La struttura stellare (II)

La struttura stellare
(II)
La sorgente di energia
La pressione del gas consente di mantenere la stella in equilibrio idrostatico
con la propria forza gravità.
Però la stella perde energia irraggiando alla luminosità L e questo porta ad
una diminuzione dell’energia totale ETOT; dal teorema del viriale ETOT = EGRAV/2 pertanto EGRAV diminuisce (diventa più
negativa) e la stella si contrae.
Questa contrazione deve avvenire su tempi scala lunghi, compatibili col fatto
che il Sole ha avuto con L⊙ per almeno 4 miliardi di anni (prove geologiche).
Altrimenti deve esistere una fonte di energia che bilanci le perdite radiative e
permetta al Sole di mantenersi in equilibrio per almeno 4 miliardi di anni.
Supponiamo che la fonte di energia del Sole sia gravitazionale, ovvero che il
Sole abbia irraggiato fino ad ora l’energia liberata dalla sua contrazione.
All’inizio della contrazione del Sole (ovvero all’infinito)
E(1) = Egrav (1) + Eth (1) = 0
adesso
E(R ) = Egrav (R ) + Eth (R )
dal teorema del Viriale
A. Marconi
Egrav =
2Eth
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
2
La produzione di energia nelle stelle
ovvero
E(R ) = Egrav (R ) + Eth (R ) =
Eth (R ) < E(1)
La diminuzione di energia è dovuta all’energia irraggiata che è pertanto
E = E(1)
E(R ) = Eth (R ) =
1
1 GM 2
Egrav (R ) =
2
2 R
Per quanto tempo il Sole avrebbe potuto irraggiare energia gravitazionale
mantenendo una luminosità L⊙?
Questo tempo scala è il cosiddetto tempo di Kelvin-Helmholtz dato da
KH
=
E
L
1 GM 2
14
7
=
= 5 ⇥ 10 s = 1.6 ⇥ 10 yr
2L R
Ma dalla geologia sappiamo che la Terra è esistita da almeno 4 miliardi di
anni e che durante questo tempo non ci sono stati variazioni significative di L⊙.
Evidentemente l’energia irraggiata dal Sole non è di natura gravitazionale.
Similmente si può dimostrare che l’energia prodotta da reazioni chimiche
(es. H+O → H2O) non è sufficiente.
A. Marconi
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3
Le reazioni di fusione nucleare
H
Energia di legame dovuta
alla forza nucleare forte.
Meno
strettamente
legato
Energia di legame per
particella nucleare (10-13 J)
Fusione
Più
strettamente
legato
Questo processo è
esoenergetico poiché
l’energia di legame di
atomo di He è inferiore (più
negativa) dell’energia di
legame totale dei singoli
nuclei di H.
Li
He
N
Fissione
U
C
O
56Fe
Numero di massa
Una possibile fonte di
energia per il Sole e le altre
stelle sulla sequenza
principale è la fusione di H
in He.
La diminuzione
dell’energia di legame
all’aumento della massa
nucleare avviene fino al
56Fe, dopo l’energia di
legame cresce
nuovamente.
La catena p-p
La maggior parte dell’energia prodotta dal Sole proviene da una catena di
reazioni detta catena p-p. Il primo passo è
p + p ! d + e+ +
e
d nucleo di Deuterio, isotopo di H con p e n nel nucleo..
Il tempo scala perché questo processo avvenga è τ ~ 1010 yr ovvero se ho 2
protoni devo farli scontrare per ~1010 anni prima che quella reazione
avvenga.
τ è così lungo perché è reazione che coinvolge le interazioni deboli come si
vede dalla presenza del neutrino.
L’energia totale prodotta e distribuita tra le particelle risultanti è 0.425 MeV.
Appena la reazione avviene e+ si annichila con e- rilasciando 0.511 MeV in
fotoni γ.
Il neutrino invece ha una debolissima interazione con la materia (cammino
libero medio ≫ R⊙) per cui scappa dal Sole portandosi via E~0.26 MeV.
