TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA
MISURA DEGLI ANGOLI
Fino ad ora abbiamo misurato gli angoli col sistema sessagesimale (in inglese
degree). Secondo tale sistema l’angolo giro è di 360°, quello piatto è di 180°, quello
retto è di 90°. I sottomultipli del grado sono i primi e i secondi e occorrono 60
secondi per fare un primo e 60 primi per fare un grado.
Questo sistema è poco coerente con il sistema decimale e richiede calcoli più o meno
complessi per compiere operazioni matematiche.
Per questo motivo gli anglosassoni usano il sistema centesimale (in inglese grad). In
tale sistema l’angolo giro è di 400°, il piatto di 200° e il retto di 100°.
La grande semplificazione di tale sistema sta nel fatto che il primo sottomultiplo del
grado è il decimo di grado, il secondo è il centesimo di grado, il terzo il millesimo di
grado e così via.
Per questo motivo in tale sistema si applicano le comuni operazioni dell’aritmetica
decimale.
In matematica e soprattutto in fisica e in informatica il sistema più usato è quello
“radiante” che fa corrispondere all’angolo giro 2π, al piatto π, al retto π/2. Possiamo
sintetizzare quanto detto nella seguente tabella:
ANGOLO
GRADI
GRADI
SESSAGESIMALI CENTESIMALI
RADIANTI
GIRO
360°
400°
2π
PIATTO
180°
200°
π
RETTO
90°
100°
π/2
Vediamo ora come è possibile passare dalla misurazione degli angoli in gradi
sessagesimali alla misurazione in radianti. Per fare ciò ricorriamo ad una
proporzione. Si voglia, ad esempio, trasformare in radianti l’angolo di 30°. Se
chiamiamo x la misura in radianti dell’angolo di 30°, possiamo affermare che 180°
corrisponde a π come 30° corrisponde a x.
In notazione matematica questa affermazione diviene:
180°:π=30°:x,
da cui ricaviamo che :
x = 30π = π.
180 6
Riportiamo nella seguente tabella gli angoli più importanti:
GRADI
SESSAGESIMALI
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
270°
360°
RADIANTI
0
π/12
π/6
π/4
π/3
5π/12
π/2
π
3π/2
2π
L’utilità del sistema radiante si sostanzia nella corrispondenza diretta esistente tra
angoli espressi in radianti al centro di una circonferenza ed archi corrispondenti sulla
circonferenza stessa.
Si consideri una circonferenza di raggio r:
Il perimetro della circonferenza è pari a P=2πr.
In sostanza, per calcolare il perimetro della circonferenza abbiamo moltiplicato
l’angolo giro 2π per il raggio r.
Si noti che la circonferenza può essere considerata l’arco corrispondente all’angolo
2π.
Usiamo questa proprietà per calcolare la misura di qualsiasi arco.
Ad esempio si voglia calcolare la misura dell’arco AB di una circonferenza di raggio
r corrispondente ad un angolo al centro di 30°.
Poiché l’angolo di 30° corrisponde a π/6 radianti, l’arco AB si ottiene moltiplicando
l’angolo espresso in radianti e il raggio:
AB =π/6 *r.
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
Consideriamo un sistema di assi cartesiani e una circonferenza con il centro
coincidente con l’origine degli assi e il raggio unitario (r =1). Tale circonferenza
viene detta circonferenza goniometrica (fig.1).
Sulla circonferenza goniometrica consideriamo un punto P, tale che il raggio OP
formi con l’asse delle x l’angolo orientato α (α è positivo se forma una rotazione
antioraria rispetto a x).
FIG.1
Il punto P ha coordinate: P≡(OH; PH)
Si definisce seno dell’angolo α l’ordinata del punto P:
sen α=PH.
Si definisce coseno dell’angolo α l’ascissa del punto P:
cos α=OH
Prolunghiamo il raggio OP e chiamiamo P2 l’intersezione di tale prolungamento con
la retta tangente alla circonferenza del punto P1 di incontro tra la circonferenza e
l’asse delle x (fig.2)
Si definisce tangente dell’angolo α l’ordinata del punto P2:
P2P1=tan α
P2P1=tg α
FIG.2
Consideriamo ora la tangente alla circonferenza goniometrica portata per il punto A 1
di intersezione tra la circonferenza e l’asse delle ordinate. Indichiamo inoltre con A 2
l’intersezione tra tale tangente e il prolungamento del raggio OP (FIG.3).
