Algebra 2

2
Incontro del 11 dicembre
2012
2.1
Radici e coefficienti di un polinomio
Nel 1799 Carl Friedrich Gauß⇤ dimostrò il seguente risultato, noto anche come
Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Teorema (Gauß). Ogni polinomio di grado positivo a coefficienti complessi ha
una radice complessa.
Dal teorema di Ruffini discende allora facilmente che ogni polinomio monico
p(x) di grado positivo n a coefficienti complessi (o reali, che sono particolari
numeri complessi) si scrive come prodotto di n polinomi monici complessi di
primo grado:
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an
1x
n 1
+ xn = (x
↵1 ) · · · (x
↵n ).
Sviluppando il prodotto a destra ed eguagliando i coefficienti si trovano le
formule di Viète † :
an
1
=
an
2
=
(↵1 + · · · + ↵n ),
X
↵i ↵j ,
16i<j6n
⇤ Carl Friedrich Gauß (Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855), talvolta definito “il principe dei matematici”, è stato un matematico, astronomo e fisico tedesco,
che ha dato contributi determinanti in vari campi, inclusi analisi matematica, teoria dei numeri, statistica, calcolo numerico, geometria di↵erenziale, geodesia, geofisica, magnetismo,
elettrostatica, astronomia e ottica.
† François Viète, signore di Bigotière (Fontenay-le-Comte, 13 dicembre 1540 Parigi, 23
febbraio 1603), è stato un matematico e politico francese. Come matematico è noto soprattutto
per l’introduzione di notazioni algebriche sintetiche capaci di rendere gli sviluppi deduttivi
più compatti e più stringenti; egli si può ritenere la figura centrale ed eminente del periodo
rinascimentale. È conosciuto anche con il suo nome latinizzato, Franciscus Vieta.
10
... ... ...
ak = ( 1)n
X
k
16i1 <i2 <···<ik 6n
... ... ...
↵ i1 ↵ i2 · · · ↵ ik ,
a0 = ( 1)n ↵1 · · · ↵n .
In altre parole, il coefficiente ak si ottiene sommando tra loro tutti i possibili
prodotti a k a k delle radici e moltiplicando il risultato per ( 1)n k .
Si definisce k-esima funzione simmetrica elementare il polinomio (in n variabili
X
sk (x1 , . . . , xn ) =
x i1 x i2 · · · x ik ,
(2.1)
16i1 <i2 <···<ik 6n
cosicché le formule di Viète si scrivono nella forma:
ak = ( 1)n
k
sn
k (↵1 , . . . , ↵n ).
(2.2)
Esercizio (Giochi di Archimede 2011). Sapendo che l’equazione ax2 bx+c = 0,
con a > 1, ha due soluzioni positive strettamente minori di 1, possiamo a↵ermare
sicuramente che:
(A) c + b < 3a, (B) c 6 b < a, (C) b 6 c, (D) c 6 b < 2, (E) b < 2 e c < a.
Soluzione. Abbiamo informazioni sulle radici ↵1 e ↵2 del polinomio
p(x) = x2
b
c
x+
a
a
che sono espresse nelle diseguaglianze 0 < ↵1 6 ↵2 < 1. Si ha allora
c
= ↵1 ↵2 < 1.
a
b
0 < = ↵1 + ↵2 < 2
a
0<
e quindi 0 < c < a e 0 < b < 2a. Sommando queste due ultime diseguaglianze
membro a membro si ottiene 0 < b + c < 3a e quindi (A) è una risposta
corretta.
Esercizio (Stage PreIMO Pisa 2006). Siano p e q interi positivi, e sia
P (x) = (x + 1)p (x
3)q = xn + a1 xn
1
+ a2 xn
2
+ · · · + an
1x
+ an .
Determinare tutte le coppie (p, q) di interi positivi per cui si ha che a1 = a2 .
Soluzione. Il coefficiente a1 è l’opposto della somma di tutte le radici (ciascuna
presa tante volte quante è la sua molteplicità) mentre a2 la somma dei loro
11
prodotti a due a due, pertanto, poiché ci sono p radici uguali a
uguali a 3,
p
a1 = p 3q;
✓ ◆
✓ ◆
q
p
+9
a2 =
2
2
✓ ◆
✓ ◆
p
q
3q =
+9
2
2
1 e q radici
3pq;
3pq.
