Matrici: Definizioni e Proprietà

Matrici:
Definizioni e Proprietà
1
Alcune figure di questi appunti riportano nei commenti esempi in linguaggio MATLAB.
In tali esempi i caratteri di peso normale sono prodotti dal computer mentre i caratteri in grassetto sono
battuti dall’operatore.
I caratteri “>>” sono il prompt del sistema, ossia indicano che MATLAB è in attesa di istruzioni. Ad
esempio la sequenza seguente:
>> whos
significa che MATLAB attendeva ordini e che l’operatore ha battuto il comando “whos”.
__________________________________________________________________________________
MATLAB (MATrix LABoratory) è un sistema interattivo basato sul calcolo matriciale per uso scientifico e
tecnico. Oltre al trattamento di matrici è in grado di trattare polinomiali, equazioni differenziali e altre
applicazioni. Funzionalità aggiuntive sono rese possibili mediante l’installazione di toolbox addizionali.
La Homepage di MATLAB è http://www.mathworks.com/
Un sistema simile a MATLAB, di tipo Open Source (ossia gratuito), è Scilab (http://www.scilab.org/).
La sintassi di Scilab è molto simile a quella di MATLAB. In particolare, negli esempi che seguono i
comandi da dare sono identici, tranne dove esplicitamente dichiarato.
L’ output di Scilab è leggermente diverso.
Il prompt di Sscilab è “-->”.
Matrice: Definizione e Simbologia
Matrice di dimensioni m n (matrice m×n):
insieme di mn elementi scalari (numeri), ordinati
secondo un doppio ordinamento.
Doppio ordinamento significa che la posizione di ogni
elemento è individuata da due indici.
1° indice: riga (1≤ i ≤ m); 2° indice: colonna (1 ≤ k ≤ n),
rappresentiamo la matrice con una tabella:
A =
a 11
.
a 12
.
.
a ik
.
.
a 1n
.
am1
am 2
.
.
a mn
i = 1,..., m
k = 1,..., n
2
In MATLAB una matrice può essere costruita indicando tutti i suoi elementi, riga per riga,
come nell’esempio seguente:
>> B=[1 2 1 -4; 0 3 -2 -1; 5 -1 0 -3]
B=
1
2
1
-4
0
3
-2
-1
5
-1
0
-3
>>
Si noti che gli elementi all’interno di una riga sono separati da spazi, mentre una riga è
separata dalla successiva dal carattere “;”.
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 2
Come si indica una Matrice
Lettera Maiuscola: Matrice
B=
1
2
1
0
3
5
−1
−2
0
−4
−1
−3
“B è una matrice 3×
3×4”
Lettera minuscola: elemento generico
b12=2 b34= -3 b43= NON ESISTE!
b21=0
3
In MATLAB il nome di una matrice può essere indifferentemente maiuscolo o minuscolo.
Esempio: b, alfa, B, Alfa, b1, cc sono altrettanti nomi validi e individuano matrici distinte fra
loro.
Un elemento è indicato usando lo stesso nome della matrice con gli indici di riga e colonna
fra parentesi, come negli esempi seguenti:
Se b =
1
3
-2
-1
7
5
0
4
-6
risulta: b(1,1)=1, b(1,3)=-2, b(3,1)=0,…
Data la matrice B della figura, gli elementi dell’esempio sono ottenuti coi comandi:
>> B(2,1)
ans =
0
>>
>> B(3,4)
ans =
-3
>>
>> B(4,3)
??? Index exceeds matrix dimensions.
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 3
Matrice trasposta
B=
1
2
1
0
3
5
−1
−2
0
−4
−1
−3
1
0
5
2 3 −1
B = 1 −2 0
− 4 −1 −3
BT, trasposta di B, si ottiene scambiando le righe
con le colonne.
La trasposta di una matrice m×
×n è una matrice
T
×3)
n×
×m (B è 3×
×4, B è 4×
Trasposta della trasposta = matrice originale:
(AT)T = A
4
In MATLAB la trasposta di a è indicata con a’.
