Forze centrali
Forza centrale
• in qualsiasi punto la sua direzione passa sempre per un punto fisso
detto centro della forza
• il suo modulo è funzione solo della distanza dal centro stesso
F = F(r)ur con F(r) > 0 se la forza è repulsiva e < 0 se è attrattiva
Una forza funzione della posizione agente in una regione dello spazio,
modifica lo spazio stesso e dà origine ad un campo di forze che agisce
su ogni particella che si trova in esso.
In un campo di forze centrale è sempre M = 0 dato che F ed r sono ║,
quindi
v
v
dL v v
v
v
= r × F = ru r × F (r )u r = 0 ⇒ L = costante
dt
Fisica 1
A.A: 2009/10
1
P
dA
r
dθ
O
Fisica 1
A.A: 2009/10
2
Sappiamo che, per definizione L è sempre perpendicolare a r e v, se
L costante in direzione⇨ il piano in cui giacciono r e v è fisso e
contiene O e P; il moto di P è in genere curvilineo e determinato dai
valori iniziali di v ed r .
L costante in verso ⇨ fissa il verso di percorrenza della traiettoria
L costante in modulo ⇨ velocità aerale dA/dt costante
Sappiamo che il moto è piano ⇨ L = mrvθ =mr2dθ/dt ⇨ r2dθ/dt è
costante quindi la velocità aerale dA/dt = (1/2)r2(dθ/dt) è costante.
Infine si ha
dA L
=
=C
dt 2m
La traiettoria di un punto che si muove in un campo di forze centrali
giace in un piano fisso passante per il centro della forza ed è percorsa
in modo tale che la velocità aerale rimanga costante
A L
2m
C= =
⇒T =
A
T 2m
L
Fisica 1
A.A: 2009/10
3
Forze centrali sono conservative
v v B
v
v
W = ∫A F • ds = ∫A F (r )u r • ds =
B
= ∫A F (r )dr = f (rA ) − f (r B )
B
Fisica 1
A.A: 2009/10
4
L’interazione gravitazionale
Cosa era noto a Newton (1642-1727)
• ipotesi eliocentrica (Copernico inizi del ‘500)
• misure di Brahe (fine ‘500)
• leggi di Keplero (1600-1620) che spiegano dal punto di vista
cinematico il moto dei pianeti
Newton nel 1666 spiega il moto dei pianeti dal punto di vista
dinamico, ma rende pubblica la sua teoria solo nel 1687.
Nasce così la teoria della gravitazione universale
Fisica 1
A.A: 2009/10
5
Prima legge
I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno
pianeta
dei fuochi dell’ellisse
F
Seconda legge
sole
La velocità aerale con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un
dr
pianeta descrive l’orbita è costante
r
dA
Terza legge
sole
Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale
al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse: T2 = ka3
a
Fisica 1
A.A: 2009/10
6
Procedimento seguito da Newton
Assumiamo orbite circolari + velocità aerale costante ⇨ moto
del pianeta è circolare uniforme
1 dθ
d 1
dA d 1
= ( rdr ) = ( r 2 dθ ) = r 2
2 dt
dt 2
dt dt 2
L’orbita circolare assicura che r è costante e la seconda legge di
Keplero ci dice che la velocità aerale è costante ⇨ dθ/dt è costante.
Moto circolare uniforme ⇨ sul pianeta deve agire solo una forza
centripeta
2π 2
F = mω r = m( ) r
T
2
La terza legge di Keplero dice che T2=ka3 quindi (r = a per l’orbita
circolare)
Fisica 1
A.A: 2009/10
7
4π 2 m
F=
k r2
La forza esercitata dal sole sui pianeti è inversamente proporzionale
al quadrato della distanza dal sole
Consideriamo ora il sistema sole terra. La forza esercitata dal sole
sulla terra vale
2
4π mT
FS ,T =
kT r 2
Mentre la forza esercitata dalla terra sul sole è
4π 2 mS
FT ,S =
kS r 2
Per il principio di azione e reazione |FS,T| = |FT,S| ⇨ mTkS = mSkT
Fisica 1
A.A: 2009/10
8
Definendo la costante
4π 2
4π 2
γ=
=
mT k S mS kT
Si ottiene la forza sole-terra
mS mT
F =γ
r2
Abbiamo ottenuto una formula simmetrica per le masse. Newton
ipotizza che si possa trattare di una formula universale
Legge di gravitazione universale
Date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla
distanza mutua, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo
la congiungente le due masse. Il cui modulo dipende direttamente
dal prodotto delle masse e inversamente dal quadrato della distanza
Fisica 1
A.A: 2009/10
9
La costante γ è una costante universale che non dipende né dai
valori delle masse, né dalla geometria del sistema, ma è caratteristica
dell’interazione gravitazionale.
