell’esercizio 1, inserendo anche il
calcolo del guadagno, dato in lettura.
53. Ripetere l’esercizio precedente per il programma dell’esercizio 2.
54. Calcolare le seguenti somme:
a.
3
10 7
+ (1 + ) + ;
4
11 4
b.
1 ⎛1 5⎞ 4
+⎜ + ⎟+ ;
2 ⎝ 3 7 ⎠ 13
13
⎡⎛ 1
⎞
c. ⎢⎜ + 5 ⎟ + 7 ] + .
14
⎠
⎣⎝ 8
55. Calcolare l’espressione decimale dei seguenti numeri razionali:
1 1 1 1 3 81 7
,
,
, , , ,
10 5 2 8 20 64 900
90
56. Calcolare la frazione decimale equivalente ai seguenti numeri
decimali:
0,001;
1,745;
0,841;
1,47951;
8,71
57. Dire quale delle seguenti frazioni genera un numero periodico,
indicando il massimo numero di cifre del periodo:
1 1 4 7 11 1 3 5 3 8 9
,
, ,
,
,
, , ,
, , .
3 20 5 50 45 60 11 21 20 71 50
58. Spiega cosa fa il seguente programma
n=legginum(“denominatore della frazione”);
a=0;
r=n RDIV 10;
Esegui finquando(r=0);
n=n DIV 10;
r=n RDIV 10;
a=a+1;
fine;
r=n RDIV 2;
esegui finquando(r=0);
n=n DIV 2;
r=n RDIV 2;
n=a+1;
fine;
n=n DIV 5;
r=n RDIV 5;
Esegui finquando(r=0);
n=n DIV 5;
r=n RDIV 5;
a=a+1;
fine;
stampa(“il numero di cifre dell’antiperiodo è ”,a);
59. Definire il quadrato.
60. Enunciare tutte le proprietà del quadrato.
91
61. Scrivere un algoritmo che disegni un quadrato, utilizzando solo
rette parallele e perpendicolari.
62. Spiegare il seguente programma istruzione per istruzione, dopo
averlo eseguito.
A=punto;
B=punto;
r=retta(A,B);
p=perpendicolare(r,A);
p1=perpendicolare(r,B);
C=punto_su(p);
p2=parallela(r,c);
D=intersezione(p2,p1);
poligono(A,B,D,C);
Cancella(r,p,p1,p2);
63. Aggiungere al programma dell’esercizio precedente il calcolo
dell’area, del perimetro e delle diagonali della figura ottenuta.
64. Definire la potenza di un numero naturale ed enunciare le
proprietà.
65. Definire la potenza di un numero razionale assoluto.
66. Calcolare le seguenti espressioni:
2
⎛1 3⎞ 7 1 ⎛ 4⎞
a. ⎜ + ⎟ × + ÷ ⎜1 + ⎟ ;
⎝2 4⎠ 8 2 ⎝ 5⎠
3
⎛ 1⎞ 4 ⎛1⎞ ⎛1⎞
b. 2 + ⎜1 + ⎟ × + ⎜ ⎟ ÷ ⎜ ⎟ ;
⎝ 3⎠ 5 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
3
92
3
3
⎞ 3 ⎛1⎞
⎛1⎞ ⎛1
c. ⎜ ⎟ + ⎜ + 2 ⎟ × ÷ ⎜ ⎟ ;
⎠ 5 ⎝2⎠
⎝4⎠ ⎝4
⎡ 2 ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎤ 3 ⎛ 1 7 ⎞3 1
d. ⎢ + ⎜ + ⎟ ⎥ ÷ + ⎜ + ⎟ ÷ .
⎢⎣ 3 ⎝ 3 2 ⎠ ⎥⎦ 4 ⎝ 2 8 ⎠ 3
67. Definire la radice aritmetica di un numero razionale assoluto.
68. Esplicitare le seguenti uguaglianze eliminando il simbolo di radice
1)
3
a = b,
2)
4
a 3 = h,
4
a = c,
5
6
a = d,
a2 = l,
5
a = e,
a = m2 ,
3
a2 = f ;
a = n3 .
69. Calcolare
1)
36 ,
49 ,
2)
81,
124 ,
3
5
216 ,
3
125 ,
32 ;
4
64 .