Esempi:
>> B'
ans =
1
0
5
2
3
-1
1
-2
0
-4
-1
-3
>> (B')'
ans =
1
2
1
-4
0
3
-2
-1
5
-1
0
-3
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 4
Matrice partizionata in sottomatrici (blocchi)
1 3
2
4
A = 11 − 9
1 6
0 0
5
6
8
7
0
1
3
5
2
4
6
P11=
11 − 9
P21=
−1 −2
3 2
2
4
−3 0
3
4
P12=
8
1
6
7
0
0
0
P22=
0
0
6
4
6
7
0
8
4
6
=
P11 P12
P21 P22
−1 −2
3
2
0
7
0
0
2
4
6
8
−3
3
0
4
4
4
6
6
5
In MATLAB è possibile costruire una matrice utilizzando dei blocchi invece che singoli
elementi.
Ad esempio la matrice della figura può essere ottenuta con la seguente sequenza di
comandi:
>> P11=[1 3 5;2 4 6;11 -9 8];
>> P12=[-1 -2 0 7;3 2 0 0;2 4 6 8];
>> P21=[1 6 7;0 0 0];
>> P22=[-3 0 4 4;3 4 6 6];
>> A=[P11 P12;P21 P22]
A=
1 3 5 -1 -2 0 7
2 4 6 3 2 0 0
11 -9 8 2 4 6 8
1 6 7 -3 0 4 4
0 0 0 3 4 6 6
>>
Mentre una sottomatrice è ottenuta col comando
matrice(riga iniziale:riga finale, colonna iniziale:colonna finale). Esempio:
>> P12=A(1:2,4:7)
P12 =
-1 -2 0 7
3 2 0 0
2 4 6 8
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 5
Matrici quadrate
“Se m = n (tante righe quante colonne) la matrice si dice
quadrata di ordine n”
6
Matrici quadrate
Diagonale principale
3 −2
A = −1 7 5
0 4 −6
1
A è una matrice 3×
×3,
quindi è quadrata di ordine 3.
Diagonale principale
a11 = 1
a22 = 7
a33 = -6
La diagonale principale è un vettore formato dagli
elementi diagonali, ossia elementi del tipo:
aii (indice riga = indice colonna)
7
In MATLAB il comando diag(X), se X è una matrice quadrata, genera come risposta un
vettore colonna formato dagli elementi diagonali di X.
Esempio:
X=
1
3
-2
-1
7
5
0
4
-6
>> diag(X)
ans =
1
7
-6
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 7
Matrici quadrate
Matrice triangolare
B=
−1
0
3
0
0
0
0
−6
−2 5
0
4
−2 3
0 −3
B è quadrata di ordine 4
Tutti gli elementi sotto la
diagonale sono = 0
Bè
TRIANGOLARE
SUPERIORE
“Se per ogni i>k (i,k=1,..,n) bik=0, la matrice è triangolare
superiore”
8
Se pensiamo di annerire tutte le posizioni che possono contenere un valore diverso da zero
e lasciamo bianche quelle che di certo contengono zero, disegniamo un triangolo che sta
sopra la diagonale principale.
In MATLAB il comando triu(X), se X è una matrice quadrata, estrae da essa la triangolare
superiore.
Esempio:
X=
-1
3
0
-6
3
4
-2
5
5
0
-2
3
12
-3
9
3
>> B=triu(X)
B=
-1
3
0
-6
0
4
-2
5
0
0
-2
3
0
0
0
3
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 8
Matrici quadrate
Matrice triangolare inferiore
C=
−1
3
0
0
0
4
0
0
5
0
0
12
−3
−2
9
3
Tutti gli elementi sopra
la diagonale sono = 0
Cè
TRIANGOLARE
INFERIORE
“Se per ogni i<k (i,k=1,..,n) cik=0, la matrice è triangolare
inferiore”
9
In MATLAB il comando tril(X), se X è una matrice quadrata, estrae da essa la triangolare
superiore.
