Matematica e Statistica I
Anno Accademico 2009-2010
Foglio di esercizi – settimana 10
Legge di Hardy-Weinberg per più alleli. Probabilità condizionata. Formula di Bayes.
ESERCIZIO 10.1 In uno stagno vi sono due specie di pesci, dette A e B, distinguibili solo
tramite analisi genetiche. Si sa che dei pesci A circa il 20% è rosso e la restante parte grigia; mentre
il 70% dei pesci B sono rossi e il restante grigi. Si sa inoltre che nello stagno il 70% dei pesci sono
A e il 30% B. Peschiamo un pesce da questo stagno. Supponendo che ogni pesce abbia la stessa
possibilità di essere pescato,
(a) qual è la probabilità di estrarre un pesce rosso della specie A?
(b) qual è la probabilità di estrarre un pesce grigio?
(c) sapendo che il pesce pescato è grigio, qual è la probabilità che esso sia della specie A?
ESERCIZIO 10.2 Tre monete vengono lanciate contemporaneamente.
Descrivere lo spazio degli eventi e determinarne la cardinalità .
Descrivere insiemisticamente gli eventi seguenti e determinarne la probabilità :
(a) E1 = al primo lancio esce C.
(b) E2 = al primo lancio esce T.
(c) E3 = E1 ∪ E2 .
(d) E4 = E1 ∩ E2 .
(e) E5 = esce una sola C.
(f) E6 = esce almeno una C.
Supponiamo che tutti gli eventi elementari siano equiprobabili.
Calcolare le probabilita’ degli eventi (a)-(f).
Inoltre, E1 e E2 sono incompatibili? sono indipendenti?
Gli eventi E5 e E6 sono incompatibili? sono indipendenti?
Assegniamo ora le probabilita’ in modo che P (E1 ) = p. Quali sono adesso le probabilita’ di (a)-(f)?
Sono cambiate le risposte riuardanti l’incompatibilita’-indipendenza?
ESERCIZIO 10.3 Vengono lanciati due dadi a 6 facce, e si prende il valore più alto tra i due
numeri
(a) Qual è la probabilità che esca 1? e quella che esca 6?
(b) Quale numero esce con maggiore probabilità ?
(c) Quale è la probabilità che esca un numero pari? è uguale a quella che esca un numero dispari?
(d) Supponendo che sia uscito un numero inferiore o uguale a 4, quale è la probabilità che sia
uscito il 3?
ESERCIZIO 10.4 In un gioco, si lancia una moneta non truccata.
Se esce T, si vince; altrimenti si lancia un dado non truccato. Se esce 5 o 6 si vince.
Si descriva l’insieme degli eventi elementari e si determini la probabilità di vincere.
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ESERCIZIO 10.5 Sia A l’evento “Una famiglia ha figli di entrambi i sessi” e B l’evento “Una
famiglia ha al massimo un maschio”.
1. Poniamo come spazio campionario Ω l’insieme delle famiglie con 3 figli e supponiamo che in
esso ogni sequenza di maschi e femmine abbia la stessa probabilità (in altri termini, supponiamo che la nascita di un maschio o di una femmina sia equiprobabile, e che il sesso dei figli
siano indipendenti). Gli eventi A e B sono indipendenti?
2. Considerate lo stesso problema nello spazio campionario Ω, l’insieme delle famiglie con 2 figli,
facendo le stesse ipotesi.
ESERCIZIO 10.6 Un ricercatore sperimenta un farmaco su un campione di 150 individui, 50
maschi e 100 femmine; di questi 24 maschi e 76 femmine guariscono. Nel campione di controllo,
composto da 100 maschi e 50 femmine, si trova che 50 maschi e 40 femmine guariscono. Il ricercatore
conclude che 100 individui su 150 sono guariti con il farmaco, mentre solo 90 su 150 nel campione
di controllo, per cui il farmaco è efficace. Vi sembra una conclusione corretta?
Enunciare i risultati nel linguaggio delle probabilità .
ESERCIZIO 10.7 Da un mazzo di 52 carte francesi ne vengono estratte due di seguito. Limitatamente al colore delle carte, qual’è lo spazio degli eventi?
(a) Con quale probabilità la prima carta è rossa?
(b) Con quale probabilità la seconda carta è rossa se la prima è rossa?
(c) Con quale probabilità la seconda carta è rossa se la prima è nera?
(d) Con quale probabilità la seconda carta è rossa?
(e) Con quale probabilità la prima carta è rossa se la seconda è rossa?
ESERCIZIO 10.8 Un’urna di colore blu contiene 3 palle rosse e 2 bianche. Un’urna di colore
giallo contiene 6 palle rosse e 1 bianca. Viene svolta la seguente sequenza di estrazioni: prima si
sceglie un’urna a caso, poi si estrae una pallina.
(a) Rappresentare l’albero degli eventi associato alla sequenza di operazioni.