Entro ~1 s dalla reazione p+p un deuterone (nucleo deuterio) si fonde con un
protone e
p + d ! 3 He +
con rilascio totale di energia E = 5.40 MeV (γ ed en. cinetica).
A. Marconi
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5
La catena p-p
Infine dopo un tempo scala di circa ~300000 anni si ha
3
3
4
He + He ! He + p + p
con un rilascio di energia cinetica pari a 12.86 MeV.
Ricapitolando, ogni volta che la reazione p+p avviene per due volte, 4
protoni sono convertiti in 4He + 2 neutrini + fotoni + energia cinetica delle
particelle.
p + p ! d + e+ + ⇥ e
⌧ ⇠ 1010 yr
e+ + e ! 2
⌧ ⇠ 1s
E = 0.425 MeV
p + d ! 3 He +
⌧ ⇠ 3 ⇥ 105 yr
3
He +3 He ! 4 He + p + p
A. Marconi
}
E = 2 ⇥ me c2 = 2 ⇥ 0.511 MeV
⇥2
E = 5.49 MeV
E = 12.86 MeV
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6
La catena p-p
Il risultato finale è
4p ! 4 He + 2⇥e +
!
L’energia prodotta è
E = (2 ⇥ 0.425 + 2 ⇥ 2 ⇥ 0.511 + 2 ⇥ 5.49 + 12.86) MeV
a cui dobbiamo sottrarre 2 x 0.511 MeV che vengono dall’annichilazione di 2 elettroni pre-esistenti ovvero
E = 26.76 MeV
2 ⇥ 0.511 MeV = 25.71 MeV = [m(4p)
m(4 He)]c2
ovvero E è proprio pari alla differenza di energia di legame tra 4He ed i 4
protoni liberi.
E = 0.007 m(4p)c2
Risulta anche
ovvero l’efficienza di produzione di energia (conversione materia in energia)
è pari allo 0.7% della materia/energia a disposizione (massa dei 4 protoni)
A. Marconi
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7
Catena p-p
Deuterio
Protone
Raggio γ
Neutrone
ν Neutrino
Positrone
La catena p-p nel Sole
Supponiamo adesso che il Sole effettui la reazione 4p → 4He riprocessando il
10% della sua massa. Per quanto tempo è in grado di sostenere
un’emissione con luminosità L⊙?
Enuc = 0.007 ⇥ 0.1 ⇥ M c2
ovvero
nuc
Enuc
0.007 ⇥ 0.1 ⇥ M c2
17
10
=
=
= 3.3 ⇥ 10 s ' 10 yr
L
L
cioè il Sole riprocessando appena il 10% della sua massa è in grado di
emettere L⊙ per 10 miliardi di anni ovvero la catena pp è in grado di
alimentare l’emissione del Sole e delle stelle.
A. Marconi
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9
Reazioni di fusione: termostati
Tenendo conto delle sezioni d’urto (probabilità) delle varie reazioni nucleari
nella catena p-p e della distribuzione di energia dei protoni si può ricavare
l’emissività ε, l’energia prodotta per unità di volume e di tempo (→
Astrofisica, LM). Si trova che le reazioni nucleari avvengono principalmente
7
nel nucleo delle stelle (core) dove le temperature sono T ⇠ 1.5 ⇥ 10 K
a quelle temperature
(T ) ⇠ T 4
cioè dipende fortemente da T. Per reazioni nucleari con elementi più pesanti
la dipendenza da T è ancora maggiore.
Questo comporta che la produzione di energia per fusione nucleare agisce
come termostato per tutta la struttura stellare.
Supponiamo che T cresca → aumenta produzione energia; dato il tempo necessario ai fotoni per “uscire”, inizialmente ETOT aumenta;
!
!
!
ET OT
1
= Egrav =
2
Eth
quindi per mantenere l’equilibrio della struttura, Egrav deve aumentare ovvero
la stella si deve espandere.