Liberando dai denominatori e svolgendo i calcoli si trova
3q)2 = 3p + 3q,
(p
da cui scopriamo che p
3q = 3h è divisibile per 3. Sostituendo otteniamo
3(p + q) = 9h2
e pertanto abbiamo il sistema
da cui otteniamo
(
p + q = 3h2
p 3q = 3h
(
3h(h 1)
4
3h(3h+1)
4
q=
p=
È facile vedere che queste formule restituiscono valori di p e di q interi se e
solo se h è della forma 4s o 4s + 1 (dove s è un intero).
2.2
Polinomio reciproco
Dato il polinomio p(x) = a0 +⇣a1⌘x + · · · + an 1 xn 1 + an xn (supponiamo
a0 6= 0 e an 6= 0), calcoliamo p y1 = a0 + a1 y1 + · · · + an 1 yn1 1 + an y1n =
1
yn
a0 y n + a1 y n 1 + · · · + an 1 y + an . Il polinomio p̃(x) reciproco di p(x) è
definito come p̃(x) = a0 xn + a1 xn 1 + · · · + an 1 x + an . Per quanto appena
mostrato vale l’identità:
✓ ◆
1
p̃(x) = xn p
= a 0 xn + a 1 xn 1 + · · · + a n 1 x + a n
(2.3)
x
e si ottiene da p(x) rovesciando l’ordine dei coefficienti. È facile vedere che se
p(x) = an (x ↵1 ) · · · (x ↵n ) è la scomposizione di p(x) come prodotto di
polinomi di primo grado, allora p̃(x) = an (1 x↵1 ) · · · (1 x↵n ). In particolare
le radici del polinomio p̃(x) sono le inverse delle radici del polinomio p(x).
Una conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra, che vedremo quando a↵ronteremo i numeri complessi, è che i polinomi irriducibili a coefficienti
reali sono quelli di primo grado o quelli di secondo grado con discriminante
< 0. Alla luce di quanto appena detto a↵rontiamo il seguente esercizio.
12
Esercizio. Scomporre il polinomio x4 + 1 come prodotto di due polinomi a
coefficienti reali di secondo grado (si noti che il detto polinomio non ha radici
reali).
Soluzione. Notiamo che il polinomio p(x) = x4 + 1 coincide con il proprio reciproco, pertanto se ↵ è una radice (complessa) di p(x), anche ↵ 1 = 1/↵ lo è.
Possiamo, allora scrivere p(x) nella forma
x4 + 1 = p(x) = (x
= (x
2
= (x
2
=x
dove A = ↵ + ↵
otteniamo
1
↵)(x
1
(↵ + ↵
1
)(x
)x + 1)(x
Ax + 1)(x
4
↵
2
2
1
)=
)x + 1) =
Bx + 1) =
(A + B)x + (AB + 2)x2
+
1
( +
3
eB=
1
)(x
(A + B)x + 1,
. Eguagliando i coefficienti grado per grado
(
A+B =0
AB = 2
p
p
da cui ricaviamo A = 2 e B =
2 (o viceversa) e quindi
p
p
p(x) = (x2 + 2 · x + 1)(x2
2 · x + 1).
2.3
Identità di Newton
Si definisce k-esima funzione potenza sulle variabili x1 , . . . xn la somma
hk (x1 , . . . xn ) = xk1 + · · · + xkn .
(2.4)
Per brevità scriveremo hk per indicare hk (↵1 , . . . ↵n ) e sk per indicare la
k-esima funzione simmetrica elementare sk (↵1 , . . . , ↵n ).
Dato un polinomio monico p(x) = a0 + a1 x + · · · + an 1 xn 1 + xn =
( 1)n sn + ( 1)n 1 sn 1 x + · · · s1 xn 1 + xn , sempre con le notazioni della
sezione precedente abbiamo
0 = p(↵1 ) = ( 1)n sn + ( 1)n
1
sn
1 ↵1
0 = p(↵2 ) = ( 1)n sn + ( 1)n
..