Dal punto di vista vettoriale possiamo scrivere
v
m1m2 v
F1, 2 = −γ 2 u1, 2
r
v
v
F2 ,1 = − F1, 2
Nel tempo le ipotesi di Newton hanno trovato numerose conferme
sperimentali. Newton stesso provvide a fornire la prima verifica.
Se la legge trovata è universale deve valere anche per un corpo di
massa m posto sulla terra, quindi per il corpo vale
mT m
F =γ 2
rT
Fisica 1
A.A: 2009/10
10
La formula ottenuta è valida se e solo se si ammette che un corpo a
simmetria sferica eserciti una forza come se la sua massa fosse tutta
concentrata nel centro. Questa dimostrazione costrinse Newton a
ritardare la pubblicazione della teoria.
Ad ogni modo sulla terra vale F = mg, quindi
mT
g =γ 2
rT
Tuttavia Newton non conosceva mT e γ. Considerò allora il sistema
terra-luna
mT mL
2
FT , L = γ
= mLω L rL
2
rL
Forza centripeta per la luna. Si ottiene γmT = ωL2rL3.
Noti il periodo di rotazione della luna attorno alla terra e rL, si può
ricavare γmT e quindi g (oggi accordo perfetto)
Fisica 1
A.A: 2009/10
11
Prima misura diretta di γ fatta da Cavendish nel 1798. Bilancia di
torsione. Misura della forza di attrazione tra due masse sferiche,
forza dell’ordine di 10-9 N. γ permette di determinare le masse dei
corpi celesti
3
m
γ = 6.67 ⋅10 −11
, mT = 5.98 ⋅ 10 24 kg
kg ⋅ s
Forza gravitazionale è una forza centrale che si manifesta a distanza
senza che le masse entrino in contatto. Questa è una caratteristica di
tutte le interazioni fondamentali. Raggio d’azione, infinito per la
forza gravitazionale. La forza gravitazionale non dipende dallo stato
di moto relativo, né dalla presenza di materia interposta.
Fisica 1
A.A: 2009/10
12
Campo gravitazionale
v
v
m1 v
m2 v
F1, 2 = (−γ 2 u1, 2 )m2 , F2 ,1 = (−γ 2 u 2 ,1 )m1
r
r
La forza esercitata da 1 su 2 è prodotto di un vettore che non dipende
da 2, ma solo da 1, per m2 e viceversa. Al vettore tra parentesi è il
campo gravitazionale G generato dalla massa sorgente nel punto P a
distanza r
P
v
v
v
m1 v
G1 = −γ 2 u1 , F1, 2 = m2G1
r
v
v
v
m2 v
G2 = −γ 2 u 2 , F2 ,1 = m1G2
r
G1
m1
u1
u2
m2
G2
P
G1 ≠ G2, ma F1,2 = -F2,1
Fisica 1
A.A: 2009/10
13
Formule valide per masse puntiformi o a simmetria sferica, anche il
campo è a simmetria sferica, quindi è centrale e sempre rivolto verso
la sorgente.
In un punto P il campo G dovuto a più masse è la somma vettoriale
dei campi generati da ciascuna massa.
G1 P G4
n v
n
v
mi v
G ( P) = ∑ G1 = ∑ (−γ 2 ui )
1=1
i =1
ri
m1
G2 G3
m2
m3
Per una distribuzione continua di massa m, si ha
v
dm v dm= ρdV
dV v
G ( P) = ∫ − γ 2 u = ∫ − γρ 2 u
C
V
r
r
v
v
F1, 2 = ∫ G1dm2
C2
Fisica 1
m4
dm
C
u
dG
P
A.A: 2009/10
14
G ha un significato indipendente da m1 ed m2?
La presenza di m1 modifica lo spazio anche senza che ci sia m2.
Raggi luminosi deviati dal campo gravitazionale (teoria relatività
generale. Osservazione del 1919 durante l’eclissi di sole.