A. Marconi
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10
Reazioni di fusione: termostati
Ma se la stella si espande, Eth deve diminuire, ovvero la stella si raffredda.
Se la stella si raffredda a seguito dell’espansione, T diminuisce nuovamente,
Eth diminuisce e la stella deve contrarsi, aumentando nuovamente la sua
temperatura.
Analogamente accadrebbe se si partisse da una diminuzione di T.
In ogni caso la produzione di energia dalla relazioni nucleari tende a
mantenere costante la temperatura della struttura stellare.
!
In seguito a questo effetto di “termostato” le stelle sulla MS che bruciano H
devono avere temperature simili, ovvero
!
!
M
T ⇠
; T ⇠ cost. ! M ⇠ R
R
A. Marconi
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11
Il problema dei neutrini solari
Una predizione chiave del modello riguarda i neutrini.
Per ogni ciclo 4p → 4He si ha la produzione di 26.2 MeV di energia e
l’emissione di 2 neutrini (elettronici νe) che escono senza interazioni dal Sole.
Il flusso di neutrini atteso a Terra è pertanto
f⌫e
L /4 d2
f
=2⇥
=2⇥
= 6.7 ⇥ 1010 s
26.2 MeV
26.2 MeV
1
cm
2
questi attraversano la Terra senza alcuna interazione.
Esperimenti sui neutrini solari sono stati condotti fin dagli anni ’60 ma i
neutrini rivelati erano circa ~1/3 di quelli predetti dal modello.
Oltre ai neutrini elettronici esistono anche i neutrini muonici (νµ ) e tauonici
(ντ), non rivelati negli esperimenti di ricerca.
Con l’esperimento di Superkamiokande in Giappone (2001), si sono cercati i
neutrini elettronici prodotti dalle centrali nucleari giapponesi (numero ben
noto perchè sono noti i processi che li producono) e se ne sono trovati
numero inferiore alle attese:
i neutrini oscillano tra i vari “stati” νe νµ ντ e questo spiega perfettamente il
problema dei neutrini solari mancanti. Questa è la prova che il Sole è alimentato dalla catena p-p.
A. Marconi
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12
Il ciclo CNO
Nelle stelle più massicce del Sole (M > 1.2 M⊙) la produzione di energia
segue una sequenza di reazioni diversa detta “ciclo CNO” che ha sempre
come risultato 4p → 4He.
In questo ciclo, C, N ed O presenti in tracce fungono da catalizzatori del
processo di bruciamento H→He, senza che ulteriori C, N e O vengano
sintetizzati.
La reazione più lenta è la prima (p+12C) che ha bisogno di T~107 K ma la sua
velocità è fortemente dipendente da T tanto che
CN O (T ) ⇠ T
20
⇠ T 20 "
log "
CN O
ricordiamo che
4
(T
)
⇠
T
pp
anche se T~cost., l’aumento di M
determina piccoli aumenti di T da ~107 a
oltre 1.5 107 K con conseguente dominio il
ciclo CNO oltre 1.2 M⊙.
A. Marconi
⇠T
"pp
4
1.5 ⇥ 107 K
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
log T
13
Il ciclo CNO
Isotopi di N e O
instabili,
decadono in pochi
minuti.
Il trasporto dell’energia
La produzione di energia nucleare avviene nel nucleo della stella e l’energia
prodotta deve essere “trasportata” verso l’esterno.
In genere il trasporto dell’energia avviene attraverso i fotoni ovvero si ha un
trasporto radiativo.
In certe condizioni si instaura la convezione e si passa al trasporto
convettivo, ovvero il plasma caldo fluisce dalle regioni interne alle regioni
esterne, e quello “freddo” viceversa (vedi corso Termodinamica).
Si può facilmente dimostrare (vedi più avanti) che questo avviene quando
dT (r)
>
dr
1 T dP (r)
P
dr
in tal caso, questa diventa proprio l’equazione del trasporto radiativo
Per M > 1.2 M⊙ la produzione di energia è col ciclo CNO, il nucleo è
convettivo ed il mantello radiativo.