Esempio:
X=
-1
3
0
-6
3
4
-2
5
5
0
-2
3
12
-3
9
3
>> C=tril(X)
C=
-1
0
0
0
3
4
0
0
5
0
-2
0
12
-3
9
3
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 9
Matrici quadrate
Matrice simmetrica
−1
3
0
12
3
4
0
−3
0
0
−2
9
12
−3
9
3
Tutti gli elementi in posizione
“speculare” rispetto alla
diagonale sono a due a due
uguali
La matrice è
SIMMETRICA
“Se per ogni i,k (i,k=1,..,n) aik= aki, la matrice è
simmetrica”
10
Se scambiamo l’indice di riga con quello di colonna, ci portiamo da un elemento a quello in
posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale.
Nell’esempio, se prendiamo l’elemento a21 (che contiene il valore 3) e scambiamo gli indici
ci portiamo sull’elemento a12 (che contiene ancora 3, dato che la matrice è simmetrica). I
due elementi sono equidistanti dalla diagonale principale.
Similmente per le coppie a31 e a13 (contengono 0); a32 e a23 (contengono 0); a41 e a14
(contengono 12) eccetera.
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 10
Matrici quadrate
Matrice diagonale
−1
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
−2
0
3
Tutti gli elementi fuori dalla
diagonale sono = 0
La matrice è detta
DIAGONALE
La matrice diagonale è
triangolare superiore...
… e triangolare inferiore
“Se per ogni i≠k (i,k=1,..,n) aik= 0, la matrice è diagonale”
11
In MATLAB il comando diag(v), se v è un vettore (vettore riga oppure vettore colonna),
genera come risposta una matrice diagonale.
Esempio:
>> v=[1 -4 -2 3];
>> diag(v)
ans =
1
0
0
0
0
-4
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
3
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 11
Matrici quadrate
Matrice nulla
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Se per ogni i,k (i,k=1,..,n) aik= 0 abbiamo la matrice nulla
12
In MATLAB il comando zeros(n) genera la matrice nulla di ordine n.
Esempio:
>> zeros(4)
ans =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>>
=== Scilab ======================
in Scilab occorre indicare entrambe le dimensioni della matrice, quindi:
-->zeros(4,4)
ans =
! 0.
0.
0.
0. !
! 0.
0.
0.
0. !
! 0.
0.
0.
0. !
! 0.
0.
0.
0. !
-->
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 12
Matrici quadrate
Matrice unitaria
1 0 0
I= 0 1 0
0 0 1
La matrice è diagonale, tutti gli
elementi sono =1
La matrice si dice
UNITARIA o IDENTICA
e si indica con I
Se aik=0 per i≠k e aik=1 per i=k, A = I
13
In MATLAB il comando eye(n) genera la matrice identica di ordine n.
Esempio:
>> I=eye(3)
I=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
>>
=== Scilab ======================
in Scilab occorre indicare entrambe le dimensioni della matrice, quindi:
-->eye(3,3)
ans =
! 1.
0.
0.
0. !
! 0.
1.
0.
0. !
! 0.
0.
1.
0. !
-->
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 13
Operazioni sulle Matrici
Addizione e
Sottrazione
14
Addizione
Date due matrici A(m×
×n), B(m×
×n) si definisce addizione
delle due matrici l'
operazione che genera la matrice
somma S(m×
×n) S=A+B, di elementi:
sij= aij+bij
i=1,..,m;
j=1,…,n
L'addizione è possibile solo fra matrici simili (delle
stesse dimensioni)
Valgono le proprietà dell'addizione fra numeri reali:
commutativa: A+B=B+A,
associativa: A+(B+C) = (A+B)+C,
l'elemento neutro è la matrice nulla.
15
Elemento neutro di un’operazione (fra due elementi di un insieme) è quell’elemento che “non
produce effetti”, ossia dà come risultato lo stesso elemento a cui viene applicato. Ad
esempio: nell’operazione prodotto fra due numeri l’elemento neutro è il numero 1, dato che
risulta a⋅1 = a, dove a è un numero qualsiasi.
In MATLAB la matrice somma si indica con l’usuale notazione usata per i numeri:
>>A+B;
>>A+(B+C);
>> . . .
