3. Una curiosa proprietà dei numeri dispari “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.” (Galileo Galilei, Il Saggiatore) Galileo Galilei (Pisa, 15 febbraio 1564 – Arcetri, 8 gennaio 1642) è stato un fisico, filosofo, astronomo e matematico italiano, uno dei più grandi scienziati dell'epoca moderna. Il suo nome è associato ad importanti contributi in dinamica ed in astronomia ed all'introduzione del metodo scientifico (detto spesso metodo galileiano). 1. Calcola e osserva: 1 1 = 3 3 1+ 3 = 5+7 1+ 3 + 5 = 7 + 9 + 11 1+ 3 + 5 + 7 = 9 + 11 + 13 + 15 2. Prosegui con altre due righe: 3. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio naturale): 4. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio algebrico): 5. Prova a dimostrare algebricamente la congettura: 6. A partire da questo suggerimento grafico, cerca di dimostrare graficamente la congettura: 15 PER IL DOCENTE Una curiosa proprietà dei numeri dispari Classe consigliata: 1^ Strumenti: calcolatrice PREREQUISITI • • • • Formula per i numeri dispari ( d = 2n + 1 oppure d = 2n − 1 ) Somma dei primi n numeri dispari (vedi la scheda “Pitagora e i numeri quadrati”) Proprietà delle potenze Elementi di calcolo letterale OBIETTIVO DELL’ATTIVITA’ • • • Scoprire una particolare proprietà dei numeri dispari Esprimere una congettura in linguaggio naturale ed in linguaggio algebrico Dimostrare una formula, algebricamente e visivamente CONCETTI SOGGIACENTI (eventualmente sviluppabili) 1. Calcola e osserva: 1 1 = 3 3 1+ 3 1 = 5+7 3 1+ 3 + 5 1 = 7 + 9 + 11 3 1+ 3 + 5 + 7 1 = 9 + 11 + 13 + 15 3 2. Prosegui con altre due righe: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 1 = 11 + 13 + 15 + 17 + 19 3 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 1 = 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 3 16 3. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio naturale): “Il rapporto tra la somma dei primi n numeri dispari e i seguenti n numeri dispari è pari ad un terzo” 4. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio algebrico): n = 1,2,3,.... 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 1 = (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + ... + (4n − 1) 3 5. Prova a dimostrare algebricamente la congettura: Lo studente conosce già le formule dei numeri dispari ( d = 2n + 1 oppure d = 2n − 1 ) e la formula per la somma dei primi n numeri dispari ( S (n) = n 2 , vedi la scheda “Pitagora e i numeri quadrati”) L'osservazione che il denominatore si può scrivere come la somma di tutti i primi 2 n numeri dispari, meno i primi n numeri dispari, risolve praticamente il problema. n = 1,2,3,.... 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) + (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + ... + (4n − 1) − [1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)] = 1 S ( n) n2 n2 n2 = = = = 2 2 2 2 2 4n − n 3n 3 S (2n) − S (n) (2n ) − n 6. A partire da questo suggerimento grafico, cerca di dimostrare graficamente la congettura: 1 + 3 + 5 = 32 7 + 9 + 11 = 6 2 − 32 La parte colorata in rosso rappresenta un terzo di quella colorata in azzurro 17