.
1
sn
1 ↵2
0 = p(↵n ) = ( 1)n sn + ( 1)n
1
1 ↵n
sn
s1 ↵1n
1
+ ↵1n
+ ···
s1 ↵2n
1
+ ↵2n
+ ···
s1 ↵nn
1
+ ↵nn .
+ ···
Sommando membro a membro otteniamo:
0 = ( 1)n nsn + ( 1)n
1
sn
13
1 h1
+ ···
s 1 hn
1
+ hn
da cui si ricava
hn = s 1 hn
s 2 hn
1
2
+ · · · + ( 1)n
2
sn
1 h1
+ ( 1)n
1
nsn .
Rimandando a poco più avanti per i dettagli della dimostrazione, avendo cura di
porre si = 0 per i > n, notiamo che questa identità ha un carattere più generale
e può essere scritta come:
h k = s 1 hk
s 2 hk
1
2
+ · · · + ( 1)k
2
sk
1 h1
+ ( 1)k
1
ksk .
(2.5)
Elencando i primi valori di k = 1, . . . , l si ottengono le Identità di Newton:
h1 = s 1
h2 = s 1 h1
2s2
... ... ...
hn = s 1 hn
1
s 2 hn
2
... ... ...
hl = s 1 hl
1
s 2 hl
2
+ · · · + ( 1)n
+ · · · + ( 1)n
2
2
sn
sn
1 h1
+ ( 1)n
1 hl n+1
1
nsn
+ ( 1)n
1
s n hl
n
per l > n.
Diamo ora una dimostrazione delle Identità di Newton. Utilizzando la formula della derivata del prodotto di funzioni, calcoliamo la derivata del suo
reciproco:
p̃0 (x) =
=
d
(1
dx
n
X
x↵1 ) · · · (1
↵i (1
i=1
x↵n ) =
x↵1 ) · · · (1
x↵i
1 )(1
x↵i+1 ) · · · (1
x↵n ),
e poniamo Hr (x) = h1 + xh2 + · · · + xr hr+1 .
Dall’identità
1 tr+1
= (1 + t + t2 + · · · + tr )
1 t
segue che
Hr (x) = h1 + xh2 + · · · + xr hr+1 =
= (↵1 + · · · + ↵n ) + x(↵12 + · · · + ↵n2 ) + · · · + xr (↵1r+1 + · · · + ↵nr+1 ) =
n
X
=
↵i 1 + (x↵i ) + (x↵i )2 + · · · + (x↵i )r =
i=1
= ↵1 1 + (x↵1 ) + (x↵1 )2 + · · · + (x↵1 )r + · · · +
xr+1 ↵1r+1 )
(1 xr+1 ↵nr+1 )
+ · · · + ↵n
(1 x↵1 )
(1 x↵n )
n
X
xr+1 q(x)
↵i (1 x↵1 ) · · · (1 x↵i 1 )(1
= ↵1
=
+ · · · + ↵n 1 + (x↵n ) + (x↵n )2 + · · · + (x↵n )r =
(1
i=1
(1
x↵1 ) · · · (1
14
x↵n )
x↵i+1 ) · · · (1
x↵n )
dove q(x) è un opportuno polinomio in x, e pertanto
xr+1 q(x) p̃0 (x)
.
p̃(x)
Hr (x) =
Otteniamo allora la seguente eguaglianza tra polinomi (nell’indeterminata x)
che è vera per ogni valore del numero naturale r:
p̃0 (x) = Hr (x)p̃(x)
xr+1 q(x)
Uguagliando tra loro i coefficienti delle potenze di x con esponente minore o
uguale a r nei due membri della precedente equazione, troviamo, come preannuciato, le Identità di Newton per l 6 r. D’altra parte la genericità di r mostra
che queste eguaglianze sono vere per ogni numero naturale l.
Esercizio. Nel caso n = 2 determinare le prime quattro funzioni potenza come
espressione polinomiale nelle funzioni simmetriche elementari.