70. Calcolare con il procedimento convenzionale le seguenti radici
quadrate:
1)
5,
26 ,
131,
7,
1960,
7981;
2)
7,
35 ,
51,
15 ,
2310,
5964.
71. Ripetere l’esercizio precedente con il software MatCos.
72. Calcolare con il software MatCos:
93
3
15 ,
3
1
,
3
4
3
3
21 ,
7
,
2
4
5
10961 ,
15
,
2
5
698341
81
4
e verificare l’esattezza del calcolo.
73. Definire i numeri irrazionali assoluti.
74. Facendo uso, eventualmente di una calcolatrice calcolare la
sequenza approssimata per difetto e per eccesso di
3,
5,
7.
75. Definire l’operazione di sottrazione nei numeri naturali e nei
razionali assoluti.
76. Fai lo schema grafico della sottrazione in N e deduci la differenza
con quello della moltiplicazione e dell’addizione .
77. Esegui le seguenti sottrazioni nel caso siano definite:
a.
8 3
− ,
3 5
7 1
− ,
4 4
7 17
− ,
9 18
b.
7 11
− ,
4 24
5 4
− ,
9 7
8 7
− ,
3 4
c.
11 6
− ,
5 4
8 1
− ,
5 15
15
4
− ,
150 75
15 3
−
;
21 49
5 8
− ;
11 3
4 1
− .
5 3
94
78. Semplifica la seguente espressione
2
⎛ 7 ⎞ 3 ⎛1⎞ ⎛1 1⎞ 1
a. ⎜ + 1⎟ × − ⎜ ⎟ × ⎜ − ⎟ ÷ ;
⎝ 3 ⎠ 4 ⎝ 5⎠ ⎝ 2 3⎠ 2
⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞2 ⎤ 1 4
b. ⎢ + ⎜ + ⎟ ⎥ ÷ − .
⎣⎢ 2 ⎝ 3 4 ⎠ ⎦⎥ 3 5
e verifica il risultato con il software MatCos.
79. Per ottenere la condizione di controllo MatCos mette a
disposizione la struttura detta condizionale:
se (condizione) allora esegui;
<istruzione 1>
………
………
<istruzione n>
fine;
altrimenti esegui;
<istruzione 1>
………
………
<istruzione n>
fine;
Quindi, se vogliamo fare automaticamente la sottrazione di due
numeri naturali, il segmento di programma è
a=legginum(“minuendo”);
b=legginum(“sottraendo”);
se (a>=b) allora esegui;
C=a-b;
stampa(“la differenza è ”,c);
fine;
altrimenti esegui;
stampa(“la sottrazione non è definita”);
fine;
95
Nel caso l’istruzione da eseguire dopo la condizione sia solo una, il
costrutto condizionale si può semplificare eliminando le parole:
“esegui” e “fine” .
80. Scrivi un programma che calcoli in maniera automatica la
sottrazione di due frazioni.
81. Scrivi un programma che calcoli i sottomultipli di un numero
naturale assegnato.
82. Modifica il programma precedente facendo stampare solo i fattori
primi di un numero naturale assegnato.
83. Per verificare se un numero è primo, MatCos mette a disposizione
il comando
S=Primo(n);
se la variabile S assume il valore vero (si) allora il numero n è
primo, se invece S assume il valore falso (no) allora il numero n
non è primo. Il segmento di programma è dunque
n=legginum("numero naturale assegnato");
S=Primo(n);
se(S=vero) allora
stampa("il numero ",n," è primo");
altrimenti
stampa("il numero ",n," non è primo");
84. Con l’aiuto del software MatCos calcola i fattori primi e quindi
m.c.m. e M.C.D. delle seguenti coppie di numeri
(18991, 341); (8972, 741); (778002, 458754)
96
85. Modifica il programma di pag. 45, in modo da calcolare la somma
dei primi n numeri naturali. Prova il programma per
n= 10,
20,
40,
50
e verifica se la seguente proposizione è vera:
n(n + 1)
.
la somma dei primi n numeri naturali è
2
86. Spiegare perché sono necessari i numeri con segno e fare qualche
esempio di situazioni dicotomiche.