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 15
Sottrazione
Date due matrici A(m×
×n), B(m×
×n) si definisce sottrazione
delle due matrici l'
operazione che genera la matrice
differenza D(m×
×n) S=A-B, di elementi:
sij= aij-bij
i=1,..,m;
j=1,…,n
La sottrazione è possibile solo fra matrici simili (delle
stesse dimensioni)
16
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 16
Esempio - somma di due matrici 3×4
Date:
1
A= 0
5
−4
−1
−3
2
1
3 −2
−1 0
7
B= −4
0
3
−2
8
0 6
1 5
0 0
determinare la matrice somma A+B
A+B =
8
5
1
2
-4
5
1
7
-1
0
4
-3
17
In MATLAB:
>> A=[1 2 1 -4;0 3 -2 -1;5 -1 0 -3];
>> B=[7 3 0 6;-4 -2 1 5;0 8 0 0];
>> A+B
ans =
8
5
1
2
-4
1
-1
4
5
7
0
-3
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 17
Moltiplicazione
18
Prodotto di un numero per una matrice
Dato uno scalare (numero) c e una matrice
A(m×
×n), si definisce prodotto cA la matrice
A’(m×
×n), di elementi:
a’ik=caik
i=1,..,m;
k=1,…,n
Il prodotto del numero –1 per una
matrice è la matrice opposta.
La differenza fra due matrici A, B è la
somma di A con l’opposta di B:
A – B = A + (-1)B
19
In MATLAB il prodotto di un numero per una matrice si indica col simbolo “*”:
Esempio:
A=
1
2
1
-4
0
3
-2
-1
5
-1
0
-3
>>
>> -3*A
ans =
-3
-6
-3
12
0
-9
6
3
3
0
9
-15
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 19
Prodotto di matrici
Date due matrici A(m×
×n), B(n×
×p) si definisce
moltiplicazione delle due matrici l'
operazione che genera la
matrice prodotto P(m×
×p) P=A B (oppure P=AB), di elementi:
•
i=1,..,m;
j=1,…,n
pik = ri•bk
ri è il vettore formato dall’"i-esima riga" di A
bk è il vettore "k-esima colonna" di B
(prodotto scalare "righe per colonne")
Dimensioni delle matrici:
P =A B
•
(m×
×p)
(m×
×n) (n×
×p)
DIMENSIONI
INTERNE
DIMENSIONI ESTERNE
20
Le dimensioni interne delle due matrici da moltiplicare devono essere uguali.
Le dimensioni esterne determinano le dimensioni della matrice prodotto.
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 20
Proprietà della Moltiplicazione A⋅B
La riga di A e la colonna di B devono avere lo stesso
numero n di elementi (matrici compatibili).
Il prodotto di matrici quadrate dello stesso ordine è
definito ed è una matrice quadrata dello stesso ordine
Non vale la proprietà commutativa,
quindi (anche se BA esiste):
AB ≠ BA
Vale la proprietà associativa:
(AB)C = A(BC)
Si può scrivere quindi: ABC
21
In MATLAB il prodotto di più matrici si può scrivere come segue:
>> A*B*C;
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 21
Esempio - Prodotto di due matrici
1
A=
0
2 3
−1 0
P = AB =
1
B= 3
0
7
-2
-3
-5
0
5
−4
P = AB
A(2×
×3)
B(3×
×2)
P (2×
×2)
p11 = 1, 2, 3 • 1, 3, 0 = 7
22
In MATLAB:
>> A=[1 2 3;0 -1 0];B=[1 0;3 5;0 -4];
>> P=A*B
P=
7
-2
-3
-5
>> P(1,1)
ans =
7
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 22
Prodotto matrice - vettore
A=
1
0
−4
2
AB =
B=
2
4
2
6
A(2×
×2) B è detta
B(2×
×1) vettore colonna
AB (2×
×1)
p11 = 1, 0 • 2, 6 = 2
p21 = -4, 2 • 2, 6
=4
Il prodotto della matrice quadrata per il vettore colonna è
ancora un vettore colonna
23
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 23
Prodotto vettore - matrice
1
A=
0
−4
2
B = [2
BA = 2 4
6]
A(2×
×2)
B(1×
×2)
BA (1×
×2)
B è detta
vettore riga
p11 = 2, 6 • 1, 0 = 2
p12 = 2, 6 • -4, 2
=4
Il prodotto del vettore riga per la matrice quadrata è
ancora un vettore riga
24
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 24
Vettori riga e vettori colonna