Per M < 1.2 M⊙ la produzione di energia è col ciclo pp, il nucleo è radiativo
ed il mantello convettivo.
Al diminuire della massa il mantello convettivo cresce in dimensioni fino ad
interessare tutta la stella per M < 0.5 M⊙
A. Marconi
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15
Il trasporto dell’energia
Zon interna convettiva,
zona esterna radiativa
Zona interna
radiativa, zona
esterna convettiva
Interamente
convettiva
Dominate dal ciclo CNO
A. Marconi
Dominate dalla catena p-p
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16
Il trasporto radiativo: opacità
I fotoni all’interno della stella possono essere assorbiti o diffusi (scattered)
per l’interazione con atomi, ioni, molecole, ed elettroni.
L’interazione tra un fotone ed una particella (atomo, ione, elettrone) si può
parametrizzare tramite la sezione d’urto σ, parametro legato alla probabilità
dell’interazione (dimensionalmente è una superficie): se il fotone incide sulla
superficie virtuale σ posta alla posizione della particella si ha l’interazione
(diffusione e/o assorbimento).
dl
σ
dS
dS
Visto dal fotone
Consideriamo un elemento di volume cilindrico attorno alla direzione di
propagazione di un fotone.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
17
Il trasporto radiativo: opacità
La probabilità di interazione è data dal rapporto tra l’area “coperta” dalla
sezione d’urto delle particelle e la superficie del volumetto su cui incide il
fotone
dN
con dN numero particelle nel volumetto
dp =
dS
dN = ndSdl
n densità di particelle nel volumetto
dp = n dl
la distanza tipica che il fotone percorrerà tra una interazione e l’altra
(cammino libero medio) si avrà per una probabilità p=1 ovvero
1
1
l=
=
n⇥
k
k=
m̄
opacità
In generale se la materia stellare è composta da vari assorbitori e diffusori di
densità ni e sezione d’urto σi si avrà
1
1
l= P
=
k
i ni ⇥ i
A. Marconi
=
X
i
n i mi
P
P
ni ⇥ i
( i /mi ) ⇥i
i
i
P
k=P
=
i mi ni
i i
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18
Il trasporto radiativo: opacità
k è l’opacità che compare nell’equazione del trasporto radiativo.
Il meccanismo più semplice di opacità è la diffusione della luce da parte di
elettroni liberi (scattering Thomson) caratterizzata da
T
8⇡
=
3
✓
2
e
me c2
◆2
= 6.7 ⇥ 10
25
cm2
σT è la sezione d’urto Thomson; è la minima sezione d’urto per l’interazione
tra materia e radiazione.
Nell’interno delle stelle il gas è completamente ionizzato, è costituito quasi
di solo H, l’interazione avviene con i soli elettroni (σT ~ 1/m2 ) per cui
ne ⇡ nH =
mH
M
⇥⇡
' 1.4 g cm
3
4/3 r
1
mH
1.7 ⇥ 10 24 g
l=
⇡
⇡
ne ⇥ T
⇥T
1.4 g cm 3 6.7 ⇥ 10 25 cm
3
2
' 2 cm
si è usata la densità media del Sole ma se ρ è più grande, come al centro, l è ancora più piccolo. In effetti una stima più accurata al centro è l~0.1 cm.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
19
Il trasporto radiativo: opacità
In pratica i fotoni percorrono solo tratti molto piccoli prima di essere deviati.