87. Esaminare gli opposti di
5,
7,
0,
511,
741,
− 5, − 10, − 15
88. Definire l’opposto di un numero naturale n.
89. Che cosa è la retta numerica?
90. Definisci la retta numerica.
91. Rappresenta sulla retta numerica i seguenti numeri:
5,
8,
− 2,
0,
3, − 4, − 8, − 5,
2,
− 3,
4
92. Ripeti l’esercizio precedente con il software MatCos
93. Definisci il valore assoluto di un numero relativo.
94. Calcola il valore assoluto dei seguenti numeri relativi
5,
− 5,
15,
− 20,
− 150,
16,
− 36
97
95. Ripeti l’esercizio precedente con il software MatCos.
96. Definisci l’addizione di due numeri relativi e verifica col software
MatCos il risultato.
97. Enuncia per iscritto le proprietà dell’addizione in Z e trova le
differenze con le proprietà dell’addizione in N .
98. Definisci la sottrazione in Z e costruisci il grafico.
99. Qual è la differenza tra la sottrazione in N e quella in Z .
100. Scrivi un programma in MatCos che calcoli la sottrazione in Z .
101. Definisci la moltiplicazione di due numeri relativi.
102. Enuncia le proprietà della moltiplicazione in Z .
103. Scrivi un programma MatCos che calcoli il prodotto di due numeri
relativi ed eseguilo per varie coppie di numeri.
104. Confronta lo schema grafico dell’addizione, moltiplicazione e
sottrazione in Z .
105. Definisci l’operazione di divisione nei numeri relativi.
98
106. Costruisci lo schema grafico dell’operazione di divisione in Z .
107. Definisci l’insieme dei numeri razionali.
108. Esprimi la relazione di inclusione tra gli insiemi
N , Z , Q+ , Q
109. Rappresenta sulla retta numerica i seguenti numeri razionali
1
,
2
3
,
4
8
,
5
7
− ,
3
− 1,
0,
3,
−
3
4
110. Ripeti l’esercizio precedente con MatCos.
111. Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali
3
,
5
1
,
4
7
1
1
, − , − ,
6
2
3
4
− ,
5
8
,
11
15
,
32
75
48
112. Enuncia le proprietà delle operazioni in Q .
113. Ricerca il significato della parola “Statistica”.
114. Costruisci una tabella che raccolga il colore degli occhi degli
alunni della classe, distinguendo i colori azzurro, castano, verde.
115. Rappresenta in un diagramma a strisce i dati della tabella 2.
116. Rivela l’altezza dei compagni di classe distinguendo le classi
99
< 140,
140 − 150, 151 − 160,
> 161 − 170,
> 170 .
117. Costruisci il diagramma a strisce dei dati della tabella
dell’esercizio precedente.
118. Definisci la media aritmetica.
119. Calcola la media aritmetica dei voti del primo quadrimestre di ogni
alunno della classe.
120. Costruisci il diagramma a strisce dei dati dell’esercizio precedente
distinguendo le seguenti fasce
2 − 4, 5 − 6, 7 − 8, 9 − 10
121. Semplifica le seguenti espressioni e verificane il risultato in
MatCos:
