CAMPO GRAVITAZIONALE: esempio di campo di forza centrale Moto dei corpi celesti Sistema tolemaico o geocentrico: sole, luna e pianeti si muovono su epicicli Sistema copernicano o eliocentrico: considerando il sole come origine del sistema di riferimento si ha una descrizione cinematica più semplice Keplero, analizzando i dati relativi alle osservazioni di un astronomo danese, formula le tre leggi: 1) le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il sole occupa uno dei fuochi; 2) la velocità areolare per ciascun pianeta è costante; 3) i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite. L’ interpretazione dinamica a queste leggi viene data da Newton,partendo dalle seguenti ipotesi: 1) al moto dei corpi celesti si applicano le leggi della dinamica già note 2) ciascun pianeta si muove sotto l’ azione di una forza attrattiva esercitata dal sole proporzionale alla massa del pianeta e inversamente proporzionale al quadrato della distanza sole – pianeta. E’ contenuto in tale ipotesi il presupposto di una legge universale m1 m2 masse puntiformi qualsiasi: tra le due masse agisce una forza attrattiva diretta lungo la loro congiungente, proporzionale alle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza F=γ m1m 2 r 2 legge di gravitazione universale Deriviamola dalle leggi di keplero Velocità areolare costante ⇒ |L| = costante Orbita piana ⇒ direzione di L costante L = costante ⇒r × F = 0 ⇒ F forza centrale Assumendo l’ orbita circolare 2 F = mω r = m Per la terza legge 2 4π 2 2 r T 2 3 T = kr 4π m F= 2 k r Sistema terra − sole F = forza esercitata sulla terra dal sole 2 4π MT F= kT r 2 Per il III principio della dinamica F = F’= forza esercitata sul sole dalla terra 2 4π MS F' = kS r 2 F = F’ ⇒ MTkS = MSkT 2 Ponendo 4π 4π γ= = M T k S M Sk T F = F' = γ m1, m2 2 MT MS r 2 masse gravitazionali proprietà intrinseche dei corpi responsabili della forza gravitazionale γ costante universale Determinazione di γ: bilancia di torsione di Cavendish m specchio M γ = 6.67 ⋅10 −11 2 sorgente di luce 2 N ⋅ m / Kg Calcolo della massa della terra mg = γmM T 2 RT ⇒ MT = 5.98 ⋅1024 Kg Diversi esperimenti hanno permesso di verificare che masse gravitazionali e masse inerziali sono proporzionali Ponendo la costante di proporzionalità uguale ad 1 esse coincidono numericamente Proprietà dell’ interazione gravitazionale: non è influenzata dalla presenza di altra materia è indipendente dalla natura chimica e fisica dei corpi, dipende solo dalla massa Energia potenziale della forza gravitazionale F12 forza esercitata da m1 su m2 m F12 = − γ m1m 2 r 2 u12 2 F12 u12 m1 u12 versore della direzione che va da m1 ad m2 m1m 2 F12 (r ) = − γ 2 r B rB A rA W = ∫ F12 • d s = ∫ F12 (r )dr = rB = ∫ − rA γm1m 2 r 2 rB 1 dr = − γm1m 2 − = r rA 1 1 = γm1m 2 − = E PA − E PB rB rA Energia potenziale in un punto a distanza r: assumiamo EP (r = ∞) = 0 r B = ∞ rA = r ∞ γm1m 2 E P (r ) = ∫ F(r ) dr = − r r CAMPO GRAVITAZIONALE m0, massa posta in P, interagisce con m1 F = −γ mm0 r 2 u F forza esercitata da m su m0 m F G= = −γ 2 u m0 r P G u m G campo gravitazionale generato da m in un punto P a distanza r = forza esercitata da m su una massa unitaria m sorgente del campo Linee di forza del campo G generato da m m linea di forza superficie equipotenziale mm0 E P (r ) = − γ r Superfici equipotenziali ≡ superfici sferiche di raggio r Campo gravitazionale generato in un punto P da n masse puntiformi mi Gi = −γ mi r 2 ui G = ∑i G i = − γ ∑i mi u 2 i ri Campo gravitazionale prodotto da distribuzioni continue Distribuzioni continue di massa ⇔ numero molto grande di masse elementari dm distribuite in regioni dello spazio, le cui dimensioni non consentono l’approssimazione di massa puntiforme u dm P r dG d G = −γ dm r 2 ρdV dm G = ∫− γ u = ∫− γ u r2 r2 C C u