Lo spostamento vettoriale totale è
li
D = l1 + l 2 + · · · + l i + · · · + ln
l2
la distanza percorsa è il modulo dello spostamento
|D|2 = |l1 |2 + |l2 |2 + · · · + |li |2 + · · · + |ln |2 +
X
ij
l3
l1
li · l j
se considero una gran numero di processi di diffusione allora poiché gli
spostamenti li hanno direzioni casuali nello spazio
X
ij
li · lj = 0
p
|D|2 =
X
i
| li | 2 =
X
l2 = N l2
i
ovvero D = l N
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
20
Il trasporto radiativo: opacità
Un fotone che viene prodotto al centro del Sole sarà diffuso N volte prima di
uscire con
N=
⇣ r ⌘2
l
=
✓
10
7 ⇥ 10 cm
2 cm
◆2
= 1.2 ⇥ 1021
Il fotone percorre un tratto pari a N l quindi il tempo necessario ad uscire dal
Sole sarà
Nl
l ⇣ r ⌘2 r 2
=
=
=
c
c l
lc
(7 ⇥ 1010 cm)2
=
2 cm ⇥ 3 ⇥ 1010 cm s
A. Marconi
11
1
' 8 ⇥ 10
4
s = 2.5 ⇥ 10 yr
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
21
Il trasporto radiativo
Possiamo adesso ricavare l’equazione che lega T(r) al flusso di energia
radiante attraverso la stella.
Dato il piccolo cammino libero medio dei fotoni all’interno della stella, ed il
numero elevato di processi di diffusione, assorbimento e emissione a cui
sono sottoposti i fotoni, si può pensare che ogni elemento di volume della
stella sia all’equilibrio termodinamico (locale) e che quindi irraggi come un
corpo nero.
Tuttavia, c’è un flusso netto di radiazione verso l’esterno, e quindi deve
esserci una piccola anisotropia nell’emissione (e quindi un piccolo
discostamento dall’emissione di corpo nero).
Il flusso netto di radiazione attraverso un elemento di volume è L(r)
u
Δr
L(r)
u +Δu
Il trasporto radiativo
Questo deve essere pari all’eccesso di energia tra r e r+dr, fratto il tempo
necessario ad attraversare la shell ovvero, se u è la densità di energia
L(r) ⇡
2
( r) /lc
4⇡ r2 r u
=
2
( r) /lc
u
4⇡r lc
r
2
è il tempo necessario ad attraversare la shell
a seguito del cammino casuale visto prima
Una derivazione più rigorosa aggiunge solo un fattore 1/3, per cui passando
alle derivate
L(r)
=
2
4⇡r
lc du
3 dr
Questa è a tutti gli effetti una equazione di diffusione, che descrive il flusso
netto di energia verso l’esterno ( lc/3 è il coefficiente di diffusione).
L’opacità del mezzo compare in l : per valori piccoli si avranno L grandi,
ovviamente a parità di gradienti di u.
Il trasporto radiativo
Poiché siamo vicini all’equilibrio termodinamico ed ogni volumetto si
comporta come un corpo nero, si ha
Z
+1
4
4 4
4⇡
u=
⇡B⌫ (T )d⌫ =
T = aT4
u⌫ =
B⌫ (T )
c 0
c
c
du
du dT
1
1
3 dT
=
= 4aT
l=
=
dr
dT dr
dr
n⇥
k
L(r)
lc du
sostituendo in
si ha l’equazione del trasporto radiativo
=
2
4⇡r
3 dr
dT (r)
3L(r)k(r)⇢(r)
=
dr
4⇡r2 4acT 3 (r)
dI
si noti che questa è una equazione analoga a
=
I +
ds
dove si è integrato sulla frequenza e si è fatta l’assunzione dell’equilibrio
termodinamico locale per cui Iν = Bν e quindi si è usata T per descrivere la
radiazione. Inoltre il cammino libero medio l corrisponde a profondità ottica
unitaria ovvero τν = 1 = αν l pertanto l = 1/αν
Il trasporto radiativo
Possiamo stimare quindi l’ordine di grandezza della luminosità solare da
L(r)
=
4⇡r2
T
lc du
3 dr
lc u
L
⇠
2
4⇡r
3 r
lc aT 4
⇠
3 r
è la temperatura “media” del Sole e quindi possiamo usare quella
stimata col teorema del viriale
T = Tvir ⇠ 4 ⇥ 106 K
con l = 0.1 cm otteniamo quindi
4⇡
L =
7 ⇥ 1010 cm ⇥ 3 ⇥ 1010 cm sec 1 ⇥10 1 ⇥
3
⇥ 7.6 ⇥ 10 15 cgs ⇥ (4 ⇥ 106 K)4 = 2 ⇥ 1033 erg s 1
33
L
=
3.8
⇥
10
erg s
in ragionevole accordo con la luminosità solare
1
Se il sole non fosse composto principalmente di idrogeno ma, ad esempio,
di carbonio ionizzato, la massa media delle particelle sarebbe
12
m̄ ⇡
mH ⇡ 2mH
7
invece di
mH
m̄ ⇡
2
La temperatura viriale sarebbe 4 volte più grande, e quindi la luminosità
predetta sarebbe sbagliata di 2 ordini di grandezza!