Soluzione. Chiaramente h1 = s1 = ↵1 + ↵2 . Dalla seconda equazione ricaviamo
↵12 + ↵22 = h2 = s1 h1
=
s21
2s2 =
2s2 =
= (↵1 + ↵2 )2
2↵1 ↵2 .
Dall’ultima equazione di Newton elencata sopra (l = 3, n = 2) si trova
↵13 + ↵23 = h3 =
=
h1 s 2 + h2 s 1 =
=
s1 s2 + (s21
=
s31
2s2 )s1 =
3s1 s2 =
= (↵1 + ↵2 )3
3(↵1 + ↵2 )(↵1 ↵2 ).
Infine, sempre dall’ultima equazione di Newton elencata sopra (l = 4, n = 2),
abbiamo:
↵14 + ↵24 = h4 =
=
h2 s 2 + h3 s 1 =
=
(s21
=
=
s41
2s2 )s2 + (s31
4s21 s2 +
(↵1 + ↵2 )4
2s22
3s1 s2 )s1 =
=
4(↵1 + ↵2 )2 (↵1 ↵2 ) + 2(↵1 ↵2 )2 .
15
A titolo di curiosità riportiamo anche le funzioni potenza con indici più elevati
(sempre per n = 2):
h5 = s51
5s31 s2 + 5s1 s22
h6 = s61
6s41 s2 + 9s21 s22
h7 = s71
7s51 s2 + 14s31 s22
7s1 s32
h8 = s81
8s61 s2 + 20s41 s22
16s21 s32 + 2s42
h9 = s91
9s71 s2 + 27s51 s22
30s31 s32 + 9s1 s42
h10 = s10
1
2s32
10s81 s2 + 35s61 s22
50s41 s32 + 25s21 s42
2s52
Esercizio. Determinare i coefficienti a, b e c del polinomio x3 + ax2 + bx + c le
cui radici siano i quadrati delle radici del polinomio x3 3x + 1.
Soluzione. In questo caso si ha s1 = 0, s2 =
sei formule di Newton per n = 3:
3 e s3 =
1. Scriviamo le prime
s 1 = h1
2s2 = h1 s1
h2
3s3 = h1 s2
h2 s 1 + h3
0 = h1 s 3
0=
h2 s 2 + h3 s 1
h2 s 3 + h3 s 2
0 = h3 s 3
h4
h4 s 1 + h5
h4 s 2 + h5 s 1
h6
Invertendo tali relazioni rispetto ad h1 , . . . , h6 si trova:
h1 = s 1
h2 = h1 s 1
=
h3 =
=
=
s21
s1 s2 + s31
s31
= s1 s3
s41
h5 = h2 s 3
=
=
(s21
s51
h6 = h3 s 3
=
2s2
h1 s2 + h2 s1 + 3s3 =
h4 = h1 s 3
=
2s2
(s31
2s2 s1 + 3s3 =
3s1 s2 + 3s3
h 2 s 2 + h3 s 1 =
(s21
4s21 s2
2s2 )s2 + (s31
+
2s22
3s1 s2 + 3s3 )s1 =
+ 4s1 s3
h3 s 2 + h4 s 1 =
2s2 )s3
(s31
3s1 s2 + 3s3 )s2 + (s41
5s31 s2 + 5s21 s3 + 5s1 s22
4s21 s2 + 2s22 + 4s1 s3 )s1 =
5s2 s3
h4 s 2 + h5 s 1 =
3s1 s2 + 3s3 )s3
(s41
4s21 s2 + 2s22 + 4s1 s3 )s2 +
16
+ (s51
=
s61
6s41 s2
+
6s31 s3
+
9s21 s22
5s31 s2 + 5s21 s3 + 5s1 s22
12s1 s2 s3
2s32
+
5s2 s3 )s1 =
3s23
Invertendo invece le prime tre formule rispetto ad s1 , s2 , s3 si trova:
s 1 = h1
s2 =
s3 =
h2 h2
h1 s 1 h2
= 1
2
2
h3
h3
h2 s 1 + h1 s 2
=
3
h2 h1 + h1
h21
h2
2
3
=
2h3
3h1 h2 + h31
6
In particolare si trova:
a=
s1 (↵12 , ↵22 , ↵32 ) =
(↵12 + ↵22 + ↵32 ) =
=
h2 (↵1 , ↵2 , ↵3 ) =
s21 + 2s2 =
=
6
b = s2 (↵12 , ↵22 , ↵32 ) =
=
=
=
h1 (↵12 , ↵22 , ↵32 )2
