Triangoli inscritti e circoscritti in una circonferenza

Formula di Erone
I lati di un triangolo sono c=10 , b=14, a=16. determinare l’altezza h e l’area A del triangolo.
Chiama x il segmento HB .
Considera ora i triangoli AHC e AHB.
Per il teorema di Pitagora:
h2  .............
h2  .............
Uguaglia le 2 espressioni e determina la x. Ricava poi h e A.
Formula di Erone
Ripetendo lo stesso procedimento che hai appena seguito nel caso generale, ovvero sostituendo al
posto dei numeri le lettere, dopo una serie di passaggi matematici, puoi trovare la formula di Erone:
A  p( p  a)( p  b)( p  c)
p è il semiperimetro, a, b, c le misure dei lati.
Ripeti l’esercizio precedente utilizzando la formula di Erone.
Triangoli inscritti in una circonferenza
Ricordiamo che l’asse di un segmento AB è la ………. perpendicolare al ………………AB
passante per il suo punto ……………………….
Per tracciare l’asse del segmento con riga e compasso basta procedere come in figura.
In un triangolo il punto d’incontro degli assi dei segmenti è detto circocentro ed è il centro della
circonferenza circoscritta al triangolo.
Trova il circocentro utilizzando riga e compasso e poi traccia la circonferenza circoscritta al
triangolo.
Raggio della circonferenza circoscritta.
Considera il triangolo di prima , con lati c , b, a, inscritto ora in una circonferenza.
Determina il raggio della circonferenza
L’angolo DCA è ……...… perché l’angolo al vertice C insiste in una ……………………….
L’angolo ADC =ABH perché insistono nello stesso ……………………..
Quindi il triangolo ADC e il triangolo AHB sono ……………. perché hanno angoli ………………
Quindi
b: 2R = h : …
Risolvendo la proporzione si ha:
R
........
........
Ma dato che h 
R
2A
, (……………………………………………………….) sostituendo ottieni
a
abc
, dove A è l’area del triangolo che si calcola con la formula di Erone.
4A
Esercizio
Trova ora R sapendo che c=10 , b=14, a=16. (prendi i dati dall’esercizio precedentemente svolto)
Triangoli circoscritti a una circonferenza
Ricordiamo che la bisettrice di un angolo è la retta
che …………. a metà ……………………….
Per tracciare la bisettrice si puo’ procedere come in figura a
fianco.
In un triangolo il punto d’incontro delle bisettrici è detto
incentro ed è il centro della circonferenza inscritta al
triangolo.
Trova l’incentro del triangolo sottostante utilizzando riga e
compasso e poi traccia la circonferenza inscritta al triangolo.
Congiungi ora il centro della circonferenza con i 3 vertici del triangolo, dividendo così il triangolo
in 3 triangoli che hanno per base … ……… del ………..…….. e per altezza …. ……………….
della circonferenza inscritta.
L’area del triangolo ABC è quindi uguale alla somma delle aree dei triangoli ……………………..
A  ......  ......  ...... 
r
...........  r  p , dove p è il ………………….. del triangolo.
2
Quindi
r
...
...
r
o anche applicando la formula di Erone,
..................................
......................................

p
....
Problemi
Determina l’area di un triangolo isoscele e il raggio della circonferenza circoscritta e inscritta ad
esso sapendo che i suoi lati sono b=c=5 , a =8.
Determina l’area di un triangolo e il raggio della circonferenza circoscritta ed inscritta ad esso
sapendo che i suoi lati sono 2, 3, 4.
Determina l’area di un triangolo equilatero e il raggio della circonferenza circoscritta ed inscritta ad
esso sapendo che i suoi lati misurano 6.
Sapendo che l’area di un triangolo equilatero è 25
circoscritta ed inscritta ad esso.
determina il raggio della circonferenza