3. Una curiosa proprietà dei numeri dispari

3. Una curiosa proprietà dei numeri dispari
“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi
(io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer
i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed
altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza
questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”
(Galileo Galilei, Il Saggiatore)
Galileo Galilei (Pisa, 15 febbraio 1564 – Arcetri, 8 gennaio
1642) è stato un fisico, filosofo, astronomo e matematico
italiano, uno dei più grandi scienziati dell'epoca moderna.
Il suo nome è associato ad importanti contributi in dinamica
ed in astronomia ed all'introduzione del metodo scientifico
(detto spesso metodo galileiano).
1. Calcola e osserva:
1 1
=
3 3
1+ 3
=
5+7
1+ 3 + 5
=
7 + 9 + 11
1+ 3 + 5 + 7
=
9 + 11 + 13 + 15
2. Prosegui con altre due righe:
3. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio naturale):
4. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio algebrico):
5. Prova a dimostrare algebricamente la congettura:
6. A partire da questo suggerimento grafico, cerca di dimostrare
graficamente la congettura:
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PER IL DOCENTE
Una curiosa proprietà dei numeri dispari
Classe consigliata: 1^
Strumenti: calcolatrice
PREREQUISITI
•
•
•
•
Formula per i numeri dispari ( d = 2n + 1 oppure d = 2n − 1 )
Somma dei primi n numeri dispari (vedi la scheda “Pitagora e i numeri quadrati”)
Proprietà delle potenze
Elementi di calcolo letterale
OBIETTIVO DELL’ATTIVITA’
•
•
•
Scoprire una particolare proprietà dei numeri dispari
Esprimere una congettura in linguaggio naturale ed in linguaggio algebrico
Dimostrare una formula, algebricamente e visivamente
CONCETTI SOGGIACENTI (eventualmente sviluppabili)
1. Calcola e osserva:
1 1
=
3 3
1+ 3 1
=
5+7 3
1+ 3 + 5 1
=
7 + 9 + 11 3
1+ 3 + 5 + 7
1
=
9 + 11 + 13 + 15 3
2. Prosegui con altre due righe:
1+ 3 + 5 + 7 + 9
1
=
11 + 13 + 15 + 17 + 19 3
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
1
=
13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 3
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3. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio naturale):
“Il rapporto tra la somma dei primi n numeri dispari e i seguenti n numeri dispari è pari ad un
terzo”
4. Fai una congettura generalizzando gli esempi precedenti (in linguaggio algebrico):
n = 1,2,3,....
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
1
=
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + ... + (4n − 1) 3
5. Prova a dimostrare algebricamente la congettura:
Lo studente conosce già le formule dei numeri dispari ( d = 2n + 1 oppure d = 2n − 1 ) e la
formula per la somma dei primi n numeri dispari ( S (n) = n 2 , vedi la scheda “Pitagora e i
numeri quadrati”)
L'osservazione che il denominatore si può scrivere come la somma di tutti i primi 2 n numeri
dispari, meno i primi n numeri dispari, risolve praticamente il problema.
n = 1,2,3,....
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
=
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) + (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + ... + (4n − 1) − [1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)]
=
1
S ( n)
n2
n2
n2
=
=
=
=
2
2
2
2
2
4n − n
3n
3
S (2n) − S (n) (2n ) − n
6. A partire da questo suggerimento grafico, cerca di dimostrare graficamente la congettura:
1 + 3 + 5 = 32
7 + 9 + 11 = 6 2 − 32
La parte colorata in rosso rappresenta un terzo di quella colorata in azzurro
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