h2 (↵12 , ↵22 , ↵32 )
2
h2 (↵1 , ↵2 , ↵3 )2
(s21
2s2 )
2
2
(s41
h4 (↵1 , ↵2 , ↵3 )
4s21 s2
+
2s22
=
=
+ 4s1 s3 )
2
=
=9
c=
=
=
s3 (↵12 , ↵22 , ↵32 ) =
2h3 (↵12 , ↵22 , ↵32 )
2h6 (↵1 , ↵2 , ↵3 )
3h1 (↵12 , ↵22 , ↵32 )h2 (↵12 , ↵22 , ↵32 ) + h1 (↵12 , ↵22 , ↵32 )3
=
6
3
3h2 (↵1 , ↵2 , ↵3 )h4 (↵1 , ↵2 , ↵3 ) + h2 (↵1 , ↵2 , ↵3 )
=
6
(tenendo conto del fatto che s1 = 0)
=
=
2( 2s32 + 3s23 )
3( 2s2 )(2s22 ) + ( 2s2 )3
=
6
1.
17
Soluzione alternativa. Consideriamo una radice ↵ del polinomio x3
ha allora
↵3 = 3↵
4
↵ = 3↵
1;
2
↵;
↵5 = 3↵3
6
↵ =
3x + 1, si
↵2 =
3
↵ + 9↵
2
↵2 + 9↵
3↵ = 9↵
3;
2
6↵ + 1.
Sommando membro a membro la quarta eguaglianza e la seconda moltiplicata per 6, troviamo ↵6 6↵4 = 9↵2 + 1, da cui deduciamo che ↵2 è radice
del polinomio q(x) = x3 6x2 + 9x 1.
Esercizio (Olimpiadi 2008 Senior, problemi a risposta rapida). Siano a1 , a2 ,
a3 , a4 le radici (eventualmente complesse e ripetute a seconda della molteplicità)
del polinomio
x4 + 7x3 13x2 + 17x 5.
Calcolare
1
1
1
1
+
+
+
a1
a2
a3
a4
Soluzione. Detto p(x) = x4 + 7x3
13x2 + 17x
5, i numeri
sono radici del polinomio monico (multiplo del reciproco)
1
p̃(x) =
5
1
5
7
13
x + x2
5
5
1 1 1
1
,
,
e
a1 a2 a3 a4
17 3
x + x4 .
5
La somma delle radici di questultimo è uguale al coefficiente del termine di terzo
grado cambiato di segno:
1
1
1
1
17
+
+
+
=
a1
a2
a3
a4
5
2.4
Radici multiple
Una radice ↵ di un polinomio p(x) è detta multipla se (x
↵)2 divide p(x).
Proposizione 2. Una radice ↵ di un polinomio p(x) è multipla se e solo se ↵
è una radice del polinomio derivato p(x)0 .
Dimostrazione. Scriviamo p(x) nella forma p(x) = an (x ↵1 ) · · · (x ↵n ). Questo polinomio ha una radice doppia se e solo se ↵i = ↵j per qualche coppia di
indici i e j con i 6= j. Otteniamo
p(x)0 = an
n
X
Y
i=1
1jn
j6=i
18
(x
↵j )
e quindi
p(↵i )0 = an
Y
(↵i
↵j ).
1jn
j6=i
Troviamo allora che che p(↵i )0 = 0 se e solo se ↵i = ↵j per qualche coppia di
indici i e j con j 6= i.
Esempio (polinomi di secondo grado). Supponiamo che il polinomio p(x) =
ax2 + bx + c abbia una radice multipla ↵. Per quanto appena detto si ha
(
p(↵) = a↵2 + b↵ + c = 0
p(↵)0 = 2a↵ + b = 0
b
b2
, ↵2 =
e, sostituendo nella prima equazione e
2a
4a2
2
b + 4ac
=
, dove
è il discriminante del polinomio
4a
4a
da cui di ricava ↵ =
semplificando, 0 =
p(x).