FIG.3
Si definisce cotangente dell’angolo α l’ascissa del punto A2:
A1A2=cotanα
A1A2=cotgα.
Conduciamo una tangente alla circonferenza goniometrica nel punto P (vedi FIG.4).
Il raggio OP formi con l’asse delle x l’angolo orientato α .
Se chiamiamo S l’eventuale punto d’incontro tra la suddetta tangente e l’asse delle
ascisse e S’ l’eventuale punto d’incontro con l’asse delle ordinate, si definisce secante
dell’angolo α l’ascissa del punto S :
OS=sec α .
Si definisce cosecante dell’angolo α l’ordinata del punto S’ :
OS’=cosec α .
FIG.4
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE SENO
FIG.5
Nel primo quadrante il seno dell’angolo è sempre positivo, coincidente con l’ordinata
PH del punto P. In particolare quando α è zero, è zero anche PH, quindi nullo risulta
essere il seno di zero.
All’aumentare dell’angolo α aumenta anche PH e quindi il seno dell’angolo. Al
limite del primo quadrante α diviene π/2, PH coincide con il raggio, il seno di π/2 è
quindi uno, poiché il raggio è pari ad uno.
Sintetizzando possiamo affermare che nel primo quadrante l’angolo va da zero a π/2,
il seno dell’angolo è positivo e cresce dal valore zero (sen 0 = 0) al valore 1 (sen π/2
=1 ).
Nel secondo quadrante l’angolo passa dal valore π/2 a π. Il seno è anche in esso
positivo, in quanto le ordinate PH sono positive. In particolare a π/2 il seno vale 1,
coincidendo PH con il raggio unitario. Aumentando l’angolo α da π/2 a π l’ordinata
PH diminuisce, per cui diminuisce anche il seno dell’angolo. Alla fine del secondo
quadrante l’angolo diviene π, PH si annulla e diviene 0 anche il seno di π.
In sintesi nel secondo quadrante il seno è positivo e decresce, passando dal valore 1
(sen π/2 = 1) al valore 0 (sen π = 0).
Nel terzo quadrante l’angolo passa da π a 3π/2, il seno è negativo, in quanto
l’ordinata PH è negativa. In particolare a π PH è nulla, il seno è nullo. Man mano che
cresce l’angolo il segmento PH aumenta, ma, poiché l’ordinata è negativa, il seno
decresce. A 3π/2 (limite del quadrante) PH diviene -1.
In sintesi nel terzo quadrante il seno è negativo e decresce passando da 0 (sen π = 0) a
-1 (sen 3π/2 = -1).
Nel quarto quadrante il seno è negativo, in quanto PH è negativo. Il seno cresce
perché PH passa dal valore -1 a 3π/2 al valore 0 a 2π.
Sintetizzando in esso il seno è negativo e passa dal valore -1 (sen 3π/2=-1) al valore 0
(sen 2π=0).
α
Sen α
I QUADRANTE
0 ≤α≤ π/2
Da 0 a 1
II QUADRANTE
π/2 ≤α≤ π
Da 1 a 0
III QUADRANTE
π ≤α≤ 3π/2
Da 0 a -1
IV QUADRANTE
3π/2 ≤α≤ 2π
Da -1 a 0
Rappresentiamo ora la funzione seno in un diagramma (la sinusoide FIG.6), che
presenta sull’asse delle ascisse gli angoli, su quello delle ordinate i seni degli angoli.
Come abbiamo visto in precedenza, il seno assume valore minimo -1 e massimo 1
(varia tra -1 e 1), per cui possiamo disegnare sul diagramma una fascia tra -1 e 1 oltre
la quale non può esistere la funzione seno.
FIG.6
In sequenza le coordinate dei punti O,A,B,C,D, sono
O≡(0;sen0)≡(0;0)
A≡(π/2;senπ)≡(π/2;1)
B≡(π;senπ)≡(π;0)
C≡(3π/2;sen3π/2)≡(3π/2;-1)
D≡(2π;sen2π)≡(2π;0)
Unendo con una curva appropriata i punti indicati in figura si ottiene la “sinusoide”.