Il Trasporto Convettivo
basicastro4verso
October
26, 2006
Fino ad ora abbiamo visto come l’energia viene trasportata
l‘esterno
grazie al trasporto radiativo, ovvero grazie alla diffusione dei fotoni.
In certe condizioni però, il trasporto diviene convettivo.
La convezione si instaura quando un elemento di volume, spostato dalla sua
posizione di equilibrio, continua a muoversi nella direzione dello
spostamento. In sostanza, la convezione
è un fenomeno che nasce
60
dall’instabilità dell’equilibrio.
!
Un volumetto di gas si trova in equilibrio al raggio
r dove le condizioni fisiche sono T, P, 𝜌.
Viene spostato al raggio r+dr dove l’ambiente ha
T+dT, P+dP, 𝜌+d𝜌; il gas nella stella soddisfa
all’equazione di stato per cui
P
⇢ /
T
A. Marconi
d⇢
dP
=
⇢
P
dT
T
Figure 3.10 A mass element (lower circle) inside a star undergoes
to a higher position (upper circle), and expands adiaba
surrounding
pressure P + dP . If, after the expansio
Introduzione all’Astrofisica
2014/2015
26
Il Trasporto Convettivo
Per semplificare il problema, supponiamo che la trasformazione subita dal
volumetto di gas sia adiabatica (ovvero così veloce da non avere il tempo di
scambiare energia con l’ambiente); il volumetto di gas cambia le sue
condizioni fisiche per adattarsi all’ambiente T+𝛿T, P+𝛿P, 𝜌+𝛿𝜌 (notare 𝛿
invece di d, perché le variazioni sono diverse). Poichè la trasformazione è
adiabatica
P / ⇢
dP
d⇢
=
P
⇢
cP
=
cV
ricordando il Principio di Archimede, il volumetto di gas continuerà a salire
⇢ < d⇢
⇢ + ⇢ < ⇢ + d⇢
se risulta
ovvero
⇢
d⇢
<
⇢
⇢
e ricordando quanto appena trovato
e che 𝛿P = dP (equilibrio pressione)
A. Marconi
1 dP
dP
<
P
P
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
dT
T
27
Il Trasporto Convettivo
ovvero
dT
<
T
1 dP
P
poichè i gradienti di P e T sono entrambi
negativi possiamo infine scrivere
dT
<
dr
dT
>
dr
1 T dP
P dr
1 T dP
P dr
questa è la condizione per cui avviene la convezione, ovvero il gradiente di
temperatura deve essere “grande”.
Se il gas è monoatomico 𝛾=5/3 (idrogeno neutro o ionizzato) ma all’aumento
del numero di gradi di libertà (es. gas che si raffredda e comincia ad avere molecole) gamma aumenta e dT/dr può essere più “piccolo”.