Inserendo gli elementi di un vettore in una matrice di una
sola riga/colonna si possono applicare le regole del
prodotto di matrici
Il vettore riga premoltiplica una matrice quadrata e viene
trasformato in un altro vettore riga
Il vettore colonna postmoltiplica una matrice quadrata e
viene trasformato in un altro vettore colonna
Il vettore riga subisce la stessa trasformazione del
corrispondente vettore colonna se le due matrici sono
una trasposta dell’altra
D’ora in avanti:
“un vettore sarà sempre un vettore colonna”
25
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 25
Matrice ortogonale
Una matrice quadrata A si dice ortogonale se
AT A = I
0 −1 0
A= 1 0 0
0 0 1
Esempio:
è ortogonale
1 0 0 −1 0
1 0 0
AT A = − 1 0 0 1 0 0 = 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 1
0
Infatti:
26
In MATLAB:
>> A=[0 –1 0;1 0 0;0 0 1];
>> A'*A
ans =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 26
Matrici quadrate
Determinanti
Un determinante è un’espressione algebrica che si ricava
in modo univoco - seguendo regole ben precise - da una
matrice quadrata
Se det A = 0 la matrice A si dice SINGOLARE
27
Il determinante è la somma di tanti prodotti. I fattori di ogni prodotto sono elementi della
matrice moltiplicati fra loro; ogni fattore non deve appartenere né alla stessa riga né alla
stessa colonna degli altri fattori di quel prodotto. Si ricava che ogni prodotto è costituito
da n fattori, se n è la dimensione della matrice.
Uno dei prodotti che soddisfano senz’altro alla condizione vista sopra ha come fattori gli
elementi della diagonale principale.
Prendendo tutti i possibili prodotti che soddisfano alla condizione vista sopra,
cambiando di segno ad alcuni di essi (secondo certe regole), si ottiene l’espressione
del determinante.
Matrici quadrate
Determinante di una matrice 2x2
A=
a 11
a 12
a 21
a 22
“Prodotto degli elementi della diagonale principale
meno prodotto elementi della diagonale secondaria”
Esempio:
det
2
1
1
3
= 2 ⋅ 3 − 1⋅1 = 5
28
Dato che in questo caso n=2, i prodotti sono costituiti da due fattori.
Si vede facilmente che gli unici due prodotti possibili sono quelli costituiti dagli elementi della
diagonale principale e da quelli della diagonale secondaria. A quest’ultimo prodotto si
cambia segno.
In MATLAB il determinante è calcolato dal comando “det”:
>> det([2 1;1 3])
ans =
5
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 28
Matrici quadrate
Determinante di una matrice 3x3
Regola di Sarrus:
a 11
a 12
a 13
a 11 a 12
A = a 21
a 31
a 22
a 23
a 21 a 22
a 32
a 33
a 31 a 32
detA= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 +
- a13a22a31 - a11a23a32- a12a21a33
29
Nel caso n=3 ogni prodotto è costituito da tre fattori.
Sono possibili sei prodotti, ottenibili con la regola di Sarrus:
•Si prende la diagonale principale, partendo dall’elemento in alto a sinistra (elemento a11) e
moltiplicandolo per i successivi;
•Si prende la prima colonna e la si ricopia a destra della matrice (si ottiene una matrice
provvisoria 3×4). Quindi si ripete l’operazione precedente, partendo da una posizione più a
destra (ossia dall’elemento a12) e -muovendosi parallelamente alla diagonale principale- si
moltiplicano i tre elementi che si trovano allineati.
•Si prende la seconda colonna e la si ricopia a destra della matrice precedentemente ampliata.
Quindi si ripete l’operazione precedente, partendo da una posizione più a destra (elemento
a13).