In realtà essa va continuata nella stessa maniera ad intervalli di 2π (si dice che la
funzione seno è di periodo 2π), infatti ogni 2π in seno presenta gli stessi risultati.
Due angoli sono congruenti quando si differenziano dalla quantità di 2π o multipla di
2π. Ad esempio π/2 e 5π/2 (π/2+2π) sono congruenti perché si differenziano di 2π ed
hanno lo stesso valore del seno.
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE COSENO
FIG.7
Sappiamo che il coseno di un angolo è l’ascissa di un punto P che si trova sulla
circonferenza goniometrica (nel caso in figura il segmento OH).
Nel primo quadrante il segmento OH è positivo, in particolare quando α è 0, OH
coincide con il raggio unitario e il coseno è 1 (cos0=1).
Man mano che cresce α, diminuisce il segmento OH e quindi il coseno di α. Quando
è π/2, OH diviene 0, nullo risulta quindi essere il coseno di π/2 (cosπ/2=0).
In sintesi il coseno del primo quadrante è positivo e decrescente, passando dal valore
1 a 0, al valore 0 a π/2.
Nel secondo quadrante il segmento OH diviene negativo, per cui il coseno è negativo
e passa dal valore 0 per α pari a π/2 (cosπ/2=0) al valore -1 per α=π (cosπ=-1).
Il coseno quindi decresce passando da 0 a -1.
Sintetizzando il coseno del secondo quadrante è negativo e decrescente passando dal
valore 0 a π/2 al valore -1 a π.
Nel terzo quadrante il coseno è negativo, crescente dal valore -1 per α=π al valore 0
per α=3π/2.
Nel quarto quadrante il segmento OH torna ad essere positivo, per cui positivo è il
coseno. Esso inoltre è crescente, poiché passa dal valore 0 per α=3π/2 (cos3π/2=0) al
valore 1 per α=2π (cos2π=1).
Sintetizzando nel quarto quadrante il coseno è positivo e crescente passando dal
valore 0 a 3π/2 al valore 1 a 2π.
La seguente tabella contiene tutto ciò che abbiamo detto:
I QUADRANTE
II QUADRANTE
III QUADRANTE
IV QUADRANTE
α
0 ≤α≤ π/2
π/2 ≤α≤ π
π ≤α≤ 3π/2
3π/2 ≤α≤ 2π
cosα
Da 1 a 0
Da 0 a -1
Da -1 a 0
Da 0 a 1
Rappresentiamo ora funzione coseno in un diagramma (cosinusoide), che presenta
sull’asse delle ascisse gli angoli e su quello delle ordinate il coseno degli angoli.
Come per la funzione seno anche il coseno varia tra -1 e 1 (-1 valore minimo, 1
valore massimo) per cui anche in questo caso tracciamo una fascia tra -1 ed 1 oltre la
quale il coseno non può esistere.
FIG.8
In sequenza le coordinate dei punti A,B,C,D,E sono:
A≡(0;cos0)≡(0;1)
B≡(π/2;cosπ/2)≡(π/2;0)
C≡(π;cosπ)≡(π;-1)
D≡(3π/2;cos3π/2)≡(3π/2;0)
E≡(2π;cos2π)≡(2π;1)
Unendo con una curva appropriata I punti individuati in figura si ottiene la
“cosinusoide”.
Anche la cosinusoide come la sinusoide va continuata identica a se stessa ad intervalli
di 2π. Per questo motivo possiamo affermare che anche il coseno ha periodo 2π,
presentando ogni 2π gli stessi valori.
È interessante confrontare la sinusoide con la cosinusoide.
Come si può osservare le due curve sono identiche e sfasate di π/2.
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE TANGENTE
Come si può osservare nella figura 9 A nel primo quadrante la tangente dell’angolo è
positiva. In particolare quando α è nullo il segmento PH, che rappresenta la tangente
diviene 0 (P coincidente con H). Man mano che α cresce (α3>α2>α1>α ⇒
P3H>P2H>P1H>PH) cresce la tangente.
Man mano che α si avvicina a π/2 la tangente tende a diventare grandissima. Quando
α diviene 90° il punto P tende all’infinito, in quanto il segmento OP tende a diventare
parallelo alla tangente.
