Stage di Trieste - Esercitazione Algebra
Esercizi di Algebra
1. *Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio (π₯ 21 + 4π₯ 2 − 3)2001 − (π₯ 21 + 4π₯ 2 −
3)667 + π₯ 21 + 4π₯ 2 ?
2. **Sia π(π₯) un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Se π (2000) = 2000 e π (2001) =
2001 allora π(2002) non può valere…
3. **Per quanti valori di a l’equazione π₯ 3 + (π − 4)π₯ 2 + (π + 4)π₯ + 9 = 0 ha esattamente due
soluzioni coincidenti?
4. **Quanto vale la somma dei reciproci delle radici dell’equazione π₯ 4 − 2π₯ 3 − 7π₯ 2 − 2π₯ + 9 = 0
5. *Dimostrare che π₯ 2011 π¦ − π₯π¦ 2011 + π§ 2011 π₯ − π₯ 2011 π§ + π¦ 2011 π§ − π¦π§ 2011 è divisibile per
(π₯ − π¦)(π¦ − π§)(π§ − π₯)
6. ***Quanto vale la somma delle seste potenze delle radici dell’equazione π₯ 6 − 16π₯ 4 + 16π₯ 2 − 1 =
0?
7. *Sia π(π₯) un polinomio di grado 2010. Qual è il massimo grado che può avere il polinomio
π (π₯ − 1) − 3π (π₯) + 3π (π₯ + 1) − π(π₯ + 2)?
8. *Sia π(π₯) un polinomio monico di terzo grado, e ππ il coefficiente del termine di grado π. Sapendo
che la somma di due delle radici del polinomio vale zero, quale delle seguenti risposte è sempre
vera? i) π0 π1 π2 = 0, ii) π0 = π1 π2 iii) π0 = π1 + π2 iv)π12 = π0 π2 v)nessuna delle precedenti
9. **Sia π(π₯) un polinomio monico di grado 20 a coefficienti interi. Per tutti i π compresi fra 1 e 20,
π (π) = 2π. Quali sono le ultime 3 cifre di π(21)?
10. ***Siano π, π, π, π, π cinque interi distinti tali e π(π₯) un polinomio a coefficienti interi tale che
π(π) = π(π) = π(π) = π(π) = π(π) = 1. Per quanti interi π compresi fra 2001 e 2020 (estremi
inclusi) è possibile trovare un π tale che π(π) = π?
11. ***In Britannia i cinghiali scarseggiano, e così Borelix ha dovuto mettersi a dieta: ogni giorno
mangia 1 cinghiale in più dei 2/3 del numero di cinghiali che aveva mangiato il giorno prima.
Sapendo che il nono giorno di permanenza sull’isola mangia solo 259 cinghiali, quanti ne aveva
mangiati il primo giorno?
*Facile
**Medio
***Difficile o non trattato a lezione
Stage di Acireale - Esercitazione Algebra
Esercizi di Algebra
1. 22001 − 2667 + 5 La somma dei coefficienti è π(1)
2. 2002, non può avere grado 1 quindi non può essere…
3. 3, una radice la trovo subito, e poi ragiono sulle condizioni da porre su a
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2
9
, fare comune denominatore ed identificare numeratore e denominatore così ottenuti
Basta vedere che il polinomio si annulla ponendo uguali due delle variabili
6662, due radici sono facili da trovare, per le altre 4 si usano le relazioni dei coefficienti
2007, tutti gli altri termini dello sviluppo si cancellano sempre
È la ii, infatti π0 è il prodotto delle radici, π2 è la terza radice e π1 è il prodotto delle prime due
42, π (π) − 2π ha come radici…
6, π(π₯) − 1 ha almeno un certo numero di fattori primi…
6564