G potrebbe esistere anche molto lontano da m nel caso il campo si
propaghi e magari m non esiste più (onde gravitazionali).
Fisica 1
A.A: 2009/10
15
Energia potenziale gravitazionale
Forza gravitazionale è centrale quindi è conservativa. Calcoliamo il
lavoro fatto da questa forza
v v
m1m2 v
v
dW = F • ds = −γ 2 u1 • ds
r
v
v
u1 • ds = dr
m1m2
1 1
W = ∫A dW = ∫r − γ 2 dr = −γm1m2 (− + ) =
r
rB rA
B
rB
A
m1m2
m1m2
= −γ
− (−γ
) = E p , A − E p ,B
rA
rB
W non dipende dalla traiettoria ⇨ la forza è conservativa
Fisica 1
A.A: 2009/10
16
m1m2
E p = −γ
r
Energia potenziale
Segno – significa che la forza è attrattiva. Se due masse sono molto
distanti r ~ ∞, F = 0 e Ep = 0. Prendiamo questo valore come punto di
riferimento e fissiamo la costante di Ep come Ep = 0 per r ~ ∞.
Quando m2 si avvicina ad m1, la forza gravitazionale fa W > 0 ed m2
acquista Ek, essendo Em costante, allora Ep deve diminuire ⇨ Ep < 0
Conica: curva piana definita come luogo dei punti P per i quali il
rapporto tra la distanza da un punto (fuoco F) e a distanza da una
retta (direttrice Q) è pari ad una costante positiva che si chiama
eccentricità ε. Detta d la distanza tra F e la direttrice si ha
ε=
PF
r
1 1 1
=
⇒ =
− cosθ
PQ d + r cosθ
r εd d
ε < 1 ellisse, ε = 1 parabola, ε > 1 iperbole
Fisica 1
A.A: 2009/10
17
Traiettoria di un corpo in un campo gravitazionale
L’orbita descritta da m rispetto ad M può
essere un’iperbole, una parabola o un’ellisse.
Per le orbite aperte, m non è legata ad M e
l’energia meccanica non può essere negativa. m
Em > 0 |Ep| ≤ Ek
Em = 0 |Ep| ≤ Ek
Em < 0 |Ep| > Ek
F
M
-F
iperbole
parabola
ellisse
Nell’ultimo caso si dice che m è legata ad M
Dalla misura della traiettoria si può risalire all’energia e al momento
angolare di m (sia E che L sono costanti perché la forza è centrale).
Vale anche il viceversa (ad esempio per i satelliti artificiali)
Fisica 1
A.A: 2009/10
18
E>0
E=0
v
P
m
Fisica 1
M
E<0
La velocità di m in P determina
la traiettoria, ovvero se m viene
catturato nel campo gravitazionale
di M oppure riesce a sfuggire.
La velocità potrebbe anche essere
troppo piccola per permettere ad m
di orbitare attorno a M, e m
finirebbe per ricadere su M dopo
aver percorso un tratto di ellisse che
interseca M.
A.A: 2009/10
19
Pianeti e satelliti su orbite ellittiche chiuse (1^ legge di Keplero).
Siano a e b (con b < a) i due semiassi dell’orbita ellittica e ε = 0.5.
Si ha (eccentricità e area)
2
b
ε 2 = 1 − 2 , A = πab = πa 2 1 − ε 2
a
Per il momento angolare L e l’energia E otteniamo
2
2
m
M
mM
L2 = γ
a (1 − ε 2 ) , E = −γ
m+M
2a
E dipende solo da a, mentre L dipende da a e da ε. Per il periodo di
rivoluzione si ricava
mM A
mM πa 2
T =2
=2
1− ε 2
m+M L
m+M L
Infine si arriva a
Fisica 1
2
4
π
T2 =
a 3 = ka 3 3^ legge di Keplero
γ (m + M )
A.A: 2009/10
20
4π 2
k=
γ (m + M )
Dato che m << Msole, k è praticamente uguale per tutti i pianeti
Per un satellite artificiale terrestre k = 4π2/γmT = 9.87·10-14 s2/m3.
Eccentricità dell’orbita terrestre ε = 0.017, b/a = 0.999, per
Plutone, che ha l’orbita più eccentrica tra tutti i pianeti, ε = 0.250
e b/a = 0.968.
Fisica 1
A.A: 2009/10
21