Possiamo dire che a π/2 la tangente dell’angolo è più infinito (+∞).
In sintesi possiamo dire che nel primo quadrante la tangente è positiva, crescente dal
valore 0 (tan0=0) a +∞ (tanπ/2=+∞).
FIG. 9 A
FIG. 9 B
Per comprendere meglio la variabilità della funzione tangente nel secondo quadrante
partiamo da π e torniamo a ritroso verso π/2 (figura 9 B) . A π il punto coincide con
H, quindi la tangente è nulla. Man mano che l’angolo decresce, passando da α ad α1 ,
la tangente in valore assoluto cresce (P1H>PH), ma in realtà decresce poiché è
negativa.
Man mano che si avvicina l’angolo a π/2 (da sinistra) l’ordinata del punto P
corrispondente sulla tangente diventa un numero negativo sempre più grande. In
particolare la tangente a π/2 è meno infinito (-∞), in quanto il segmento OP tende a
diventare parallelo alla tangente.
Sintetizzando nel secondo quadrante la tangente è crescente, negativa e passa dal
valore -∞ (tanπ/2=-∞) al valore 0 (tanπ=0).
FIG. 10 A
FIG. 10 B
Come si può osservare dalla figura 10 A l’angolo α del terzo quadrante ha la stessa
tangente PH dell’angolo del primo quadrante. In particolare possiamo scrivere che
α=π+β
tanα= tan(π+β)= tanβ.
Per questo motivo da π a 3π/2 si ripropongono gli stessi valori della tangente
riscontrati da 0 a π/2.
In sintesi, quindi, possiamo dire che nel terzo quadrante la tangente è positiva e
crescente e passa dal valore 0 (tanπ=0) a +∞ (tan3π/2=+∞).
Osservando la figura 10 B , possiamo dedurre che la tangente dell’angolo α del
quarto quadrante (segmento PH) coincide con la tangente dell’angolo β del secondo
quadrante.
Infatti è: α=π+β
tanα= tan(π+β)= tanβ.
Nel quarto quadrante, quindi si propongono gli stessi valori del secondo quadrante,
per cui, sintetizzando, possiamo affermare che in esso la tangente cresce ed è
negativa e passa dal valore -∞ (tan3π/2=-∞) al valore 0 (tan2π=0).
FIG. 11
Riportiamo i valori 0 della tangente a 0, π e 2π e i valori +∞ e -∞ a π/2 e 3π/2
(FIG.11). Si ottiene la tangendoide. Come si può osservare due rami che hanno gli
stessi valori distano di π, per cui possiamo affermare che la funzione tangente ha
periodo π. Per completare la tangendoide si prosegue il grafico in modo identico ogni
π.
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE COTANGENTE
Come sappiamo, la cotangente dell’angolo α coincide con il segmento PH della
figura 12 A. Per questo motivo possiamo affermare che la cotangente nel primo
quadrante è positiva. Per semplificare lo studio della cotangente nel primo quadrante,
partiamo dall’angolo π/2 e, a ritroso andiamo verso l’angolo 0. A π/2 il segmento PH
è nullo, per cui risulta la cotangente di π/2 uguale a 0. Man mano che decresce
l’angolo andando verso 0 il segmento PH cresce, la cotangente quindi diventa più
grande. Quando l’angolo tende a 0, il segmento PH tende verso l’infinito, in quanto il
segmento OP tende a disporsi parallelamente alla retta cui si individua la cotangente.
La cotangente a 0 è quindi +∞.
Sintetizzando, si può affermare che nel primo quadrante la cotangente è positiva e
decrescente, passando dal valore +∞ a 0 (cotg0=+∞) al valore 0 a π/2 (cotgπ/2=0).
FIG. 12 A
FIG. 12 B
Nel secondo quadrante (FIG. 12 B) il segmento PH che rappresenta la cotangente è
negativo, la cotangente, quindi, è negativa. In particolare a π/2 PH è nullo ed è nulla
anche la cotangente, crescendo α PH diviene un numero negativo sempre più grande
e la cotangente decresce. Avvicinandosi α a π, il segmento PH tende a divenire un
numero negativo infinitamente grande e il segmento PO tende ad essere parallelo alla
retta su cui giace la cotangente. A π, quindi, la cotangente è -∞.