(b) Calcolare la probabilità che venga estratta l’urna gialla e una pallina rossa.
(c) Calcolare la probabilità che venga estratta una pallina rossa.
(d) Sapendo che è stata estratta una pallina rossa, quale è la probabilità che provenga dall’urna
gialla?
ESERCIZIO 10.9 I semi di una pianta a fiore rosso germinano nel 60% dei casi, quelli della
variante a fiore bianco nel 90% dei casi. In una scatola ci sono 40 semi della varietà a fiore rosso e
80 della varietà a fiore bianco. Prendendo un seme a caso, con quale probabilità esso germina?
ESERCIZIO 10.10 Viene effettuato un test diagnostico su un nutrito numero di individui di cui,
per altra via, è noto lo stato rispetto a una certa malattia. Risulta che il 10% è malato e positivo
al test, il 2% è malato e negativo, l’87% è sano e neagtivo, l’ 1% è sano e positivo.
Supponendo di scegliere un individuo a caso, determinare la probabilità che:
(a) sia malato M ,
(b) sia positivo al test T +
(c) sia positivo al test se è malato,
(d) sia malato se è positivo al test.
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ESERCIZIO 10.11 Un test diagnostico ha sensibilità (P(T + |M )) del 90% e specificità (P(T − |S))
del 70%. Un controllo di massa dà , nella metà dei casi, esito positivo. Quant’è la probabilità che
un individuo sia malato se il test dà risultato positivo?
[Legenda: M = malato, S = sano, T + = test positivo, T − = test negativo]
ESERCIZIO 10.12 Hai 3 monete: una con due facce nere, una con due facce bianche e una con
una faccia nera e una bianca.
Prendi una moneta a caso e vedi che la faccia visibile e’ nera; con che probabilita’ anche la faccia
coperta è nera?
ESERCIZIO 10.13 Uno studente risponde a caso a 5 domande a risposta multipla (per ogni
domanda ci sono 4 risposte possibili, di cui 1 sola è esatta).
• Qual è la probabilità di avere almeno una risposta corretta?
• Qual è la probabilità di avere esattamente una risposta corretta?
ESERCIZIO 10.14 La lunghezza delle zanne di una razza di facoceri è determinata geneticamente da un gene con due alleli: l’allele L dominante delle zanne lunghe e l’allele c recessivo delle
zanne corte. Supponendo che la popolazione soddisfi le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e che
il 65% della popolazione abbia le zanne lunghe e il 35% abbia le zanne corte, calcola le probabilità
dei singoli alleli e di tutti i genotipi.
ESERCIZIO 10.15 Il colore dei petali di un tipo di garofano è determinato geneticamente da
un gene con tre alleli: l’allele “R” rosso, l’allele “B” bianco e l’allele “V” viola. L’allele “R” è
dominante sugli altri due; invece il genotipo “BV” produce un fiore bianco con striature viola.
Supponendo che la popolazione soddisfi le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e sapendo che
il 64% dei garofani sono rossi, il 12.25% sono bianchi, il 6.25% viola e il 17.5% striati, calcola le
probabilità di tutti i genotipi e dei singoli alleli.
ESERCIZIO 10.16 Lanciamo un dado. Sia A l’evento esce un numero pari e sia B l’evento esce
un numero > 3. Gli eventi A e B sono indipendenti?
ESERCIZIO 10.17 Sia p è la probabilità di avere un figlio maschio. Avendo due figli, calcolare
la probabilità che siano entrambi maschi sapendo che uno è maschio. Avendo due figli, calcolare la
probabilità che siano entrambi maschi sapendo che il primo è maschio.
ESERCIZIO 10.18 La lunghezza del pelo di una specie di scoiattoli è determinata geneticamente
da un gene con due possibili alleli: l’allele “L” dominante del pelo lungo e l’allele “c” recessivo del
pelo corto. La popolazione che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e
sai che il 75% degli alleli nella popolazione sono “L” e il 25% son “c”. Qual’è la probabilità che uno
scioattolo preso a caso nella popolazione abbia il pelo corto
(a) non avendo nessun’ altra informazione?
(b) sapendo che il padre ha il pelo lungo e la madre il pelo corto?
(c) sapendo soltanto che il padre ha il pelo lungo?
(d) sapendo soltanto che la madre ha il pelo corto?
(e) sapendo che il padre e la madre hanno il pelo corto?
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ESERCIZIO 10.19 Un test diagnostico per una certa malattia fornisce un risultato positivo nel
90% dei casi in cui la malattia è effettivamente presente, e un nel 5% dei casi in cui la malattia non
è presente.
(a) Se l’incidenza della malattia nella popolazione è 1/200, calcola la probabilità che un individuo
scelto a caso nella popolazione sia effettivamente malato se il test dà un risultato positivo.
(b) Quale sarebbe invece l’incidenza della malattia se la probabilità che un individuo scelto a caso
nella popolazione risulti positivo al test fosse del 20%?
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