⎛ 3 1 7⎞ ⎛ 1⎞ ⎛5⎞ 1
1) ⎜ − − + ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ −
⎝ 5 4 6⎠ ⎝ 5⎠ ⎝3⎠ 3
2)
1 ⎛ 7 4 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎡ 1 1 ⎛ 6 1 ⎞⎤
⋅⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟⋅ − + ⋅⎜− + ⎟
2 ⎝ 5 9 ⎠ ⎝ 15 5 ⎠ ⎢⎣ 3 5 ⎝ 5 2 ⎠⎥⎦
⎧ ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞⎤ 7 ⎫ ⎛ 1 ⎞ 1
3) ⎨2 ⋅ ⎢ + ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟⎥ + ⎬ ⋅ ⎜ − ⎟ −
⎩ ⎣ 2 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 5 3 ⎠⎦ 3 ⎭ ⎝ 12 ⎠ 4
⎛ 3 2 1⎞ 5 ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 3⎞
4) ⎜ − + ⎟ : − ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟
⎝ 2 4 3 ⎠ 3 ⎝ 5 15 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎡ 1 ⎛ 1 2 ⎞ 7 ⎤ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 12 ⎞
5) (− 4 ) ⋅ ⎢− + ⎜ + ⎟ ⋅ ⎥ + ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟
⎣ 2 ⎝ 5 3 ⎠ 5 ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 15 ⎠
⎧ 7 ⎛ 2 1 ⎞ ⎡ ⎛ 1 1 5 ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞⎫ ⎛ 2 ⎞
6) ⎨ − ⎜ + ⎟ − ⎢1 − ⎜ − + ⎟⎥ : ⎜ − ⎟⎬ : ⎜ − ⎟
⎩ 6 ⎝ 3 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 3 6 ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠⎭ ⎝ 3 ⎠
100
5⎞
⎛1 1⎞ ⎛
⎜ − ⎟⋅⎜− 2 − ⎟
5 2⎠ ⎝
7⎠ ⎛1 3 ⎞
7) ⎝
−⎜ + ⎟
⎞ ⎛ 4 3 ⎞ ⎝ 9 14 ⎠
⎛3
⎜ − 2⎟ ⋅ ⎜ − ⎟
⎝7
⎠ ⎝3 2⎠
3
3 ⎛ 2⎞ ⎛
2⎞ ⎛ 2⎞
8) + ⎜1 − ⎟ : ⎜ − 1 − ⎟ + ⎜1 + ⎟
2 ⎝ 5⎠ ⎝
5⎠ ⎝ 5⎠
2
⎛1⎞ ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ −⎜ ⎟
5
4
9) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 3
+
5 4
2
2
2
10)
⎛1 1⎞ ⎛ 3⎞
⎜ + ⎟ : ⎜− ⎟
2
⎛3 2
⎞
⎝7 4⎠ ⎝ 4⎠
⎜ − + 6⎟ ⋅
2
3
⎠ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 ⎞
⎝4 3
+
+
:
1
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎝ 2 8⎠ ⎝ 4⎠
11)
2
⎧⎡ 3 16 ⎤ 0 ⎫
4 −2 5
⎪ ⎛ ⎞
⎪ ⎛1⎞
⎨⎢− ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ ⋅ ⎜ ⎟ − 3 ⋅ 4
4
⎪⎩⎣⎢ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎝ 2 ⎠
12)
⎧⎪⎡⎛ 1 ⎞ 2 1 ⎤ ⎛ 5 ⎞ 6 1 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎫⎪
⎨⎢⎜ ⎟ − ⎥ ⋅ ⎜ ⎟ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎬
4 ⎥⎦ ⎝ 7 ⎠
4 ⎝ 3 ⎠ ⎪⎭
⎪⎩⎢⎣⎝ 2 ⎠
13)
⎧⎪⎡ ⎛ 3 1 ⎞⎤ ⎛ 7 ⎞ 2 ⎫⎪
⎨⎢2 − ⎜ + ⎟⎥ − ⎜ ⎟ ⎬
⎪⎩⎣ ⎝ 4 5 ⎠⎦ ⎝ 5 ⎠ ⎪⎭ ⎛ 2 3 ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ 3
+⎜ ⋅ ⎟ :⎜ ⎟
−2
2
⎝ 3 5⎠ ⎝ 3⎠
⎛2 1⎞ ⎛5⎞
⎜ − ⎟ +⎜ ⎟
⎝5 4⎠ ⎝4⎠
14)
⎧ ⎡
⎪ ⎢
⎨2 ⋅ 2
⎪⎩ ⎢⎣
−1
( )
2
2
⎛ 3 ⎞ ⎤ 5 ⎫⎪ ⎡ 4 2 ⎤ 2
⎟ ⎥⋅ ⎬: 3
− ⎜⎜
⎟ ⎥ 4 ⎢⎣
⎦⎥
2
⎠ ⎦ ⎪⎭
⎝
( )
15)
{[(2) ] − 8 }: [16
16)
(16
1/ 2 2
1/ 4
1/ 3
1/ 2
]
)
− 161 / 2 : ( 2 ) 2
101
17)
−2
2
2⎫
⎧⎡
⎛ 5⎞ ⎪
1⎤
⎪⎢ ⎛⎜ 3 ⎞⎟
⎜
⎟
⎥
⎨ 2−⎜
⎟ − 4⎥ + ⎜ 2 ⎟ ⎬
⎝
⎠ ⎪
⎪⎢⎣ ⎝ 2 ⎠
⎦
⎩
⎭
⎡⎛ 3 3 ⎞ 3 5 ⎤
⎟ + ⎥
⎢⎜
⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ 16 ⎥
⎦
⎣
−2
102