In sintesi, nel secondo quadrante la cotangente è negativa, decrescente e passa dal
valore 0 a π/2 (cotgπ/2=0) al valore -∞ a π (cotgπ=-∞).
FIG. 13 A
FIG. 13 B
Osservando la figura 13 A , si nota che l’angolo α del terzo quadrante corrisponde a
quello β del primo, per cui in esso si ripropongono gli stessi valori della cotangente
nel primo quadrante. Si ha, quindi, sintetizzando che la cotangente del terzo
quadrante è negativa e decrescente e passa dal valore +∞ a π (cotgπ=+∞) al valore 0
a 3π/2 (cotg3π/2=0).
L’angolo α del quarto quadrante (fig. 13 B) ripropone gli stessi valori del secondo
quadrante relativi all’angolo β, per cui si ha la perfetta coincidenza fra questi due
quadranti in relazione alla funzione cotangente.
Sintetizzando si ha quindi che nel quarto quadrante la cotangente è negativa e
decrescente e passa dal valore a 3π/2 (cotg3π/2=0) al valore -∞ a 2π (cotg2π=-∞).
Sia per la tangente che per la cotangente, quindi si ha che:
tanα= tan(π+β)= tanβ
;
cotgα=cotg(π+β)=cotgβ.
Riportiamo i valori 0 della
cotangente a π/2 e 3π/2 e i valori
+∞ e -∞ a 0, π e 2π. Otteniamo
così la cotangendoide. Si noti
che la curva assume gli stessi
valori ogni π, per cui possiamo
affermare che la funzione
cotangente è di periodo π.
Il grafico completo della
cotangendoide
si
ottiene
disegnando i valori degli angoli
congruenti al primo giro.
IDENTITA’ FONDAMENTALI DELLA TRIGONOMETRIA
Consideriamo la circonferenza goniometrica e un punto P su di essa. Vista la figura,
possiamo scrivere:
1) PO = 1 ; PH = senα ; OH = cosα
Il triangolo PHO è rettangolo e OH e PH sono
i cateti, PO è l’ipotenusa. Applicando il
teorema di Pitagora si ottiene:
2) PH2 +OH2 =OP2.
Sostituendo la 1) nella 2), si ottiene:
sen2α + cos 2α = 1
che viene detta prima identità fondamentale
della trigonometria.
Si consideri la circonferenza goniometrica e un angolo α al centro. Osservando la
figura possiamo scrivere che:
1) PH=senα ; OH=cosα ; QK=tanα ; OK=1
I triangoli PHO e QKO sono simili, perchè
sono entrambi rettangoli ed hanno l’angolo α
in comune. Per questo motivo possiamo
scrivere la seguente proporzione:
2) QK : PH = OK : OH
(QK sta a PH perché entrambi opposti
all’angolo α; OK sta a OH perché entrambi
adiacenti all’angolo α).
Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:
tanα : senα = 1 : cosα
applicando la proprietà fondamentale delle
proporzioni si ottiene:
tanα cosα = senα,
da cui, infine, si ricava:
senα
tanα =
cosα
che è la seconda identità fondamentale della
trigonometria.
Consideriamo un angolo α al centro di una circonferenza goniometrica e la sua È
evidente che i due triangoli, essendo entrambi retti, avranno anche il terzo angolo
uguale, che chiameremo β.
cotangente KQ . Per quanto detto in precedenza, possiamo scrivere:
1) KQ=cotgα ; PH=senα ; OH=cosα ; OK=1
Consideriamo i due triangoli rettangoli OHP,
retto in H, e OKQ, retto in K. L’angolo POH
del primo triangolo è uguale all’angolo OQK
del secondo, in quanto sono angoli alterni
interni rispetto alla retta parallela (asse delle
x e cotangente) tagliate dalla trasversale OQ.
Chiamiamo tali angoli α. I due triangoli
sono, quindi, simili, per cui possiamo
scrivere:
2) OH : KQ = PH : OK.
Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:
cosα : cotgα = senα : 1.
Applicando la proprietà fondamentale della
proporzione, si ottiene:
cotgα senα = cosα,
da cui infine si ricava:
cosα
cotgα =
senα
che è la terza identità fondamentale della
trigonometria.