Questo avviene per esempio nelle atmosfere delle stelle più fredde come le
nane rosse. Una volta che la convezione è innescata la situazione di
equilibrio si raggiunge con l’uguaglianza nella relazione sopra, che quindi
diventa l’equazione del trasporto da utilizzare
dT
=
dr
A. Marconi
1 T (r) dP
P (r) dr
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
28
L’equazione di stato
Fino ad ora abbiamo utilizzato come equazione di stato l’equazione del gas
perfetto, ovvero abbiamo assunto che la pressione sia dovuta soltanto alla
pressione termica del gas.
!
Tuttavia abbiamo appena visto che, in alcune regioni, avviene un trasporto
radiativo di energia e quindi la densità di energia (e quindi la pressione)
associate al campo e.m. possono essere non trascurabili.
In pratica, Dobbiamo tener conto sia della pressione del gas ma anche della
pressione di radiazione.
Per il gas abbiamo già visto che PV = nRT si può trasformare in
Pgas
A. Marconi
nRT
N R
M R
=
=
T =
T = kT
V
V NA
m̄V NA
m̄
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
29
Equazione di stato
dE⌫ = I⌫ cos dA dt d d⇥
se invece dell’energia passo al numero di fotoni
dE⌫
I⌫
dn⌫ ( ) =
=
cos dA dt d d⇥
h⇥
h⇥
ciascun fotone ha una quantità di moto (diretta
lungo il raggio di propagazione) pari a
h
q⌫ =
c
norm
ale
Riguardo alla pressione di radiazione, ricordiamo la definizione di intensità
θ
dΩ
P
dA
ovvero la quantità di moto trasportata nella direzione Ω è
dE⌫ h
dE⌫
dQ⌫ ( ) = q⌫ dn⌫ ( ) =
=
h c
c
la pressione di radiazione in P sulla superficie dA e dovuta ai fotoni che si
muovono nella direzione Ω è quindi
dF?
dQ ( ) cos
I cos2 d⇥d
Prad ( ) =
=
=
dA
dt
dA
c
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
30
Equazione di stato
per ottenere la pressione totale occorre integrare su frequenza e angolo
solido (supponiamo Iν isotropa)
Prad
1
=
c
Z
1
I d⇥
0
Z
2⇥
d⇤
0
Z
⇥
cos
2
sin d
0
se il sistema è all’equilibrio termodinamico locale (cioè posso definire T
punto per punto) Iν = Bν
Z
Z
1
F⌫ [BB]d =
0
⇡
cos
0
Prad
2
Z
1
⇥B⌫ d = ⇤T
4
0
2
sin d =
3
Z
1
0
⇤T 4
B⌫ d =
⇥
1 ⇥T 4
2
1 4⇥ 4 1
=
2
=
T = aT4
c
3
3 c
3
Prad
1
= u
3
si noti come la pressione di radiazione corrisponde dimensionalmente ad
una densità di energia (u = aT4 è la densità di energia della radiazione)
In conclusione, l’equazione di stato è
P = Pgas + Prad
kT
1 4
=
+ aT
m̄
3
Equazioni della struttura stellare
Le equazioni che descrivono la struttura stellare sono:
dP (r)
=
dr
GM (r) (r)
r2
equilibrio idrostatico
dM (r)
= 4 r2 ⇥(r)
dr
conservazione della massa
dT (r)
=
dr
trasporto radiativo/convettivo (trasporto energia all’interno della
stella, k(r) è l’opacità)
3L(r)k(r)⇢(r)
4⇡r2 4acT 3 (r)
dT
=
dr
1 T (r) dP
P (r) dr
dL(r)
= 4 r2 ⇥(r)⇤(r)
dr
A. Marconi
conservazione dell’energia
(ε(r) è l’energia prodotta per
unità di tempo e di massa)
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
32
Equazioni della struttura stellare
Queste equazioni vanno risolte con le opportune condizioni al contorno
M (r = 0) = 0
M (r = r? ) = M?
L(r = 0) = 0
L★ dipende dalle altre
proprietà della stella, questa
si usa in alternativa a M★
L(r = r? ) = L?