•A questo punto si sono ottenuti tre prodotti, ai quali non va cambiato il segno. Ripartendo ora
dall’elemento a13 e muovendosi parallelamente alla diagonale secondaria si ottengono altri tre
prodotti, cui si cambia segno.
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 29
Matrici quadrate
Determinante di matrice 3×3 - Esempio
1 0 1
È data la matrice: A = 2 − 1 0
0 1 3
Regola di Sarrus:
1 0 1 1 0
2 −1 0 2 −1
0 1 3 0 1
detA = 1•(-1)• 3 + 0•0•0 + 1• 2• 1-1•(-1)•0 - 1•0•1 - 0•2•3 = -1
30
Con MATLAB:
>> det([1 0 1; 2 –1 0; 0 1 3])
ans =
-1
>>
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 30
Matrici quadrate
Alcune proprietà del determinante
•Scambiando due righe (o due colonne) fra
loro il determinante cambia segno
•Se due righe (o due colonne) sono uguali
il determinante è nullo
•detAT = detA
il determinante della matrice trasposta è
uguale al determinante della matrice
•il determinante della matrice nulla vale 0
31
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 31
Altre proprietà dei determinanti
det(A⋅⋅B) = detA ⋅ detB
"il determinante del prodotto è il prodotto dei
determinanti"
Se A è triangolare detA = a11• a22 •...• ann
"il determinante è il prodotto degli elementi diagonali"
Quindi det I = 1
32
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 32
Determinante di una matrice ortogonale
det(A⋅⋅B) = detA ⋅ detB
det(AT⋅A) = detAT ⋅ detA = (detA)2
Se A è ortogonale:
•det(AT⋅A) = detI = 1
•(detA)2 = 1
•detA = ±1
Quindi il determinante di una
matrice ortogonale è ±1
33
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 33
Matrici quadrate
Determinante di una matrice generica
A=
a11
a12
. a1n
a 21
a 22
.
.
.
.
.
.
an 1
.
. a nn
detA= a11det
a 22
. a2 n
a 32
.
.
a 21 a 22
SVILUPPO DEL
DETERMINANTE
SECONDO LA PRIMA
RIGA
.
a 24
. a2 n
.
.
. a2 n
-a12det a 31 a 33 .
. a nn
+a13det a 31 a 32 a 34 .
.
a 21 a 23
.
.
. a nn
a 21 . a 2 n − 1
±a1ndet a 31 .
. a nn
.
.
. a nn − 1
34
L’algoritmo illustrato permette di esprimere il determinante mediante gli elementi di una riga e i
determinanti di matrici di dimensione inferiore. Applicandolo ricorsivamente si arriva a matrici di
dimensione 1, in cui il determinante coincide con l’unico elemento.
Questo algoritmo prende il nome di regola di Laplace e può essere generalizzato a qualsiasi riga
(vale cioè anche se si sviluppa non secondo la prima riga ma secondo una riga qualsiasi).
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 34
Matrice 3×3 – sviluppo secondo la 1a riga
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
detA= a11det
+a13det
a a
a22 a23
-a12det 21 23
a32 a33
a31 a33
a21 a22
a31 a32
detA=a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31) +a13(a21a32-a22a31)
35
Applicando la regola di Laplace a una matrice 3×3 si verifica che si ottiene la stessa espressione
ottenuta con la regola di Sarrus.
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 35
Matrice 3×3 → prodotto vettore
i
j
k
a × b = det ax ay az
bx by bz
SVILUPPANDO SECONDO LA PRIMA RIGA:
a × b = i(aybz-azby) - j(axbz-azbx) + k(axby-aybx)
a × b = i(aybz-azby) + j(azbx-axbz) + k(axby-aybx)
36
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 36
Matrice 3×3 → doppio prodotto misto
ax
ay
az
a × b • c = det bx
cx
by
cy
bz
cz
SVILUPPANDO SECONDO LA PRIMA RIGA:
a×b•c = ax(bycz-bzcy) - ay(bxcz-bzcx) + az(bxcy-bycx)
37
Elementi di Calcolo Matriciale
Paaina 37