Esempio (polinomi di terzo grado). Supponiamo che il polinomio p(x) = x3 +
a
ax2 + bx + c abbia una radice multipla. Poniamo x = y
3 , sostituendo si
ottiene
p(x) = y 3
ay 2 +
a2
y
3
a3
+ ay 2
27
2a
a2
y+
+ by
3
9
ab
+c=
3
= y 3 + py + q
= l(y)
dove l(y) è un polinomio in y con radici multiple e
p=
a2
3
2a
+ b,
3
q=
a3
a2
+
27
9
ab
+ c.
3
Non si perde quindi di generalità riducendosi a considerare il caso (apparentemente particolare) dei polinomi della forma
l(x) = x3 + px + q.
Notiamo che se q = 0, allora una radice di l(x) è uguale a zero, e la somma
delle tre radici è anch’essa nulla. Se, come stiamo supponendo, l(x) ha radici
multiple e q = 0 allora due radici coincidono, una radice è nulla e le altre
due sono necessariamente opposte tra loro: l’unica possibilità di avere queste
condizioni è che siano nulle tutte e tre le radici. Ne deduciamo in tal caso che
p = 0 e che l(x) = x3 .
Supponiamo allora di essere nel caso in cui p 6= 0 6= q. Se ↵ è una radice
multipla di l(x) abbiamo
0 = l(↵) = ↵3 + p↵ + q
0 = l(↵)0 = 3↵2 + p
19
↵l(↵)0 = 2p↵ + 3q e ↵ =
Pertanto 0 = 3l(↵)
27q 3
8p2
3q
2p .
3q
2
Sostituendo tale valore
q
3
8p2 (4p
nella prima equazione si trova 0 =
+q =
+ 27q 2 ). È facile
vedere che questa condizione è anche sufficiente: il polinomio l(x) = x3 + px + q
ha una radice multipla se e solo se 4p3 + 27q 2 = 0. Infatti, se le radici di l(x)
sono ↵1 , ↵2 e ↵3 , sapendo che ↵3 = ↵1 ↵2 , si trova
p = ↵1 ↵2 + ↵1 ↵3 + ↵2 ↵3 =
=
q=
=
4p3 + 27q 2 =
↵12
↵1 ↵2
↵22 ;
↵1 ↵2 ↵3 =
↵12 ↵2 +
4↵16
↵1 ↵22 ;
12↵15 ↵2 + 3↵14 ↵22 + 26↵13 ↵23 + 3↵12 ↵24
=
(↵1
↵2 )2 (2↵1 + ↵2 )2 (↵1 + 2↵2 )2 =
=
(↵1
↵2 )2 (↵1
↵3 )2 (↵2
12↵1 ↵25
4↵26 =
↵3 )2 .
Il numero
= 4p3 27q 2 è detto discriminante del polinomio x3 + px + q e
si annulla se e solo tale polinomio ha una radice multipla.
Esercizio. Dato un polinomio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, con d 6= 0 di terzo
grado a coefficienti reali chiamiamo mossa ammissibile una delle seguenti:
1. passare dal polinomio p(x) al suo reciproco p̃(x) = a + bx + cx2 + dx3 ,
2. se v 2 R non è una radice di p(x) passare da p(x) a q(x) = p(x + v),
3. se u 2 R e u 6= 0 passare da p(x) a s(x) = p(u · x),
4. se w 2 R e w 6= 0 passare da p(x) a t(x) = w · p(x).
È possibile passare dal polinomio p(x) = x3 7x + 6 al polinomio h(x) =
x3 12x + 16 con un numero finito di mosse ammissibili?
Soluzione. La risposta è no, infatti ognuna delle mosse ammissibili non altera la
tipologia e il numero delle radici distinte di un polinomio. Notiamo che invece i
due polinomi, avendo il primo discriminante p = 4 · ( 7)3 27 · 62 = 400
ed il secondo h = 4 · ( 12)3 27 · (16)2 = 0, hanno rispettivamente tre radici
distinte il primo e radici multiple il secondo.
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