1 Energia potenziale gravitazionale

Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago - Brescia
Classe 3A - Fisica - Anno Scolastico 2014/2015 - Prof. Simone Alghisi
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Energia potenziale gravitazionale
Abbiamo visto più volte che il lavoro fatto dalle forze non conservative (ad esempio l'attrito)
corrisponde a una diminuzione dell'energia cinetica del corpo:
W = ∆K ,
dove il lavoro e la variazione dell'energia cinetica ∆K sono negativi. É inoltre noto che il lavoro delle forze dissipative dipende dal cammino percorso durante uno spostamento. La forza
gravitazionale, al contrario, è conservativa e ciò signica che anche il lavoro fatto dalla forza gravitazionale non dipende dal cammino percorso. Si può dimostrare che nel campo gravitazionale
creato da una massa M , il lavoro per spostare una massa m dal punto P al punto Q del campo
vale:
(1.1)
WP →Q = −GmM
1
1
−
rP
rQ
,
dove rP ed rQ indicano le distante dei punti P e Q dalla massa M . Dalla relazione (1.1) si ha
(1.2)
WP →Q = GmM
1
1
−
rQ rP
=−
GmM
GmM
+
.
rP
rQ
Sappiamo inoltre che il lavoro corrisponde sempre ad una dierenza di energia:
(1.3)
WP →Q = −∆U = −(UQ − UP ) = UP − UQ .
Dal confronto delle relazioni (1.2) e (1.3) si ha:
UP = −
GmM
,
rP
UQ = −
GmM
.
rQ
Un sistema formato da due masse m e M poste a distanza r una dall'altra possiede energia
potenziale gravitazionale U pari a
U = −G
mM
.
r
Graco di U = − GmM
r
2
U (J)
r (m)
1
2
3
−2
−4
1
4
5
Il fatto che l'energia potenziale U sia negativa signica che esiste un
legame tra le due masse m ed M e che per separarle portandole a distanza innita l'una dall'altra
occorre fare un lavoro contro le forze del campo e quindi fornire dall'esterno una quantità di
energia almeno uguale (in valore assoluto) a U .
Possiamo quindi aermare che l'energia potenziale di un sistema di due masse m ed M poste a
distanza r l'una dall'altra è energia di legame e rappresenta, in valore assoluto, il lavoro che si
deve fornire al sistema per separare le due masse portandole a distanza innita l'una dall'altra:
(1.4) Osservazione
U = WP →∞ .
Il movimento naturale delle masse nel campo indica la loro tendenza a raggiungere l'equilibrio
nelle condizioni di minima energia potenziale.
Consideriamo ora due masse, m e M . Supponiamo che la massa M sia ferma e che sia molto
più grande della masse m (cioè, in simboli, M m) e che m si muova con velocità v . L'energia
totale del sistema formato dalle due masse è
1
mM
Utot = K + U = mv 2 − G
,
2
r
essendo r la distanza che separa M da m. Sappiamo che se una massa si sposta da un punto A
ad un punto B del campo possiamo esprimere il lavoro in due modi diversi.
• Il lavoro, poichè comporta uno spostamento, corrisponde a una variazione di energia
cinetica del corpo:
WA→B = ∆K = KB − KA .
• Ricordando la relazione (1.3) si ha:
WA→B = −∆U = UA − UB .
Uguagliando le precedenti relazioni si ottiene:
KB − KA = UA − UB ,
da cui
KB + UB = KA + UA .
In generale l'energia meccanica totale (cioè energia cinetica e potenziale) si conserva se il sistema
è isolato. Per tale motivo si dice in genere che un campo di questo tipo è conservativo.
Dividendo l'energia potenziale gravitazionale U per la massa m si ottiene
una nuova grandezza, detta potenziale (indicato con V ), che non dipende dalla singola massa m
e dipende solo dal campo. Possiamo aermare che il potenziale corrisponde all'energia potenziale
che assume la massa di 1 kg in quel punto del campo:
(1.5) Osservazione
V=
GM
.
r
Come l'energia, anche il potenziale è una grandezza scalare. Esso si misura in J/kg cioè
m2 s−2 (che corrisponde alle dimensioni di una velocità al quadrato).
L'energia potenziale è una caratteristica del sistema formato dalle due
masse, mentre il potenziale è una caratteritica dei singoli punti del campo.
(1.6) Osservazione
2