P (r = r? ) = 0
a queste vanno poi aggiunte le equazioni che descrivono lo stato del gas,
l’opacità ed i meccanismi di produzione dell’energia
P = P [ (r), T (r), (X, Y, Z)]
k = k[ (r), T (r), (X, Y, Z)]
⇥ = ⇥[ (r), T (r), (X, Y, Z)]
X=
H
;
A. Marconi
Y =
He
;
Z=
Metalli
composizione chimica del gas
(metalli, elementi più pesanti di He)
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
33
Equazioni della struttura stellare
Ci sono 7 equazioni accoppiate per 7 incognite
P (r), M (r),
(r), T (r), k(r), L(r), ⇥(r)
con 4 condizioni al contorno per le 4 equazioni differenziali del primo ordine;
se c’è una soluzione, questa è unica.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
34
Relazioni di scala dal diagramma HR
Siamo ora in grado di spiegare le relazioni di scala per le stelle che sono
state trovate osservativamente
L⇠M
L⇠
8
Te
3
(per stelle con M >M⊙)
(con Te temperatura superficiale)
Determiniamo la quantità di energia immagazzinata nella stella sotto forma
di radiazione. La pressione di radiazione è
Prad ⇠ T 4
è dimensionalmente (ma anche realmente Prad = 1/3 u) una densità di energia per cui
E ⇠ T 4 R3
Il tempo impiegato a far “uscire” questa energia dalla stella è il tempo che i
fotoni impiegano ad andare dal centro alla superficie della stella ovvero
R2
R 2 ⇥T
⇤=
=
lc
mH c
A. Marconi
⇤ ⇠ ⇥ R2
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
35
Relazioni di scala dal diagramma HR
ovvero
E
T 4 R3
T 4R
L⇠
⇠
⇠
2
⇤
⇥ R
⇥
una relazione analoga si sarebbe scritta partendo dall’equazione del
trasporto radiativo:
!
!
!
dT (r)
=
dr
3L(r)k(r)⇢(r)
4⇡r2 4acT 3 (r)
σ è stato lasciato per far vedere il suo effetto. Considerandolo costante si
ricava la relazione L-M per stelle tipo Sole o più massicce; considerando altri
processi σ non è costante e si ricava la relazione per stelle meno massicce
del Sole. Consideriamo il caso in cui sia costante.
Applicando il teorema del viriale abbiamo trovato
GM 2
P̄ ⇠
4 R4
GM mH
T̄ ⇠
6kB R
A. Marconi
M2
P ⇠ 4
R
M
T ⇠
R
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36
Relazioni di scala dal diagramma HR
Combinando le relazioni per L, P e T otteniamo
L⇠
R
4
T ⇠
R
✓
M
R
◆4
M4
3
⇠
⇠M
3
R
dato che
3
R ⇠M
cioè la relazione osservata. La diversa pendenza per le stelle di bassa
massa ( L~M5 ) deriva da una dipendenza dell’opacità da T, ovvero da un
diverso processo di scattering che domina in quelle stelle.
Vediamo adesso di capire perché L~Te8
L ⇠ M 3 per stelle con M > M
L ⇠ M 5 per stelle con M < M
L ⇠ Te8 si riferisce a tutta la sequenza principale, per cui consideriamo
una relazione L-M intermedia ovvero
4
L ⇠ M per tutte le stelle
A. Marconi
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37
Relazioni di scala dal diagramma HR
ricordiamo che
L=4 R
2
M
T ⇠
R
⇥Te4
Te superficiale, T media della stella
4
4 2
L
M
M
T
4
2 2
1/2 2
Te ⇠ 2 ⇠ 2 ⇠
⇠
M
T
⇠
L
T
2
R
R
M
come abbiamo visto l’equilibrio delle stelle sulla sequenza principale è
mantenuto dal bruciamento dell’H nel nucleo che avviene a temperature ben
definite. In pratica T~costante per tutte le stelle di sequenza principale, allora
Te4 ⇠ L1/2
A. Marconi
ovvero
L⇠
8
Te
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